Mając dane $a + b = 7$ oraz $ab = 6$, oblicz wartości wyrażeń: $a^2 + b^2$, $a^3 + b^3$, $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$.
Wskazówki:
• W zadaniach tego typu celem nie jest wyznaczanie pojedynczych wartości liczb $a$ oraz $b$ poprzez rozwiązywanie układu równań, lecz wyrażenie szukanych wielkości za pomocą danych wielkości symetrycznych: sumy $(a + b)$ oraz iloczynu $(ab)$.
• Wykorzystaj tożsamości algebraiczne powiązane ze wzorami skróconego mnożenia: kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oraz sześcian sumy $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ lub sumę sześcianów $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
• Pułapka: pamiętaj, że $a^2 + b^2 \neq (a + b)^2$ oraz $a^3 + b^3 \neq (a + b)^3$. Pominięcie wyrazów pośrednich to kardynalny błąd algebraiczny. Przy sumie ułamków nie wolno dodawać mianowników – sprowadź je do wspólnego mianownika $ab$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obliczenie wartości wyrażenia $a^2 + b^2$:
Przekształcamy wzór na kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, izolując sumę kwadratów: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$. Podstawiamy dane z treści zadania ($a + b = 7$ oraz $ab = 6$):
$$\begin{aligned}
a^2 + b^2 &= (a + b)^2 - 2ab \\[6pt]
&= 7^2 - 2 \cdot 6 \\[6pt]
&= 49 - 12 \\[6pt]
&= 37
\end{aligned}$$
Częsty błąd:
Nagminnym błędem jest zapis $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, z którego uczeń błędnie wnioskuje, że $a^2 + b^2 = 7^2 = 49$. Taka operacja ignoruje wyraz środkowy $2ab$. Kwadrat sumy jest sumą kwadratów powiększoną o podwojony iloczyn. Pominięcie tego składnika zniekształca wynik o wartość $2ab = 12$.
2. Obliczenie wartości wyrażenia $a^3 + b^3$:
Wartość sumy sześcianów możemy wyznaczyć na dwa niezależne sposoby:
Sposób I (zastosowanie tożsamości na sumę sześcianów):
Korzystamy ze wzoru $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. W drugim nawiasie grupujemy obliczoną wcześniej sumę kwadratów $a^2 + b^2 = 37$ oraz odejmujemy iloczyn $ab = 6$:
$$\begin{aligned}
a^3 + b^3 &= (a + b)\big((a^2 + b^2) - ab\big) \\[6pt]
&= 7 \cdot (37 - 6) \\[6pt]
&= 7 \cdot 31 \\[6pt]
&= 217
\end{aligned}$$
Sposób II (przekształcenie wzoru na sześcian sumy):
Rozwijamy sześcian sumy: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$. Wyznaczamy bezpośrednio sumę sześcianów:
$$\begin{aligned}
a^3 + b^3 &= (a + b)^3 - 3ab(a + b) \\[6pt]
&= 7^3 - 3 \cdot 6 \cdot 7 \\[6pt]
&= 343 - 126 \\[6pt]
&= 217
\end{aligned}$$
Częsty błąd:
Błędem jest uproszczenie $a^3 + b^3 = (a + b)^3 = 7^3 = 343$. Potęgowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, a pominięcie wyrazów pośrednich $3ab(a + b)$ zawyża wynik aż o $126$.
3. Obliczenie wartości wyrażenia $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$:
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, którym jest iloczyn $ab$. Rozszerzamy pierwszy ułamek przez $b$, a drugi przez $a$:
$$\begin{aligned}
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} &= \dfrac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \dfrac{1 \cdot a}{b \cdot a} \\[6pt]
&= \dfrac{b + a}{ab} \\[6pt]
&= \dfrac{a + b}{ab}
\end{aligned}$$
Podstawiamy wartości sumy oraz iloczynu ($a + b = 7$, $ab = 6$):
$$\begin{aligned}
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} &= \dfrac{7}{6} = 1\dfrac{1}{6}
\end{aligned}$$
Częsty błąd:
Karygodnym błędem przy dodawaniu ułamków zwykłych jest sumowanie licznika do licznika i mianownika do mianownika: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1+1}{a+b} = \frac{2}{7}$. Taka reguła łamie podstawowe zasady arytmetyki – ułamki o różnych mianownikach oznaczają części o różnej wielkości, dlatego bezpośrednie zsumowanie mianowników bez sprowadzenia do wspólnej bazy prowadzi do błędnego wyniku ($\frac{2}{7} \approx 0{,}29 \neq \frac{7}{6} \approx 1{,}17$).
