Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego kartkówka - LiczBit

18.4 Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

O pewnym ciągu $(a_n)$ wiadomo, że $S_n = n^4$, gdzie $n \in N_{+}$. Oblicz: a) $a_5$ b) $a_4 + a_5 + a_6$ c) $a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}$ d) $a_n$. Czy ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zacznijmy od odstatniego podpunktu d) Obliczenie ogólnego wyrazu $a_n$: Dla $n=1$:\[a_1 = S_1 = 1^4 = 1\]Dla $n > 1$, korzystamy ze wzoru $a_n = S_n - S_{n-1}$:\[S_n = n^4\]\[S_{n-1} = (n-1)^4\]Podstawiamy do wzoru:\[a_n = n^4 - (n-1)^4\]Rozwijamy $(n-1)^4$:\[(n-1)^4 = n^4 - 4n^3 + 6n^2 - 4n + 1\]Podstawiamy i upraszczamy:\[a_n = n^4 - (n^4 - 4n^3 + 6n^2 + 4n - 1)\]\[a_n = n^4 - n^4 + 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1\]\[a_n = 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1\]Sprawdzenie dla $n=1$:\[a_1 = 4 \cdot 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = 4 - 6 + 4 - 1 = 1\]Wzór jest poprawny dla wszystkich $n \in N_{+}$. a) Obliczenie $a_5$: Podstawiamy $n=5$ do wzoru na $a_n$:\[a_5 = 4 \cdot 5^3 - 6 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 - 1\]\[a_5 = 4 \cdot 125 - 6 \cdot 25 + 20 - 1\]\[a_5 = 500 - 150 + 20 - 1\]\[a_5 = 369\]b) Obliczenie $a_4 + a_5 + a_6$: Suma $a_4 + a_5 + a_6$ może być obliczona jako $S_6 - S_3$. Obliczamy $S_6$:\[S_6 = 6^4 = 1296\]Obliczamy $S_3$:\[S_3 = 3^4 = 81\]Obliczamy różnicę:\[a_4 + a_5 + a_6 = S_6 - S_3 = 1296 - 81\]\[a_4 + a_5 + a_6 = 1215\]c) Obliczenie $a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}$: Suma $a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}$ może być obliczona jako $S_{10} - S_6$. Obliczamy $S_{10}$:\[S_{10} = 10^4 = 10000\]Używamy obliczonego $S_6$:\[S_6 = 6^4 = 1296\]Obliczamy różnicę:\[a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = S_{10} - S_6 = 10000 - 1296\]\[a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 8704\]Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny i uzasadnienie: Dla ciągu arytmetycznego różnica $a_{n+1} - a_n$ musi być stała. Mamy $a_n = 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$. Wyznaczamy $a_{n+1}$:\[a_{n+1} = 4(n+1)^3 - 6(n+1)^2 + 4(n+1) - 1\]\[a_{n+1} = 4(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - 6(n^2 + 2n + 1) + 4n + 4 - 1\]\[a_{n+1} = 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4 - 6n^2 - 12n - 6 + 4n + 3\]\[a_{n+1} = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1\]Obliczamy różnicę $a_{n+1} - a_n$:\[a_{n+1} - a_n = (4n^3 + 6n^2 + 4n + 1) - (4n^3 - 6n^2 + 4n - 1)\]\[a_{n+1} - a_n = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 - 4n^3 + 6n^2 - 4n + 1\]\[a_{n+1} - a_n = 12n^2 + 2\]Ponieważ różnica $12n^2 + 2$ zależy od $n$ (nie jest stała), ciąg $(a_n)$ nie jest arytmetyczny.

