Trygonometria sprawdzian

Trygonometria

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Narysuj wykres funkcji $y = 2\cos x + 3|\cos x|$.

Wskazówki:

Skorzystaj z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej: $|a| = a$ dla $a \ge 0$ oraz $|a| = -a$ dla $a < 0$.
Zbadaj, dla jakich argumentów $x$ funkcja cosinus przyjmuje wartości nieujemne, a dla jakich ujemne.
Zapisz wzór funkcji w postaci dwóch prostszych formuł trygonometrycznych w odpowiednich przedziałach.
Zauważ, że funkcja jest okresowa o okresie $2\pi$, a w punktach zerowych cosinusa (czyli tam, gdzie wykres dotyka osi $OX$) powstają punkty załamania (tzw. ostrza), ponieważ wykres natychmiast odbija w górę.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza znaków funkcji bazowej $y = \cos x$:
Wychodzimy z wyjściowego wzoru funkcji: $$y = 2\cos x + 3|\cos x|$$ Aby pozbyć się wartości bezwzględnej, stosujemy jej definicję do wyrażenia $\cos x$: $$|\cos x| = \begin{cases} \cos x, & \text{gdy } \cos x \ge 0 \\[8pt] -\cos x, & \text{gdy } \cos x < 0 \end{cases}$$ Przypomnijmy, kiedy funkcja $f(x) = \cos x$ przyjmuje wartości dodatnie, a kiedy ujemne w jednym okresie podstawowym $[-\pi, \pi]$:
- $\cos x \ge 0$ dla $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ (oraz ogólnie dla $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$)
- $\cos x < 0$ dla $x \in \left[-\pi, -\dfrac{\pi}{2}\right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$ (oraz ogólnie dla $x \in \left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right)$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$)
Rozpisanie wzoru funkcji w poszczególnych przedziałach:
Rozważamy dwa przypadki wynikające ze znaku cosinusa:

Przypadek 1: gdy $\cos x \ge 0$:
Wtedy $|\cos x| = \cos x$. Podstawiamy do wzoru: $$\begin{aligned} y &= 2\cos x + 3\cos x \\[8pt] &= 5\cos x \end{aligned}$$ Wykres w tych przedziałach jest fragmentem sinusoidy o pięciokrotnie zwiększonej amplitudzie (maksimum równe $5$).

Przypadek 2: gdy $\cos x < 0$:
Wtedy $|\cos x| = -\cos x$. Podstawiamy do wzoru: $$\begin{aligned} y &= 2\cos x + 3(-\cos x) \\[8pt] &= 2\cos x - 3\cos x \\[8pt] &= -\cos x \end{aligned}$$ Wykres w tych przedziałach jest odbiciem zwierciadlanym cosinusa względem osi $OX$. Ponieważ $\cos x < 0$, wartości $-\cos x$ są dodatnie ($-\cos x \in (0, 1]$).

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy postać przedziałową funkcji: $$y = \begin{cases} 5\cos x, & \text{dla } x \in \left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right] \\[8pt] -\cos x, & \text{dla } x \in \left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Analiza własności, ciągłości i punktów charakterystycznych:
Wyznaczamy kluczowe cechy geometryczne wykresu:
- Okresowość: Funkcja jest okresowa o okresie podstawowym $T = 2\pi$, ponieważ funkcja bazowa $\cos x$ ma okres $2\pi$.
- Miejsca zerowe i ciągłość: W punktach $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ zachodzi $\cos x = 0$, skąd $y = 5 \cdot 0 = -0 = 0$. Wartości lewostronne i prawostronne są równe, więc funkcja jest ciągła na całym zbiorze $\mathbb{R}$.
- Punkty załamania (ostrza): W punktach zerowych $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ następuje zmiana gałęzi z $5\cos x$ na $-\cos x$ (lub odwrotnie). Ponieważ pochodne jednostronne różnią się znakiem i wartością bezwzględną, wykres tworzy w tych punktach ostre załamania odbijające się od osi $OX$.
- Zbiór wartości: Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi $y \ge 0$. Wartość najmniejsza wynosi $y_{\min} = 0$, a wartość największa $y_{\max} = 5$ (osiągana w punktach $x = 2k\pi$). W punktach $x = \pi + 2k\pi$ występują lokalne maksima równe $y = -\cos \pi = -(-1) = 1$. Zatem zbiór wartości to: $$Y = [0, 5]$$
Zestawienie współrzędnych punktów kluczowych w przedziale $[-2\pi, 2\pi]$: $$\begin{aligned} x = -2\pi &\implies y = 5\cos(-2\pi) = 5 \\[8pt] x = -\dfrac{3\pi}{2} &\implies y = 0 \\[8pt] x = -\pi &\implies y = -\cos(-\pi) = -(-1) = 1 \\[8pt] x = -\dfrac{\pi}{2} &\implies y = 0 \\[8pt] x = 0 &\implies y = 5\cos 0 = 5 \\[8pt] x = \dfrac{\pi}{2} &\implies y = 0 \\[8pt] x = \pi &\implies y = -\cos \pi = 1 \\[8pt] x = \dfrac{3\pi}{2} &\implies y = 0 \\[8pt] x = 2\pi &\implies y = 5\cos(2\pi) = 5 \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy wykresu funkcji:
Łączymy wyznaczone punkty: rysujemy wysokie łuki o szczycie równym $5$ na przedziałach, gdzie $\cos x \ge 0$, oraz niższe łuki o szczycie równym $1$ na przedziałach, gdzie $\cos x < 0$.

