| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wiadomo, że $2^x + 2^{-x} = 5$. Oblicz $4^x + 4^{-x}$ oraz $16^x + 16^{-x}$. | Wskazówki: • Podnieś obie strony równości $2^x + 2^{-x} = 5$ do kwadratu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. • Zauważ, że iloczyn potęg o przeciwnych wykładnikach wynosi $2^x \cdot 2^{-x} = 2^{x-x} = 2^0 = 1$. • Następnie podnieś wyznaczone wyrażenie $4^x + 4^{-x}$ do kwadratu, aby otrzymać wartość $16^x + 16^{-x}$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Obliczenie wartości wyrażenia $4^x + 4^{-x}$: Podnosimy wyjściowe równanie obustronnie do kwadratu i stosujemy wzór skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} (2^x + 2^{-x})^2 &= 5^2 \\[6pt] (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 &= 25 \\[6pt] 4^x + 2 \cdot 1 + 4^{-x} &= 25 \\[6pt] 4^x + 4^{-x} &= 25 - 2 = 23 \end{aligned}$$ 2. Obliczenie wartości wyrażenia $16^x + 16^{-x}$: Podnosimy równość $4^x + 4^{-x} = 23$ obustronnie do kwadratu: $$\begin{aligned} (4^x + 4^{-x})^2 &= 23^2 \\[6pt] (4^x)^2 + 2 \cdot 4^x \cdot 4^{-x} + (4^{-x})^2 &= 529 \\[6pt] 16^x + 2 \cdot 1 + 16^{-x} &= 529 \\[6pt] 16^x + 16^{-x} &= 529 - 2 = 527 \end{aligned}$$ 3. Podsumowanie wyników: Wartości szukanych wyrażeń wynoszą odpowiednio: $$4^x + 4^{-x} = 23 \quad \text{oraz} \quad 16^x + 16^{-x} = 527$$ | $4^x + 4^{-x} = 23$, $16^x + 16^{-x} = 527$ |
| 2 | Udowodnij, że liczba $\left(\sqrt{12 - \sqrt{128}} + \sqrt{12 + \sqrt{128}}\right)^2$ jest całkowita. | Wskazówki: • Zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$. • Przyjmij $u = \sqrt{12 - \sqrt{128}}$ oraz $v = \sqrt{12 + \sqrt{128}}$. • Podwójny iloczyn $2uv$ zapisz pod jednym wspólnym pierwiastkiem i zastosuj wzór na różnicę kwadratów: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozwinięcie wyrażenia ze wzoru na kwadrat sumy: Podstawiamy składniki pierwiastkowe do tożsamości algebraicznej: $$\begin{aligned} \left(\sqrt{12 - \sqrt{128}} + \sqrt{12 + \sqrt{128}}\right)^2 &= \left(\sqrt{12 - \sqrt{128}}\right)^2 + 2\sqrt{12 - \sqrt{128}}\sqrt{12 + \sqrt{128}} + \left(\sqrt{12 + \sqrt{128}}\right)^2 \end{aligned}$$ 2. Uproszczenie składników skrajnych: Ponieważ kwadrat pierwiastka arytmetycznego znosi pierwiastek, redukujemy wyrazy przeciwne: $$\begin{aligned} \left(\sqrt{12 - \sqrt{128}}\right)^2 + \left(\sqrt{12 + \sqrt{128}}\right)^2 &= (12 - \sqrt{128}) + (12 + \sqrt{128}) \\[6pt] &= 12 + 12 = 24 \end{aligned}$$ 3. Obliczenie podwojonego iloczynu: Łączymy czynniki pod jednym pierwiastkiem i stosujemy różnicę kwadratów: $$\begin{aligned} 2uv &= 2\sqrt{(12 - \sqrt{128})(12 + \sqrt{128})} \\[6pt] &= 2\sqrt{12^2 - (\sqrt{128})^2} \\[6pt] &= 2\sqrt{144 - 128} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8 \end{aligned}$$ 4. Zsumowanie wartości i konkluzja: Dodajemy otrzymane składniki: $$\begin{aligned} u^2 + 2uv + v^2 &= 24 + 8 = 32 \end{aligned}$$ Liczba $32$ należy do zbioru liczb całkowitych ($32 \in \mathbb{Z}$), co kończy dowód. | Wartość wyrażenia wynosi $32$, co jest liczbą całkowitą. |
| 3 | Populacja rzadkiego gatunku motyli w pewnym rezerwacie w 2005 roku wynosiła 800 osobników. Od tego czasu populacja systematycznie spada o 3% rocznie z powodu zmian klimatycznych. Znajdź wzór funkcji $P(t)$ opisującej populację motyli po $t$ latach od 2005 roku. Oblicz przybliżoną populację tego gatunku w 2015 roku. | Wskazówki:
• Spadek o $3\%$ rocznie oznacza, że każdego roku pozostaje $100\% - 3\% = 97\%$ populacji z roku poprzedniego ($a = 0{,}97$).
• Zapisz wzór funkcji wykładniczej w postaci ogólnej $P(t) = P_0 \cdot a^t$, gdzie $P_0 = 800$.
• Oblicz liczbę lat, która upłynęła od roku bazowego: $t = 2015 - 2005 = 10$.
• Oblicz wartość $P(10)$ i zaokrąglij wynik do pełnych osobników.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie wzoru funkcji wykładniczej:
Mnożnik roczny wynosi $1 - 0{,}03 = 0{,}97$. Funkcja ma postać:
$$\begin{aligned}
P(t) &= 800 \cdot (0{,}97)^t
\end{aligned}$$
2. Obliczenie populacji po $10$ latach ($t = 10$):
Różnica lat wynosi $t = 2015 - 2005 = 10$. Podstawiamy $t = 10$ do wzoru funkcji:
$$\begin{aligned}
P(10) &= 800 \cdot (0{,}97)^{10} \\[6pt]
&\approx 800 \cdot 0{,}7374 = 589{,}92
\end{aligned}$$
|
$P(t) = 800 \cdot (0,97)^t$, populacja wyniesie około 590 osobników. |
| 4 | W 2010 roku liczba studentów pewnej uczelni wynosiła 12000. Z każdym kolejnym rokiem wzrastała ona o 4%. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $S(t)$ określa liczbę studentów po upływie $t$ lat. Wyznacz wzór funkcji $S(t)$ oraz oblicz, w którym roku liczba studentów tej uczelni przekroczy 15000. | Wskazówki:
• Wzrost o $4\%$ oznacza, że każdego kolejnego roku liczba studentów wynosi $100\% + 4\% = 104\% = 1{,}04$ stanu z roku ubiegłego.
• Zapisz wzór funkcji w postaci $S(t) = 12000 \cdot (1{,}04)^t$.
• Zbuduj nierówność $S(t) > 15000$ i podziel obie strony przez $12000$.
