| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(2x+4)\sqrt{9x^2+3x+7}}{(6x-7)^2}$$ | Wskazówki: • Wyłącz najwyższą potęgę $x$ przed nawias w liczniku oraz w mianowniku. • Zauważ, że dla $x \to +\infty$ zachodzi tożsamość $\sqrt{x^2} = |x| = x$. • Pamiętaj, że składniki postaci $\frac{a}{x^n} \to 0$ dla $n > 0$, gdy $x \to +\infty$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Przekształcenie licznika (wyłączenie potęg $x$): Zauważamy, że pod pierwiastkiem najwyższą potęgą jest $x^2$. Wyciągamy $x^2$ spod pierwiastka jako $x$, a w pierwszym nawiasie wyłączamy $x$: $$\begin{aligned} (2x+4)\sqrt{9x^2+3x+7} &= x\left(2 + \frac{4}{x}\right) \cdot \sqrt{x^2\left(9 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}\right)} \\[6pt] &= x\left(2 + \frac{4}{x}\right) \cdot x\sqrt{9 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}} \\[6pt] &= x^2\left(2 + \frac{4}{x}\right)\sqrt{9 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}} \end{aligned}$$ 2. Przekształcenie mianownika: Wewnątrz nawiasu wyłączamy $x$, a następnie podnosimy wyrażenie do kwadratu: $$\begin{aligned} (6x-7)^2 &= \left[x\left(6 - \frac{7}{x}\right)\right]^2 \\[6pt] &= x^2\left(6 - \frac{7}{x}\right)^2 \end{aligned}$$ 3. Skrócenie ułamka i obliczenie granicy: Dzielimy licznik oraz mianownik przez $x^2$, po czym przechodzimy do granicy przy $x \to +\infty$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x+4)\sqrt{9x^2+3x+7}}{(6x-7)^2} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(2 + \frac{4}{x}\right)\sqrt{9 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}}}{x^2\left(6 - \frac{7}{x}\right)^2} \\[6pt] &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(2 + \frac{4}{x}\right)\sqrt{9 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}}}{\left(6 - \frac{7}{x}\right)^2} \\[6pt] &= \frac{(2 + 0)\sqrt{9 + 0 + 0}}{(6 - 0)^2} \\[6pt] &= \frac{2 \cdot 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \end{aligned}$$ | $\frac{1}{6}$ |
| 2 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{|3x+4|}{x-2}$$ | Wskazówki: • Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną przy $x \to -\infty$. • Skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej: jeśli $w < 0$, to $|w| = -w$. • Wyłącz najwyższą potęgę $x$ w liczniku oraz w mianowniku, a następnie skróć ułamek. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Opuszczenie wartości bezwzględnej dla $x \to -\infty$: Dla bardzo małych (ujemnych) wartości $x$ wyrażenie pod modułem jest ujemne ($3x+4 < 0$). Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: $$\begin{aligned} |3x+4| &= -(3x+4) \\[6pt] &= -3x - 4 \end{aligned}$$ 2. Wyłączenie $x$ przed nawias i skrócenie: Wstawiamy otrzymane wyrażenie do granicy i wyciągamy $x$ w liczniku oraz w mianowniku: $$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \frac{|3x+4|}{x-2} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x-4}{x-2} \\[6pt] &= \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(-3 - \frac{4}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{2}{x}\right)} \\[6pt] &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3 - \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \end{aligned}$$ 3. Obliczenie wartości granicy: Wyrażenia $\frac{4}{x} \to 0$ oraz $\frac{2}{x} \to 0$, gdy $x \to -\infty$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \frac{-3 - \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}} &= \frac{-3 - 0}{1 - 0} \\[6pt] &= -3 \end{aligned}$$ | $-3$ |
| 3 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to 5} \frac{x^2-25}{2x-10}$$ | Wskazówki: • Bezpośrednie podstawienie $x = 5$ daje symbol nieoznaczony $\left[\frac{0}{0}\right]$. • Zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ w liczniku. • Wyłącz wspólny czynnik $2$ przed nawias w mianowniku i zredukuj czynnik $(x - 5)$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Identyfikacja symbolu nieoznaczonego: Podstawiamy $x = 5$ do wzoru funkcji: $$\begin{aligned} \frac{5^2 - 25}{2 \cdot 5 - 10} &= \frac{0}{0} \quad \left[\frac{0}{0}\right] \end{aligned}$$ 2. Rozkład licznika i mianownika na czynniki: Rozkładamy licznik ze wzoru na różnicę kwadratów oraz wyłączamy $2$ w mianowniku: $$\begin{aligned} x^2 - 25 &= (x - 5)(x + 5) \\[6pt] 2x - 10 &= 2(x - 5) \end{aligned}$$ 3. Skrócenie czynnika zerującego i obliczenie granicy: Dla $x \ne 5$ redukujemy dwumian $(x - 5)$, a następnie podstawiamy $x = 5$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 5} \frac{x^2-25}{2x-10} &= \lim_{x \to 5} \frac{(x-5)(x+5)}{2(x-5)} \\[6pt] &= \lim_{x \to 5} \frac{x+5}{2} \\[6pt] &= \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{aligned}$$ | $5$ |
| 4 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to -1} \frac{x^3+x^2+x+1}{3x^2+x-2}$$ | Wskazówki: • Podstawienie $x = -1$ prowadzi do symbolu nieoznaczonego $\left[\frac{0}{0}\right]$. • Rozłóż licznik na czynniki metodą grupowania wyrazów. • Rozłóż trójmian w mianowniku na czynniki za pomocą wyróżnika $\Delta$. • Skróć ułamek przez czynnik $(x + 1)$ i oblicz granicę. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Rozkład licznika na czynniki (grupowanie): Grupujemy wyrazy parami i wyciągamy wspólny czynnik $(x + 1)$: $$\begin{aligned} x^3 + x^2 + x + 1 &= x^2(x + 1) + 1(x + 1) \\[6pt] &= (x^2 + 1)(x + 1) \end{aligned}$$ 2. Rozkład mianownika na czynniki: Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ oraz pierwiastki trójmianu $3x^2 + x - 2$: $$\begin{aligned} \Delta &= 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) \\[6pt] &= 1 + 24 = 25 \\[6pt] \sqrt{\Delta} &= 5 \\[6pt] x_1 &= \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \\[6pt] x_2 &= \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{aligned}$$ Postać iloczynowa mianownika: $$\begin{aligned} 3x^2 + x - 2 &= 3(x + 1)\left(x - \frac{2}{3}\right) \\[6pt] &= (x + 1)(3x - 2) \end{aligned}$$ 3. Skrócenie czynnika zerującego i obliczenie granicy: Redukujemy $(x + 1)$ i wstawiamy $x = -1$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to -1} \frac{x^3+x^2+x+1}{3x^2+x-2} &= \lim_{x \to -1} \frac{(x^2+1)(x+1)}{(x+1)(3x-2)} \\[6pt] &= \lim_{x \to -1} \frac{x^2+1}{3x-2} \\[6pt] &= \frac{(-1)^2 + 1}{3 \cdot (-1) - 2} \\[6pt] &= \frac{1 + 1}{-3 - 2} = \frac{2}{-5} = -\frac{2}{5} \end{aligned}$$ | $-\frac{2}{5}$ |
