Zadania różne z geometrii analitycznej kartkówka

24.8 Zadania różne z geometrii analitycznej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (1 pkt)

Rozważmy punkty $A(1, 1)$, $B(6, 13)$, $C(18, 8)$, $D(13, -4)$. Udowodnij, że czworokąt $ABCD$ jest rombem.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Punkt $C(4, 6)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego $ABC$. Wyznacz punkty $A$ i $B$ leżące na prostej $k: x + y = 0$, tak aby trójkąt $ABC$ był równoboczny.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

1. Obliczenie wysokości trójkąta. Wysokość $h$ jest odległością punktu $C(4,6)$ od prostej $k: x+y=0$. Wzór na odległość punktu $(x_0, y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$ to $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. \[ h = \frac{|1 \cdot 4 + 1 \cdot 6 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \]\[ h = \frac{|4+6|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \] 2. Obliczenie długości boku trójkąta. W trójkącie równobocznym wysokość $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$, gdzie $s$ to długość boku. \[ s = \frac{2h}{\sqrt{3}} \]\[ s = \frac{2 \cdot 5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \] 3. Wyznaczenie środka odcinka $AB$. Środek $M$ odcinka $AB$ jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ na prostą $k$. Prosta $k$ ma równanie $y=-x$. Jej współczynnik kierunkowy wynosi $m_k = -1$. Prosta $CM$ jest prostopadła do $k$, więc jej współczynnik kierunkowy $m_{CM}$ spełnia $m_k \cdot m_{CM} = -1$, czyli $-1 \cdot m_{CM} = -1$, stąd $m_{CM} = 1$. Równanie prostej $CM$ przechodzącej przez $C(4,6)$ o współczynniku $m_{CM}=1$: \[ y - 6 = 1 \cdot (x - 4) \]\[ y = x - 4 + 6 \]\[ y = x + 2 \] Punkt $M$ jest punktem przecięcia prostych $k: y=-x$ i $CM: y=x+2$. \[ -x = x + 2 \]\[ 2x = -2 \]\[ x = -1 \]\[ y = -(-1) = 1 \] Zatem $M(-1, 1)$. 4. Obliczenie współrzędnych punktów $A$ i $B$. Punkty $A$ i $B$ leżą na prostej $k: y=-x$. Niech $A=(x_A, -x_A)$ i $B=(x_B, -x_B)$. Długość odcinka $AM = BM = \frac{s}{2}$. \[ AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{10\sqrt{6}}{3} = \frac{5\sqrt{6}}{3} \] Kwadrat długości $AM$: $AM^2 = \left(\frac{5\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{25 \cdot 6}{9} = \frac{150}{9} = \frac{50}{3}$. Odległość punktu $A(x_A, -x_A)$ od $M(-1, 1)$ wynosi $AM$. \[ (x_A - (-1))^2 + (-x_A - 1)^2 = \frac{50}{3} \]\[ (x_A + 1)^2 + (-(x_A + 1))^2 = \frac{50}{3} \]\[ (x_A + 1)^2 + (x_A + 1)^2 = \frac{50}{3} \]\[ 2(x_A + 1)^2 = \frac{50}{3} \]\[ (x_A + 1)^2 = \frac{25}{3} \]\[ x_A + 1 = \pm \sqrt{\frac{25}{3}} \]\[ x_A + 1 = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{3}}{3} \] Stąd dwie możliwości dla $x_A$:\[ x_A = -1 + \frac{5\sqrt{3}}{3} \quad \text{lub} \quad x_A = -1 - \frac{5\sqrt{3}}{3} \] Jeśli $x_A = -1 + \frac{5\sqrt{3}}{3}$, to $y_A = -\left(-1 + \frac{5\sqrt{3}}{3}\right) = 1 - \frac{5\sqrt{3}}{3}$. Jeśli $x_B = -1 - \frac{5\sqrt{3}}{3}$, to $y_B = -\left(-1 - \frac{5\sqrt{3}}{3}\right) = 1 + \frac{5\sqrt{3}}{3}$. Zatem punkty $A$ i $B$ to $\left(-1 + \frac{5\sqrt{3}}{3}, 1 - \frac{5\sqrt{3}}{3}\right)$ i $\left(-1 - \frac{5\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{5\sqrt{3}}{3}\right)$. Sytuacja jest symetryczna, więc przypisanie $A$ do pierwszej lub drugiej pary współrzędnych jest dowolne.