Odpowiedź:
Wykres funkcji powstaje przez złożenie dwóch krzywych: $y = 5\cos x$ w przedziałach, gdzie $\cos x \ge 0$, oraz $y = -\cos x$ w przedziałach, gdzie $\cos x < 0$. Funkcja przyjmuje wartości ze zbioru $Y = [0, 5]$ i odbija się ostro od osi $OX$ w punktach zerowych $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

Zadanie 2 (2 pkt)

Czy istnieje kąt $\alpha$ taki, że $\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$ i $\operatorname{tg}\alpha = 1$? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówki:

Skorzystaj z tożsamości wiążącej tangens z sinusem i cosinusem: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Jeżeli $\operatorname{tg}\alpha = 1$, to wartości sinusa i cosinusa tego kąta muszą być równe ($\sin\alpha = \cos\alpha$).
Podstaw wyznaczone wartości do jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ i sprawdź, czy tożsamość jest spełniona.
Alternatywnie wyznacz miary kątów spełniających warunek $\operatorname{tg}\alpha = 1$ i sprawdź, jaką wartość przyjmuje dla nich funkcja sinus.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wykorzystanie tożsamości trygonometrycznych (dowód nie wprost):
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje kąt $\alpha$ spełniający jednocześnie oba warunki: $$\sin\alpha = \dfrac{1}{2} \quad \text{oraz} \quad \operatorname{tg}\alpha = 1$$ Z definicji funkcji tangens (dla $\cos\alpha \neq 0$) mamy: $$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ Podstawiamy wartość $\operatorname{tg}\alpha = 1$: $$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 1 \implies \cos\alpha = \sin\alpha$$ Ponieważ z założenia $\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$, wynika stąd bezpośrednio, że: $$\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$$ Weryfikujemy podstawową tożsamość trygonometryczną (jedynkę trygonometryczną) $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $$\begin{aligned} L &= \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \\[8pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Porównujemy wartość lewej strony z prawą stroną tożsamości: $$L = \dfrac{1}{2} \neq 1 = P$$ Otrzymana sprzeczność ($\dfrac{1}{2} = 1$) jednoznacznie dowodzi, że nie istnieje kąt rzeczywisty $\alpha$ spełniający jednocześnie oba warunki.
Sposób II – Wyznaczenie wartości kątów bazowych:
Zauważmy, że skoro $\sin\alpha = \dfrac{1}{2} > 0$ oraz $\operatorname{tg}\alpha = 1 > 0$, to kąt $\alpha$ musiałby leżeć w I ćwiartce układu współrzędnych (ponieważ tylko w I ćwiartce obie te funkcje przyjmują wartości dodatnie).
Rozwiązujemy oba równania w I ćwiartce ($\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$): $$\begin{aligned} \sin\alpha &= \dfrac{1}{2} \implies \alpha = 30^\circ \\[8pt] \operatorname{tg}\alpha &= 1 \implies \alpha = 45^\circ \end{aligned}$$ Dla kąta $\alpha = 30^\circ$ tangens wynosi $\operatorname{tg}(30^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \neq 1$.
Z kolei dla kąta $\alpha = 45^\circ$ sinus wynosi $\sin(45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \neq \dfrac{1}{2}$.
Zbiory rozwiązań obu równań są rozłączne, zatem taki kąt nie istnieje.
Interpretacja graficzna na wykresach funkcji $\sin\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$:
Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji $y = \sin\alpha$ oraz $y = \operatorname{tg}\alpha$ w I ćwiartce na tle siatki zeszytowej. Wyraźnie widać, że poziom wartości $y = \dfrac{1}{2}$ dla sinusa oraz poziom wartości $y = 1$ dla tangensa są osiągane dla dwóch różnych argumentów ($30^\circ$ oraz $45^\circ$):

Odpowiedź:
Nie istnieje taki kąt $\alpha$. Gdyby $\operatorname{tg}\alpha = 1$, to zachodziłaby równość $\sin\alpha = \cos\alpha = \dfrac{1}{2}$, co przeczy tożsamości jedynki trygonometrycznej, dając sprzeczność: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} \neq 1$.