| 5 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{5x+1}-4}{x^2-9}$$ | Wskazówki: • Podstawienie $x = 3$ daje symbol nieoznaczony $\left[\frac{0}{0}\right]$. • Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie licznika: $(\sqrt{5x+1}+4)$. • Zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. • Skróć czynnik zerujący $(x - 3)$ i oblicz wartość granicy. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Mnożenie przez sprzężenie licznika: Mnożymy ułamek przez $(\sqrt{5x+1}+4)$ w liczniku i mianowniku: $$\begin{aligned} \frac{\sqrt{5x+1}-4}{x^2-9} &= \frac{(\sqrt{5x+1}-4)(\sqrt{5x+1}+4)}{(x^2-9)(\sqrt{5x+1}+4)} \\[6pt] &= \frac{(\sqrt{5x+1})^2 - 4^2}{(x^2-9)(\sqrt{5x+1}+4)} \\[6pt] &= \frac{5x + 1 - 16}{(x^2-9)(\sqrt{5x+1}+4)} \\[6pt] &= \frac{5x - 15}{(x^2-9)(\sqrt{5x+1}+4)} \end{aligned}$$ 2. Rozkład na czynniki i skrócenie czynnika $(x - 3)$: Wyłączamy liczbę $5$ w liczniku oraz rozkładamy mianownik ze wzoru $a^2 - b^2$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \frac{5(x-3)}{(x-3)(x+3)(\sqrt{5x+1}+4)} &= \lim_{x \to 3} \frac{5}{(x+3)(\sqrt{5x+1}+4)} \end{aligned}$$ 3. Podstawienie wartości granicznej: Wstawiamy $x = 3$ do uproszczonego ułamka: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \frac{5}{(x+3)(\sqrt{5x+1}+4)} &= \frac{5}{(3+3)(\sqrt{5 \cdot 3 + 1} + 4)} \\[6pt] &= \frac{5}{6 \cdot (\sqrt{16} + 4)} \\[6pt] &= \frac{5}{6 \cdot (4 + 4)} \\[6pt] &= \frac{5}{6 \cdot 8} = \frac{5}{48} \end{aligned}$$ | $\frac{5}{48}$ |
| 6 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to 10} \left( \frac{1}{x-10} - \frac{2x}{x^2-100} \right)$$ | Wskazówki: • Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym $[\infty - \infty]$. • Zauważ, że $x^2 - 100 = (x-10)(x+10)$, co stanowi wspólny mianownik obu ułamków. • Rozszerz pierwszy ułamek przez $(x + 10)$ i połącz wyrażenia na jednej kresce ułamkowej. • Zredukuj wyrazy podobne, wyłącz minus przed nawias i skróć czynnik $(x - 10)$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika: Wspólnym mianownikiem jest iloczyn $(x-10)(x+10)$: $$\begin{aligned} \frac{1}{x-10} - \frac{2x}{x^2-100} &= \frac{x+10}{(x-10)(x+10)} - \frac{2x}{(x-10)(x+10)} \\[6pt] &= \frac{x + 10 - 2x}{(x-10)(x+10)} \\[6pt] &= \frac{-x + 10}{(x-10)(x+10)} \end{aligned}$$ 2. Wyłączenie wspólnego czynnika i skrócenie: Wyłączamy $-1$ w liczniku i redukujemy czynnik $(x - 10)$: $$\begin{aligned} \frac{-(x-10)}{(x-10)(x+10)} &= \frac{-1}{x+10} \quad \text{dla } x \ne 10 \end{aligned}$$ 3. Obliczenie granicy: Podstawiamy $x = 10$ do uproszczonego wyrażenia: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 10} \left( \frac{1}{x-10} - \frac{2x}{x^2-100} \right) &= \lim_{x \to 10} \frac{-1}{x+10} \\[6pt] &= \frac{-1}{10 + 10} \\[6pt] &= -\frac{1}{20} \end{aligned}$$ | $-\frac{1}{20}$ |
| 7 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3-1}{|x-1|}$$ | Wskazówki: • Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną dla $x \to 1^+$ (zauważ, że $x > 1$). • Opuść wartość bezwzględną bez zmiany znaku: $|x-1| = x - 1$. • Rozłóż licznik na czynniki ze wzoru na różnicę sześcianów: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. • Skróć czynnik $(x - 1)$ i oblicz granicę. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Opuszczenie wartości bezwzględnej dla $x > 1$: Skoro $x \to 1^+$, to $x > 1$, więc $x - 1 > 0$. Zgodnie z definicją modułu: $$\begin{aligned} |x-1| &= x - 1 \end{aligned}$$ 2. Rozkład licznika ze wzoru na różnicę sześcianów: Stosujemy wzór skróconego mnożenia dla $x^3 - 1^3$: $$\begin{aligned} x^3 - 1 &= (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) \\[6pt] &= (x - 1)(x^2 + x + 1) \end{aligned}$$ 3. Skrócenie i obliczenie wartości granicy: Redukujemy czynnik $(x - 1)$ i podstawiamy $x = 1$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3-1}{|x-1|} &= \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} \\[6pt] &= \lim_{x \to 1^+} (x^2+x+1) \\[6pt] &= 1^2 + 1 + 1 = 3 \end{aligned}$$ | $3$ |
| 8 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+2x}{|x|}$$ | Wskazówki: • Zbadaj znak zmiennej $x$ przy lewostronnej zbieżności do zera: $x \to 0^- \implies x < 0$. • Zgodnie z definicją modułu dla $x < 0$ zachodzi $|x| = -x$. • Wyłącz $x$ przed nawias w liczniku, zredukuj ułamek i podstaw $x = 0$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Opuszczenie wartości bezwzględnej dla $x < 0$: Ponieważ $x$ dąży do zera z lewej strony, wartości $x$ są ujemne: $$\begin{aligned} |x| &= -x \end{aligned}$$ 2. Wyłączenie $x$ w liczniku i uproszczenie wyrażenia: Wyciągamy $x$ przed nawias i skracamy z mianownikiem: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+2x}{|x|} &= \lim_{x \to 0^-} \frac{x(x+2)}{-x} \\[6pt] &= \lim_{x \to 0^-} \frac{x+2}{-1} \\[6pt] &= \lim_{x \to 0^-} -(x+2) \end{aligned}$$ 3. Podstawienie wartości granicznej: Wstawiamy $x = 0$ do otrzymanego wyrażenia: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} -(x+2) &= -(0+2) \\[6pt] &= -2 \end{aligned}$$ | $-2$ |
