Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(3, -4)$, a punkt $A(1, 4)$ należy do wykresu tej funkcji.
Wskazówka: Gdy znamy współrzędne wierzchołka $W=(p, q)$, najszybszą i najbardziej przejrzystą metodą jest zastosowanie postaci kanonicznej funkcji kwadratowej: $f(x) = a(x - p)^2 + q$. Brakujący współczynnik kierunkowy $a$ obliczamy, podstawiając współrzędne punktu $A$.
Zapisanie postaci kanonicznej z danymi wierzchołka:
Wierzchołek ma współrzędne $p = 3$ oraz $q = -4$. Podstawiamy je do ogólnego wzoru postaci kanonicznej:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= a(x - p)^2 + q \\[6pt]
f(x) &= a(x - 3)^2 - 4
\end{aligned}
$$
Wyznaczenie współczynnika $a$ na podstawie punktu $A(1, 4)$:
Punkt $A$ leży na wykresie funkcji, co oznacza równość $f(1) = 4$:
$$
\begin{aligned}
a(1 - 3)^2 - 4 &= 4 \\[6pt]
a(-2)^2 - 4 &= 4 \\[6pt]
4a - 4 &= 4 \\[6pt]
4a &= 4 + 4 \\[6pt]
4a &= 8 \\[6pt]
a &= 2
\end{aligned}
$$
Sformułowanie wzoru poszukiwanej funkcji:
Wstawiamy wyliczoną wartość $a = 2$ do wyjściowej postaci kanonicznej:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= 2(x - 3)^2 - 4
\end{aligned}
$$
(W postaci ogólnej: $f(x) = 2(x^2 - 6x + 9) - 4 = 2x^2 - 12x + 14$).
$f(x) = 2(x - 3)^2 - 4$
2
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są $-1$ i $5$, a wykres zawiera punkt $A(2, -9)$.
Wskazówka: Znając oba miejsca zerowe trójmianu $x_1$ oraz $x_2$, korzystamy z postaci iloczynowej: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Współczynnik $a$ wyznaczamy, wykorzystując punkt $A(2, -9)$.
Zapisanie postaci iloczynowej:
Podstawiamy dane miejsca zerowe $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 5$:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= a(x - x_1)(x - x_2) \\[6pt]
&= a\left[x - (-1)\right](x - 5) \\[6pt]
&= a(x + 1)(x - 5)
\end{aligned}
$$
Wyznaczenie współczynnika $a$:
Punkt $A(2, -9)$ należy do wykresu, co daje równość $f(2) = -9$:
$$
\begin{aligned}
a(2 + 1)(2 - 5) &= -9 \\[6pt]
a \cdot 3 \cdot (-3) &= -9 \\[6pt]
-9a &= -9 \\[6pt]
a &= 1
\end{aligned}
$$
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta $x = 2$ jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty $(1, 5)$ oraz $(4, -4)$ należą do wykresu tej funkcji.
Wskazówka: Oś symetrii paraboli przechodzi bezpośrednio przez jej wierzchołek, co od razu wyznacza odciętą wierzchołka: $p = 2$. Następnie wykorzystujemy postać kanoniczną $f(x) = a(x - 2)^2 + q$ i tworzymy układ równań dla punktów należących do wykresu.
Wykorzystanie równania osi symetrii:
Równanie osi symetrii to $x = p$, zatem $p = 2$. Postać kanoniczna funkcji przyjmuje postać:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= a(x - 2)^2 + q
\end{aligned}
$$
Ułożenie układu równań z danych punktów:
Dla punktu $(1, 5)$:
$$
\begin{aligned}
f(1) &= 5 \\[6pt]
a(1 - 2)^2 + q &= 5 \\[6pt]
a(-1)^2 + q &= 5 \\[6pt]
a + q &= 5
\end{aligned}
$$
Dla punktu $(4, -4)$:
$$
\begin{aligned}
f(4) &= -4 \\[6pt]
a(4 - 2)^2 + q &= -4 \\[6pt]
a(2)^2 + q &= -4 \\[6pt]
4a + q &= -4
\end{aligned}
$$
Rozwiązanie układu równań:
Zestawiamy równania:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
a + q = 5 \\[6pt]
4a + q = -4
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami:
$$
\begin{aligned}
(4a + q) - (a + q) &= -4 - 5 \\[6pt]
3a &= -9 \\[6pt]
a &= -3
\end{aligned}
$$
Obliczamy współczynnik $q$:
$$
\begin{aligned}
q &= 5 - a \\[6pt]
&= 5 - (-3) \\[6pt]
&= 8
\end{aligned}
$$
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x) = (m^2 - 1)x^2 - 2(m - 1)x + m + 2$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 1\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle 1, +\infty)$.