Udowodnij, że jeśli $a+b=12$ oraz $a^2-b^2=84$, to $a-b=7$.
Wskazówki:
• Zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
• Podstaw dane z założeń zadania do iloczynowej postaci wyrażenia.
• Wyznacz wartość $a-b$ poprzez obustronne dzielenie przez znaną sumę $a+b$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Rozłożenie różnicy kwadratów na iloczyn:
Stosujemy tożsamość skróconego mnożenia:
$$\begin{aligned}
a^2 - b^2 &= (a-b)(a+b)
\end{aligned}$$
2. Podstawienie wartości z założeń:
W miejsce $a^2 - b^2$ wstawiamy $84$, a w miejsce $a+b$ wstawiamy $12$:
$$\begin{aligned}
84 &= (a-b) \cdot 12
\end{aligned}$$
3. Wyznaczenie różnicy $a-b$ i konkluzja:
Dzielimy obie strony równania przez $12$:
$$\begin{aligned}
a-b &= \dfrac{84}{12} \\[6pt]
&= 7
\end{aligned}$$
Otrzymaliśmy wartość z tezy zadania, co kończy dowód.
$a-b = \dfrac{a^2-b^2}{a+b} = \dfrac{84}{12} = 7$ (co kończy dowód).
3
Dane jest $ab=-4$ oraz $a+b=3$. Wykaż, że $a^3+b^3=63$.
Wskazówki:
• Wyraź sumę sześcianów $a^3+b^3$ za pomocą sumy $a+b$ i iloczynu $ab$.
• Przekształć niepełny kwadrat różnicy $(a^2 - ab + b^2)$ do postaci $(a+b)^2 - 3ab$.
• Po podstawieniu danych liczbowych wykonaj działania w nawiasie.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyprowadzenie tożsamości na sumę sześcianów:
Wychodzimy ze standardowego wzoru na sumę sześcianów:
$$\begin{aligned}
a^3 + b^3 &= (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\end{aligned}$$
Drugi nawias uzupełniamy do pełnego kwadratu sumy:
$$\begin{aligned}
a^2 - ab + b^2 &= (a^2 + 2ab + b^2) - 3ab \\[6pt]
&= (a+b)^2 - 3ab
\end{aligned}$$
Otrzymujemy zależność:
$$\begin{aligned}
a^3 + b^3 &= (a+b)\left[(a+b)^2 - 3ab\right]
\end{aligned}$$
2. Podstawienie danych liczbowych i obliczenie wartości:
Wstawiamy $a+b = 3$ oraz $ab = -4$:
$$\begin{aligned}
a^3 + b^3 &= 3 \cdot \left[3^2 - 3 \cdot (-4)\right] \\[6pt]
&= 3 \cdot (9 + 12) \\[6pt]
&= 3 \cdot 21 \\[6pt]
&= 63
\end{aligned}$$
Wartość wyrażenia wynosi $63$, co należało wykazać.
Wiedząc, że $a+b=6$ oraz $a^3b+ab^3=112$, oblicz wartość wyrażenia $ab$.
Wskazówki:
• Wyłącz wspólny czynnik $ab$ przed nawias z wyrażenia $a^3b+ab^3$.
• Zapisz sumę kwadratów $a^2+b^2$ jako $(a+b)^2 - 2ab$.
• Wprowadź zmienną pomocniczą $t = ab$ i rozwiąż powstałe równanie kwadratowe.
• Obowiązkowo sprawdź warunek istnienia rzeczywistych liczb $a$ i $b$ ($\Delta_u \ge 0$).