| 9 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to 5^-} \frac{x^2+3}{x-5}$$ | Wskazówki: • Oblicz osobną granicę licznika i mianownika przy $x \to 5^-$. • Zbadaj znak mianownika dla $x < 5$: różnica $x - 5$ dąży do zera po wartościach ujemnych ($0^-$). • Wykorzystaj regułę znaku dla ilorazu liczby dodatniej przez $0^-$: $\left[\frac{c}{0^-}\right] = -\infty$ dla $c > 0$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Wyznaczenie granicy licznika: Obliczamy wartość, do której dąży licznik przy $x \to 5^-$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 5^-} (x^2+3) &= 5^2 + 3 \\[6pt] &= 25 + 3 = 28 > 0 \end{aligned}$$ 2. Analiza granicy i znaku mianownika: Skoro $x$ dąży do $5$ z lewej strony, to $x < 5$. Odejmując $5$ obustronnie: $$\begin{aligned} x - 5 &< 0 \\[6pt] \lim_{x \to 5^-} (x-5) &= 0^- \end{aligned}$$ 3. Obliczenie granicy ilorazu: Dzielenie liczby dodatniej przez wartości zbiegające do zera po wartościach ujemnych daje minus nieskończoność: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 5^-} \frac{x^2+3}{x-5} &= \left[\frac{28}{0^-}\right] \\[6pt] &= -\infty \end{aligned}$$ | $-\infty$ |
| 10 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to 4^+} \frac{3x-13}{x-4}$$ | Wskazówki: • Oblicz granicę licznika przy $x \to 4^+$. • Zbadaj zachowanie i znak mianownika dla $x > 4$: wyrażenie $x - 4$ dąży do $0^+$. • Skorzystaj z reguły znaku dla dzielenia liczby ujemnej przez $0^+$: $\left[\frac{c}{0^+}\right] = -\infty$ dla $c < 0$. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Wyznaczenie granicy licznika: Wstawiamy $x = 4$ do licznika: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 4^+} (3x-13) &= 3 \cdot 4 - 13 \\[6pt] &= 12 - 13 = -1 < 0 \end{aligned}$$ 2. Zbadanie znaku i granicy mianownika: Skoro $x \to 4^+$, to $x > 4$, co oznacza, że: $$\begin{aligned} x - 4 &> 0 \\[6pt] \lim_{x \to 4^+} (x-4) &= 0^+ \end{aligned}$$ 3. Wyznaczenie granicy ułamka: Dzielenie liczby ujemnej przez wartości zbiegające do zera po wartościach dodatnich daje minus nieskończoność: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 4^+} \frac{3x-13}{x-4} &= \left[\frac{-1}{0^+}\right] \\[6pt] &= -\infty \end{aligned}$$ | $-\infty$ |
| 11 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to 3^+} \frac{x^3-27}{|9-3x|}$$ | Wskazówki: • Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną dla $x > 3$: mamy $9 - 3x < 0$. • Opuść moduł ze zmianą znaku i wyłącz liczbę $3$ przed nawias. • Zastosuj wzór na różnicę sześcianów w liczniku: $x^3 - 27 = (x-3)(x^2+3x+9)$. • Skróć czynnik $(x - 3)$ i wyznacz wartość granicy. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Opuszczenie wartości bezwzględnej dla $x > 3$: Skoro $x \to 3^+$, to $x > 3$. Mnożąc przez $-3$ i dodając $9$, ustalamy znak: $$\begin{aligned} -3x &< -9 \\[6pt] 9 - 3x &< 0 \end{aligned}$$ Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: $$\begin{aligned} |9-3x| &= -(9-3x) \\[6pt] &= 3x - 9 \\[6pt] &= 3(x-3) \end{aligned}$$ 2. Rozkład licznika na czynniki (różnica sześcianów): Stosujemy wzór skróconego mnożenia $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $$\begin{aligned} x^3 - 27 &= (x - 3)(x^2 + 3 \cdot x + 3^2) \\[6pt] &= (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \end{aligned}$$ 3. Skrócenie ułamka i obliczenie granicy: Podstawiamy wyrażenia do granicy i redukujemy dwumian $(x - 3)$: $$\begin{aligned} \lim_{x \to 3^+} \frac{x^3-27}{|9-3x|} &= \lim_{x \to 3^+} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{3(x-3)} \\[6pt] &= \lim_{x \to 3^+} \frac{x^2+3x+9}{3} \\[6pt] &= \frac{3^2 + 3 \cdot 3 + 9}{3} \\[6pt] &= \frac{9 + 9 + 9}{3} = \frac{27}{3} = 9 \end{aligned}$$ | $9$ |
| 12 | Oblicz granicę funkcji: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+5x+1}}{x+2016}$$ | Wskazówki: • Pamiętaj o kluczowej własności pierwiastka arytmetycznego: $\sqrt{x^2} = |x|$. • Dla $x \to -\infty$ zachodzi tożsamość $|x| = -x$. • Wyłącz najwyższą potęgę $x$ pod pierwiastkiem w liczniku oraz przed nawias w mianowniku. • Skróć $x$ i przejdź do granicy. Rozwiązanie krok po kroku: 1. Przekształcenie licznika (uwzględnienie znaku modułu): Wyciągamy $x^2$ spod pierwiastka, pamiętając, że dla $x < 0$ mamy $\sqrt{x^2} = |x| = -x$: $$\begin{aligned} \sqrt{4x^2+5x+1} &= \sqrt{x^2\left(4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} \\[6pt] &= |x|\sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}} \\[6pt] &= -x\sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}} \end{aligned}$$ 2. Wyłączenie $x$ przed nawias w mianowniku: W mianowniku wyciągamy $x$: $$\begin{aligned} x + 2016 &= x\left(1 + \frac{2016}{x}\right) \end{aligned}$$ 3. Skrócenie zmiennej $x$ i obliczenie granicy: Wstawiamy postacie do ułamka, skracamy $x$ i obliczamy granicę: $$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+5x+1}}{x+2016} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}}{x\left(1 + \frac{2016}{x}\right)} \\[6pt] &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{2016}{x}} \\[6pt] &= \frac{-\sqrt{4 + 0 + 0}}{1 + 0} \\[6pt] &= \frac{-2}{1} = -2 \end{aligned}$$ | $-2$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(3x+1)\sqrt{4x^2+x+2}}{(2x-1)^2} $$ | Wyciągamy najwyższą potęgę $x$ przed nawias w liczniku i mianowniku. Zauważmy, że dla $x \to +\infty$ mamy $\sqrt{x^2} = |x| = x$. Przekształcamy licznik: $$ (3x+1)\sqrt{x^2 \left(4 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = x\left(3 + \frac{1}{x}\right) \cdot x\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} = x^2\left(3 + \frac{1}{x}\right)\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} $$ Przekształcamy mianownik: $$ (2x-1)^2 = \left(x\left(2 - \frac{1}{x}\right)\right)^2 = x^2\left(2 - \frac{1}{x}\right)^2 $$ Zapisujemy granicę z wyciągniętymi potęgami: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(3 + \frac{1}{x}\right)\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}}{x^2\left(2 - \frac{1}{x}\right)^2} $$ Skracamy $x^2$: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(3 + \frac{1}{x}\right)\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}}{\left(2 - \frac{1}{x}\right)^2} $$ Ułamki postaci $\frac{a}{x}$ oraz $\frac{a}{x^2}$ dążą do zera, gdy $x \to +\infty$. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{(3 + 0)\sqrt{4 + 0 + 0}}{(2 - 0)^2} $$ Obliczamy wynik: $$ \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$ | $$ \frac{3}{2} $$ |