• Wyznacz kolejne potęgi liczby $1{,}04$, aby znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą $t$, a następnie dodaj ją do roku bazowego $2010$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie wzoru funkcji $S(t)$:
Wzór funkcji opisującej liczbę studentów po $t$ latach ma postać:
$$\begin{aligned}
S(t) &= 12000 \cdot (1 + 0{,}04)^t \\[6pt]
&= 12000 \cdot (1{,}04)^t
\end{aligned}$$
2. Ułożenie i przekształcenie nierówności wykładniczej:
Szukamy takiego $t$, dla którego liczba studentów przekroczy $15000$:
$$\begin{aligned}
12000 \cdot (1{,}04)^t &> 15000 \\[6pt]
(1{,}04)^t &> \dfrac{15000}{12000} \\[6pt]
(1{,}04)^t &> 1{,}25
\end{aligned}$$
3. Weryfikacja kolejnych potęg liczby $1{,}04$:
Obliczamy potęgi liczby $1{,}04$ do momentu przekroczenia progu $1{,}25$:
$$\begin{aligned}
(1{,}04)^1 &= 1{,}04 \\[6pt]
(1{,}04)^2 &= 1{,}0816 \\[6pt]
(1{,}04)^3 &\approx 1{,}1249 \\[6pt]
(1{,}04)^4 &\approx 1{,}1699 \\[6pt]
(1{,}04)^5 &\approx 1{,}2167 \\[6pt]
(1{,}04)^6 &\approx 1{,}2653 > 1{,}25
\end{aligned}$$
|
$S(t) = 12000 \cdot (1,04)^t$, w 2016 roku. |
| 5 | Wykaż, że jeżeli $A = 5^{4\sqrt{2}+2}$ i $B = 5^{2\sqrt{2}+2}$, to $B = 5\sqrt{A}$. | Wskazówki: • Przekształć prawą stronę tezy, czyli wyrażenie $5\sqrt{A}$. • Zastąp pierwiastek kwadratowy potęgą o wykładniku $\frac{1}{2}$: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. • Zastosuj prawo potęgowania potęgi: $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ oraz prawo mnożenia potęg o jednakowych podstawach: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zapisanie prawej strony w postaci potęgowej: Wychodzimy z prawej strony równania $P = 5\sqrt{A}$ i podstawiamy $A$: $$\begin{aligned} P &= 5\sqrt{A} \\[6pt] &= 5^1 \cdot \sqrt{5^{4\sqrt{2}+2}} \\[6pt] &= 5^1 \cdot \left(5^{4\sqrt{2}+2}\right)^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$ 2. Wymnożenie wykładników potęg: Mnożymy wykładnik przez $\frac{1}{2}$: $$\begin{aligned} \left(5^{4\sqrt{2}+2}\right)^{\frac{1}{2}} &= 5^{\frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}+2)} \\[6pt] &= 5^{2\sqrt{2}+1} \end{aligned}$$ 3. Dodanie wykładników i konkluzja: Mnożymy potęgi o tej samej podstawie: $$\begin{aligned} P &= 5^1 \cdot 5^{2\sqrt{2}+1} \\[6pt] &= 5^{1 + 2\sqrt{2} + 1} \\[6pt] &= 5^{2\sqrt{2}+2} = B \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy $5\sqrt{A} = B$, co należało wykazać. | $B = 5\sqrt{A}$ (dowód w rozwiązaniu). |
| 6 | Wykaż, że jeśli $a = 5^{4-2\sqrt{3}}$ i $b = \left(\frac{1}{25}\right)^{|1-\sqrt{3}|}$, to $a = 25b$. | Wskazówki: • Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną: ponieważ $\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$, to $1 - \sqrt{3} < 0$. • Z definicji modułu $|x| = -x$ dla $x < 0$, stąd $|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$. • Zamień podstawę $\frac{1}{25}$ na potęgę liczby $5$, czyli $5^{-2}$, a następnie oblicz $25b = 5^2 \cdot b$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Uproszczenie wykładnika liczby $b$: Określamy znak różnicy pod wartością bezwzględną: $$\begin{aligned} 1 - \sqrt{3} &< 0 \implies |1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 \end{aligned}$$ 2. Zapisanie liczby $b$ jako potęgi o podstawie 5: Podstawiamy $\frac{1}{25} = 5^{-2}$ i mnożymy wykładniki: $$\begin{aligned} b &= \left(\dfrac{1}{25}\right)^{\sqrt{3}-1} \\[6pt] &= \left(5^{-2}\right)^{\sqrt{3}-1} \\[6pt] &= 5^{-2(\sqrt{3}-1)} = 5^{2 - 2\sqrt{3}} \end{aligned}$$ 3. Obliczenie iloczynu $25b$ i porównanie z liczbą $a$: Zapisujemy $25 = 5^2$ i dodajemy wykładniki potęg: $$\begin{aligned} 25b &= 5^2 \cdot 5^{2 - 2\sqrt{3}} \\[6pt] &= 5^{2 + 2 - 2\sqrt{3}} \\[6pt] &= 5^{4 - 2\sqrt{3}} = a \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy równość $a = 25b$, co kończy dowód. | $a = 25b$ (dowód w rozwiązaniu). |
| 7 | Pewien pierwiastek promieniotwórczy rozpada się w tempie 15% rocznie. Po 3 latach pozostało 3,06g tego pierwiastka. Znajdź początkową masę pierwiastka. Po ilu latach masa tego pierwiastka będzie mniejsza niż 0,5g? | Wskazówki:
• Spadek o $15\%$ rocznie oznacza mnożnik masy równy $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.
• Zapisz zależność masy od czasu: $M(t) = M_0 \cdot (0{,}85)^t$.
• Podstaw $t = 3$ oraz $M(3) = 3{,}06$, aby wyznaczyć masę początkową $M_0$.
• Ułóż nierówność $M_0 \cdot (0{,}85)^t < 0{,}5$ i wyznacz najmniejszą liczbę lat $t$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie początkowej masy pierwiastka $M_0$:
Korzystamy z danych po $3$ latach:
$$\begin{aligned}
M(t) &= M_0 \cdot (0{,}85)^t \\[6pt]
M_0 \cdot (0{,}85)^3 &= 3{,}06 \\[6pt]
M_0 \cdot 0{,}614125 &= 3{,}06 \\[6pt]
M_0 &= \dfrac{3{,}06}{0{,}614125} \approx 4{,}9827 \approx 5\text{ g}
\end{aligned}$$
2. Ułożenie nierówności dla masy poniżej $0{,}5\text{ g}$:
Przyjmując $M_0 = 5\text{ g}$, rozwiązujemy nierówność:
$$\begin{aligned}
5 \cdot (0{,}85)^t &< 0{,}5 \\[6pt]
(0{,}85)^t &< 0{,}1
\end{aligned}$$
3. Weryfikacja kolejnych potęg liczby $0{,}85$:
Obliczamy kolejne potęgi liczby $0{,}85$:
$$\begin{aligned}
(0{,}85)^3 &\approx 0{,}6141 \\[6pt]
(0{,}85)^6 &\approx 0{,}3771 \\[6pt]
(0{,}85)^{12} &\approx 0{,}1422 \\[6pt]
(0{,}85)^{14} &\approx 0{,}1028 \\[6pt]
(0{,}85)^{15} &\approx 0{,}0874 < 0{,}1
\end{aligned}$$
|
Masa początkowa wynosiła około 5g. Masa będzie mniejsza niż 0,5g po 15 latach. |
