| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 2 większa od pierwszej, a trzecia o 1 mniejsza od drugiej, jest równy 24. Wyznacz te liczby. | Liczby to $2, 3, 4$. |
| 2 | Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równy 105. Jakie to liczby? | Liczby to $3, 5, 7$. |
| 3 | Wyznacz wartość $k$ wiedząc, że liczba $-2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 + kx^2 - 5x + 6$. | $k = -2$ |
| 4 | Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ przez dwumian $x - 1$. | Reszta wynosi $2$. |
| 5 | Nie wykonując dzielenia sprawdź, dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x) = x^3 + 3x^2 - mx + 12$ jest podzielny przez dwumian $x + 3$. | $m = -4$ |
| 6 | Wyznacz wartość $k$, dla której reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 2x^4 - x^3 + 3x^2 - kx + 5$ przez dwumian $x + 1$ wynosi $10$. | $k = -1$ |
| 7 | Wyznacz wartości $a$ i $b$ wiedząc, że liczby $1$ i $-3$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b$. | $a = \frac{3}{2}$, $b = \frac{3}{2}$ |
| 8 | Dobierz tak wartości $a$ i $b$, aby reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + ax^3 + 2x^2 + bx - 1$ przez dwumiany $x - 2$ i $x + 1$ wynosiły odpowiednio $5$ i $-2$. | $a = -\frac{13}{3}$, $b = \frac{25}{3}$ |
| 9 | Wyznacz takie wartości $k$, dla których wielomian $P(x) = kx^3 - (k+1)x^2 + k(k-4)x + 4$ jest podzielny przez dwumian $Q(x) = x - k$. | $k \in \{-2, -1, 1, 2\}$ |
| 10 | Wielomian $W(x) = x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 9$ jest kwadratem innego wielomianu. Jakiego? | $Q(x) = x^2 - 3x + 3$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 3 mniejsza od pierwszej, a trzecia o 1 większa od drugiej, jest równy 30. Wyznacz te liczby. | Liczby to $2, 3, 5$. |
| 2 | Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest równy 48. Jakie to liczby? | Liczby to $2, 4, 6$. |
| 3 | Wyznacz wartość $k$ wiedząc, że liczba $3$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 - kx^2 + 2x - 15$. | $k = 2$ |
| 4 | Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 4x - 7$ przez dwumian $x + 2$. | Reszta wynosi $-31$. |
| 5 | Nie wykonując dzielenia sprawdź, dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x) = x^3 - 2x^2 + mx - 6$ jest podzielny przez dwumian $x - 3$. | $m = -1$ |
| 6 | Wyznacz wartość $k$, dla której reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + 2x^3 - 4x^2 + kx - 3$ przez dwumian $x - 2$ wynosi $7$. | $k = -3$ |
| 7 | Wyznacz wartości $a$ i $b$ wiedząc, że liczby $-1$ i $2$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + 5x + b$. | $a = -8$, $b = 14$ |
| 8 | Dobierz tak wartości $a$ i $b$, aby reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 - ax^3 + 3x^2 + bx + 2$ przez dwumiany $x - 1$ i $x + 2$ wynosiły odpowiednio $7$ i $10$. | $a = -3$, $b = -2$ |
| 9 | Wyznacz takie wartości $k$, dla których wielomian $P(x) = kx^3 - (k+3)x^2 + k(k-6)x + 9$ jest podzielny przez dwumian $Q(x) = x - k$. | $k \in \left\{-\sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}, -\sqrt{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}}, \sqrt{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}}, \sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}\right\}$ |