| 2 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{|2x+5|}{x-3} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną dla $x \to -\infty$. Dla bardzo małych wartości $x$ (ujemnych o dużej wartości bezwzględnej), wyrażenie $2x+5$ przyjmuje wartości ujemne. Zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: $$ |2x+5| = -(2x+5) = -2x-5 $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-2x-5}{x-3} $$ Wyciągamy $x$ przed nawias w liczniku i mianowniku: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(-2 - \frac{5}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{3}{x}\right)} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-2 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{3}{x}} $$ Ułamki $\frac{5}{x}$ i $\frac{3}{x}$ dążą do zera. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{-2 - 0}{1 - 0} = -2 $$ | $$ -2 $$ |
| 3 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 4} \frac{x^2-16}{3x-12} $$ | Po podstawieniu $x=4$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $$ x^2-16 = (x-4)(x+4) $$ W mianowniku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: $$ 3x-12 = 3(x-4) $$ Zapisujemy granicę w nowej postaci: $$ \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(x+4)}{3(x-4)} $$ Skracamy czynnik $(x-4)$: $$ \lim_{x \to 4} \frac{x+4}{3} $$ Podstawiamy $x=4$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{4+4}{3} = \frac{8}{3} $$ | $$ \frac{8}{3} $$ |
| 4 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{2x^2+3x-2} $$ | Po podstawieniu $x=-2$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki metodą grupowania: $$ x^3+2x^2+x+2 = x^2(x+2) + 1(x+2) = (x^2+1)(x+2) $$ Rozkładamy mianownik na czynniki. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ Pierwiastek z delty to $5$. Obliczamy pierwiastki: $$ x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 $$ $$ x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Zapisujemy mianownik w postaci iloczynowej: $$ 2x^2+3x-2 = 2(x+2)\left(x-\frac{1}{2}\right) = (x+2)(2x-1) $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to -2} \frac{(x^2+1)(x+2)}{(x+2)(2x-1)} $$ Skracamy czynnik $(x+2)$: $$ \lim_{x \to -2} \frac{x^2+1}{2x-1} $$ Podstawiamy $x=-2$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{(-2)^2+1}{2 \cdot (-2) - 1} = \frac{4+1}{-4-1} = \frac{5}{-5} = -1 $$ | $$ -1 $$ |
| 5 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x+10}-4}{x^2-4} $$ | Po podstawieniu $x=2$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie licznika, aby pozbyć się niewymierności: $$ \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{3x+10}-4)(\sqrt{3x+10}+4)}{(x^2-4)(\sqrt{3x+10}+4)} $$ Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów w liczniku: $$ \lim_{x \to 2} \frac{3x+10-16}{(x^2-4)(\sqrt{3x+10}+4)} $$ Upraszczamy licznik: $$ \lim_{x \to 2} \frac{3x-6}{(x^2-4)(\sqrt{3x+10}+4)} $$ Wyłączamy $3$ przed nawias w liczniku i rozkładamy mianownik ze wzoru skróconego mnożenia: $$ \lim_{x \to 2} \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)(\sqrt{3x+10}+4)} $$ Skracamy czynnik $(x-2)$: $$ \lim_{x \to 2} \frac{3}{(x+2)(\sqrt{3x+10}+4)} $$ Podstawiamy $x=2$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{3}{(2+2)(\sqrt{3 \cdot 2 + 10}+4)} $$ Obliczamy wartość: $$ \frac{3}{4 \cdot (\sqrt{16}+4)} = \frac{3}{4 \cdot (4+4)} = \frac{3}{4 \cdot 8} = \frac{3}{32} $$ | $$ \frac{3}{32} $$ |
| 6 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 5} \left( \frac{1}{x-5} - \frac{2x}{x^2-25} \right) $$ | Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym $\infty - \infty$. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika. Zauważmy, że $x^2-25 = (x-5)(x+5)$. Rozszerzamy pierwszy ułamek przez $(x+5)$: $$ \lim_{x \to 5} \left( \frac{x+5}{(x-5)(x+5)} - \frac{2x}{(x-5)(x+5)} \right) $$ Zapisujemy na jednej kresce ułamkowej: $$ \lim_{x \to 5} \frac{x+5-2x}{(x-5)(x+5)} $$ Redukujemy wyrazy podobne w liczniku: $$ \lim_{x \to 5} \frac{-x+5}{(x-5)(x+5)} $$ Wyłączamy minus przed nawias w liczniku: $$ \lim_{x \to 5} \frac{-(x-5)}{(x-5)(x+5)} $$ Skracamy czynnik $(x-5)$: $$ \lim_{x \to 5} \frac{-1}{x+5} $$ Podstawiamy $x=5$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{-1}{5+5} = -\frac{1}{10} $$ | $$ -\frac{1}{10} $$ |
| 7 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{x^3-8}{|x-2|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 2^+$, to $x > 2$, co oznacza, że $x-2 > 0$. Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku: $$ |x-2| = x-2 $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{x^3-8}{x-2} $$ Rozkładamy licznik ze wzoru na różnicę sześcianów: $$ x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4) $$ Zapisujemy granicę: $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} $$ Skracamy czynnik $(x-2)$: $$ \lim_{x \to 2^+} (x^2+2x+4) $$ Podstawiamy $x=2$: $$ 2^2+2 \cdot 2+4 = 4+4+4 = 12 $$ | $$ 12 $$ |