| 8 | Uprość wyrażenie $a = \left[ (3-\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} + (3+\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} \right]^2$. | Wskazówki: • Zastąp potęgę $\frac{1}{2}$ pierwiastkiem kwadratowym: $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$. • Zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. • Iloczyn pierwiastków połącz w jeden i zastosuj wzór na różnicę kwadratów. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Zapisanie wyrażenia w postaci pierwiastków: Rozpisujemy kwadrat sumy dwóch pierwiastków: $$\begin{aligned} a &= \left(\sqrt{3-\sqrt{5}} + \sqrt{3+\sqrt{5}}\right)^2 \\[6pt] &= \left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^2 + 2\sqrt{3-\sqrt{5}}\sqrt{3+\sqrt{5}} + \left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)^2 \end{aligned}$$ 2. Uproszczenie sumy kwadratów: Redukujemy wyrazy niewymierne: $$\begin{aligned} (3 - \sqrt{5}) + (3 + \sqrt{5}) &= 6 \end{aligned}$$ 3. Obliczenie podwojonego iloczynu: Mnożymy wyrażenia pod jednym pierwiastkiem ze wzoru na różnicę kwadratów: $$\begin{aligned} 2xy &= 2\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} \\[6pt] &= 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} \\[6pt] &= 2\sqrt{9 - 5} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4 \end{aligned}$$ 4. Zsumowanie wyrazów: Dodajemy otrzymane składniki: $$\begin{aligned} a &= 6 + 4 = 10 \end{aligned}$$ | $a = 10$ |
| 9 | Uprość wyrażenie $b = \frac{125^{-1} \cdot \sqrt{5}}{25^{-2} \cdot \sqrt[4]{25}}$. | Wskazówki: • Sprowadź wszystkie potęgi i pierwiastki do wspólnej podstawy równej $5$. • Pamiętaj, że $125 = 5^3$, $25 = 5^2$, $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ oraz $\sqrt[4]{25} = (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$. • Zastosuj reguły dodawania i odejmowania wykładników potęg. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Sprowadzenie składników do potęg o podstawie 5: Rozpisujemy każdy czynnik ułamka: $$\begin{aligned} 125^{-1} &= (5^3)^{-1} = 5^{-3} \\[6pt] \sqrt{5} &= 5^{\frac{1}{2}} \\[6pt] 25^{-2} &= (5^2)^{-2} = 5^{-4} \\[6pt] \sqrt[4]{25} &= (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$ 2. Podstawienie do ułamka i redukcja: Wstawiamy wartości do ułamka i skracamy czynnik $5^{\frac{1}{2}}$: $$\begin{aligned} b &= \dfrac{5^{-3} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{-4} \cdot 5^{\frac{1}{2}}} \\[6pt] &= \dfrac{5^{-3}}{5^{-4}} \end{aligned}$$ 3. Zastosowanie reguły ilorazu potęg: Odejmujemy wykładnik mianownika od wykładnika licznika: $$\begin{aligned} b &= 5^{-3 - (-4)} \\[6pt] &= 5^{-3 + 4} = 5^1 = 5 \end{aligned}$$ | $b = 5$ |
| 10 | Porównaj liczby $a^b$ i $b^a$, jeśli $a = \left[ (3-\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} + (3+\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} \right]^2$ oraz $b = \frac{125^{-1} \cdot \sqrt{5}}{25^{-2} \cdot \sqrt[4]{25}}$. | Wskazówki:
• Wykorzystaj wyznaczone w zadaniach 8 i 9 wartości: $a = 10$ oraz $b = 5$.
• Zapisz badane potęgi: $a^b = 10^5$ oraz $b^a = 5^{10}$.
• Przekształć liczbę $5^{10}$ do potęgi o wykładniku $5$: $5^{10} = (5^2)^5 = 25^5$.
• Porównaj potęgi o jednakowych wykładnikach.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Zestawienie wyznaczonych parametrów:
Z poprzednich zadań mamy $a = 10$ oraz $b = 5$:
$$\begin{aligned}
a &= 10 \\[6pt]
b &= 5
\end{aligned}$$
2. Zapisanie badanych wyrażeń:
Obliczamy lub zapisujemy obie liczby:
$$\begin{aligned}
a^b &= 10^5 = 100\,000 \\[6pt]
b^a &= 5^{10}
\end{aligned}$$
3. Sprowadzenie liczb do wspólnego wykładnika potęgi:
Korzystamy z prawa potęgowania potęgi $(x^y)^z = x^{y \cdot z}$:
$$\begin{aligned}
5^{10} &= (5^2)^5 = 25^5
\end{aligned}$$
|
$b^a > a^b$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wiadomo, że $3^x + 3^{-x} = 4$. Oblicz $9^x + 9^{-x}$ oraz $81^x + 81^{-x}$. | Podnosimy obie strony równania $3^x + 3^{-x} = 4$ do kwadratu. $$ (3^x + 3^{-x})^2 = 4^2 $$ Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. $$ (3^x)^2 + 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2 = 16 $$ Zauważamy, że $3^x \cdot 3^{-x} = 3^0 = 1$. $$ 9^x + 2 \cdot 1 + 9^{-x} = 16 $$ $$ 9^x + 9^{-x} = 16 - 2 $$ $$ 9^x + 9^{-x} = 14 $$ Teraz podnosimy do kwadratu otrzymane równanie $9^x + 9^{-x} = 14$. $$ (9^x + 9^{-x})^2 = 14^2 $$ $$ (9^x)^2 + 2 \cdot 9^x \cdot 9^{-x} + (9^{-x})^2 = 196 $$ $$ 81^x + 2 \cdot 1 + 81^{-x} = 196 $$ $$ 81^x + 81^{-x} = 196 - 2 $$ $$ 81^x + 81^{-x} = 194 $$ | $9^x + 9^{-x} = 14$, $81^x + 81^{-x} = 194$ |
| 2 | Udowodnij, że liczba $\left(\sqrt{8 - \sqrt{28}} + \sqrt{8 + \sqrt{28}}\right)^2$ jest całkowita. | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Niech $a = \sqrt{8 - \sqrt{28}}$ oraz $b = \sqrt{8 + \sqrt{28}}$. Obliczamy $a^2$: $$ a^2 = 8 - \sqrt{28} $$ Obliczamy $b^2$: $$ b^2 = 8 + \sqrt{28} $$ Obliczamy $2ab$: $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{8 - \sqrt{28}} \cdot \sqrt{8 + \sqrt{28}} $$ Włączamy pod jeden pierwiastek i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{8^2 - (\sqrt{28})^2} $$ $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{64 - 28} $$ $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{36} $$ $$ 2ab = 2 \cdot 6 = 12 $$ Podstawiamy wszystko do wzoru początkowego: $$ a^2 + 2ab + b^2 = 8 - \sqrt{28} + 12 + 8 + \sqrt{28} $$ Redukujemy wyrazy podobne. $$ 8 + 12 + 8 = 28 $$ Liczba $28$ jest liczbą całkowitą, co kończy dowód. | Wartość wyrażenia wynosi $28$, co jest liczbą całkowitą. |