Zadanie 3 (9 pkt)

Rozwiąż równania:

a) $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dla $x \in (-2\pi, 2\pi)$

b) $\operatorname{tg}^2 \left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{3}$

c) $\cos\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right) = 0$

d) $2\cos^2 x = -\sin x + 1$

Wskazówki:

W podpunkcie a) wyznacz rozwiązanie ogólne równania elementarnego $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, a następnie wybierz argumenty leżące w zadanym przedziale $(-2\pi, 2\pi)$.
W podpunkcie b) pamiętaj o dziedzinie tangensa oraz o tym, że równanie kwadratowe $t^2 = a$ dla $a > 0$ prowadzi do dwóch przypadków: $t = \sqrt{a}$ lub $t = -\sqrt{a}$.
W podpunkcie c) skorzystaj z własności miejsc zerowych funkcji cosinus: $\cos \alpha = 0 \iff \alpha = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
W podpunkcie d) zamień $\cos^2 x$ na $1 - \sin^2 x$ przy użyciu jedynki trygonometrycznej, a następnie rozwiąż otrzymane równanie kwadratowe ze zmienną pomocniczą $t = \sin x$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dla $x \in (-2\pi, 2\pi)$:
W podstawowym przedziale $[0, 2\pi)$ funkcja sinus przyjmuje wartość $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ w I oraz II ćwiartce układu współrzędnych: $$x = \dfrac{\pi}{3} \quad \text{lub} \quad x = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$$ Rozwiązanie ogólne w zbiorze liczb rzeczywistych ma postać: $$x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}$$ Dobieramy całkowite wartości parametru $k$ tak, aby wyznaczone argumenty należały do przedziału $(-2\pi, 2\pi)$:

• Dla $k = 0$: $$x_1 = \dfrac{\pi}{3} \in (-2\pi, 2\pi), \quad x_2 = \dfrac{2\pi}{3} \in (-2\pi, 2\pi)$$ • Dla $k = -1$: $$\begin{aligned} x_3 &= \dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi - 6\pi}{3} = -\dfrac{5\pi}{3} \in (-2\pi, 2\pi) \\[8pt] x_4 &= \dfrac{2\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{2\pi - 6\pi}{3} = -\dfrac{4\pi}{3} \in (-2\pi, 2\pi) \end{aligned}$$ Dla pozostałych wartości $k$ otrzymane argumenty leżą poza przedziałem $(-2\pi, 2\pi)$.

Zatem zbiór rozwiązań w zadanym przedziale to: $$x \in \left\{-\dfrac{5\pi}{3}, -\dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right\}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\operatorname{tg}^2 \left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{3}$:
Określamy dziedzinę równania. Funkcja tangens jest zdefiniowana dla argumentów różnych od $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$: $$\dfrac{x}{2} \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff x \neq \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Pierwiastkujemy obie strony równania $\operatorname{tg}^2 \left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{3}$: $$\operatorname{tg}\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{lub} \quad \operatorname{tg}\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ Rozwiązujemy oba równania elementarne:

• Dla $\operatorname{tg}\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$: $$\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \implies x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ • Dla $\operatorname{tg}\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$: $$\dfrac{x}{2} = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \implies x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Obie serie rozwiązań należą do wyznaczonej dziedziny ($\pm \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \neq \pi + 2k\pi$).
Ostatecznie rozwiązania możemy zapisać w postaci: $$x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}$$ lub w zapisie zwartym: $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $\cos\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right) = 0$:
Miejsca zerowe funkcji cosinus to punkty postaci $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$. Przyrównujemy argument: $$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$$ Przenosimy stałą $-\dfrac{\pi}{6}$ na prawą stronę równania: $$\begin{aligned} \dfrac{x}{2} &= \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\[8pt] &= \dfrac{3\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\[8pt] &= \dfrac{4\pi}{6} + k\pi \\[8pt] &= \dfrac{2\pi}{3} + k\pi \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony równania przez $2$: $$x = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}$$
Podpunkt d) Rozwiązujemy równanie $2\cos^2 x = -\sin x + 1$:
Stosujemy tożsamość trygonometryczną (jedynkę trygonometryczną) $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$2(1 - \sin^2 x) = -\sin x + 1$$ Wymnażamy i porządkujemy wyrazy: $$\begin{aligned} 2 - 2\sin^2 x &= -\sin x + 1 \\[8pt] -2\sin^2 x + \sin x + 1 &= 0 \\[8pt] 2\sin^2 x - \sin x - 1 &= 0 \end{aligned}$$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = \sin x$, pamiętając o zbiorze wartości funkcji sinus: $$t = \sin x, \quad \text{gdzie } t \in [-1, 1]$$ Otrzymujemy równanie kwadratowe: $$2t^2 - t - 1 = 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$\sqrt{\Delta} = 3$$ Wyznaczamy pierwiastki: $$\begin{aligned} t_1 &= \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} \in [-1, 1] \\[8pt] t_2 &= \dfrac{1 + 3}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 \in [-1, 1] \end{aligned}$$ Wracamy do zmiennej $x$:

• Przypadek 1: $\sin x = 1$ $$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}$$ • Przypadek 2: $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ $$\begin{aligned} x &= -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \\[8pt] &\text{lub} \\[8pt] x &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z} \end{aligned}$$

Rozwiązaniem równania jest suma wszystkich trzech serii rozwiązań: $$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}$$

Odpowiedź:
a) $x \in \left\{-\dfrac{5\pi}{3}, -\dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right\}$

b) $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ [zapis łączny: $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$]

c) $x = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$

d) $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ lub $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wiedząc, że $\sin x + \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, oblicz wartość $\sin^3 x + \cos^3 x$.

Wskazówki:

Podnieś daną równość $\sin x + \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ obustronnie do kwadratu i skorzystaj z tożsamości trygonometrycznej $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, aby wyznaczyć wartość iloczynu $\sin x \cos x$.
Wartość sumy sześcianów $\sin^3 x + \cos^3 x$ możesz obliczyć na dwa sposoby: rozkładając ją ze wzoru na sumę sześcianów $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ (Sposób I) lub przekształcając wzór na sześcian sumy $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ (Sposób II).
Podstaw wyznaczone wartości sumy oraz iloczynu funkcji trygonometrycznych i uprość wynik do najprostszej postaci ułamka.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie iloczynu $\sin x \cos x$ poprzez podniesienie sumy do kwadratu:
Wychodzimy od danej równości $\sin x + \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ i podnosimy obie jej strony do kwadratu: $$(\sin x + \cos x)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \dfrac{3}{4}$$ Grupujemy wyrazy i wykorzystujemy jedynkę trygonometryczną $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$\begin{aligned} (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x &= \dfrac{3}{4} \\[8pt] 1 + 2\sin x \cos x &= \dfrac{3}{4} \\[8pt] 2\sin x \cos x &= \dfrac{3}{4} - 1 \\[8pt] 2\sin x \cos x &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $2$: $$\sin x \cos x = -\dfrac{1}{8}$$
Sposób I – Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:
Stosujemy tożsamość algebraiczną na sumę sześcianów: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ Dla $a = \sin x$ oraz $b = \cos x$ otrzymujemy: $$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \\[8pt] &= (\sin x + \cos x)\left[(\sin^2 x + \cos^2 x) - \sin x \cos x\right] \\[8pt] &= (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) \end{aligned}$$ Podstawiamy znaną sumę $\sin x + \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ oraz obliczony iloczyn $\sin x \cos x = -\dfrac{1}{8}$: $$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left[1 - \left(-\dfrac{1}{8}\right)\right] \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(1 + \dfrac{1}{8}\right) \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{9}{8} \\[8pt] &= \dfrac{9\sqrt{3}}{16} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie rozwinięcia sześcianu sumy:
Wychodzimy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy: $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ Wyłączamy wspólny czynnik $3ab$ przed nawias: $$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$ Wyznaczamy sumę sześcianów $a^3 + b^3$: $$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$$ Podstawiamy $a = \sin x$ oraz $b = \cos x$: $$\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)^3 - 3\sin x \cos x(\sin x + \cos x)$$ Obliczamy wartość każdego ze składników: $$\begin{aligned} (\sin x + \cos x)^3 &= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \dfrac{3\sqrt{3}}{8} = \dfrac{6\sqrt{3}}{16} \\[8pt] 3\sin x \cos x(\sin x + \cos x) &= 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{8}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{16} \end{aligned}$$ Odejmujemy otrzymane wartości: $$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= \dfrac{6\sqrt{3}}{16} - \left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}\right) \\[8pt] &= \dfrac{6\sqrt{3}}{16} + \dfrac{3\sqrt{3}}{16} \\[8pt] &= \dfrac{9\sqrt{3}}{16} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Wartość wyrażenia wynosi $\sin^3 x + \cos^3 x = \dfrac{9\sqrt{3}}{16}$.