| 8 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+3x}{|x|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 0^-$, to $x < 0$. Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: $$ |x| = -x $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+3x}{-x} $$ Wyłączamy $x$ przed nawias w liczniku: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x(x+3)}{-x} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x+3}{-1} $$ Upraszczamy wyrażenie: $$ \lim_{x \to 0^-} -(x+3) $$ Podstawiamy $x=0$: $$ -(0+3) = -3 $$ | $$ -3 $$ |
| 9 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2+2}{x-3} $$ | Obliczamy do czego dąży licznik, gdy $x \to 3^-$: $$ x^2+2 \to 3^2+2 = 9+2 = 11 $$ Licznik dąży do liczby dodatniej. Obliczamy do czego dąży mianownik, gdy $x \to 3^-$. Skoro $x$ dąży do $3$ z lewej strony, to $x < 3$, więc $x-3 < 0$. Mianownik dąży do zera po wartościach ujemnych, co oznaczamy jako $0^-$. Mamy zatem wyrażenie typu $\frac{11}{0^-}$. Dzielenie liczby dodatniej przez liczbę dążącą do zera po wartościach ujemnych daje w wyniku minus nieskończoność. $$ \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2+2}{x-3} = -\infty $$ | $$ -\infty $$ |
| 10 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 5^+} \frac{2x-13}{x-5} $$ | Obliczamy do czego dąży licznik, gdy $x \to 5^+$: $$ 2x-13 \to 2 \cdot 5 - 13 = 10 - 13 = -3 $$ Licznik dąży do liczby ujemnej. Obliczamy do czego dąży mianownik, gdy $x \to 5^+$. Skoro $x$ dąży do $5$ z prawej strony, to $x > 5$, więc $x-5 > 0$. Mianownik dąży do zera po wartościach dodatnich, co oznaczamy jako $0^+$. Mamy zatem wyrażenie typu $\frac{-3}{0^+}$. Dzielenie liczby ujemnej przez liczbę dążącą do zera po wartościach dodatnich daje w wyniku minus nieskończoność. $$ \lim_{x \to 5^+} \frac{2x-13}{x-5} = -\infty $$ | $$ -\infty $$ |
| 11 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{x^3-8}{|8-4x|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 2^+$, to $x > 2$. Mnożąc obustronnie przez $-4$ otrzymujemy $-4x < -8$. Dodając $8$ do obu stron mamy $8-4x < 0$. Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, więc opuszczamy ją ze zmianą znaku: $$ |8-4x| = -(8-4x) = 4x-8 $$ Wyłączamy $4$ przed nawias: $$ 4x-8 = 4(x-2) $$ Rozkładamy licznik ze wzoru na różnicę sześcianów: $$ x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4) $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{4(x-2)} $$ Skracamy czynnik $(x-2)$: $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2+2x+4}{4} $$ Podstawiamy $x=2$: $$ \frac{2^2+2 \cdot 2+4}{4} = \frac{4+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3 $$ | $$ 3 $$ |
| 12 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{9x^2+2x+1}}{x+100} $$ | Wyciągamy najwyższą potęgę $x$ przed nawias pod pierwiastkiem: $$ \sqrt{x^2\left(9 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = |x|\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} $$ Ponieważ $x \to -\infty$, wartości $x$ są ujemne, więc $|x| = -x$. Licznik przyjmuje postać: $$ -x\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} $$ W mianowniku wyciągamy $x$ przed nawias: $$ x+100 = x\left(1 + \frac{100}{x}\right) $$ Zapisujemy granicę: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}{x\left(1 + \frac{100}{x}\right)} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{100}{x}} $$ Ułamki z $x$ w mianowniku dążą do zera. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{-\sqrt{9 + 0 + 0}}{1 + 0} = \frac{-\sqrt{9}}{1} = -3 $$ | $$ -3 $$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(x+5)\sqrt{16x^2+2x+1}}{(4x+3)^2} $$ | Wyciągamy najwyższą potęgę $x$ przed nawias w liczniku i mianowniku. Zauważmy, że dla $x \to +\infty$ mamy $\sqrt{x^2} = |x| = x$. Przekształcamy licznik: $$ (x+5)\sqrt{x^2 \left(16 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = x\left(1 + \frac{5}{x}\right) \cdot x\sqrt{16 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = x^2\left(1 + \frac{5}{x}\right)\sqrt{16 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} $$ Przekształcamy mianownik: $$ (4x+3)^2 = \left(x\left(4 + \frac{3}{x}\right)\right)^2 = x^2\left(4 + \frac{3}{x}\right)^2 $$ Zapisujemy granicę z wyciągniętymi potęgami: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1 + \frac{5}{x}\right)\sqrt{16 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}{x^2\left(4 + \frac{3}{x}\right)^2} $$ Skracamy $x^2$: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(1 + \frac{5}{x}\right)\sqrt{16 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}{\left(4 + \frac{3}{x}\right)^2} $$ Ułamki postaci $\frac{a}{x}$ oraz $\frac{a}{x^2}$ dążą do zera, gdy $x \to +\infty$. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{(1 + 0)\sqrt{16 + 0 + 0}}{(4 + 0)^2} $$ Obliczamy wynik: $$ \frac{1 \cdot 4}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $$ | $$ \frac{1}{4} $$ |
| 2 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{|4x-1|}{x+2} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną dla $x \to -\infty$. Dla bardzo małych wartości $x$ (ujemnych o dużej wartości bezwzględnej), wyrażenie $4x-1$ przyjmuje wartości ujemne. Zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: $$ |4x-1| = -(4x-1) = -4x+1 $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-4x+1}{x+2} $$ Wyciągamy $x$ przed nawias w liczniku i mianowniku: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(-4 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{2}{x}\right)} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-4 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} $$ Ułamki $\frac{1}{x}$ i $\frac{2}{x}$ dążą do zera. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{-4 + 0}{1 + 0} = -4 $$ | $$ -4 $$ |