| 3 | Populacja rzadkiego gatunku ptaków w pewnym rezerwacie w 2000 roku wynosiła 1000 osobników. Od tego czasu populacja systematycznie spada o 2% rocznie z powodu niszczenia siedlisk. Znajdź wzór funkcji $P(t)$ opisującej populację ptaków po $t$ latach od 2000 roku. Oblicz przybliżoną populację tego gatunku w 2010 roku. | Wypisujemy dane początkowe. Populacja początkowa: $P_0 = 1000$. Spadek roczny wynosi $2\%$, więc co roku zostaje $100\% - 2\% = 98\%$ populacji z poprzedniego roku. Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny: $98\% = 0,98$. Zapisujemy wzór funkcji wykładniczej dla $t$ lat: $$ P(t) = 1000 \cdot (0,98)^t $$ Obliczamy populację w 2010 roku. Różnica lat: $t = 2010 - 2000 = 10$. Podstawiamy $t = 10$ do wzoru: $$ P(10) = 1000 \cdot (0,98)^{10} $$ Korzystając z kalkulatora prostego, mnożymy $0,98$ przez siebie 10 razy. $$ (0,98)^{10} \approx 0,817 $$ Obliczamy przybliżoną populację: $$ P(10) \approx 1000 \cdot 0,817 $$ $$ P(10) \approx 817 $$ Ponieważ liczba ptaków musi być całkowita, wynik to 817 osobników. | $P(t) = 1000 \cdot (0,98)^t$, populacja wyniesie około 817 osobników. |
| 4 | W 2015 roku liczba mieszkańców nowo powstałego osiedla wynosiła 10000. Z każdym kolejnym rokiem wzrastała ona o 5%. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $S(t)$ określa liczbę mieszkańców po upływie $t$ lat. Wyznacz wzór funkcji $S(t)$ oraz oblicz, w którym roku liczba mieszkańców tego osiedla przekroczy 13000. | Wypisujemy dane początkowe. Liczba początkowa mieszkańców: $S_0 = 10000$. Wzrost roczny wynosi $5\%$, więc co roku liczba mieszkańców stanowi $100\% + 5\% = 105\%$ liczby z poprzedniego roku. Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny: $105\% = 1,05$. Zapisujemy wzór funkcji: $$ S(t) = 10000 \cdot (1,05)^t $$ Szukamy roku, w którym liczba mieszkańców przekroczy 13000. Tworzymy nierówność: $$ 10000 \cdot (1,05)^t > 13000 $$ Dzielimy obie strony przez 10000. $$ (1,05)^t > \frac{13000}{10000} $$ $$ (1,05)^t > 1,3 $$ Sprawdzamy kolejne potęgi liczby $1,05$ za pomocą kalkulatora prostego. Dla $t = 1$: $1,05$ Dla $t = 2$: $1,05 \cdot 1,05 = 1,1025$ Dla $t = 3$: $1,1025 \cdot 1,05 \approx 1,1576$ Dla $t = 4$: $1,1576 \cdot 1,05 \approx 1,2155$ Dla $t = 5$: $1,2155 \cdot 1,05 \approx 1,2763$ Dla $t = 6$: $1,2763 \cdot 1,05 \approx 1,3401$ Widzimy, że dla $t = 6$ wartość przekracza $1,3$. Zatem po 6 latach liczba mieszkańców przekroczy 13000. Obliczamy rok: $2015 + 6 = 2021$. | $S(t) = 10000 \cdot (1,05)^t$, w 2021 roku. |
| 5 | Wykaż, że jeżeli $A = 3^{6\sqrt{2}+4}$ i $B = 3^{3\sqrt{2}+3}$, to $B = 3\sqrt{A}$. | Zaczynamy od przekształcenia prawej strony równania, czyli wyrażenia $3\sqrt{A}$. Podstawiamy wartość $A$: $$ 3\sqrt{A} = 3 \cdot \sqrt{3^{6\sqrt{2}+4}} $$ Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku $\frac{1}{2}$. $$ 3\sqrt{A} = 3^1 \cdot (3^{6\sqrt{2}+4})^{\frac{1}{2}} $$ Mnożymy wykładniki. $$ 3\sqrt{A} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2}+4)} $$ $$ 3\sqrt{A} = 3^1 \cdot 3^{3\sqrt{2}+2} $$ Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. $$ 3\sqrt{A} = 3^{1 + 3\sqrt{2} + 2} $$ $$ 3\sqrt{A} = 3^{3\sqrt{2}+3} $$ Otrzymany wynik jest dokładnie równy wartości $B$. $$ 3\sqrt{A} = B $$ Co należało dowieść. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 6 | Wykaż, że jeśli $a = 3^{4-2\sqrt{2}}$ i $b = \left(\frac{1}{9}\right)^{|1-\sqrt{2}|}$, to $a = 9b$. | Najpierw upraszczamy wyrażenie w wartości bezwzględnej w wykładniku liczby $b$. Ponieważ $\sqrt{2} \approx 1,41$, to $1 - \sqrt{2}$ jest liczbą ujemną. Z definicji wartości bezwzględnej, zmieniamy znak. $$ |1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1 $$ Podstawiamy to do wzoru na $b$. $$ b = \left(\frac{1}{9}\right)^{\sqrt{2}-1} $$ Zapisujemy ułamek $\frac{1}{9}$ jako potęgę liczby 3. $$ \frac{1}{9} = 3^{-2} $$ Podstawiamy do równania na $b$. $$ b = (3^{-2})^{\sqrt{2}-1} $$ Mnożymy wykładniki. $$ b = 3^{-2 \cdot (\sqrt{2}-1)} $$ $$ b = 3^{-2\sqrt{2}+2} $$ Teraz obliczamy wartość wyrażenia $9b$. $$ 9b = 9 \cdot 3^{-2\sqrt{2}+2} $$ Zapisujemy 9 jako $3^2$. $$ 9b = 3^2 \cdot 3^{-2\sqrt{2}+2} $$ Dodajemy wykładniki. $$ 9b = 3^{2 - 2\sqrt{2} + 2} $$ $$ 9b = 3^{4-2\sqrt{2}} $$ Otrzymany wynik jest równy wartości $a$. $$ 9b = a $$ Co kończy dowód. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 7 | Pewien izotop promieniotwórczy rozpada się w tempie 20% rocznie. Po 2 latach pozostało 3,2g tego izotopu. Znajdź początkową masę izotopu. Po ilu latach masa tego izotopu będzie mniejsza niż 0,5g? | Niech $M_0$ oznacza masę początkową izotopu. Skoro izotop rozpada się w tempie $20\%$ rocznie, to co roku zostaje $100\% - 20\% = 80\%$ jego masy. Zapisujemy to jako ułamek dziesiętny: $0,8$. Wzór na masę po $t$ latach to: $$ M(t) = M_0 \cdot (0,8)^t $$ Wiemy, że po 2 latach masa wynosi 3,2g. Podstawiamy te dane. $$ M_0 \cdot (0,8)^2 = 3,2 $$ Obliczamy $(0,8)^2$. $$ 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 $$ Podstawiamy do równania. $$ M_0 \cdot 0,64 = 3,2 $$ Dzielimy obie strony przez $0,64$. $$ M_0 = \frac{3,2}{0,64} $$ $$ M_0 = 5 $$ Masa początkowa wynosiła $5$g. Szukamy czasu $t$, po którym masa będzie mniejsza niż 0,5g. $$ 5 \cdot (0,8)^t < 0,5 $$ Dzielimy obie strony przez 5. $$ (0,8)^t < 0,1 $$ Sprawdzamy kolejne potęgi liczby $0,8$ na kalkulatorze prostym. $(0,8)^2 = 0,64$ $(0,8)^4 = 0,64 \cdot 0,64 \approx 0,4096$ $(0,8)^8 \approx 0,4096 \cdot 0,4096 \approx 0,1677$ $(0,8)^9 \approx 0,1677 \cdot 0,8 \approx 0,134$ $(0,8)^{10} \approx 0,134 \cdot 0,8 \approx 0,107$ $(0,8)^{11} \approx 0,107 \cdot 0,8 \approx 0,085$ Dopiero dla $t = 11$ wartość spada poniżej $0,1$. Zatem masa będzie mniejsza niż 0,5g po 11 latach. | Masa początkowa wynosiła 5g. Masa będzie mniejsza niż 0,5g po 11 latach. |