Zadanie 3 (3 pkt)

Romb $ABCD$ ma pole równe $100$. Znając współrzędne wierzchołków $A(-2, 1)$ i $C(6, 7)$, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków $B$ i $D$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

1. Obliczenie długości przekątnej $AC$: \[d_{AC} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\]\[d_{AC} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (7 - 1)^2}\]\[d_{AC} = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\] 2. Obliczenie długości przekątnej $BD$: Pole rombu wyraża się wzorem $P = \frac{1}{2}d_1 d_2$. Mamy dane pole $P = 100$ oraz długość przekątnej $d_1 = d_{AC} = 10$. Podstawiamy te wartości do wzoru na pole.\[100 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot d_{BD}\]\[100 = 5 \cdot d_{BD}\]\[d_{BD} = \frac{100}{5} = 20\] 3. Obliczenie współrzędnych środka przekątnych $M$: Środek przekątnych rombu jest jednocześnie środkiem każdego z odcinków $AC$ i $BD$. Obliczamy współrzędne środka $M$ dla odcinka $AC$.\[M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)\]\[M = \left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{1 + 7}{2}\right)\]\[M = \left(\frac{4}{2}, \frac{8}{2}\right) = (2, 4)\] 4. Wyznaczenie równania prostej $AC$ i prostej $BD$: Najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej przekątną $AC$.\[m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{7 - 1}{6 - (-2)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\] Przekątne w rombie są prostopadłe, zatem współczynnik kierunkowy prostej zawierającej przekątną $BD$ jest odwrotnością i przeciwnością współczynnika kierunkowego prostej $AC$.\[m_{BD} = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}\] Prosta $BD$ przechodzi przez punkt $M(2, 4)$. Używamy wzoru na prostą przechodzącą przez punkt o danym współczynniku kierunkowym $y - y_M = m_{BD}(x - x_M)$.\[y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)\]\[y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} + 4\]\[y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} + \frac{12}{3}\]\[y = -\frac{4}{3}x + \frac{20}{3}\] 5. Obliczenie współrzędnych wierzchołków $B$ i $D$: Punkt $M$ jest środkiem odcinka $BD$. Zatem długość odcinka $BM$ jest równa połowie długości przekątnej $BD$.\[BM = MD = \frac{1}{2} d_{BD} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10\] Niech punkt $B$ ma współrzędne $(x, y)$. Wiemy, że punkt $B$ leży na prostej $y = -\frac{4}{3}x + \frac{20}{3}$. Zastępujemy $y$ w równaniu odległości.\[BM^2 = (x - x_M)^2 + (y - y_M)^2\]\[10^2 = (x - 2)^2 + \left(-\frac{4}{3}x + \frac{20}{3} - 4\right)^2\]\[100 = (x - 2)^2 + \left(-\frac{4}{3}x + \frac{8}{3}\right)^2\]\[100 = (x - 2)^2 + \left(-\frac{4}{3}(x - 2)\right)^2\]\[100 = (x - 2)^2 + \frac{16}{9}(x - 2)^2\]\[100 = \frac{9}{9}(x - 2)^2 + \frac{16}{9}(x - 2)^2\]\[100 = \frac{25}{9}(x - 2)^2\]\[(x - 2)^2 = 100 \cdot \frac{9}{25}\]\[(x - 2)^2 = 4 \cdot 9\]\[(x - 2)^2 = 36\] Rozwiązujemy równanie kwadratowe.\[x - 2 = 6 \quad \text{lub} \quad x - 2 = -6\] Pierwsze rozwiązanie:\[x_B = 6 + 2 = 8\] Podstawiamy $x_B$ do równania prostej $BD$, aby znaleźć $y_B$.\[y_B = -\frac{4}{3}(8) + \frac{20}{3} = -\frac{32}{3} + \frac{20}{3} = -\frac{12}{3} = -4\] Zatem jeden z wierzchołków to $B=(8, -4)$. Drugie rozwiązanie:\[x_D = -6 + 2 = -4\] Podstawiamy $x_D$ do równania prostej $BD$, aby znaleźć $y_D$.\[y_D = -\frac{4}{3}(-4) + \frac{20}{3} = \frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} = 12\] Zatem drugi wierzchołek to $D=(-4, 12)$. Pozostałe wierzchołki rombu to $B=(8, -4)$ i $D=(-4, 12)$.

Zadanie 4 (2 pkt)

Punkty $A(2, -2)$ i $B(4, 4)$ są dane. Na prostej $k: x - y = 0$ wyznacz taki punkt $C$, aby kąt $ACB$ był kątem prostym.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Wyznacz równanie zbioru wszystkich środków okręgów, które są jednocześnie styczne do prostej $k: y - 3 = 0$ oraz zewnętrznie styczne do okręgu $o: x^2 + (y + 4)^2 = 9$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Rozważamy okrąg o środku $S(x, y)$ i promieniu $R$. Prosta $k$ jest dana równaniem $y - 2 = 0$, czyli $y = 2$. Okrąg $o$ ma równanie $x^2 + (y + 3)^2 = 4$, co oznacza, że jego środek to $S_o(0, -3)$, a promień $R_o = \sqrt{4} = 2$. Warunek 1: Okrąg o środku $S(x, y)$ i promieniu $R$ jest styczny do prostej $k: y = 2$. Odległość środka okręgu od prostej $y=2$ jest równa jego promieniowi $R$.\[ R = |y - 2| \] Warunek 2: Okrąg o środku $S(x, y)$ i promieniu $R$ jest zewnętrznie styczny do okręgu $o$. Odległość między środkami okręgów jest równa sumie ich promieni.\[ \text{d}(S, S_o) = R + R_o \]\[ \sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-3))^2} = R + 2 \]\[ \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = R + 2 \] Podstawiamy wyrażenie na $R$ z Warunku 1 do równania z Warunku 2:\[ \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = |y - 2| + 2 \] Rozpatrujemy dwa przypadki dla wartości bezwzględnej $|y - 2|$: Przypadek 1: $y - 2 \ge 0 \implies y \ge 2$. W tym przypadku $|y - 2| = y - 2$. Promień $R = y - 2$. Podstawiamy to do równania:\[ \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = (y - 2) + 2 \]\[ \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = y \] Aby pierwiastek był równy $y$, musi być $y \ge 0$. Warunek $y \ge 2$ to spełnia. Podnosimy obie strony do kwadratu:\[ x^2 + (y + 3)^2 = y^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6y + 9 = y^2 \]\[ x^2 + 6y + 9 = 0 \]\[ 6y = -x^2 - 9 \]\[ y = -\frac{1}{6}x^2 - \frac{9}{6} \]\[ y = -\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2} \] Sprawdzamy warunek $y \ge 2$. Maksymalna wartość funkcji $y = -\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2}$ (wierzchołek paraboli) wynosi $y_{max} = -\frac{3}{2}$ (dla $x=0$). Ponieważ $-\frac{3}{2} < 2$, ten przypadek nie daje rozwiązań spełniających początkowy warunek $y \ge 2$. Przypadek 2: $y - 2 < 0 \implies y < 2$. W tym przypadku $|y - 2| = -(y - 2) = 2 - y$. Promień $R = 2 - y$. Podstawiamy to do równania:\[ \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = (2 - y) + 2 \]\[ \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = 4 - y \] Aby pierwiastek był równy $4 - y$, musi być $4 - y \ge 0 \implies y \le 4$. Warunek $y < 2$ to spełnia. Podnosimy obie strony do kwadratu:\[ x^2 + (y + 3)^2 = (4 - y)^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6y + 9 = 16 - 8y + y^2 \]\[ x^2 + 6y + 9 = 16 - 8y \] Przenosimy wyrazy z $y$ na jedną stronę, pozostałe na drugą:\[ x^2 + 6y + 8y = 16 - 9 \]\[ x^2 + 14y = 7 \]\[ 14y = -x^2 + 7 \]\[ y = -\frac{1}{14}x^2 + \frac{7}{14} \]\[ y = -\frac{1}{14}x^2 + \frac{1}{2} \] Sprawdzamy warunek $y < 2$. Maksymalna wartość funkcji $y = -\frac{1}{14}x^2 + \frac{1}{2}$ (wierzchołek paraboli) wynosi $y_{max} = \frac{1}{2}$ (dla $x=0$). Ponieważ $\frac{1}{2} < 2$, ten przypadek jest poprawny. Wniosek: Zbiór wszystkich środków okręgów spełniających podane warunki jest parabolą o równaniu $y = -\frac{1}{14}x^2 + \frac{1}{2}$.

Grupa B

Zadanie 1 (1 pkt)

Rozważmy punkty $A(-2, -1)$, $B(1, -3)$, $C(3, 0)$, $D(0, 2)$. Udowodnij, że czworokąt $ABCD$ jest rombem.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Punkt $C(3, 1)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego $ABC$. Wyznacz punkty $A$ i $B$ leżące na prostej $k: y = x$, tak aby trójkąt $ABC$ był równoboczny.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Romb $ABCD$ ma pole równe $40$. Znając współrzędne wierzchołków $A(-5, -1)$ i $C(3, 7)$, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków $B$ i $D$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Punkty $A(1, 1)$ i $B(7, -1)$ są dane. Na prostej $k: x - y = 0$ wyznacz taki punkt $C$, aby kąt $ACB$ był kątem prostym.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Wyznacz równanie zbioru wszystkich środków okręgów, które są jednocześnie styczne do prostej $k: y - 4 = 0$ oraz zewnętrznie styczne do okręgu $o: x^2 + (y + 2)^2 = 16$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

24.8 Zadania różne z geometrii analitycznej

Grupa A

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (5 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (2 pkt)

Zadanie 5 (5 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