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Przekształcenie algebraiczne równania:
Wyłączamy iloczyn $ab$ przed nawias i zapisujemy sumę kwadratów przez sumę i iloczyn:
$$\begin{aligned}
a^3b + ab^3 &= ab(a^2 + b^2) \\[6pt]
&= ab\left[(a+b)^2 - 2ab\right]
\end{aligned}$$
2. Ułożenie i rozwiązanie równania kwadratowego:
Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = ab$ oraz podstawiamy $a+b = 6$ i wartość $112$:
$$\begin{aligned}
t \cdot (6^2 - 2t) &= 112 \\[6pt]
t(36 - 2t) &= 112 \\[6pt]
36t - 2t^2 &= 112 \\[6pt]
2t^2 - 36t + 112 &= 0
\end{aligned}$$
Dzielimy obie strony równania przez $2$:
$$\begin{aligned}
t^2 - 18t + 56 &= 0
\end{aligned}$$
Obliczamy wyróżnik $\Delta$ i pierwiastki trójmianu:
$$\begin{aligned}
\Delta &= (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 \\[6pt]
&= 324 - 224 = 100 \\[6pt]
\sqrt{\Delta} &= 10 \\[6pt]
t_1 &= \dfrac{18 - 10}{2} = 4 \\[6pt]
t_2 &= \dfrac{18 + 10}{2} = 14
\end{aligned}$$
3. Weryfikacja istnienia liczb rzeczywistych $a$ i $b$:
Liczby $a$ i $b$ o sumie $S=6$ i iloczynie $P=t$ są rozwiązaniami równania pomocniczego $u^2 - 6u + t = 0$.
Rozwiązania rzeczywiste istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego równania spełnia warunek $\Delta_u \ge 0$:
$$\begin{aligned}
\Delta_u &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot t \ge 0 \\[6pt]
36 - 4t &\ge 0 \\[6pt]
4t &\le 36 \implies t \le 9
\end{aligned}$$
4. Weryfikacja pierwiastków i konkluzja:
Dla $t = 14 > 9$ mamy $\Delta_u = 36 - 56 = -20 < 0$ (brak rozwiązań rzeczywistych dla $a, b$).
Dla $t = 4 \le 9$ mamy $\Delta_u = 36 - 16 = 20 > 0$ (istnieją rzeczywiste liczby $a, b$).
Zatem jedyną poprawną wartością iloczynu jest:
$$ab = 4$$
$ab=4$ (wartość $ab=14$ odrzucamy, gdyż dla niej $a,b \notin \mathbb{R}$).
6
Wykaż, że jeżeli $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2$, to $ad=-bc$.
Wskazówki:
• Wymnóż nawiasy po lewej stronie równości oraz rozwiń prawą stronę ze wzoru $(x-y)^2$.
• Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę równania i zredukuj wyrazy podobne.
• Zwiń otrzymane wyrażenie w kwadrat sumy $(ad+bc)^2 = 0$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wymnożenie lewej i prawej strony równości:
Rozwijamy lewą stronę równania:
$$\begin{aligned}
L &= (a^2+b^2)(c^2+d^2) \\[6pt]
&= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2
\end{aligned}$$
Rozwijamy prawą stronę za pomocą wzoru $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$$\begin{aligned}
P &= (ac-bd)^2 \\[6pt]
&= (ac)^2 - 2(ac)(bd) + (bd)^2 \\[6pt]
&= a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2
\end{aligned}$$
2. Redukcja wyrazów podobnych i porządkowanie:
Przyrównujemy obie strony równania:
$$\begin{aligned}
a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 &= a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2
\end{aligned}$$
Odejmujemy obustronnie $a^2c^2$ oraz $b^2d^2$:
$$\begin{aligned}
a^2d^2 + b^2c^2 &= -2abcd
\end{aligned}$$
Przenosimy wyraz $-2abcd$ na lewą stronę:
$$\begin{aligned}
a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2 &= 0
\end{aligned}$$
3. Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia i wniosek:
Zwijamy lewą stronę do kwadratu sumy:
$$\begin{aligned}
(ad)^2 + 2(ad)(bc) + (bc)^2 &= 0 \\[6pt]
(ad + bc)^2 &= 0
\end{aligned}$$
Kwadrat liczby rzeczywistej jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy liczba podnoszona do kwadratu wynosi zero:
$$\begin{aligned}
ad + bc &= 0 \\[6pt]
ad &= -bc
\end{aligned}$$
Co kończy dowód tożsamości.