| 8 | Uprość wyrażenie $a = \left[ (4-\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} + (4+\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} \right]^2$. | Zapiszmy wyrażenie w postaci pierwiastków. $$ a = \left( \sqrt{4-\sqrt{7}} + \sqrt{4+\sqrt{7}} \right)^2 $$ Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Niech $x = \sqrt{4-\sqrt{7}}$ oraz $y = \sqrt{4+\sqrt{7}}$. Obliczamy $x^2$: $$ x^2 = 4-\sqrt{7} $$ Obliczamy $y^2$: $$ y^2 = 4+\sqrt{7} $$ Obliczamy $2xy$: $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} $$ Włączamy pod jeden pierwiastek i stosujemy wzór na różnicę kwadratów. $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{16 - 7} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{9} $$ $$ 2xy = 2 \cdot 3 = 6 $$ Podstawiamy wszystko do rozwiniętego wzoru. $$ a = 4 - \sqrt{7} + 6 + 4 + \sqrt{7} $$ Redukujemy wyrazy podobne. $$ a = 4 + 6 + 4 = 14 $$ | $a = 14$ |
| 9 | Uprość wyrażenie $b = \frac{27^{-1} \cdot \sqrt{3}}{9^{-2} \cdot \sqrt[4]{9}}$. | Zamieniamy wszystkie podstawy potęg na liczbę 3. Licznik: $$ 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3} $$ $$ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} $$ Mianownik: $$ 9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{-4} $$ $$ \sqrt[4]{9} = 9^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} $$ Podstawiamy te wartości do ułamka. $$ b = \frac{3^{-3} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{-4} \cdot 3^{\frac{1}{2}}} $$ Skracamy $3^{\frac{1}{2}}$ w liczniku i mianowniku. $$ b = \frac{3^{-3}}{3^{-4}} $$ Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki. $$ b = 3^{-3 - (-4)} $$ $$ b = 3^{-3 + 4} $$ $$ b = 3^1 = 3 $$ | $b = 3$ |
| 10 | Porównaj liczby $a^b$ i $b^a$, jeśli $a = \left[ (4-\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} + (4+\sqrt{7})^{\frac{1}{2}} \right]^2$ oraz $b = \frac{27^{-1} \cdot \sqrt{3}}{9^{-2} \cdot \sqrt[4]{9}}$. | Z poprzednich zadań wiemy, że $a = 14$ oraz $b = 3$. Podstawiamy te wartości do wyrażeń. Obliczamy pierwszą liczbę: $$ a^b = 14^3 $$ $$ 14^3 = 14 \cdot 14 \cdot 14 = 196 \cdot 14 = 2744 $$ Obliczamy drugą liczbę: $$ b^a = 3^{14} $$ Aby ułatwić porównanie, oszacujmy wartość $3^{14}$. Wiemy, że $3^6 = 729$. Zatem $3^7 = 729 \cdot 3 = 2187$. Już $3^7$ jest bliskie wartości $14^3$. Kolejna potęga, $3^8 = 2187 \cdot 3 = 6561$, jest już znacznie większa od $2744$. Skoro $3^8 > 14^3$, to tym bardziej $3^{14} > 14^3$. Wniosek: $b^a > a^b$. | $b^a > a^b$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wiadomo, że $2^x + 2^{-x} = 6$. Oblicz $4^x + 4^{-x}$ oraz $16^x + 16^{-x}$. | Podnosimy obie strony równania $2^x + 2^{-x} = 6$ do kwadratu. $$ (2^x + 2^{-x})^2 = 6^2 $$ Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. $$ (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = 36 $$ Zauważamy, że $2^x \cdot 2^{-x} = 2^0 = 1$. $$ 4^x + 2 \cdot 1 + 4^{-x} = 36 $$ $$ 4^x + 4^{-x} = 36 - 2 $$ $$ 4^x + 4^{-x} = 34 $$ Teraz podnosimy do kwadratu otrzymane równanie $4^x + 4^{-x} = 34$. $$ (4^x + 4^{-x})^2 = 34^2 $$ $$ (4^x)^2 + 2 \cdot 4^x \cdot 4^{-x} + (4^{-x})^2 = 1156 $$ $$ 16^x + 2 \cdot 1 + 16^{-x} = 1156 $$ $$ 16^x + 16^{-x} = 1156 - 2 $$ $$ 16^x + 16^{-x} = 1154 $$ | $4^x + 4^{-x} = 34$, $16^x + 16^{-x} = 1154$ |
| 2 | Udowodnij, że liczba $\left(\sqrt{10 - \sqrt{64}} + \sqrt{10 + \sqrt{64}}\right)^2$ jest całkowita. | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Niech $a = \sqrt{10 - \sqrt{64}}$ oraz $b = \sqrt{10 + \sqrt{64}}$. Obliczamy $a^2$: $$ a^2 = 10 - \sqrt{64} $$ Obliczamy $b^2$: $$ b^2 = 10 + \sqrt{64} $$ Obliczamy $2ab$: $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{10 - \sqrt{64}} \cdot \sqrt{10 + \sqrt{64}} $$ Włączamy pod jeden pierwiastek i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{10^2 - (\sqrt{64})^2} $$ $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{100 - 64} $$ $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{36} $$ $$ 2ab = 2 \cdot 6 = 12 $$ Podstawiamy wszystko do wzoru początkowego: $$ a^2 + 2ab + b^2 = 10 - \sqrt{64} + 12 + 10 + \sqrt{64} $$ Redukujemy wyrazy podobne. $$ 10 + 12 + 10 = 32 $$ Liczba $32$ jest liczbą całkowitą, co kończy dowód. | Wartość wyrażenia wynosi $32$, co jest liczbą całkowitą. |
| 3 | Populacja rzadkiego gatunku żab w pewnym rezerwacie w 2010 roku wynosiła 500 osobników. Od tego czasu populacja systematycznie spada o 4% rocznie z powodu zanieczyszczenia wód. Znajdź wzór funkcji $P(t)$ opisującej populację żab po $t$ latach od 2010 roku. Oblicz przybliżoną populację tego gatunku w 2020 roku. | Wypisujemy dane początkowe. Populacja początkowa: $P_0 = 500$. Spadek roczny wynosi $4\%$, więc co roku zostaje $100\% - 4\% = 96\%$ populacji z poprzedniego roku. Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny: $96\% = 0,96$. Zapisujemy wzór funkcji wykładniczej dla $t$ lat: $$ P(t) = 500 \cdot (0,96)^t $$ Obliczamy populację w 2020 roku. Różnica lat: $t = 2020 - 2010 = 10$. Podstawiamy $t = 10$ do wzoru: $$ P(10) = 500 \cdot (0,96)^{10} $$ Korzystając z kalkulatora prostego, mnożymy $0,96$ przez siebie 10 razy. $$ (0,96)^{10} \approx 0,6648 $$ Obliczamy przybliżoną populację: $$ P(10) \approx 500 \cdot 0,6648 $$ $$ P(10) \approx 332,4 $$ Ponieważ liczba żab musi być całkowita, zaokrąglamy do pełnych osobników. $$ P(10) \approx 332 $$ | $P(t) = 500 \cdot (0,96)^t$, populacja wyniesie około 332 osobników. |
| 4 | W 2012 roku liczba pracowników pewnej korporacji wynosiła 8000. Z każdym kolejnym rokiem wzrastała ona o 6%. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $S(t)$ określa liczbę pracowników po upływie $t$ lat. Wyznacz wzór funkcji $S(t)$ oraz oblicz, w którym roku liczba pracowników tej korporacji przekroczy 10000. | Wypisujemy dane początkowe. Liczba początkowa pracowników: $S_0 = 8000$. Wzrost roczny wynosi $6\%$, więc co roku liczba pracowników stanowi $100\% + 6\% = 106\%$ liczby z poprzedniego roku. Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny: $106\% = 1,06$. Zapisujemy wzór funkcji: $$ S(t) = 8000 \cdot (1,06)^t $$ Szukamy roku, w którym liczba pracowników przekroczy 10000. Tworzymy nierówność: $$ 8000 \cdot (1,06)^t > 10000 $$ Dzielimy obie strony przez 8000. $$ (1,06)^t > \frac{10000}{8000} $$ $$ (1,06)^t > 1,25 $$ Sprawdzamy kolejne potęgi liczby $1,06$ za pomocą kalkulatora prostego. Dla $t = 1$: $1,06$ Dla $t = 2$: $1,06 \cdot 1,06 = 1,1236$ Dla $t = 3$: $1,1236 \cdot 1,06 \approx 1,1910$ Dla $t = 4$: $1,1910 \cdot 1,06 \approx 1,2625$ Widzimy, że już dla $t = 4$ wartość przekracza $1,25$. Zatem po 4 latach liczba pracowników przekroczy 10000. Obliczamy rok: $2012 + 4 = 2016$. | $S(t) = 8000 \cdot (1,06)^t$, w 2016 roku. |
| 5 | Wykaż, że jeżeli $A = 2^{8\sqrt{3}+6}$ i $B = 2^{4\sqrt{3}+4}$, to $B = 2\sqrt{A}$. | Zaczynamy od przekształcenia prawej strony równania, czyli wyrażenia $2\sqrt{A}$. Podstawiamy wartość $A$: $$ 2\sqrt{A} = 2 \cdot \sqrt{2^{8\sqrt{3}+6}} $$ Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku $\frac{1}{2}$. $$ 2\sqrt{A} = 2^1 \cdot (2^{8\sqrt{3}+6})^{\frac{1}{2}} $$ Mnożymy wykładniki. $$ 2\sqrt{A} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{3}+6)} $$ $$ 2\sqrt{A} = 2^1 \cdot 2^{4\sqrt{3}+3} $$ Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. $$ 2\sqrt{A} = 2^{1 + 4\sqrt{3} + 3} $$ $$ 2\sqrt{A} = 2^{4\sqrt{3}+4} $$ Otrzymany wynik jest dokładnie równy wartości $B$. $$ 2\sqrt{A} = B $$ Co należało dowieść. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 6 | Wykaż, że jeśli $a = 2^{4-2\sqrt{5}}$ i $b = \left(\frac{1}{4}\right)^{|1-\sqrt{5}|}$, to $a = 4b$. | Najpierw upraszczamy wyrażenie w wartości bezwzględnej w wykładniku liczby $b$. Ponieważ $\sqrt{5} \approx 2,24$, to $1 - \sqrt{5}$ jest liczbą ujemną. Z definicji wartości bezwzględnej, zmieniamy znak. $$ |1-\sqrt{5}| = -(1-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-1 $$ Podstawiamy to do wzoru na $b$. $$ b = \left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{5}-1} $$ Zapisujemy ułamek $\frac{1}{4}$ jako potęgę liczby 2. $$ \frac{1}{4} = 2^{-2} $$ Podstawiamy do równania na $b$. $$ b = (2^{-2})^{\sqrt{5}-1} $$ Mnożymy wykładniki. $$ b = 2^{-2 \cdot (\sqrt{5}-1)} $$ $$ b = 2^{-2\sqrt{5}+2} $$ Teraz obliczamy wartość wyrażenia $4b$. $$ 4b = 4 \cdot 2^{-2\sqrt{5}+2} $$ Zapisujemy 4 jako $2^2$. $$ 4b = 2^2 \cdot 2^{-2\sqrt{5}+2} $$ Dodajemy wykładniki. $$ 4b = 2^{2 - 2\sqrt{5} + 2} $$ $$ 4b = 2^{4-2\sqrt{5}} $$ Otrzymany wynik jest równy wartości $a$. $$ 4b = a $$ Co kończy dowód. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 7 | Pewien pierwiastek promieniotwórczy rozpada się w tempie 10% rocznie. Po 2 latach pozostało 4,05g tego pierwiastka. Znajdź początkową masę pierwiastka. Po ilu latach masa tego pierwiastka będzie mniejsza niż 1g? | Niech $M_0$ oznacza masę początkową pierwiastka. Skoro pierwiastek rozpada się w tempie $10\%$ rocznie, to co roku zostaje $100\% - 10\% = 90\%$ jego masy. Zapisujemy to jako ułamek dziesiętny: $0,9$. Wzór na masę po $t$ latach to: $$ M(t) = M_0 \cdot (0,9)^t $$ Wiemy, że po 2 latach masa wynosi 4,05g. Podstawiamy te dane. $$ M_0 \cdot (0,9)^2 = 4,05 $$ Obliczamy $(0,9)^2$. $$ 0,9 \cdot 0,9 = 0,81 $$ Podstawiamy do równania. $$ M_0 \cdot 0,81 = 4,05 $$ Dzielimy obie strony przez $0,81$. $$ M_0 = \frac{4,05}{0,81} $$ $$ M_0 = 5 $$ Masa początkowa wynosiła $5$g. Szukamy czasu $t$, po którym masa będzie mniejsza niż 1g. $$ 5 \cdot (0,9)^t < 1 $$ Dzielimy obie strony przez 5. $$ (0,9)^t < 0,2 $$ Sprawdzamy kolejne potęgi liczby $0,9$ na kalkulatorze prostym. $(0,9)^2 = 0,81$ $(0,9)^4 = 0,81 \cdot 0,81 \approx 0,6561$ $(0,9)^8 \approx 0,6561 \cdot 0,6561 \approx 0,4305$ $(0,9)^{15} \approx 0,2059$ $(0,9)^{16} \approx 0,2059 \cdot 0,9 \approx 0,1853$ Dopiero dla $t = 16$ wartość spada poniżej $0,2$. Zatem masa będzie mniejsza niż 1g po 16 latach. | Masa początkowa wynosiła 5g. Masa będzie mniejsza niż 1g po 16 latach. |
| 8 | Uprość wyrażenie $a = \left[ (5-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}} + (5+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}} \right]^2$. | Zapiszmy wyrażenie w postaci pierwiastków. $$ a = \left( \sqrt{5-\sqrt{21}} + \sqrt{5+\sqrt{21}} \right)^2 $$ Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Niech $x = \sqrt{5-\sqrt{21}}$ oraz $y = \sqrt{5+\sqrt{21}}$. Obliczamy $x^2$: $$ x^2 = 5-\sqrt{21} $$ Obliczamy $y^2$: $$ y^2 = 5+\sqrt{21} $$ Obliczamy $2xy$: $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{5-\sqrt{21}} \cdot \sqrt{5+\sqrt{21}} $$ Włączamy pod jeden pierwiastek i stosujemy wzór na różnicę kwadratów. $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{(5-\sqrt{21})(5+\sqrt{21})} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{5^2 - (\sqrt{21})^2} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{25 - 21} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{4} $$ $$ 2xy = 2 \cdot 2 = 4 $$ Podstawiamy wszystko do rozwiniętego wzoru. $$ a = 5 - \sqrt{21} + 4 + 5 + \sqrt{21} $$ Redukujemy wyrazy podobne. $$ a = 5 + 4 + 5 = 14 $$ | $a = 14$ |
| 9 | Uprość wyrażenie $b = \frac{8^{-1} \cdot \sqrt{2}}{4^{-2} \cdot \sqrt[4]{4}}$. | Zamieniamy wszystkie podstawy potęg na liczbę 2. Licznik: $$ 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3} $$ $$ \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} $$ Mianownik: $$ 4^{-2} = (2^2)^{-2} = 2^{-4} $$ $$ \sqrt[4]{4} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} $$ Podstawiamy te wartości do ułamka. $$ b = \frac{2^{-3} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{-4} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} $$ Skracamy $2^{\frac{1}{2}}$ w liczniku i mianowniku. $$ b = \frac{2^{-3}}{2^{-4}} $$ Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki. $$ b = 2^{-3 - (-4)} $$ $$ b = 2^{-3 + 4} $$ $$ b = 2^1 = 2 $$ | $b = 2$ |
