Funkcja logarytmiczna sprawdzian

Funkcja logarytmiczna

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (5 pkt)

Oblicz:

a) $\log_{0{,}1} 1000$

b) $\log_7 343 - \log_7 1$

c) $\log_{\sqrt[3]{5}} \sqrt{5}$

d) $\log_{16} 64$

e) $10^{3\log_{10} 5}$

Wskazówki:

Definicja logarytmu: $\log_a b = c \iff a^c = b$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.
Przedstawianie liczb w postaci potęg o tej samej podstawie: $0{,}1 = 10^{-1}$, $1000 = 10^3$, $16 = 2^4$, $64 = 2^6$.
Zamiana pierwiastków na potęgi o wykładniku ułamkowym: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Dla dowolnej podstawy $a > 0$ i $a \neq 1$ zachodzi: $\log_a 1 = 0$ oraz $\log_a a = 1$.
Własność potęgi logarytmu: $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ oraz tożsamość logarytmiczna: $a^{\log_a x} = x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy wyrażenie $\log_{0{,}1} 1000$:
Niech $\log_{0{,}1} 1000 = x$. Z definicji logarytmu otrzymujemy równanie wykładnicze: $$(0{,}1)^x = 1000$$ Zapisujemy ułamek dziesiętny oraz liczbę $1000$ jako potęgi liczby $10$: $$0{,}1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$$ $$1000 = 10^3$$ Podstawiamy do równania: $$\begin{aligned} (10^{-1})^x &= 10^3 \\[8pt] 10^{-x} &= 10^3 \end{aligned}$$ Ponieważ podstawy potęg są równe, przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} -x &= 3 \\[8pt] x &= -3 \end{aligned}$$ Zatem: $$\log_{0{,}1} 1000 = -3$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy wyrażenie $\log_7 343 - \log_7 1$:
Obliczamy wartość każdego logarytmu oddzielnie.

Dla pierwszego składnika $\log_7 343$: szukamy wykładnika, do którego należy podnieść liczbę $7$, aby otrzymać $343$. Ponieważ: $$7^1 = 7, \quad 7^2 = 49, \quad 7^3 = 343$$ to: $$\log_7 343 = 3$$ Dla drugiego składnika $\log_7 1$: każda liczba podniesiona do potęgi $0$ daje $1$, czyli $7^0 = 1$, zatem: $$\log_7 1 = 0$$ Odejmujemy otrzymane wartości: $$\log_7 343 - \log_7 1 = 3 - 0 = 3$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy wyrażenie $\log_{\sqrt[3]{5}} \sqrt{5}$:
Niech $\log_{\sqrt[3]{5}} \sqrt{5} = x$. Z definicji logarytmu mamy: $$\left(\sqrt[3]{5}\right)^x = \sqrt{5}$$ Zapisujemy oba pierwiastki w postaci potęg o podstawie $5$: $$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$$ $$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$$ Podstawiamy otrzymane potęgi do równania: $$\begin{aligned} \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^x &= 5^{\frac{1}{2}} \\[8pt] 5^{\frac{1}{3}x} &= 5^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$ Przyrównujemy wykładniki potęg: $$\frac{1}{3}x = \frac{1}{2}$$ Mnożymy obustronnie przez $3$: $$x = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$$ Zatem: $$\log_{\sqrt[3]{5}} \sqrt{5} = \frac{3}{2}$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy wyrażenie $\log_{16} 64$:

Sposób I – Z definicji logarytmu i sprowadzenia do wspólnej podstawy:
Niech $\log_{16} 64 = x$. Zapisujemy równanie wykładnicze: $$16^x = 64$$ Sprowadzamy obie liczby do potęg o podstawie $2$: $$16 = 2^4, \quad 64 = 2^6$$ Wstawiamy potęgi do równania: $$\begin{aligned} (2^4)^x &= 2^6 \\[8pt] 2^{4x} &= 2^6 \end{aligned}$$ Przyrównujemy wykładniki: $$\begin{aligned} 4x &= 6 \\[8pt] x &= \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu:
Korzystamy ze wzoru $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$, wybierając nową podstawę $c = 2$: $$\begin{aligned} \log_{16} 64 &= \frac{\log_2 64}{\log_2 16} \\[8pt] &= \frac{\log_2 (2^6)}{\log_2 (2^4)} \\[8pt] &= \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{aligned}$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy wyrażenie $10^{3\log_{10} 5}$:
W przekształceniu wykorzystujemy własność logarytmu dotyczącą wnoszenia współczynnika liczbowego do wykładnika liczby logarytmowanej: $$k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$$ Wykładnik potęgi przyjmuje postać: $$3\log_{10} 5 = \log_{10} (5^3) = \log_{10} 125$$ Wstawiamy przekształcony wykładnik do wyrażenia początkowego: $$10^{3\log_{10} 5} = 10^{\log_{10} 125}$$ Korzystamy z tożsamości logarytmicznej $a^{\log_a x} = x$ (dla $a = 10$): $$10^{\log_{10} 125} = 125$$