Zadanie 5 (2 pkt)

Zamień na stopnie lub radiany:

a) $\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad} = \dots$

b) $240^\circ = \dots$

Wskazówki:

Podstawową relacją wiążącą miarę łukową (w radianach) z miarą stopniową jest zależność: kąt półpełny $180^\circ$ odpowiada dokładnie $\pi\text{ rad}$.
Aby zamienić radiany na stopnie, najwygodniej jest zastąpić symbol liczby $\pi$ wartością $180^\circ$ lub pomnożyć dane wyrażenie przez przelicznik $\dfrac{180^\circ}{\pi}$.
Aby zamienić stopnie na radiany, mnożymy podaną liczbę stopni przez przelicznik $\dfrac{\pi}{180^\circ}$, a następnie upraszczamy powstały ułamek zwykły przez największy wspólny dzielnik.
W obu przypadkach można również ułożyć klasyczną proporcję opartą na tożsamości $180^\circ = \pi\text{ rad}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Zamiana miary kąta $\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad}$ na stopnie:

Sposób I – Bezpośrednie podstawienie tożsamości $\pi = 180^\circ$:
Ponieważ $\pi\text{ rad} = 180^\circ$, w miejsce $\pi$ wstawiamy wartość $180^\circ$: $$\begin{aligned} \dfrac{3\pi}{4}\text{ rad} &= \dfrac{3 \cdot 180^\circ}{4} \\[8pt] &= 3 \cdot \dfrac{180^\circ}{4} \\[8pt] &= 3 \cdot 45^\circ \\[8pt] &= 135^\circ \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie proporcji:
Układamy proporcję na podstawie relacji kąta półpełnego: $$\begin{aligned} \pi\text{ rad} &\longrightarrow 180^\circ \\[8pt] \dfrac{3\pi}{4}\text{ rad} &\longrightarrow \alpha \end{aligned}$$ Mnożąc „na krzyż”, wyznaczamy miarę kąta $\alpha$: $$\begin{aligned} \alpha \cdot \pi &= \dfrac{3\pi}{4} \cdot 180^\circ \\[8pt] \alpha &= \dfrac{\dfrac{3\pi}{4} \cdot 180^\circ}{\pi} \\[8pt] \alpha &= \dfrac{3}{4} \cdot 180^\circ = 135^\circ \end{aligned}$$
Podpunkt b) Zamiana miary kąta $240^\circ$ na radiany:

Sposób I – Wykorzystanie przelicznika $\dfrac{\pi}{180^\circ}$:
Mnożymy zadaną miarę kąta przez iloraz $\dfrac{\pi}{180^\circ}$: $$\begin{aligned} 240^\circ &= 240^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}\text{ rad} \\[8pt] &= \dfrac{240\pi}{180}\text{ rad} \end{aligned}$$ Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez ich największy wspólny dzielnik $\text{NWD}(240, 180) = 60$: $$\begin{aligned} 240^\circ &= \dfrac{240 : 60}{180 : 60}\,\pi\text{ rad} \\[8pt] &= \dfrac{4\pi}{3}\text{ rad} \quad \left(\text{czyli } \dfrac{4}{3}\pi\text{ rad}\right) \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie proporcji:
Układamy proporcję: $$\begin{aligned} 180^\circ &\longrightarrow \pi\text{ rad} \\[8pt] 240^\circ &\longrightarrow \beta \end{aligned}$$ Wyznaczamy miarę kąta $\beta$: $$\begin{aligned} 180^\circ \cdot \beta &= 240^\circ \cdot \pi \\[8pt] \beta &= \dfrac{240^\circ \cdot \pi}{180^\circ} \\[8pt] \beta &= \dfrac{24\pi}{18} = \dfrac{4\pi}{3}\text{ rad} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $135^\circ$

b) $\dfrac{4\pi}{3}\text{ rad}$