| 10 | Porównaj liczby $a^b$ i $b^a$, jeśli $a = \left[ (5-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}} + (5+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}} \right]^2$ oraz $b = \frac{8^{-1} \cdot \sqrt{2}}{4^{-2} \cdot \sqrt[4]{4}}$. | Z poprzednich zadań wiemy, że $a = 14$ oraz $b = 2$. Podstawiamy te wartości do wyrażeń. Obliczamy pierwszą liczbę: $$ a^b = 14^2 $$ $$ 14^2 = 196 $$ Obliczamy drugą liczbę: $$ b^a = 2^{14} $$ Obliczamy kolejne potęgi liczby 2. Wiemy, że $2^{10} = 1024$. $$ 2^{11} = 2048 $$ $$ 2^{12} = 4096 $$ $$ 2^{13} = 8192 $$ $$ 2^{14} = 16384 $$ Porównujemy otrzymane wyniki. $$ 16384 > 196 $$ Zatem $2^{14} > 14^2$. Wniosek: $b^a > a^b$. | $b^a > a^b$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Wiadomo, że $5^x + 5^{-x} = 3$. Oblicz $25^x + 25^{-x}$ oraz $625^x + 625^{-x}$. | Podnosimy obie strony równania $5^x + 5^{-x} = 3$ do kwadratu. $$ (5^x + 5^{-x})^2 = 3^2 $$ Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. $$ (5^x)^2 + 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} + (5^{-x})^2 = 9 $$ Zauważamy, że $5^x \cdot 5^{-x} = 5^0 = 1$. $$ 25^x + 2 \cdot 1 + 25^{-x} = 9 $$ $$ 25^x + 25^{-x} = 9 - 2 $$ $$ 25^x + 25^{-x} = 7 $$ Teraz podnosimy do kwadratu otrzymane równanie $25^x + 25^{-x} = 7$. $$ (25^x + 25^{-x})^2 = 7^2 $$ $$ (25^x)^2 + 2 \cdot 25^x \cdot 25^{-x} + (25^{-x})^2 = 49 $$ $$ 625^x + 2 \cdot 1 + 625^{-x} = 49 $$ $$ 625^x + 625^{-x} = 49 - 2 $$ $$ 625^x + 625^{-x} = 47 $$ | $25^x + 25^{-x} = 7$, $625^x + 625^{-x} = 47$ |
| 2 | Udowodnij, że liczba $\left(\sqrt{14 - \sqrt{132}} + \sqrt{14 + \sqrt{132}}\right)^2$ jest całkowita. | Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Niech $a = \sqrt{14 - \sqrt{132}}$ oraz $b = \sqrt{14 + \sqrt{132}}$. Obliczamy $a^2$: $$ a^2 = 14 - \sqrt{132} $$ Obliczamy $b^2$: $$ b^2 = 14 + \sqrt{132} $$ Obliczamy $2ab$: $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{14 - \sqrt{132}} \cdot \sqrt{14 + \sqrt{132}} $$ Włączamy pod jeden pierwiastek i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{14^2 - (\sqrt{132})^2} $$ $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{196 - 132} $$ $$ 2ab = 2 \cdot \sqrt{64} $$ $$ 2ab = 2 \cdot 8 = 16 $$ Podstawiamy wszystko do wzoru początkowego: $$ a^2 + 2ab + b^2 = 14 - \sqrt{132} + 16 + 14 + \sqrt{132} $$ Redukujemy wyrazy podobne. $$ 14 + 16 + 14 = 44 $$ Liczba $44$ jest liczbą całkowitą, co kończy dowód. | Wartość wyrażenia wynosi $44$, co jest liczbą całkowitą. |
| 3 | Populacja rzadkiego gatunku ryb w pewnym jeziorze w 2008 roku wynosiła 1200 osobników. Od tego czasu populacja systematycznie spada o 5% rocznie z powodu kłusownictwa. Znajdź wzór funkcji $P(t)$ opisującej populację ryb po $t$ latach od 2008 roku. Oblicz przybliżoną populację tego gatunku w 2018 roku. | Wypisujemy dane początkowe. Populacja początkowa: $P_0 = 1200$. Spadek roczny wynosi $5\%$, więc co roku zostaje $100\% - 5\% = 95\%$ populacji z poprzedniego roku. Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny: $95\% = 0,95$. Zapisujemy wzór funkcji wykładniczej dla $t$ lat: $$ P(t) = 1200 \cdot (0,95)^t $$ Obliczamy populację w 2018 roku. Różnica lat: $t = 2018 - 2008 = 10$. Podstawiamy $t = 10$ do wzoru: $$ P(10) = 1200 \cdot (0,95)^{10} $$ Korzystając z kalkulatora prostego, mnożymy $0,95$ przez siebie 10 razy. $$ (0,95)^{10} \approx 0,5987 $$ Obliczamy przybliżoną populację: $$ P(10) \approx 1200 \cdot 0,5987 $$ $$ P(10) \approx 718,44 $$ Ponieważ liczba ryb musi być całkowita, zaokrąglamy do pełnych osobników. $$ P(10) \approx 718 $$ | $P(t) = 1200 \cdot (0,95)^t$, populacja wyniesie około 718 osobników. |
| 4 | W 2018 roku liczba samochodów w pewnym mieście wynosiła 15000. Z każdym kolejnym rokiem wzrastała ona o 3%. Dla każdej liczby całkowitej $t \ge 0$ funkcja $S(t)$ określa liczbę samochodów po upływie $t$ lat. Wyznacz wzór funkcji $S(t)$ oraz oblicz, w którym roku liczba samochodów w tym mieście przekroczy 18000. | Wypisujemy dane początkowe. Liczba początkowa samochodów: $S_0 = 15000$. Wzrost roczny wynosi $3\%$, więc co roku liczba samochodów stanowi $100\% + 3\% = 103\%$ liczby z poprzedniego roku. Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny: $103\% = 1,03$. Zapisujemy wzór funkcji: $$ S(t) = 15000 \cdot (1,03)^t $$ Szukamy roku, w którym liczba samochodów przekroczy 18000. Tworzymy nierówność: $$ 15000 \cdot (1,03)^t > 18000 $$ Dzielimy obie strony przez 15000. $$ (1,03)^t > \frac{18000}{15000} $$ $$ (1,03)^t > 1,2 $$ Sprawdzamy kolejne potęgi liczby $1,03$ za pomocą kalkulatora prostego. Dla $t = 1$: $1,03$ Dla $t = 2$: $1,03 \cdot 1,03 = 1,0609$ Dla $t = 3$: $1,0609 \cdot 1,03 \approx 1,0927$ Dla $t = 4$: $1,0927 \cdot 1,03 \approx 1,1255$ Dla $t = 5$: $1,1255 \cdot 1,03 \approx 1,1593$ Dla $t = 6$: $1,1593 \cdot 1,03 \approx 1,1941$ Dla $t = 7$: $1,1941 \cdot 1,03 \approx 1,2299$ Widzimy, że dla $t = 7$ wartość przekracza $1,2$. Zatem po 7 latach liczba samochodów przekroczy 18000. Obliczamy rok: $2018 + 7 = 2025$. | $S(t) = 15000 \cdot (1,03)^t$, w 2025 roku. |