$(ad+bc)^2 = 0 \iff ad = -bc$ (co należało wykazać).
7
Uzasadnij, że jeżeli $a+b=2$ i $a^2+b^2=10$, to $a^4+b^4=82$.
Wskazówki:
• Wyznacz iloczyn $ab$ na podstawie wzoru na kwadrat sumy $(a+b)^2$.
• Podnieś sumę kwadratów $a^2+b^2=10$ obustronnie do kwadratu.
• Przekształć równanie i wstaw wyliczoną wcześniej wartość $ab$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyznaczenie wartości iloczynu $ab$:
Stosujemy tożsamość na kwadrat sumy:
$$\begin{aligned}
(a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\[6pt]
(a+b)^2 &= (a^2 + b^2) + 2ab
\end{aligned}$$
Podstawiamy dane $a+b=2$ oraz $a^2+b^2=10$:
$$\begin{aligned}
2^2 &= 10 + 2ab \\[6pt]
4 &= 10 + 2ab \\[6pt]
2ab &= 4 - 10 = -6 \\[6pt]
ab &= -3
\end{aligned}$$
2. Podniesienie sumy kwadratów do kwadratu:
Podnosimy obustronnie równość $a^2+b^2 = 10$ do kwadratu:
$$\begin{aligned}
(a^2+b^2)^2 &= 10^2 \\[6pt]
(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 &= 100 \\[6pt]
a^4 + 2(ab)^2 + b^4 &= 100
\end{aligned}$$
3. Obliczenie sumy czwartych potęg $a^4+b^4$:
Przenosimy wyraz środkowy na prawą stronę i podstawiamy $ab = -3$:
$$\begin{aligned}
a^4 + b^4 &= 100 - 2(ab)^2 \\[6pt]
&= 100 - 2 \cdot (-3)^2 \\[6pt]
&= 100 - 2 \cdot 9 \\[6pt]
&= 100 - 18 \\[6pt]
&= 82
\end{aligned}$$
Wartość wyrażenia wynosi $82$, co kończy uzasadnienie.
Udowodnij, że jeżeli $a \neq b$ oraz $a^2-a=b^2-b$, to $a+b=1$.
Wskazówki:
• Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę równania.
• Pogrupuj wyrazy w różnicę kwadratów $(a^2-b^2)$ oraz różnicę wyrazów pierwszego stopnia $-(a-b)$.
• Rozłóż wyrażenie na czynniki, wyłączając wspólny nawias $(a-b)$.
• Skorzystaj z założenia $a \neq b$, co oznacza, że $a - b \neq 0$.
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Przeniesienie wyrazów na jedną stronę i grupowanie:
Wychodzimy z danego równania:
$$\begin{aligned}
a^2 - a &= b^2 - b \\[6pt]
a^2 - b^2 - a + b &= 0 \\[6pt]
(a^2 - b^2) - (a - b) &= 0
\end{aligned}$$
2. Rozkład na czynniki:
Rozwijamy różnicę kwadratów i wyłączamy wspólny czynnik $(a-b)$:
$$\begin{aligned}
(a-b)(a+b) - (a-b) \cdot 1 &= 0 \\[6pt]
(a-b)\left[(a+b) - 1\right] &= 0
\end{aligned}$$
3. Wykorzystanie założenia $a \neq b$ i konkluzja:
Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem.
Z założenia $a \neq b$ wynika, że:
$$\begin{aligned}
a - b \neq 0
\end{aligned}$$
Możemy zatem podzielić obie strony równania przez $(a-b) \neq 0$:
$$\begin{aligned}
(a+b) - 1 &= 0 \\[6pt]
a + b &= 1
\end{aligned}$$
Teza została udowodniona.
$a+b=1$ (z postaci $(a-b)(a+b-1)=0$ przy warunku $a-b \neq 0$).
