a) Rozwiązanie równania:\[ \frac{4}{|x-2|-1} = 3 \]Dziedzina:\[ |x-2|-1 \neq 0 \]\[ |x-2| \neq 1 \]\[ x-2 \neq 1 \quad \text{i} \quad x-2 \neq -1 \]\[ x \neq 3 \quad \text{i} \quad x \neq 1 \]Przekształcenie równania:\[ 4 = 3(|x-2|-1) \]\[ 4 = 3|x-2|-3 \]\[ 7 = 3|x-2| \]\[ |x-2| = \frac{7}{3} \]Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną: Przypadek 1:\[ x-2 = \frac{7}{3} \]\[ x = 2 + \frac{7}{3} \]\[ x = \frac{6}{3} + \frac{7}{3} \]\[ x = \frac{13}{3} \]Przypadek 2:\[ x-2 = -\frac{7}{3} \]\[ x = 2 - \frac{7}{3} \]\[ x = \frac{6}{3} - \frac{7}{3} \]\[ x = -\frac{1}{3} \]Sprawdzenie z dziedziną: Oba rozwiązania są prawidłowe. b) Rozwiązanie równania:\[ \frac{|x-2|}{4} - \frac{1}{|2x+5|} = 0 \]Dziedzina:\[ |2x+5| \neq 0 \]\[ 2x+5 \neq 0 \]\[ x \neq -\frac{5}{2} \]Przekształcenie równania:\[ \frac{|x-2|}{4} = \frac{1}{|2x+5|} \]\[ |x-2| \cdot |2x+5| = 4 \]\[ |(x-2)(2x+5)| = 4 \]Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną: Przypadek 1: $(x-2)(2x+5) = 4$\[ 2x^2+5x-4x-10 = 4 \]\[ 2x^2+x-10 = 4 \]\[ 2x^2+x-14 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = 1^2 - 4(2)(-14) = 1 + 112 = 113 \]Pierwiastki równania kwadratowego:\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{113}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{113}}{4} \]Przypadek 2: $(x-2)(2x+5) = -4$\[ 2x^2+5x-4x-10 = -4 \]\[ 2x^2+x-10 = -4 \]\[ 2x^2+x-6 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = 1^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 \]Pierwiastki równania kwadratowego:\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{-1 \pm 7}{4} \]\[ x_3 = \frac{-1+7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]\[ x_4 = \frac{-1-7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]Sprawdzenie z dziedziną: Wszystkie rozwiązania są prawidłowe. c) Rozwiązanie równania:\[ \frac{|x+3|}{x^2+x-6} + \frac{1}{2} = \frac{3}{|x+2|} \]Dziedzina:\[ x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \neq 0 \implies x \neq -3, x \neq 2 \]\[ |x+2| \neq 0 \implies x \neq -2 \]Dziedzina $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, -2, 2\}$. Uproszczenie wyrażenia i podział na przypadki: Przypadek 1: $x < -3$ Wyrażenia z wartością bezwzględną:\[ |x+3| = -(x+3) \]\[ |x+2| = -(x+2) \]Upraszczamy lewą stronę:\[ \frac{|x+3|}{(x+3)(x-2)} = \frac{-(x+3)}{(x+3)(x-2)} = \frac{-1}{x-2} \]Równanie:\[ \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{2} = \frac{-3}{x+2} \]Mnożymy przez $2(x-2)(x+2)$:\[ -2(x+2) + (x-2)(x+2) = -6(x-2) \]\[ -2x-4 + x^2-4 = -6x+12 \]\[ x^2-2x-8 = -6x+12 \]\[ x^2+4x-20 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = 4^2 - 4(1)(-20) = 16 + 80 = 96 \]Pierwiastki:\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{6} \]Rozwiązanie $x = -2 + 2\sqrt{6}$ nie spełnia warunku $x < -3$. Rozwiązanie $x = -2 - 2\sqrt{6}$ spełnia warunek $x < -3$. Przypadek 2: $-3 < x < -2$ Wyrażenia z wartością bezwzględną:\[ |x+3| = x+3 \]\[ |x+2| = -(x+2) \]Upraszczamy lewą stronę:\[ \frac{|x+3|}{(x+3)(x-2)} = \frac{x+3}{(x+3)(x-2)} = \frac{1}{x-2} \]Równanie:\[ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{2} = \frac{-3}{x+2} \]Mnożymy przez $2(x-2)(x+2)$:\[ 2(x+2) + (x-2)(x+2) = -6(x-2) \]\[ 2x+4 + x^2-4 = -6x+12 \]\[ x^2+2x = -6x+12 \]\[ x^2+8x-12 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = 8^2 - 4(1)(-12) = 64 + 48 = 112 \]Pierwiastki:\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{7} \]Żaden z tych pierwiastków nie należy do przedziału $-3 < x < -2$. Przypadek 3: $x > -2$ (i $x \neq 2$) Wyrażenia z wartością bezwzględną:\[ |x+3| = x+3 \]\[ |x+2| = x+2 \]Upraszczamy lewą stronę:\[ \frac{|x+3|}{(x+3)(x-2)} = \frac{x+3}{(x+3)(x-2)} = \frac{1}{x-2} \]Równanie:\[ \frac{1}{x-2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{x+2} \]Mnożymy przez $2(x-2)(x+2)$:\[ 2(x+2) + (x-2)(x+2) = 6(x-2) \]\[ 2x+4 + x^2-4 = 6x-12 \]\[ x^2+2x = 6x-12 \]\[ x^2-4x+12 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-4)^2 - 4(1)(12) = 16 - 48 = -32 \]Ponieważ $\Delta < 0$, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Ostateczne rozwiązanie: $x = -2 - 2\sqrt{6}$.