Wskazówka: Funkcja kwadratowa rośnie do pewnego punktu, a następnie maleje wtedy i tylko wtedy, gdy ramiona paraboli są skierowane w dół ($a < 0$), a punktem zmiany monotoniczności jest wierzchołek paraboli o odciętej $p = 1$.
Warunek na zwrot ramion paraboli ($a < 0$):
Współczynnik przy $x^2$ musi być ściśle ujemny:
$$
\begin{aligned}
a &< 0 \\[6pt]
m^2 - 1 &< 0 \\[6pt]
(m - 1)(m + 1) &< 0
\end{aligned}
$$
Miejsca zerowe to $m = -1$ oraz $m = 1$. Ramiona paraboli pomocniczej są skierowane w górę, skąd:
$$
\begin{aligned}
m \in (-1, 1)
\end{aligned}
$$
Warunek na odciętą wierzchołka ($p = 1$):
Współczynniki funkcji to $a = m^2 - 1$ oraz $b = -2(m - 1)$. Korzystamy ze wzoru na wierzchołek:
$$
\begin{aligned}
p &= \dfrac{-b}{2a} \\[6pt]
&= \dfrac{2(m - 1)}{2(m^2 - 1)} \\[6pt]
&= \dfrac{2(m - 1)}{2(m - 1)(m + 1)}
\end{aligned}
$$
Z warunku $m \in (-1, 1)$ wynika, że $m \neq 1$, zatem możemy skrócić ułamek przez $2(m - 1)$:
$$
\begin{aligned}
\dfrac{1}{m + 1} &= 1 \\[6pt]
m + 1 &= 1 \\[6pt]
m &= 0
\end{aligned}
$$
Weryfikacja części wspólnej warunków:
Sprawdzamy, czy wyliczona wartość $m = 0$ należy do przedziału $m \in (-1, 1)$:
$$
\begin{aligned}
0 \in (-1, 1)
\end{aligned}
$$
Warunek jest spełniony, co daje ostateczną wartość parametru.
$m = 0$
5
Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $x^2 - 2mx + 2m + 3 > 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$?
Wskazówka: Nierówność kwadratowa $ax^2 + bx + c > 0$ zachodzi dla każdego $x \in \mathbb{R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres leży w całości ściśle nad osią $OX$. Wymaga to spełnienia dwóch warunków: ramiona paraboli muszą być skierowane w górę ($a > 0$) oraz trójmian nie może mieć miejsc zerowych ($\Delta < 0$).
Weryfikacja współczynnika kierunkowego $a$:
Współczynnik przy $x^2$ wynosi:
$$
\begin{aligned}
a = 1 > 0
\end{aligned}
$$
Warunek $a > 0$ jest spełniony tożsamościowo dla każdego $m \in \mathbb{R}$.
Parabola pomocnicza ma ramiona skierowane w górę, stąd wartości ujemne ($< 0$) znajdują się w przedziale otwartym:
$$
\begin{aligned}
m \in (-1, 3)
\end{aligned}
$$
$m \in (-1, 3)$
6
Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $(m - 3)x^2 - 6x + m - 3 < 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$?
Wskazówka: Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze zależy od parametru $m$, konieczne jest rozpatrzenie dwóch przypadków:
1. Gdy współczynnik przy $x^2$ wynosi zero ($m - 3 = 0$) – funkcja staje się liniowa.
2. Gdy współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera – funkcja jest kwadratowa i jej wykres musi w całości leżeć pod osią $OX$ ($a < 0$ oraz $\Delta < 0$).
Przypadek funkcji liniowej ($a = 0$):
Podstawiamy $m - 3 = 0 \implies m = 3$:
$$
\begin{aligned}
0 \cdot x^2 - 6x + 0 &< 0 \\[6pt]
-6x &< 0 \\[6pt]
x &> 0
\end{aligned}
$$
Nierówność nie zachodzi dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$ (nie jest spełniona np. dla $x \le 0$). Wartość $m = 3$ odrzucamy.