Podstawienie wartości z treści zadania:
Wstawiamy $a-b = \sqrt{5}$ oraz $ab = 7$:
$$
\begin{aligned}
a^2 + b^2 &= \left(\sqrt{5}\right)^2 + 2 \cdot 7 \\[6pt]
&= 5 + 14 \\[6pt]
&= 19
\end{aligned}
$$
Wynik wynosi $19$, co kończy dowód.
Wiedząc, że $a+b=7$ oraz $a^3b+ab^3=290$, oblicz wartość wyrażenia $ab$.
Wskazówka: Wyłączamy $ab$ przed nawias, przekształcamy do równania kwadratowego i weryfikujemy istnienie liczb rzeczywistych $a, b$ za pomocą warunku $\Delta_u \ge 0$.
Weryfikacja istnienia liczb rzeczywistych $a$ i $b$:
Dla sumy $S=7$ i iloczynu $P=t$ układ równań sprowadza się do równania $u^2 - 7u + t = 0$.
Warunek istnienia rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych:
$$
\begin{aligned}
\Delta_u &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot t \ge 0 \\[6pt]
49 - 4t &\ge 0 \\[6pt]
4t &\le 49 \implies t \le 12{,}25
\end{aligned}
$$
Dla $t=14{,}5$ warunek nie jest spełniony ($14{,}5 > 12{,}25$, $\Delta_u = -9 < 0$).
Dla $t=10$ mamy $10 \le 12{,}25$ oraz $\Delta_u = 49 - 40 = 9 > 0$.
Zatem poprawną wartością jest $ab=10$.
$ab=10$ (wartość $ab=14{,}5$ odrzucamy, gdyż dla niej $a,b \notin \mathbb{R}$).
6
Wykaż, że jeżeli $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2$, to $ad=bc$.
Wskazówka: Wymnażamy wyrażenia po obu stronach tożsamości i zwijamy uproszczone równanie w kwadrat różnicy $(x-y)^2$.
Wymnożenie obu stron równości:
Lewa strona równania:
$$
\begin{aligned}
L &= (a^2+b^2)(c^2+d^2) \\[6pt]
&= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2
\end{aligned}
$$
Prawa strona równania ze wzoru $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$$
\begin{aligned}
P &= (ac+bd)^2 \\[6pt]
&= (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 \\[6pt]
&= a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2
\end{aligned}
$$
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy:
Lewą stronę zapisujemy jako kwadrat różnicy:
$$
\begin{aligned}
(ad - bc)^2 &= 0
\end{aligned}
$$
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zerem tylko wtedy, gdy sama liczba wynosi zero:
$$
\begin{aligned}
ad - bc &= 0 \\[6pt]
ad &= bc
\end{aligned}
$$
Tożsamość została udowodniona.
$(ad-bc)^2 = 0 \iff ad = bc$ (co należało wykazać).
7
Uzasadnij, że jeżeli $a+b=3$ i $a^2+b^2=17$, to $a^4+b^4=257$.
Wskazówka: Obliczamy iloczyn $ab$ na podstawie sumy $a+b$ i sumy kwadratów $a^2+b^2$, a następnie potęgujemy wyrażenie $a^2+b^2$.
Udowodnij, że jeżeli $x \neq y$ oraz $x^2+x=y^2+y$, to $x+y=-1$.
Wskazówka: Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, grupujemy w różnicę kwadratów i różnicę wyrazów liniowych, po czym korzystamy z założenia $x - y \neq 0$.
Przeniesienie na jedną stronę i grupowanie:
Wychodzimy z równości wyjściowej:
$$
\begin{aligned}
x^2 + x &= y^2 + y \\[6pt]
x^2 - y^2 + x - y &= 0 \\[6pt]
(x^2 - y^2) + (x - y) &= 0
\end{aligned}
$$
Wyciągnięcie wniosku z założenia $x \neq y$:
Z treści zadania wynika, że:
$$
\begin{aligned}
x \neq y \implies x - y \neq 0
\end{aligned}
$$
Dzielimy obie strony równania przez $(x-y) \neq 0$:
$$
\begin{aligned}
(x+y) + 1 &= 0 \\[6pt]
x+y &= -1
\end{aligned}
$$
Teza została udowodniona.