| 10 | Wielomian $W(x) = x^4 + 4x^3 + 10x^2 + 12x + 9$ jest kwadratem innego wielomianu. Jakiego? | $Q(x) = x^2 + 2x + 3$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 1 większa od pierwszej, a trzecia jest o 3 większa od pierwszej, jest równy 72. Wyznacz te liczby. | Liczby to $3, 4, 6$. |
| 2 | Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równy 315. Jakie to liczby? | Liczby to $5, 7, 9$. |
| 3 | Wyznacz wartość $k$ wiedząc, że liczba $-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 + 2x^2 + kx - 4$. | $k = -3$ |
| 4 | Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 8$ przez dwumian $x - 2$. | Reszta wynosi $-2$. |
| 5 | Nie wykonując dzielenia sprawdź, dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x) = 2x^3 - x^2 + mx + 9$ jest podzielny przez dwumian $x + 1$. | $m = 6$ |
| 6 | Wyznacz wartość $k$, dla której reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 3x^4 + x^3 - 2x^2 + kx - 1$ przez dwumian $x - 1$ wynosi $10$. | $k = 9$ |
| 7 | Wyznacz wartości $a$ i $b$ wiedząc, że liczby $-2$ i $1$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6$. | $a = -2$, $b = -5$ |
| 8 | Dobierz tak wartości $a$ i $b$, aby reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = 2x^4 + ax^3 - x^2 + bx + 3$ przez dwumiany $x + 1$ i $x - 2$ wynosiły odpowiednio $5$ i $1$. | $a = -\frac{14}{3}$, $b = \frac{11}{3}$ |
| 9 | Wyznacz takie wartości $k$, dla których wielomian $P(x) = kx^3 - (k+2)x^2 + k(k-3)x + 4$ jest podzielny przez dwumian $Q(x) = x - k$. | $k \in \{-2, -1, 1, 2\}$ |
| 10 | Wielomian $W(x) = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$ jest kwadratem innego wielomianu. Jakiego? | $Q(x) = x^2 - 4x + 4$ |
| Nr | Treść Zadania | Odpowiedź |
|---|---|---|
| 1 | Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 1 większa od pierwszej, a trzecia jest o 3 większa od pierwszej, jest równy 30. Wyznacz te liczby. | Liczby to $2, 3, 5$. |
| 2 | Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równy 15. Jakie to liczby? | Liczby to $1, 3, 5$. |
| 3 | Wyznacz wartość $k$ wiedząc, że liczba $-3$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 - kx^2 + 4x + 30$. | $k = -1$ |
| 4 | Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 6x - 1$ przez dwumian $x + 3$. | Reszta wynosi $-19$. |
| 5 | Nie wykonując dzielenia sprawdź, dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x) = x^3 + 4x^2 - mx + 20$ jest podzielny przez dwumian $x + 5$. | $m = 1$ |
| 6 | Wyznacz wartość $k$, dla której reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 + kx + 4$ przez dwumian $x + 2$ wynosi $2$. | $k = 31$ |
| 7 | Wyznacz wartości $a$ i $b$ wiedząc, że liczby $-1$ i $3$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + bx - 12$. | $a = 2$, $b = -11$ |
| 8 | Dobierz tak wartości $a$ i $b$, aby reszty z dzielenia wielomianu $W(x) = x^4 + ax^3 - 3x^2 + bx + 5$ przez dwumiany $x - 1$ i $x + 2$ wynosiły odpowiednio $0$ i $11$. | $a = \frac{2}{3}$, $b = -\frac{11}{3}$ |
| 9 | Wyznacz takie wartości $k$, dla których wielomian $P(x) = kx^3 - (k+4)x^2 + k(k-5)x + 6$ jest podzielny przez dwumian $Q(x) = x - k$. | $k \in \left\{-\sqrt{\frac{9 + \sqrt{57}}{2}}, -\sqrt{\frac{9 - \sqrt{57}}{2}}, \sqrt{\frac{9 - \sqrt{57}}{2}}, \sqrt{\frac{9 + \sqrt{57}}{2}}\right\}$ |
| 10 | Wielomian $W(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1$ jest kwadratem innego wielomianu. Jakiego? | $Q(x) = x^2 + x - 1$ |