| 3 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 6} \frac{x^2-36}{2x-12} $$ | Po podstawieniu $x=6$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $$ x^2-36 = (x-6)(x+6) $$ W mianowniku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: $$ 2x-12 = 2(x-6) $$ Zapisujemy granicę w nowej postaci: $$ \lim_{x \to 6} \frac{(x-6)(x+6)}{2(x-6)} $$ Skracamy czynnik $(x-6)$: $$ \lim_{x \to 6} \frac{x+6}{2} $$ Podstawiamy $x=6$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{6+6}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ | $$ 6 $$ |
| 4 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -3} \frac{x^3+3x^2+x+3}{x^2+2x-3} $$ | Po podstawieniu $x=-3$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki metodą grupowania: $$ x^3+3x^2+x+3 = x^2(x+3) + 1(x+3) = (x^2+1)(x+3) $$ Rozkładamy mianownik na czynniki. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$ Pierwiastek z delty to $4$. Obliczamy pierwiastki: $$ x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 $$ $$ x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ Zapisujemy mianownik w postaci iloczynowej: $$ x^2+2x-3 = (x+3)(x-1) $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to -3} \frac{(x^2+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)} $$ Skracamy czynnik $(x+3)$: $$ \lim_{x \to -3} \frac{x^2+1}{x-1} $$ Podstawiamy $x=-3$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{(-3)^2+1}{-3 - 1} = \frac{9+1}{-4} = \frac{10}{-4} = -\frac{5}{2} $$ | $$ -\frac{5}{2} $$ |
| 5 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{x^2-16} $$ | Po podstawieniu $x=4$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie licznika, aby pozbyć się niewymierności: $$ \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3)}{(x^2-16)(\sqrt{2x+1}+3)} $$ Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów w liczniku: $$ \lim_{x \to 4} \frac{2x+1-9}{(x^2-16)(\sqrt{2x+1}+3)} $$ Upraszczamy licznik: $$ \lim_{x \to 4} \frac{2x-8}{(x^2-16)(\sqrt{2x+1}+3)} $$ Wyłączamy $2$ przed nawias w liczniku i rozkładamy mianownik ze wzoru skróconego mnożenia: $$ \lim_{x \to 4} \frac{2(x-4)}{(x-4)(x+4)(\sqrt{2x+1}+3)} $$ Skracamy czynnik $(x-4)$: $$ \lim_{x \to 4} \frac{2}{(x+4)(\sqrt{2x+1}+3)} $$ Podstawiamy $x=4$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{2}{(4+4)(\sqrt{2 \cdot 4 + 1}+3)} $$ Obliczamy wartość: $$ \frac{2}{8 \cdot (\sqrt{9}+3)} = \frac{2}{8 \cdot (3+3)} = \frac{2}{8 \cdot 6} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24} $$ | $$ \frac{1}{24} $$ |
| 6 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 4} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{2x}{x^2-16} \right) $$ | Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym $\infty - \infty$. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika. Zauważmy, że $x^2-16 = (x-4)(x+4)$. Rozszerzamy pierwszy ułamek przez $(x+4)$: $$ \lim_{x \to 4} \left( \frac{x+4}{(x-4)(x+4)} - \frac{2x}{(x-4)(x+4)} \right) $$ Zapisujemy na jednej kresce ułamkowej: $$ \lim_{x \to 4} \frac{x+4-2x}{(x-4)(x+4)} $$ Redukujemy wyrazy podobne w liczniku: $$ \lim_{x \to 4} \frac{-x+4}{(x-4)(x+4)} $$ Wyłączamy minus przed nawias w liczniku: $$ \lim_{x \to 4} \frac{-(x-4)}{(x-4)(x+4)} $$ Skracamy czynnik $(x-4)$: $$ \lim_{x \to 4} \frac{-1}{x+4} $$ Podstawiamy $x=4$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{-1}{4+4} = -\frac{1}{8} $$ | $$ -\frac{1}{8} $$ |
| 7 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 3^+} \frac{x^3-27}{|x-3|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 3^+$, to $x > 3$, co oznacza, że $x-3 > 0$. Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku: $$ |x-3| = x-3 $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 3^+} \frac{x^3-27}{x-3} $$ Rozkładamy licznik ze wzoru na różnicę sześcianów: $$ x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9) $$ Zapisujemy granicę: $$ \lim_{x \to 3^+} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x-3} $$ Skracamy czynnik $(x-3)$: $$ \lim_{x \to 3^+} (x^2+3x+9) $$ Podstawiamy $x=3$: $$ 3^2+3 \cdot 3+9 = 9+9+9 = 27 $$ | $$ 27 $$ |
| 8 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+5x}{|x|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 0^-$, to $x < 0$. Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: $$ |x| = -x $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+5x}{-x} $$ Wyłączamy $x$ przed nawias w liczniku: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x(x+5)}{-x} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x+5}{-1} $$ Upraszczamy wyrażenie: $$ \lim_{x \to 0^-} -(x+5) $$ Podstawiamy $x=0$: $$ -(0+5) = -5 $$ | $$ -5 $$ |
| 9 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 4^-} \frac{x^2+1}{x-4} $$ | Obliczamy do czego dąży licznik, gdy $x \to 4^-$: $$ x^2+1 \to 4^2+1 = 16+1 = 17 $$ Licznik dąży do liczby dodatniej. Obliczamy do czego dąży mianownik, gdy $x \to 4^-$. Skoro $x$ dąży do $4$ z lewej strony, to $x < 4$, więc $x-4 < 0$. Mianownik dąży do zera po wartościach ujemnych, co oznaczamy jako $0^-$. Mamy zatem wyrażenie typu $\frac{17}{0^-}$. Dzielenie liczby dodatniej przez liczbę dążącą do zera po wartościach ujemnych daje w wyniku minus nieskończoność. $$ \lim_{x \to 4^-} \frac{x^2+1}{x-4} = -\infty $$ | $$ -\infty $$ |
| 10 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{4x-11}{x-2} $$ | Obliczamy do czego dąży licznik, gdy $x \to 2^+$: $$ 4x-11 \to 4 \cdot 2 - 11 = 8 - 11 = -3 $$ Licznik dąży do liczby ujemnej. Obliczamy do czego dąży mianownik, gdy $x \to 2^+$. Skoro $x$ dąży do $2$ z prawej strony, to $x > 2$, więc $x-2 > 0$. Mianownik dąży do zera po wartościach dodatnich, co oznaczamy jako $0^+$. Mamy zatem wyrażenie typu $\frac{-3}{0^+}$. Dzielenie liczby ujemnej przez liczbę dążącą do zera po wartościach dodatnich daje w wyniku minus nieskończoność. $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{4x-11}{x-2} = -\infty $$ | $$ -\infty $$ |