$x+y = -1$ (z postaci $(x-y)(x+y+1)=0$ przy warunku $x-y \neq 0$).
Udowodnij, że jeśli $a+b=14$ oraz $a^2-b^2=98$, to $a-b=7$.
Zastosowany wzór: Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Rozpisanie różnicy kwadratów:
Zapisujemy lewą stronę w postaci iloczynowej:
$$
\begin{aligned}
a^2 - b^2 &= (a-b)(a+b)
\end{aligned}
$$
Podstawienie wartości z założeń:
Podstawiamy $a^2 - b^2 = 98$ oraz $a+b = 14$:
$$
\begin{aligned}
98 &= (a-b) \cdot 14
\end{aligned}
$$
Wyznaczenie różnicy $a-b$:
Dzielimy obie strony równania przez $14$:
$$
\begin{aligned}
a-b &= \dfrac{98}{14} \\[6pt]
a-b &= 7
\end{aligned}
$$
Co kończy dowód.
$a-b = \dfrac{a^2-b^2}{a+b} = \dfrac{98}{14} = 7$ (co kończy dowód).
3
Dane jest $ab=-6$ oraz $a+b=5$. Wykaż, że $a^3+b^3=215$.
Wskazówka: Wyrażamy sumę sześcianów przez sumę $a+b$ i iloczyn $ab$.
Tożsamość na sumę sześcianów:
Korzystamy z postaci:
$$
\begin{aligned}
a^3 + b^3 &= (a+b)\left[(a+b)^2 - 3ab\right]
\end{aligned}
$$
Podstawienie wartości liczbowych:
Wstawiamy $a+b = 5$ oraz $ab = -6$:
$$
\begin{aligned}
a^3 + b^3 &= 5 \cdot \left[5^2 - 3 \cdot (-6)\right] \\[6pt]
&= 5 \cdot (25 + 18) \\[6pt]
&= 5 \cdot 43 \\[6pt]
&= 215
\end{aligned}
$$
Wartość wyrażenia wynosi $215$, co należało wykazać.
Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy:
Zwijamy lewą stronę do kwadratu sumy:
$$
\begin{aligned}
(xw + yz)^2 &= 0
\end{aligned}
$$
Kwadrat liczby rzeczywistej wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba jest zerem:
$$
\begin{aligned}
xw + yz &= 0 \\[6pt]
xw &= -yz
\end{aligned}
$$
Co kończy dowód tożsamości.
$(xw+yz)^2 = 0 \iff xw = -yz$ (co należało wykazać).
7
Uzasadnij, że jeżeli $a+b=4$ i $a^2+b^2=20$, to $a^4+b^4=392$.
Wskazówka: Wyznaczamy iloczyn $ab$ na podstawie wzoru na $(a+b)^2$, a następnie potęgujemy sumę kwadratów $a^2+b^2$.
Udowodnij, że jeżeli $p \neq q$ oraz $p^2-p=q^2-q$, to $p+q=1$.
Wskazówka: Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, grupujemy je w różnicę kwadratów i różnicę wyrazów pierwszego stopnia, po czym korzystamy z założenia $p - q \neq 0$.
Przeniesienie na jedną stronę i grupowanie:
Wychodzimy z danego równania:
$$
\begin{aligned}
p^2 - p &= q^2 - q \\[6pt]
p^2 - q^2 - p + q &= 0 \\[6pt]
(p^2 - q^2) - (p - q) &= 0
\end{aligned}
$$
Rozkład na czynniki:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów $p^2 - q^2 = (p-q)(p+q)$:
$$
\begin{aligned}
(p-q)(p+q) - (p-q) \cdot 1 &= 0 \\[6pt]
(p-q)\left[(p+q) - 1\right] &= 0
\end{aligned}
$$
Wykorzystanie założenia $p \neq q$:
Z założenia wiemy, że:
$$
\begin{aligned}
p \neq q \implies p - q \neq 0
\end{aligned}
$$
Dzielimy obie strony równania przez $(p-q) \neq 0$:
$$
\begin{aligned}
(p+q) - 1 &= 0 \\[6pt]
p + q &= 1
\end{aligned}
$$
Teza została udowodniona.
$p+q = 1$ (z postaci $(p-q)(p+q-1)=0$ przy warunku $p-q \neq 0$).
Udowodnij, że jeśli $a+b=13$ oraz $a^2-b^2=91$, to $a-b=7$.
Zastosowany wzór: Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Rozłożenie różnicy kwadratów:
Zapisujemy lewą stronę w postaci iloczynowej:
$$
\begin{aligned}
a^2 - b^2 &= (a-b)(a+b)
\end{aligned}
$$
Podstawienie wartości z założeń:
Podstawiamy $a^2 - b^2 = 91$ oraz $a+b = 13$:
$$
\begin{aligned}
91 &= (a-b) \cdot 13
\end{aligned}
$$
Wyznaczenie różnicy $a-b$:
Dzielimy obie strony równania przez $13$:
$$
\begin{aligned}
a-b &= \dfrac{91}{13} \\[6pt]
a-b &= 7
\end{aligned}
$$
Co kończy dowód twierdzenia.
$a-b = \dfrac{a^2-b^2}{a+b} = \dfrac{91}{13} = 7$ (co kończy dowód).
3
Dane jest $ab=-7$ oraz $a+b=4$. Wykaż, że $a^3+b^3=148$.
Wskazówka: Wyrażamy sumę sześcianów przez sumę $a+b$ i iloczyn $ab$.
Wiedząc, że $a+b=9$ oraz $a^3b+ab^3=810$, oblicz wartość wyrażenia $ab$.
Wskazówka: Wyłączamy $ab$ przed nawias, przekształcamy do równania kwadratowego i weryfikujemy istnienie liczb rzeczywistych $a, b$ za pomocą warunku $\Delta_u \ge 0$.
Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy:
Zwijamy lewą stronę:
$$
\begin{aligned}
(kn + lm)^2 &= 0
\end{aligned}
$$
Kwadrat liczby rzeczywistej wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba jest zerem:
$$
\begin{aligned}
kn + lm &= 0 \\[6pt]
kn &= -lm
\end{aligned}
$$
Co kończy dowód tożsamości.
$(kn+lm)^2 = 0 \iff kn = -lm$ (co należało wykazać).
7
Uzasadnij, że jeżeli $a+b=5$ i $a^2+b^2=29$, to $a^4+b^4=833$.
Wskazówka: Obliczamy iloczyn $ab$ z tożsamości na $(a+b)^2$, a następnie podnosimy do kwadratu sumę $a^2+b^2$.
Udowodnij, że jeżeli $u \neq v$ oraz $u^2-u=v^2-v$, to $u+v=1$.
Wskazówka: Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, grupujemy je w różnicę kwadratów i różnicę wyrazów pierwszego stopnia, po czym korzystamy z założenia $u - v \neq 0$.
Przeniesienie na jedną stronę i grupowanie:
Wychodzimy z danego równania:
$$
\begin{aligned}
u^2 - u &= v^2 - v \\[6pt]
u^2 - v^2 - u + v &= 0 \\[6pt]
(u^2 - v^2) - (u - v) &= 0
\end{aligned}
$$
Rozkład na czynniki:
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$:
$$
\begin{aligned}
(u-v)(u+v) - (u-v) \cdot 1 &= 0 \\[6pt]
(u-v)\left[(u+v) - 1\right] &= 0
\end{aligned}
$$
Wykorzystanie założenia $u \neq v$:
Z założenia wiemy, że:
$$
\begin{aligned}
u \neq v \implies u - v \neq 0
\end{aligned}
$$
Dzielimy obie strony równania przez $(u-v) \neq 0$:
$$
\begin{aligned}
(u+v) - 1 &= 0 \\[6pt]
u + v &= 1
\end{aligned}
$$
Teza została udowodniona.
$u+v = 1$ (z postaci $(u-v)(u+v-1)=0$ przy warunku $u-v \neq 0$).
