| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Wiedząc, że $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ oraz $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, oblicz wartości $\cos \alpha$ oraz $\operatorname{ctg} \alpha$. | $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ |
| 2 | Wiedząc, że $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{8}{15}$ oraz $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$. | $\sin \alpha = \frac{8}{17}$, $\cos \alpha = -\frac{15}{17}$ |
| 3 | Mając dane $\sin x + \cos x = \frac{4}{3}$, oblicz $\sin^3 x + \cos^3 x$. | $\sin^3 x + \cos^3 x = \frac{22}{27}$ |
| 4 | Uprość wyrażenie: $\frac{1+\operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{ctg} \alpha} \cdot \frac{1-\operatorname{ctg} \alpha}{1-\operatorname{tg} \alpha}$. | $-1$ |
| 5 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 6 | Udowodnij tożsamość: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 2$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 7 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = 1 + \sin \alpha \cos \alpha$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 8 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 9 | Oblicz wartość $\sin 75^\circ$. | $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ |
| 10 | Oblicz wartość $\operatorname{tg} 15^\circ$. | $\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Wiedząc, że $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ oraz $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\operatorname{tg} \alpha$. | $\sin \alpha = -\frac{5}{13}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$ |
| 2 | Wiedząc, że $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$ oraz $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$. | $\sin \alpha = -\frac{24}{25}$, $\cos \alpha = -\frac{7}{25}$ |
| 3 | Mając dane $\sin x - \cos x = \frac{2}{3}$, oblicz $\sin^3 x - \cos^3 x$. | $\sin^3 x - \cos^3 x = \frac{23}{27}$ |
| 4 | Uprość wyrażenie: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \operatorname{tg} \alpha \cos^2 \alpha$. | $1$ |
| 5 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} + \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 6 | Udowodnij tożsamość: $(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 7 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} = 1 - \sin \alpha \cos \alpha$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 8 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha} = \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 9 | Oblicz wartość $\cos 15^\circ$. | $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ |
| 10 | Oblicz wartość $\operatorname{tg} 75^\circ$. | $\operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Wiedząc, że $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ oraz $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, oblicz wartości $\cos \alpha$ oraz $\operatorname{tg} \alpha$. | $\cos \alpha = -\frac{15}{17}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{8}{15}$ |
| 2 | Wiedząc, że $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}$ oraz $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$. | $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ |
| 3 | Mając dane $\sin x + \cos x = -\frac{1}{4}$, oblicz $\sin^3 x + \cos^3 x$. | $\sin^3 x + \cos^3 x = -\frac{47}{128}$ |
| 4 | Uprość wyrażenie: $\frac{\sin^2 \alpha}{1-\cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{1+\sin \alpha}$. | $\sin \alpha + \cos \alpha$ |
| 5 | Udowodnij tożsamość: $\frac{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 6 | Udowodnij tożsamość: $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha) = \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 7 | Udowodnij tożsamość: $\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} + \frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha} = 1$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 8 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 9 | Oblicz wartość $\sin 105^\circ$. | $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ |
| 10 | Oblicz wartość $\cos 75^\circ$. | $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Wiedząc, że $\cos \alpha = -\frac{8}{17}$ oraz $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\operatorname{tg} \alpha$. | $\sin \alpha = -\frac{15}{17}$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8}$ |
| 2 | Wiedząc, że $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{3}{4}$ oraz $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, oblicz wartości $\sin \alpha$ oraz $\cos \alpha$. | $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$, $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ |
| 3 | Mając dane $\sin x - \cos x = -\frac{1}{2}$, oblicz $\sin^3 x - \cos^3 x$. | $\sin^3 x - \cos^3 x = -\frac{11}{16}$ |
| 4 | Uprość wyrażenie: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$. | $4\sin \alpha \cos \alpha$ |
| 5 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin^2 \theta}{1+\cos \theta} = 1-\cos \theta$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 6 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin \alpha}{1-\operatorname{ctg} \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1-\operatorname{tg} \alpha} = \sin \alpha + \cos \alpha$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 7 | Udowodnij tożsamość: $\frac{1-\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha + \cos \alpha}$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 8 | Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha$. | Tożsamość została udowodniona. |
| 9 | Oblicz wartość $\sin 165^\circ$. | $\sin 165^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ |
| 10 | Oblicz wartość $\operatorname{ctg} 105^\circ$. | $\operatorname{ctg} 105^\circ = -2 + \sqrt{3}$ |