Przypadek funkcji kwadratowej ($a \neq 0$):
Aby nierówność była spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$, muszą jednocześnie zajść dwa warunki:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
a < 0 \\[6pt]
\Delta < 0
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Z warunku $a < 0$:
$$
\begin{aligned}
m - 3 < 0 \implies m < 3
\end{aligned}
$$
Wyznaczenie części wspólnej:
Zestawiamy warunek $m < 3$ ze zbiorem rozwiązań $\Delta < 0$:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
m < 3 \\[6pt]
m \in (-\infty, 0) \cup (6, +\infty)
\end{cases}
\implies m \in (-\infty, 0)
\end{aligned}
$$
$m \in (-\infty, 0)$
7
Wyznacz takie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f(x) = x^2 - (m - 4)x + (m - 1)$ ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi.
Wskazówka: Współrzędne wierzchołka $W=(p, q)$ muszą spełniać układ warunków: $p < 0$ oraz $q < 0$. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ wynosi $a = 1 > 0$, to ze wzoru $q = \dfrac{-\Delta}{4a}$ warunek $q < 0$ jest tożsamy z warunkiem $\Delta > 0$.
Ramiona paraboli są skierowane w górę, stąd:
$$
\begin{aligned}
m \in (-\infty, 2) \cup (10, +\infty)
\end{aligned}
$$
Część wspólna obu warunków:
Łączymy warunki $p < 0$ oraz $q < 0$:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
m < 4 \\[6pt]
m \in (-\infty, 2) \cup (10, +\infty)
\end{cases}
\implies m \in (-\infty, 2)
\end{aligned}
$$
$m \in (-\infty, 2)$
8
Wyznacz trzy kolejne liczby całkowite takie, że suma kwadratów dwóch pierwszych z nich jest o $5$ większa od kwadratu trzeciej liczby.
Wskazówka: Oznaczamy kolejne liczby całkowite jako $x, x + 1, x + 2$, gdzie $x \in \mathbb{Z}$. Układamy równanie wynikające bezpośrednio z treści zadania i rozwiązujemy je za pomocą wyróżnika kwadratowego.
Ułożenie równania:
Suma kwadratów dwóch pierwszych liczb wynosi $x^2 + (x + 1)^2$, a kwadrat trzeciej powiększony o $5$ to $(x + 2)^2 + 5$:
$$
\begin{aligned}
x^2 + (x + 1)^2 &= (x + 2)^2 + 5
\end{aligned}
$$
Sformułowanie szukanych trójek liczb:
Oba rozwiązania są liczbami całkowitymi ($x \in \mathbb{Z}$):
- Dla $x = -2$: liczby to $-2, -1, 0$.
- Dla $x = 4$: liczby to $4, 5, 6$.
$-2, -1, 0$ lub $4, 5, 6$
9
Liczby $-2$ i $4$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{f(1)}{f(5)}$.
Wskazówka: Znając miejsca zerowe funkcji kwadratowej, zapisujemy jej wzór w postaci iloczynowej $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Przy obliczaniu ilorazu nieznany współczynnik $a$ ($a \neq 0$) ulegnie skróceniu.
Zapisanie postaci iloczynowej:
Wstawiamy miejsca zerowe $x_1 = -2$ oraz $x_2 = 4$:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= a(x + 2)(x - 4), \quad \text{gdzie } a \neq 0
\end{aligned}
$$
Obliczenie wartości funkcji w danych punktach:
Dla $x = 1$:
$$
\begin{aligned}
f(1) &= a(1 + 2)(1 - 4) \\[6pt]
&= a \cdot 3 \cdot (-3) \\[6pt]
&= -9a
\end{aligned}
$$
Dla $x = 5$:
$$
\begin{aligned}
f(5) &= a(5 + 2)(5 - 4) \\[6pt]
&= a \cdot 7 \cdot 1 \\[6pt]
&= 7a
\end{aligned}
$$
Funkcja kwadratowa $f(x) = -x^2 + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = -3$ i $x_2 = 5$. Oblicz największą wartość tej funkcji.
Wskazówka: Ponieważ współczynnik przy $x^2$ to $a = -1 < 0$, ramiona paraboli są skierowane w dół, a funkcja osiąga największą wartość w wierzchołku ($q = f(p)$). Odcięta wierzchołka $p$ leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi: $p = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.
Wyznaczenie odciętej wierzchołka $p$:
Z własności symetrii paraboli:
$$
\begin{aligned}
p &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\[6pt]
&= \dfrac{-3 + 5}{2} \\[6pt]
&= \dfrac{2}{2} = 1
\end{aligned}
$$
Zapisanie postaci iloczynowej:
Współczynnik wynosi $a = -1$:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= -(x + 3)(x - 5)
\end{aligned}
$$
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(-2, 5)$, a punkt $A(0, 1)$ należy do wykresu tej funkcji.