Odpowiedź:
a) $-3$

b) $3$

c) $\dfrac{3}{2}$

d) $\dfrac{3}{2}$

e) $125$

Zadanie 2 (3 pkt)

Wiedząc, że $\log_3 2 = a$, oblicz $\log_{12} 18$.

Wskazówki:

Skorzystaj ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu: $\log_b c = \dfrac{\log_a c}{\log_a b}$. Wybierz bazową podstawę, która występuje w założeniu ($3$) lub w liczbie logarytmowanej ($2$).
Rozłóż liczby $18$ oraz $12$ na iloczyny czynników pierwszych (czyli potęg liczb $2$ i $3$).
Zastosuj twierdzenia o logarytmie iloczynu: $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ oraz o logarytmie potęgi: $\log_a(x^k) = k \cdot \log_a x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Zamiana podstawy logarytmu na podstawę 3:
Wychodzimy z szukanego wyrażenia $\log_{12} 18$. Ponieważ w treści zadania dana jest wartość logarytmu o podstawie $3$ ($\log_3 2 = a$), sprowadzamy szukany logarytm do podstawy $3$ przy użyciu wzoru na zamianę podstawy: $$ \log_{12} 18 = \dfrac{\log_3 18}{\log_3 12} $$ Rozkładamy liczby $18$ oraz $12$ na czynniki pierwsze: $$ 18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2 $$ $$ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $$ Przekształcamy licznik ułamka, stosując własność logarytmu iloczynu oraz logarytmu potęgi: $$ \begin{aligned} \log_3 18 &= \log_3(2 \cdot 3^2) \\[8pt] &= \log_3 2 + \log_3(3^2) \\[8pt] &= \log_3 2 + 2\log_3 3 \end{aligned} $$ Wiedząc, że $\log_3 3 = 1$ oraz $\log_3 2 = a$, otrzymujemy: $$ \log_3 18 = a + 2 \cdot 1 = a + 2 $$ W ten sam sposób rozpisujemy mianownik ułamka: $$ \begin{aligned} \log_3 12 &= \log_3(2^2 \cdot 3) \\[8pt] &= \log_3(2^2) + \log_3 3 \\[8pt] &= 2\log_3 2 + 1 \end{aligned} $$ Podstawiając $\log_3 2 = a$, uzyskujemy: $$ \log_3 12 = 2a + 1 $$ Wstawiamy obliczone wartości licznika i mianownika do wyjściowego ilorazu: $$ \log_{12} 18 = \dfrac{a + 2}{2a + 1} $$
Sposób II – Zamiana podstawy logarytmu na podstawę 2:
Możemy również sprowadzić szukany logarytm do podstawy $2$. Korzystając z twierdzenia o zamianie podstaw logarytmu $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$, wyznaczamy wartość $\log_2 3$: $$ \log_2 3 = \dfrac{1}{\log_3 2} = \dfrac{1}{a} $$ Przekształcamy wyrażenie $\log_{12} 18$ do podstawy $2$: $$ \log_{12} 18 = \dfrac{\log_2 18}{\log_2 12} $$ Wyznaczamy osobno licznik i mianownik: $$ \begin{aligned} \log_2 18 &= \log_2(2 \cdot 3^2) \\[8pt] &= \log_2 2 + 2\log_2 3 \\[8pt] &= 1 + 2 \cdot \dfrac{1}{a} \\[8pt] &= 1 + \dfrac{2}{a} = \dfrac{a + 2}{a} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \log_2 12 &= \log_2(2^2 \cdot 3) \\[8pt] &= \log_2(2^2) + \log_2 3 \\[8pt] &= 2 + \dfrac{1}{a} = \dfrac{2a + 1}{a} \end{aligned} $$ Dzielimy wyznaczony licznik przez mianownik: $$ \begin{aligned} \log_{12} 18 &= \dfrac{\dfrac{a + 2}{a}}{\dfrac{2a + 1}{a}} \\[8pt] &= \dfrac{a + 2}{a} \cdot \dfrac{a}{2a + 1} \\[8pt] &= \dfrac{a + 2}{2a + 1} \end{aligned} $$

