a) Obliczenie dziedziny wyrażenia: Aby wyrażenie było dobrze zdefiniowane, mianowniki ułamków oraz licznik drugiego ułamka (który po odwróceniu staje się mianownikiem) muszą być różne od zera. Mianownik pierwszego ułamka:\[ x^2-2x-15 \neq 0 \]Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2-2x-15=0$:\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]\[ \sqrt{\Delta} = 8 \]\[ x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3 \]\[ x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \]Zatem $x \neq -3$ i $x \neq 5$. Mianownik drugiego ułamka:\[ x^2-25 \neq 0 \]\[ (x-5)(x+5) \neq 0 \]Zatem $x \neq 5$ i $x \neq -5$. Licznik drugiego ułamka (po odwróceniu staje się mianownikiem):\[ x-1 \neq 0 \]Zatem $x \neq 1$. Dziedzina wyrażenia wynosi:\[ D = \mathbb{R} \setminus \{-5, -3, 1, 5\} \] Przekształcenie wyrażenia: Wykonujemy dzielenie ułamków algebraicznych, co jest równoważne pomnożeniu pierwszego ułamka przez odwrotność drugiego.\[ \frac{x^3+3x-4}{x^2-2x-15} : \frac{x-1}{x^2-25} = \frac{x^3+3x-4}{x^2-2x-15} \cdot \frac{x^2-25}{x-1} \]Rozkładamy wielomiany na czynniki: Licznik pierwszego ułamka: $x^3+3x-4$. Zauważamy, że dla $x=1$ wartość wynosi $1^3+3(1)-4=0$, więc $(x-1)$ jest czynnikiem. Dzielimy wielomian:\[ (x^3+3x-4) : (x-1) = x^2+x+4 \]Zatem $x^3+3x-4 = (x-1)(x^2+x+4)$. Trójmian $x^2+x+4$ ma $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$, więc jest nierozkładalny w liczbach rzeczywistych. Mianownik pierwszego ułamka: $x^2-2x-15 = (x+3)(x-5)$. Licznik drugiego ułamka: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$. Mianownik drugiego ułamka: $x-1$. Podstawiamy rozłożone wyrażenia do iloczynu:\[ \frac{(x-1)(x^2+x+4)}{(x+3)(x-5)} \cdot \frac{(x-5)(x+5)}{x-1} \]Skracamy wspólne czynniki $(x-1)$ (dla $x \neq 1$) i $(x-5)$ (dla $x \neq 5$):\[ \frac{x^2+x+4}{x+3} \cdot (x+5) \]Wynik to:\[ \frac{(x^2+x+4)(x+5)}{x+3} \]Co po wymnożeniu licznika daje:\[ \frac{x^3+5x^2+x^2+5x+4x+20}{x+3} = \frac{x^3+6x^2+9x+20}{x+3} \] b) Obliczenie dziedziny wyrażenia: Mianowniki ułamków oraz licznik drugiego ułamka muszą być różne od zera. Mianownik pierwszego ułamka:\[ x^2-49 \neq 0 \]\[ (x-7)(x+7) \neq 0 \]Zatem $x \neq 7$ i $x \neq -7$. Mianownik drugiego ułamka:\[ x+7 \neq 0 \]Zatem $x \neq -7$. Licznik drugiego ułamka (po odwróceniu staje się mianownikiem):\[ x^2+1 \neq 0 \]Ponieważ $x^2 \ge 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, to $x^2+1 \ge 1$, więc $x^2+1$ nigdy nie jest równe zero. Dziedzina wyrażenia wynosi:\[ D = \mathbb{R} \setminus \{-7, 7\} \] Przekształcenie wyrażenia:\[ \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2-49} : \frac{x^2+1}{x+7} = \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2-49} \cdot \frac{x+7}{x^2+1} \]Rozkładamy wielomiany na czynniki: Licznik pierwszego ułamka: $x^3+2x^2+x+2$. Grupujemy wyrazy:\[ x^3+2x^2+x+2 = x^2(x+2) + 1(x+2) = (x^2+1)(x+2) \]Mianownik pierwszego ułamka: $x^2-49 = (x-7)(x+7)$. Licznik drugiego ułamka: $x+7$. Mianownik drugiego ułamka: $x^2+1$. Podstawiamy rozłożone wyrażenia do iloczynu:\[ \frac{(x^2+1)(x+2)}{(x-7)(x+7)} \cdot \frac{x+7}{x^2+1} \]Skracamy wspólne czynniki $(x^2+1)$ (zawsze różne od zera) i $(x+7)$ (dla $x \neq -7$):\[ \frac{x+2}{x-7} \]Wynik to:\[ \frac{x+2}{x-7} \]