Wskazówka: Dysponując współrzędnymi wierzchołka $W=(p, q)$, korzystamy z postaci kanonicznej: $f(x) = a(x - p)^2 + q$. Współczynnik $a$ obliczamy z warunku przynależności punktu $A$.
Zapisanie postaci kanonicznej:
Wierzchołek to $p = -2$ oraz $q = 5$:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= a\left[x - (-2)\right]^2 + 5 \\[6pt]
&= a(x + 2)^2 + 5
\end{aligned}
$$
Wyznaczenie współczynnika $a$:
Punkt $A(0, 1)$ leży na wykresie, zatem $f(0) = 1$:
$$
\begin{aligned}
a(0 + 2)^2 + 5 &= 1 \\[6pt]
4a + 5 &= 1 \\[6pt]
4a &= 1 - 5 \\[6pt]
4a &= -4 \\[6pt]
a &= -1
\end{aligned}
$$
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są $2$ i $6$, a wykres zawiera punkt $A(3, 6)$.
Wskazówka: Mając podane oba miejsca zerowe, stosujemy postać iloczynową: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Współczynnik $a$ wyliczamy, podstawiając punkt $A(3, 6)$.
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta $x = -1$ jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty $(0, 3)$ oraz $(2, 15)$ należą do wykresu tej funkcji.
Wskazówka: Oś symetrii paraboli wskazuje pierwszą współrzędną wierzchołka: $p = -1$. Tworzymy postać kanoniczną z niewiadomymi $a$ oraz $q$, a następnie rozwiązujemy układ równań.
Postać kanoniczna z odciętą wierzchołka:
Z równania osi symetrii wynika, że $p = -1$:
$$
\begin{aligned}
f(x) &= a\left[x - (-1)\right]^2 + q \\[6pt]
&= a(x + 1)^2 + q
\end{aligned}
$$
Układ równań z danych punktów:
Dla punktu $(0, 3)$:
$$
\begin{aligned}
f(0) &= 3 \\[6pt]
a(0 + 1)^2 + q &= 3 \\[6pt]
a + q &= 3
\end{aligned}
$$
Dla punktu $(2, 15)$:
$$
\begin{aligned}
f(2) &= 15 \\[6pt]
a(2 + 1)^2 + q &= 15 \\[6pt]
9a + q &= 15
\end{aligned}
$$
Rozwiązanie układu równań:
Zestawiamy równania:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
a + q = 3 \\[6pt]
9a + q = 15
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami:
$$
\begin{aligned}
(9a + q) - (a + q) &= 15 - 3 \\[6pt]
8a &= 12 \\[6pt]
a &= \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}
\end{aligned}
$$
Wyznaczamy wartość $q$:
$$
\begin{aligned}
q &= 3 - a \\[6pt]
&= 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}
\end{aligned}
$$
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x) = (m^2 - 4)x^2 - 2(m + 2)x + m$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, -1\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle -1, +\infty)$.
Wskazówka: Funkcja kwadratowa rośnie, a potem maleje, gdy ramiona paraboli są skierowane w dół ($a < 0$), a wierzchołek osiąga maksimum w punkcie $p = -1$.
Warunek na zwrot ramion ($a < 0$):
Współczynnik przy $x^2$ musi być ujemny:
$$
\begin{aligned}
a &< 0 \\[6pt]
m^2 - 4 &< 0 \\[6pt]
(m - 2)(m + 2) &< 0 \implies m \in (-2, 2)
\end{aligned}
$$
Warunek na wierzchołek ($p = -1$):
Podstawiamy współczynniki $a = m^2 - 4$ oraz $b = -2(m + 2)$:
$$
\begin{aligned}
p &= \dfrac{-b}{2a} \\[6pt]
&= \dfrac{2(m + 2)}{2(m^2 - 4)} \\[6pt]
&= \dfrac{2(m + 2)}{2(m - 2)(m + 2)}
\end{aligned}
$$
Ponieważ $m \in (-2, 2)$, to $m \neq -2$. Skracamy przez $2(m + 2)$:
$$
\begin{aligned}
\dfrac{1}{m - 2} &= -1 \\[6pt]
m - 2 &= -1 \\[6pt]
m &= 1
\end{aligned}
$$
Część wspólna warunków:
Sprawdzamy warunek $1 \in (-2, 2)$, który jest prawdziwy, zatem jedynym rozwiązaniem jest $m = 1$.
$m = 1$
5
Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $x^2 - 4mx + 5m > 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$?
Wskazówka: Parabola trójmianu leży w całości nad osią $OX$, gdy współczynnik $a > 0$ oraz wyróżnik $\Delta < 0$.