Odpowiedź:
$\log_{12} 18 = \dfrac{a + 2}{2a + 1}$

Zadanie 3 (3 pkt)

Określ dziedzinę funkcji $f(x) = \log_{(x+1)}(9 - x^2)$.[cite: 2]

Wskazówki:

Wyrażenie $\log_a(b)$ ma sens liczbowy wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są jednocześnie trzy warunki: liczba logarytmowana jest dodatnia ($b > 0$), podstawa logarytmu jest dodatnia ($a > 0$) oraz podstawa jest różna od jeden ($a \neq 1$).
Rozwiąż nierówność kwadratową dla liczby logarytmowanej, wyznaczając jej pierwiastki i określając przedział, w którym parabola leży powyżej osi $OX$.
Rozwiąż warunki liniowe dla podstawy logarytmu.
Wyznacz część wspólną wszystkich otrzymanych przedziałów i zbiorów na osi liczbowej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie układu warunków określających dziedzinę funkcji logarytmicznej:
Wzór funkcji ma postać $f(x) = \log_{(x+1)}(9 - x^2)$[cite: 2]. Zgodnie z definicją logarytmu podstawa i liczba logarytmowana muszą spełniać następujący układ warunków: $$\begin{cases} 9 - x^2 > 0 \\[8pt] x + 1 > 0 \\[8pt] x + 1 \neq 1 \end{cases}$$
Rozwiązanie nierówności dla liczby logarytmowanej $9 - x^2 > 0$:
Rozkładamy lewą stronę nierówności na czynniki, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$(3 - x)(3 + x) > 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe: $$\begin{aligned} 3 - x = 0 \quad &\lor \quad 3 + x = 0 \\[8pt] x_1 = 3 \quad &\lor \quad x_2 = -3 \end{aligned}$$ Współczynnik przy $x^2$ wynosi $-1 < 0$, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Wartości ściśle większe od zera funkcja przyjmuje pomiędzy miejscami zerowymi: $$x \in (-3, 3)$$
Rozwiązanie warunków dla podstawy logarytmu:
Podstawa logarytmu wynosi $x + 1$. Wyznaczamy wartości argumentów spełniających warunki: $$\begin{aligned} x + 1 &> 0 \\[8pt] x &> -1 \\[8pt] x &\in (-1, +\infty) \end{aligned}$$ oraz warunek różności podstawy od jedynki: $$\begin{aligned} x + 1 &\neq 1 \\[8pt] x &\neq 0 \end{aligned}$$
Wyznaczenie części wspólnej wszystkich warunków na osi liczbowej:
Dziedziną funkcji $D$ jest iloczyn zbiorów otrzymanych w poprzednich krokach: $$D = (-3, 3) \cap (-1, +\infty) \setminus \{0\}$$ Częścią wspólną przedziałów $(-3, 3)$ oraz $(-1, +\infty)$ jest przedział $(-1, 3)$. Po wykluczeniu liczby $0$ otrzymujemy sumę dwóch przedziałów otwartych: $$D = (-1, 0) \cup (0, 3)$$

Odpowiedź:
$D = (-1, 0) \cup (0, 3)$

Zadanie 4 (4 pkt)

Dana jest funkcja $f(x) = \left|\log_{\frac{1}{2}}(x-3)\right| - 2$. Określ jej miejsca zerowe i zbiór wartości.