| 11 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 4^+} \frac{x^3-64}{|8-2x|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 4^+$, to $x > 4$. Mnożąc obustronnie przez $-2$ otrzymujemy $-2x < -8$. Dodając $8$ do obu stron mamy $8-2x < 0$. Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, więc opuszczamy ją ze zmianą znaku: $$ |8-2x| = -(8-2x) = 2x-8 $$ Wyłączamy $2$ przed nawias: $$ 2x-8 = 2(x-4) $$ Rozkładamy licznik ze wzoru na różnicę sześcianów: $$ x^3-64 = (x-4)(x^2+4x+16) $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 4^+} \frac{(x-4)(x^2+4x+16)}{2(x-4)} $$ Skracamy czynnik $(x-4)$: $$ \lim_{x \to 4^+} \frac{x^2+4x+16}{2} $$ Podstawiamy $x=4$: $$ \frac{4^2+4 \cdot 4+16}{2} = \frac{16+16+16}{2} = \frac{48}{2} = 24 $$ | $$ 24 $$ |
| 12 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{16x^2+3x+2}}{x+50} $$ | Wyciągamy najwyższą potęgę $x$ przed nawias pod pierwiastkiem: $$ \sqrt{x^2\left(16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = |x|\sqrt{16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} $$ Ponieważ $x \to -\infty$, wartości $x$ są ujemne, więc $|x| = -x$. Licznik przyjmuje postać: $$ -x\sqrt{16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} $$ W mianowniku wyciągamy $x$ przed nawias: $$ x+50 = x\left(1 + \frac{50}{x}\right) $$ Zapisujemy granicę: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}}{x\left(1 + \frac{50}{x}\right)} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}}{1 + \frac{50}{x}} $$ Ułamki z $x$ w mianowniku dążą do zera. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{-\sqrt{16 + 0 + 0}}{1 + 0} = \frac{-\sqrt{16}}{1} = -4 $$ | $$ -4 $$ |
| Nr | Treść Zadania | Rozwiązanie | Odpowiedź |
|---|---|---|---|
| 1 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(4x-2)\sqrt{25x^2+x+3}}{(5x-2)^2} $$ | Wyciągamy najwyższą potęgę $x$ przed nawias w liczniku i mianowniku. Zauważmy, że dla $x \to +\infty$ mamy $\sqrt{x^2} = |x| = x$. Przekształcamy licznik: $$ (4x-2)\sqrt{x^2 \left(25 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}\right)} = x\left(4 - \frac{2}{x}\right) \cdot x\sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} = x^2\left(4 - \frac{2}{x}\right)\sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} $$ Przekształcamy mianownik: $$ (5x-2)^2 = \left(x\left(5 - \frac{2}{x}\right)\right)^2 = x^2\left(5 - \frac{2}{x}\right)^2 $$ Zapisujemy granicę z wyciągniętymi potęgami: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(4 - \frac{2}{x}\right)\sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}}}{x^2\left(5 - \frac{2}{x}\right)^2} $$ Skracamy $x^2$: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(4 - \frac{2}{x}\right)\sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}}}{\left(5 - \frac{2}{x}\right)^2} $$ Ułamki postaci $\frac{a}{x}$ oraz $\frac{a}{x^2}$ dążą do zera, gdy $x \to +\infty$. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{(4 - 0)\sqrt{25 + 0 + 0}}{(5 - 0)^2} $$ Obliczamy wynik: $$ \frac{4 \cdot 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} $$ | $$ \frac{4}{5} $$ |
| 2 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{|5x+2|}{x-1} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną dla $x \to -\infty$. Dla bardzo małych wartości $x$ (ujemnych o dużej wartości bezwzględnej), wyrażenie $5x+2$ przyjmuje wartości ujemne. Zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: $$ |5x+2| = -(5x+2) = -5x-2 $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-5x-2}{x-1} $$ Wyciągamy $x$ przed nawias w liczniku i mianowniku: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(-5 - \frac{2}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-5 - \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} $$ Ułamki $\frac{2}{x}$ i $\frac{1}{x}$ dążą do zera. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{-5 - 0}{1 - 0} = -5 $$ | $$ -5 $$ |
| 3 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{4x-12} $$ | Po podstawieniu $x=3$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $$ W mianowniku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: $$ 4x-12 = 4(x-3) $$ Zapisujemy granicę w nowej postaci: $$ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{4(x-3)} $$ Skracamy czynnik $(x-3)$: $$ \lim_{x \to 3} \frac{x+3}{4} $$ Podstawiamy $x=3$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{3+3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$ | $$ \frac{3}{2} $$ |
| 4 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -1} \frac{x^3+x^2+2x+2}{2x^2+x-1} $$ | Po podstawieniu $x=-1$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Rozkładamy licznik na czynniki metodą grupowania: $$ x^3+x^2+2x+2 = x^2(x+1) + 2(x+1) = (x^2+2)(x+1) $$ Rozkładamy mianownik na czynniki. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ Pierwiastek z delty to $3$. Obliczamy pierwiastki: $$ x_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Zapisujemy mianownik w postaci iloczynowej: $$ 2x^2+x-1 = 2(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right) = (x+1)(2x-1) $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to -1} \frac{(x^2+2)(x+1)}{(x+1)(2x-1)} $$ Skracamy czynnik $(x+1)$: $$ \lim_{x \to -1} \frac{x^2+2}{2x-1} $$ Podstawiamy $x=-1$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{(-1)^2+2}{2 \cdot (-1) - 1} = \frac{1+2}{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $$ | $$ -1 $$ |