| 5 | Wykaż, że jeżeli $A = 7^{2\sqrt{5}+2}$ i $B = 7^{\sqrt{5}+2}$, to $B = 7\sqrt{A}$. | Zaczynamy od przekształcenia prawej strony równania, czyli wyrażenia $7\sqrt{A}$. Podstawiamy wartość $A$: $$ 7\sqrt{A} = 7 \cdot \sqrt{7^{2\sqrt{5}+2}} $$ Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku $\frac{1}{2}$. $$ 7\sqrt{A} = 7^1 \cdot (7^{2\sqrt{5}+2})^{\frac{1}{2}} $$ Mnożymy wykładniki. $$ 7\sqrt{A} = 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{5}+2)} $$ $$ 7\sqrt{A} = 7^1 \cdot 7^{\sqrt{5}+1} $$ Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. $$ 7\sqrt{A} = 7^{1 + \sqrt{5} + 1} $$ $$ 7\sqrt{A} = 7^{\sqrt{5}+2} $$ Otrzymany wynik jest dokładnie równy wartości $B$. $$ 7\sqrt{A} = B $$ Co należało dowieść. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 6 | Wykaż, że jeśli $a = 7^{4-2\sqrt{6}}$ i $b = \left(\frac{1}{49}\right)^{|1-\sqrt{6}|}$, to $a = 49b$. | Najpierw upraszczamy wyrażenie w wartości bezwzględnej w wykładniku liczby $b$. Ponieważ $\sqrt{6} \approx 2,45$, to $1 - \sqrt{6}$ jest liczbą ujemną. Z definicji wartości bezwzględnej, zmieniamy znak. $$ |1-\sqrt{6}| = -(1-\sqrt{6}) = \sqrt{6}-1 $$ Podstawiamy to do wzoru na $b$. $$ b = \left(\frac{1}{49}\right)^{\sqrt{6}-1} $$ Zapisujemy ułamek $\frac{1}{49}$ jako potęgę liczby 7. $$ \frac{1}{49} = 7^{-2} $$ Podstawiamy do równania na $b$. $$ b = (7^{-2})^{\sqrt{6}-1} $$ Mnożymy wykładniki. $$ b = 7^{-2 \cdot (\sqrt{6}-1)} $$ $$ b = 7^{-2\sqrt{6}+2} $$ Teraz obliczamy wartość wyrażenia $49b$. $$ 49b = 49 \cdot 7^{-2\sqrt{6}+2} $$ Zapisujemy 49 jako $7^2$. $$ 49b = 7^2 \cdot 7^{-2\sqrt{6}+2} $$ Dodajemy wykładniki. $$ 49b = 7^{2 - 2\sqrt{6} + 2} $$ $$ 49b = 7^{4-2\sqrt{6}} $$ Otrzymany wynik jest równy wartości $a$. $$ 49b = a $$ Co kończy dowód. | Dowód w rozwiązaniu. |
| 7 | Pewien izotop promieniotwórczy rozpada się w tempie 25% rocznie. Po 2 latach pozostało 4,5g tego izotopu. Znajdź początkową masę izotopu. Po ilu latach masa tego izotopu będzie mniejsza niż 0,5g? | Niech $M_0$ oznacza masę początkową izotopu. Skoro izotop rozpada się w tempie $25\%$ rocznie, to co roku zostaje $100\% - 25\% = 75\%$ jego masy. Zapisujemy to jako ułamek dziesiętny: $0,75$. Wzór na masę po $t$ latach to: $$ M(t) = M_0 \cdot (0,75)^t $$ Wiemy, że po 2 latach masa wynosi 4,5g. Podstawiamy te dane. $$ M_0 \cdot (0,75)^2 = 4,5 $$ Obliczamy $(0,75)^2$. $$ 0,75 \cdot 0,75 = 0,5625 $$ Podstawiamy do równania. $$ M_0 \cdot 0,5625 = 4,5 $$ Dzielimy obie strony przez $0,5625$. $$ M_0 = \frac{4,5}{0,5625} $$ $$ M_0 = 8 $$ Masa początkowa wynosiła $8$g. Szukamy czasu $t$, po którym masa będzie mniejsza niż 0,5g. $$ 8 \cdot (0,75)^t < 0,5 $$ Dzielimy obie strony przez 8. $$ (0,75)^t < \frac{0,5}{8} $$ $$ (0,75)^t < 0,0625 $$ Sprawdzamy kolejne potęgi liczby $0,75$ na kalkulatorze prostym. $(0,75)^2 = 0,5625$ $(0,75)^4 = 0,5625 \cdot 0,5625 \approx 0,3164$ $(0,75)^8 \approx 0,3164 \cdot 0,3164 \approx 0,1001$ $(0,75)^9 \approx 0,1001 \cdot 0,75 \approx 0,0751$ $(0,75)^{10} \approx 0,0751 \cdot 0,75 \approx 0,0563$ Widzimy, że dla $t = 10$ wartość spada poniżej $0,0625$. Zatem masa będzie mniejsza niż 0,5g po 10 latach. | Masa początkowa wynosiła 8g. Masa będzie mniejsza niż 0,5g po 10 latach. |
| 8 | Uprość wyrażenie $a = \left[ (6-\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} + (6+\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} \right]^2$. | Zapiszmy wyrażenie w postaci pierwiastków. $$ a = \left( \sqrt{6-\sqrt{11}} + \sqrt{6+\sqrt{11}} \right)^2 $$ Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Niech $x = \sqrt{6-\sqrt{11}}$ oraz $y = \sqrt{6+\sqrt{11}}$. Obliczamy $x^2$: $$ x^2 = 6-\sqrt{11} $$ Obliczamy $y^2$: $$ y^2 = 6+\sqrt{11} $$ Obliczamy $2xy$: $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{6-\sqrt{11}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{11}} $$ Włączamy pod jeden pierwiastek i stosujemy wzór na różnicę kwadratów. $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{(6-\sqrt{11})(6+\sqrt{11})} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{6^2 - (\sqrt{11})^2} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{36 - 11} $$ $$ 2xy = 2 \cdot \sqrt{25} $$ $$ 2xy = 2 \cdot 5 = 10 $$ Podstawiamy wszystko do rozwiniętego wzoru. $$ a = 6 - \sqrt{11} + 10 + 6 + \sqrt{11} $$ Redukujemy wyrazy podobne. $$ a = 6 + 10 + 6 = 22 $$ | $a = 22$ |
| 9 | Uprość wyrażenie $b = \frac{64^{-1} \cdot \sqrt{4}}{16^{-2} \cdot \sqrt[4]{16}}$. | Zamieniamy wszystkie podstawy potęg na liczbę 4. Licznik: $$ 64^{-1} = (4^3)^{-1} = 4^{-3} $$ $$ \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}} $$ Mianownik: $$ 16^{-2} = (4^2)^{-2} = 4^{-4} $$ $$ \sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} = (4^2)^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{2}{4}} = 4^{\frac{1}{2}} $$ Podstawiamy te wartości do ułamka. $$ b = \frac{4^{-3} \cdot 4^{\frac{1}{2}}}{4^{-4} \cdot 4^{\frac{1}{2}}} $$ Skracamy $4^{\frac{1}{2}}$ w liczniku i mianowniku. $$ b = \frac{4^{-3}}{4^{-4}} $$ Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki. $$ b = 4^{-3 - (-4)} $$ $$ b = 4^{-3 + 4} $$ $$ b = 4^1 = 4 $$ | $b = 4$ |
| 10 | Porównaj liczby $a^b$ i $b^a$, jeśli $a = \left[ (6-\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} + (6+\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} \right]^2$ oraz $b = \frac{64^{-1} \cdot \sqrt{4}}{16^{-2} \cdot \sqrt[4]{16}}$. | Z poprzednich zadań wiemy, że $a = 22$ oraz $b = 4$. Podstawiamy te wartości do wyrażeń. Obliczamy pierwszą liczbę: $$ a^b = 22^4 $$ Obliczamy drugą liczbę: $$ b^a = 4^{22} $$ Aby ułatwić porównanie, zapiszmy $4^{22}$ w innej postaci. $$ 4^{22} = (4^5)^{4,4} $$ Wiemy, że $4^5 = 1024$. Zatem $4^{22} = 1024^{4,4}$. Z drugiej strony mamy $22^4$. Porównajmy podstawy i wykładniki: $1024 > 22$ oraz $4,4 > 4$. Skoro podstawa jest znacznie większa i wykładnik jest większy, to cała potęga musi być większa. Nawet szacując z dołu: $1024^{4,4} > 1000^4 = (10^3)^4 = 10^{12}$. Natomiast $22^4 approx 20^4 = 160000$, co jest znacznie mniejsze od $10^{12}$. Zatem $4^{22} > 22^4$. Wniosek: $b^a > a^b$. | $b^a > a^b$ |