Wskazówki:

Rozpocznij od wyznaczenia dziedziny funkcji – wyrażenie logarytmowane musi być ściśle dodatnie ($x - 3 > 0$).
Miejsca zerowe wyznaczysz przyrównując wzór funkcji do zera: $|a| = 2 \iff a = 2 \lor a = -2$. Sprawdź, czy uzyskane argumenty należą do dziedziny.
Zbiór wartości możesz ustalić analitycznie (wartość bezwzględna przyjmuje wartości nieujemne, a jej minimum to $0$) lub za pomocą kolejnych przekształceń geometrycznych wykresu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych (metoda algebraiczna):
Wyrażenie stojące pod znakiem logarytmu musi być dodatnie: $$x - 3 > 0 \iff x > 3$$ Dziedzina funkcji wynosi: $$D = (3, +\infty)$$ Przyrównujemy funkcję do zera, aby znaleźć miejsca zerowe: $$\begin{aligned} f(x) &= 0 \\[8pt] \left|\log_{\frac{1}{2}}(x-3)\right| - 2 &= 0 \\[8pt] \left|\log_{\frac{1}{2}}(x-3)\right| &= 2 \end{aligned}$$ Korzystamy z własności wartości bezwzględnej ($|t| = 2 \iff t = 2 \lor t = -2$):

• Przypadek 1: $$\begin{aligned} \log_{\frac{1}{2}}(x-3) &= 2 \\[8pt] x - 3 &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\[8pt] x - 3 &= \dfrac{1}{4} \\[8pt] x_1 &= 3 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25 \end{aligned}$$ Ponieważ $3{,}25 > 3$, argument $x_1 = \dfrac{13}{4} \in D$.

• Przypadek 2: $$\begin{aligned} \log_{\frac{1}{2}}(x-3) &= -2 \\[8pt] x - 3 &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \\[8pt] x - 3 &= 2^2 \\[8pt] x - 3 &= 4 \\[8pt] x_2 &= 7 \end{aligned}$$ Ponieważ $7 > 3$, argument $x_2 = 7 \in D$.
Sposób I – Wyznaczenie zbioru wartości (metoda algebraiczna):
Dla każdego $x \in (3, +\infty)$ wyrażenie $(x - 3)$ przyjmuje wszystkie liczby z przedziału $(0, +\infty)$. Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej $\log_{\frac{1}{2}} t$ dla $t > 0$ jest cały zbiór liczb rzeczywistych: $$\log_{\frac{1}{2}}(x-3) \in (-\infty, +\infty)$$ Wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna: $$\left|\log_{\frac{1}{2}}(x-3)\right| \ge 0$$ Najmniejsza możliwa wartość modułu wynosi $0$ i jest osiągana dla: $$\log_{\frac{1}{2}}(x-3) = 0 \iff x - 3 = 1 \iff x = 4$$ Odejmując liczbę $2$ od obu stron nierówności, otrzymujemy: $$\begin{aligned} \left|\log_{\frac{1}{2}}(x-3)\right| - 2 &\ge 0 - 2 \\[8pt] f(x) &\ge -2 \end{aligned}$$ Gdy $x \to 3^+$ lub $x \to +\infty$, wartości funkcji rosną nieograniczenie do $+\infty$. Zatem zbiór wartości funkcji to: $$ZW = [-2, +\infty) \quad \text{czyli} \quad \langle -2, +\infty)$$
Sposób II – Metoda graficzna (przekształcenia wykresów i rysunek wynikowy):
Wykres funkcji $f(x)$ możemy uzyskać, wykonując sekwencję przekształceń geometrycznych wykresu bazowego: $$\begin{aligned} y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x &\xrightarrow{\vec{u} = [3, 0]} y_1 = \log_{\frac{1}{2}}(x-3) \\[8pt] &\xrightarrow{|\cdot|} y_2 = \left|\log_{\frac{1}{2}}(x-3)\right| \\[8pt] &\xrightarrow{\vec{v} = [0, -2]} f(x) = \left|\log_{\frac{1}{2}}(x-3)\right| - 2 \end{aligned}$$ • Przesunięcie o $3$ jednostki w prawo ustala pionową asymptotę $x = 3$ oraz dziedzinę $(3, +\infty)$.
• Nałożenie modułu odbija symetrycznie część leżącą pod osią $OX$ do góry – funkcja osiąga minimum równe $0$ w punkcie $(4, 0)$.
• Przesunięcie o $2$ jednostki w dół przemieszcza punkt minimum do $(4, -2)$.

Z wykresu odczytujemy:
• Punkty przecięcia z osią $OX$: $x = \dfrac{13}{4} = 3\dfrac{1}{4}$ oraz $x = 7$.
• Najniższą wartością funkcji jest rzędna wierzchołka $y = -2$, skąd $ZW = [-2, +\infty)$.