| 5 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{8x+1}-3}{x^2-1} $$ | Po podstawieniu $x=1$ otrzymujemy symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie licznika, aby pozbyć się niewymierności: $$ \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{8x+1}-3)(\sqrt{8x+1}+3)}{(x^2-1)(\sqrt{8x+1}+3)} $$ Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów w liczniku: $$ \lim_{x \to 1} \frac{8x+1-9}{(x^2-1)(\sqrt{8x+1}+3)} $$ Upraszczamy licznik: $$ \lim_{x \to 1} \frac{8x-8}{(x^2-1)(\sqrt{8x+1}+3)} $$ Wyłączamy $8$ przed nawias w liczniku i rozkładamy mianownik ze wzoru skróconego mnożenia: $$ \lim_{x \to 1} \frac{8(x-1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{8x+1}+3)} $$ Skracamy czynnik $(x-1)$: $$ \lim_{x \to 1} \frac{8}{(x+1)(\sqrt{8x+1}+3)} $$ Podstawiamy $x=1$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{8}{(1+1)(\sqrt{8 \cdot 1 + 1}+3)} $$ Obliczamy wartość: $$ \frac{8}{2 \cdot (\sqrt{9}+3)} = \frac{8}{2 \cdot (3+3)} = \frac{8}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$ | $$ \frac{2}{3} $$ |
| 6 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 6} \left( \frac{1}{x-6} - \frac{2x}{x^2-36} \right) $$ | Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym $\infty - \infty$. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika. Zauważmy, że $x^2-36 = (x-6)(x+6)$. Rozszerzamy pierwszy ułamek przez $(x+6)$: $$ \lim_{x \to 6} \left( \frac{x+6}{(x-6)(x+6)} - \frac{2x}{(x-6)(x+6)} \right) $$ Zapisujemy na jednej kresce ułamkowej: $$ \lim_{x \to 6} \frac{x+6-2x}{(x-6)(x+6)} $$ Redukujemy wyrazy podobne w liczniku: $$ \lim_{x \to 6} \frac{-x+6}{(x-6)(x+6)} $$ Wyłączamy minus przed nawias w liczniku: $$ \lim_{x \to 6} \frac{-(x-6)}{(x-6)(x+6)} $$ Skracamy czynnik $(x-6)$: $$ \lim_{x \to 6} \frac{-1}{x+6} $$ Podstawiamy $x=6$ do uproszczonego wyrażenia: $$ \frac{-1}{6+6} = -\frac{1}{12} $$ | $$ -\frac{1}{12} $$ |
| 7 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 4^+} \frac{x^3-64}{|x-4|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 4^+$, to $x > 4$, co oznacza, że $x-4 > 0$. Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku: $$ |x-4| = x-4 $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 4^+} \frac{x^3-64}{x-4} $$ Rozkładamy licznik ze wzoru na różnicę sześcianów: $$ x^3-64 = (x-4)(x^2+4x+16) $$ Zapisujemy granicę: $$ \lim_{x \to 4^+} \frac{(x-4)(x^2+4x+16)}{x-4} $$ Skracamy czynnik $(x-4)$: $$ \lim_{x \to 4^+} (x^2+4x+16) $$ Podstawiamy $x=4$: $$ 4^2+4 \cdot 4+16 = 16+16+16 = 48 $$ | $$ 48 $$ |
| 8 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+4x}{|x|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 0^-$, to $x < 0$. Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: $$ |x| = -x $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+4x}{-x} $$ Wyłączamy $x$ przed nawias w liczniku: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x(x+4)}{-x} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x+4}{-1} $$ Upraszczamy wyrażenie: $$ \lim_{x \to 0^-} -(x+4) $$ Podstawiamy $x=0$: $$ -(0+4) = -4 $$ | $$ -4 $$ |
| 9 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2+5}{x-2} $$ | Obliczamy do czego dąży licznik, gdy $x \to 2^-$: $$ x^2+5 \to 2^2+5 = 4+5 = 9 $$ Licznik dąży do liczby dodatniej. Obliczamy do czego dąży mianownik, gdy $x \to 2^-$. Skoro $x$ dąży do $2$ z lewej strony, to $x < 2$, więc $x-2 < 0$. Mianownik dąży do zera po wartościach ujemnych, co oznaczamy jako $0^-$. Mamy zatem wyrażenie typu $\frac{9}{0^-}$. Dzielenie liczby dodatniej przez liczbę dążącą do zera po wartościach ujemnych daje w wyniku minus nieskończoność. $$ \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2+5}{x-2} = -\infty $$ | $$ -\infty $$ |
| 10 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 3^+} \frac{5x-17}{x-3} $$ | Obliczamy do czego dąży licznik, gdy $x \to 3^+$: $$ 5x-17 \to 5 \cdot 3 - 17 = 15 - 17 = -2 $$ Licznik dąży do liczby ujemnej. Obliczamy do czego dąży mianownik, gdy $x \to 3^+$. Skoro $x$ dąży do $3$ z prawej strony, to $x > 3$, więc $x-3 > 0$. Mianownik dąży do zera po wartościach dodatnich, co oznaczamy jako $0^+$. Mamy zatem wyrażenie typu $\frac{-2}{0^+}$. Dzielenie liczby ujemnej przez liczbę dążącą do zera po wartościach dodatnich daje w wyniku minus nieskończoność. $$ \lim_{x \to 3^+} \frac{5x-17}{x-3} = -\infty $$ | $$ -\infty $$ |
| 11 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to 5^+} \frac{x^3-125}{|15-3x|} $$ | Badamy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Skoro $x \to 5^+$, to $x > 5$. Mnożąc obustronnie przez $-3$ otrzymujemy $-3x < -15$. Dodając $15$ do obu stron mamy $15-3x < 0$. Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, więc opuszczamy ją ze zmianą znaku: $$ |15-3x| = -(15-3x) = 3x-15 $$ Wyłączamy $3$ przed nawias: $$ 3x-15 = 3(x-5) $$ Rozkładamy licznik ze wzoru na różnicę sześcianów: $$ x^3-125 = (x-5)(x^2+5x+25) $$ Podstawiamy do granicy: $$ \lim_{x \to 5^+} \frac{(x-5)(x^2+5x+25)}{3(x-5)} $$ Skracamy czynnik $(x-5)$: $$ \lim_{x \to 5^+} \frac{x^2+5x+25}{3} $$ Podstawiamy $x=5$: $$ \frac{5^2+5 \cdot 5+25}{3} = \frac{25+25+25}{3} = \frac{75}{3} = 25 $$ | $$ 25 $$ |
| 12 | Oblicz granicę funkcji $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{25x^2+x+4}}{x+200} $$ | Wyciągamy najwyższą potęgę $x$ przed nawias pod pierwiastkiem: $$ \sqrt{x^2\left(25 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} = |x|\sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} $$ Ponieważ $x \to -\infty$, wartości $x$ są ujemne, więc $|x| = -x$. Licznik przyjmuje postać: $$ -x\sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} $$ W mianowniku wyciągamy $x$ przed nawias: $$ x+200 = x\left(1 + \frac{200}{x}\right) $$ Zapisujemy granicę: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}}{x\left(1 + \frac{200}{x}\right)} $$ Skracamy $x$: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{25 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}}{1 + \frac{200}{x}} $$ Ułamki z $x$ w mianowniku dążą do zera. Podstawiamy wartości graniczne: $$ \frac{-\sqrt{25 + 0 + 0}}{1 + 0} = \frac{-\sqrt{25}}{1} = -5 $$ | $$ -5 $$ |