Współczynnik przy najwyższej potędze:
Mamy $a = 1 > 0$, co spełnia założenie dla dowolnego $m \in \mathbb{R}$.
Ramiona paraboli pomocniczej są skierowane w górę, więc wartości ujemne otrzymujemy w przedziale:
$$
\begin{aligned}
m \in \left(0, \dfrac{5}{4}\right)
\end{aligned}
$$
$m \in \left(0, \dfrac{5}{4}\right)$
6
Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $(m + 2)x^2 - 4x + m + 2 < 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $x$?
Wskazówka: Badamy dwa przypadki: gdy trójmian redukuje się do funkcji liniowej ($m + 2 = 0$) oraz gdy funkcja jest kwadratowa ($a < 0$ i $\Delta < 0$).
Przypadek liniowy ($a = 0$):
Dla $m = -2$ otrzymujemy:
$$
\begin{aligned}
-4x < 0 \implies x > 0
\end{aligned}
$$
Warunek nie jest spełniony dla całego zbioru $\mathbb{R}$. Odrzucamy $m = -2$.
Przypadek kwadratowy ($a \neq 0$):
Układ warunków to:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
a < 0 \\[6pt]
\Delta < 0
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Z warunku $a < 0$:
$$
\begin{aligned}
m + 2 < 0 \implies m < -2
\end{aligned}
$$
Część wspólna:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
m < -2 \\[6pt]
m \in (-\infty, -4) \cup (0, +\infty)
\end{cases}
\implies m \in (-\infty, -4)
\end{aligned}
$$
$m \in (-\infty, -4)$
7
Wyznacz takie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f(x) = x^2 - (m - 5)x + (m - 2)$ ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi.
Wskazówka: Wymagamy $p < 0$ oraz $q < 0$. Ponieważ $a = 1 > 0$, warunek $q = \dfrac{-\Delta}{4} < 0$ sprowadza się do $\Delta > 0$.
Warunek na odciętą $p < 0$:
$$
\begin{aligned}
p &= \dfrac{m - 5}{2} < 0 \implies m < 5
\end{aligned}
$$
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(1, -2)$, a punkt $A(3, 6)$ należy do wykresu tej funkcji.
Wskazówka: Stosujemy postać kanoniczną $f(x) = a(x - p)^2 + q$ z wierzchołkiem $(p, q) = (1, -2)$, a parametr $a$ obliczamy z punktu $A(3, 6)$.
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta $x = 3$ jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty $(1, -1)$ oraz $(4, 8)$ należą do wykresu tej funkcji.
Wskazówka: Oś symetrii daje $p = 3$. Tworzymy układ równań dla współczynników $a$ oraz $q$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x) = (m^2 - 16)x^2 - 2(m - 4)x + 5$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, \frac{1}{2}\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle \frac{1}{2}, +\infty)$.
Wskazówka: Wymagamy ramion w dół ($a < 0$) oraz wierzchołka $p = \dfrac{1}{2}$.
Część wspólna:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
m < 1 \\[6pt]
m \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)
\end{cases}
\implies m \in (-\infty, 0)
\end{aligned}
$$
$m \in (-\infty, 0)$
7
Wyznacz takie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f(x) = x^2 - (m - 6)x + (m - 3)$ ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi.
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(-1, 3)$, a punkt $A(1, -5)$ należy do wykresu tej funkcji.
Wskazówka: Korzystamy z postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$ dla $(p, q) = (-1, 3)$.
Znajdź wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że prosta $x = -2$ jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkty $(0, -1)$ oraz $(-3, 8)$ należą do wykresu tej funkcji.
Wskazówka: Oś symetrii daje $p = -2$. Układamy równania dla punktów $(0, -1)$ oraz $(-3, 8)$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x) = (m^2 - 25)x^2 - 2(m + 5)x + 7$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, -1\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle -1, +\infty)$.
Wskazówka: Funkcja rośnie, a potem maleje, gdy $a < 0$ oraz $p = -1$.
Część wspólna:
$$
\begin{aligned}
\begin{cases}
m < -3 \\[6pt]
m \in (-\infty, -7) \cup (1, +\infty)
\end{cases}
\implies m \in (-\infty, -7)
\end{aligned}
$$
$m \in (-\infty, -7)$
7
Wyznacz takie wartości parametru $m$, dla których wykres funkcji $f(x) = x^2 - (m - 3)x + m$ ma wierzchołek, którego obie współrzędne są liczbami ujemnymi.