Odpowiedź:
Miejsca zerowe: $x = \dfrac{13}{4} = 3\dfrac{1}{4}$ oraz $x = 7$

Zbiór wartości: $ZW = [-2, +\infty) = \langle -2, +\infty)$

Zadanie 5 (3 pkt)

Wiedząc, że $\log_9 4 = a$ oraz $\log_4 7 = b$, wyraź za pomocą $a$ i $b$ liczbę $\log_3 \sqrt{7}$.

Wskazówki:

Zauważ, że szukana liczba ma podstawę $3$. Przekształć wyrażenie $\log_3 \sqrt{7}$, korzystając ze związku $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$ oraz wzoru na logarytm potęgi: $\log_c (x^r) = r \log_c x$.
Użyj wzoru na zamianę podstawy logarytmu $\log_c d = \dfrac{\log_k d}{\log_k c}$, aby sprowadzić podane wartości $\log_9 4$ i $\log_4 7$ do wspólnej podstawy równej $3$.
Powiąż otrzymane wyrażenia, wyznaczając kolejno $\log_3 4$ oraz $\log_3 7$ za pomocą parametrów $a$ i $b$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Sprowadzenie wszystkich logarytmów do podstawy równej 3:
Przekształcamy najpierw liczbę, którą mamy wyznaczyć: $$\begin{aligned} \log_3 \sqrt{7} &= \log_3 \left(7^{\frac{1}{2}}\right) \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \log_3 7 \end{aligned}$$ Aby wyznaczyć wartość $\log_3 7$, sprowadzamy podane w treści zadania logarytmy do podstawy $3$, stosując wzór na zamianę podstawy $\log_c d = \dfrac{\log_3 d}{\log_3 c}$.

Dla pierwszego warunku $\log_9 4 = a$: $$\begin{aligned} \log_9 4 &= \dfrac{\log_3 4}{\log_3 9} \\[8pt] &= \dfrac{\log_3 4}{2} \end{aligned}$$ Otrzymujemy zatem równanie: $$\dfrac{\log_3 4}{2} = a \implies \log_3 4 = 2a$$ Dla drugiego warunku $\log_4 7 = b$: $$\log_4 7 = \dfrac{\log_3 7}{\log_3 4} = b$$ Mnożymy obie strony przez mianownik $\log_3 4$: $$\log_3 7 = b \cdot \log_3 4$$ Wstawiamy wcześniej obliczoną wartość $\log_3 4 = 2a$: $$\log_3 7 = b \cdot 2a = 2ab$$ Podstawiamy wyznaczoną wartość $\log_3 7$ do wyrażenia na szukaną liczbę: $$\begin{aligned} \log_3 \sqrt{7} &= \dfrac{1}{2} \log_3 7 \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 2ab \\[8pt] &= ab \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie reguły łańcuchowej (wzoru na iloczyn logarytmów):
Wychodzimy z własności zamiany podstawy w postaci iloczynu: $$\log_c d \cdot \log_d e = \log_c e$$ Upraszczamy najpierw pierwszy logarytm $\log_9 4 = a$, zauważając potęgi liczb: $9 = 3^2$ oraz $4 = 2^2$: $$\begin{aligned} \log_9 4 &= \dfrac{\log_3 4}{\log_3 (3^2)} \\[8pt] &= \dfrac{\log_3 4}{2} = a \implies \log_3 4 = 2a \end{aligned}$$ Mnożymy teraz $\log_3 4$ przez $\log_4 7$: $$\begin{aligned} \log_3 7 &= \log_3 4 \cdot \log_4 7 \\[8pt] &= 2a \cdot b \\[8pt] &= 2ab \end{aligned}$$ Ostatecznie obliczamy wartość szukanej liczby: $$\begin{aligned} \log_3 \sqrt{7} &= \log_3 \left(7^{\frac{1}{2}}\right) \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \log_3 7 \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 2ab \\[8pt] &= ab \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$\log_3 \sqrt{7} = ab$

Grupa B

Zadanie 1 (5 pkt)

Oblicz: a) $\log_{0{,}25} 64$ b) $\log_4 128 - \log_4 2$ c) $\log_{\sqrt[4]{2}} \sqrt[3]{2}$ d) $\log_9 27$ e) $8^{2 \log_8 3}$