Zadanie 2 (2 pkt)

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ($a_n$), jeśli: a) $a_1 = 3, r = -2$ b) $a_n = 5n + 2.$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych: a) parzystych b) podzielnych przez 4 c) których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 2.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie sumy parzystych liczb naturalnych trzycyfrowych: Pierwsza liczba trzycyfrowa parzysta to $a_1 = 100$. Ostatnia liczba trzycyfrowa parzysta to $a_n = 998$. Różnica ciągu arytmetycznego to $d = 2$. Obliczamy liczbę wyrazów $n$ w ciągu:\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]\[ 998 = 100 + (n-1) \cdot 2 \]\[ 898 = (n-1) \cdot 2 \]\[ 449 = n-1 \]\[ n = 450 \]Obliczamy sumę $S_n$ ciągu arytmetycznego:\[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]\[ S_{450} = \frac{450(100 + 998)}{2} \]\[ S_{450} = \frac{450 \cdot 1098}{2} \]\[ S_{450} = 225 \cdot 1098 \]\[ S_{450} = 247050 \]b) Obliczenie sumy liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 4: Pierwsza liczba trzycyfrowa podzielna przez $4$ to $a_1 = 100$. Ostatnia liczba trzycyfrowa podzielna przez $4$ to $a_n = 996$. Różnica ciągu arytmetycznego to $d = 4$. Obliczamy liczbę wyrazów $n$ w ciągu:\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]\[ 996 = 100 + (n-1) \cdot 4 \]\[ 896 = (n-1) \cdot 4 \]\[ 224 = n-1 \]\[ n = 225 \]Obliczamy sumę $S_n$ ciągu arytmetycznego:\[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]\[ S_{225} = \frac{225(100 + 996)}{2} \]\[ S_{225} = \frac{225 \cdot 1096}{2} \]\[ S_{225} = 225 \cdot 548 \]\[ S_{225} = 123300 \]c) Obliczenie sumy liczb naturalnych trzycyfrowych, których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 2: Liczby te mają postać $5k+2$. Pierwsza liczba trzycyfrowa tej postaci: $5k+2 \ge 100 \implies 5k \ge 98 \implies k \ge 19.6$. Najmniejsze $k$ to $20$. $a_1 = 5 \cdot 20 + 2 = 102$. Ostatnia liczba trzycyfrowa tej postaci: $5k+2 \le 999 \implies 5k \le 997 \implies k \le 199.4$. Największe $k$ to $199$. $a_n = 5 \cdot 199 + 2 = 995 + 2 = 997$. Różnica ciągu arytmetycznego to $d = 5$. Obliczamy liczbę wyrazów $n$ w ciągu:\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]\[ 997 = 102 + (n-1) \cdot 5 \]\[ 895 = (n-1) \cdot 5 \]\[ 179 = n-1 \]\[ n = 180 \]Obliczamy sumę $S_n$ ciągu arytmetycznego:\[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]\[ S_{180} = \frac{180(102 + 997)}{2} \]\[ S_{180} = \frac{180 \cdot 1099}{2} \]\[ S_{180} = 90 \cdot 1099 \]\[ S_{180} = 98910 \]

Zadanie 4 (2 pkt)

Suma dwudziestu początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego ($a_n$) jest równa 770. Wiedząc, że $a_{20} = 67$, oblicz $a_1$ i $r$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

W skończonym ciągu arytmetycznym wyraz pierwszy jest równy -5, a różnica tego ciągu wynosi $3\frac{1}{2}$. Wiedząc, że suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa 565, wyznacz liczbę wyrazów tego ciągu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

O pewnym ciągu $(a_n)$ wiadomo, że $S_n = n^2$, gdzie $n \in N_{+}$. Oblicz: a) $a_5$ b) $a_4 + a_5 + a_6$ c) $a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}$ d) $a_n$. Czy ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ($a_n$), jeśli: a) $a_1 = 5, r = -4$ b) $a_n = 6n - 3.$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych: a) parzystych b) podzielnych przez 5 c) których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Suma trzydziestu pięciu początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego ($a_n$) jest równa 1365. Wiedząc, że $a_{35} = 73$, oblicz $a_1$ i $r$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

W skończonym ciągu arytmetycznym wyraz pierwszy jest równy -15, a różnica tego ciągu wynosi $1\frac{1}{4}$. Wiedząc, że suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa 375, wyznacz liczbę wyrazów tego ciągu.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi