Geometria analityczna sprawdzian

Geometria analityczna

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Dane są punkty $A(1, 1)$, $B(4, 5)$. Wyznacz punkt $C$, leżący na prostej $k: y = -1$, aby pole trójkąta $ABC$ było równe $10$.

Wskazówki:

Punkt $C$ leży na prostej $y = -1$, co oznacza, że jego współrzędna igrekowa jest stała i wynosi $-1$. Jego współrzędne możemy zapisać w postaci $C(x_C, -1)$.
Pole trójkąta w układzie współrzędnych można szybko wyznaczyć za pomocą wzoru z tablic maturalnych: $P = \dfrac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|$ lub w postaci wektorowej: $P = \dfrac{1}{2}|u_x v_y - u_y v_x|$.
Alternatywnie można skorzystać z klasycznego wzoru $P = \dfrac{1}{2} a \cdot h$, gdzie długość boku $a = |AB|$, a wysokość $h$ to odległość punktu $C$ od prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$.
Równanie z wartością bezwzględną daje dwa rozwiązania odpowiadające dwóm możliwym położeniom punktu $C$ na prostej $k$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i ustalenie współrzędnych punktu $C$:
W układzie współrzędnych dane są punkty $A(1, 1)$ oraz $B(4, 5)$. Punkt $C$ należy do prostej o równaniu $k: y = -1$, więc jego rzędna wynosi $-1$. Zapisujemy współrzędne punktu $C$ jako: $$C(x_C, -1)$$ gdzie $x_C$ jest szukaną odciętą punktu.
Sposób I – Wykorzystanie wzoru na pole ze współrzędnych wektorów:
Wyznaczamy współrzędne wektorów $\vec{AB}$ oraz $\vec{AC}$ o wspólnym początku w punkcie $A$: $$\begin{aligned} \vec{AB} &= [x_B - x_A, \; y_B - y_A] = [4 - 1, \; 5 - 1] = [3, \; 4] \\[8pt] \vec{AC} &= [x_C - x_A, \; y_C - y_A] = [x_C - 1, \; -1 - 1] = [x_C - 1, \; -2] \end{aligned}$$ Dla wektorów $\vec{u} = [u_x, u_y]$ i $\vec{v} = [v_x, v_y]$ pole trójkąta wyraża się wzorem: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot |u_x \cdot v_y - u_y \cdot v_x|$$ Podstawiamy współrzędne wektorów $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2} \cdot |3 \cdot (-2) - 4 \cdot (x_C - 1)| \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot |-6 - 4x_C + 4| \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot |-4x_C - 2| \end{aligned}$$ Wstawiamy pole trójkąta $P = 10$ do wzoru: $$\begin{aligned} 10 &= \dfrac{1}{2} \cdot |-4x_C - 2| \\[8pt] 20 &= |-4x_C - 2| \\[8pt] 20 &= 2 \cdot |2x_C + 1| \\[8pt] |2x_C + 1| &= 10 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną, rozbijając je na dwa przypadki: $$\begin{aligned} 2x_C + 1 = 10 \quad &\text{lub} \quad 2x_C + 1 = -10 \\[8pt] 2x_C = 9 \quad &\text{lub} \quad 2x_C = -11 \\[8pt] x_C = \dfrac{9}{2} \quad &\text{lub} \quad x_C = -\dfrac{11}{2} \end{aligned}$$ Otrzymujemy dwa punkty spełniające warunki zadania: $$C_1 = \left(\dfrac{9}{2}, -1\right), \quad C_2 = \left(-\dfrac{11}{2}, -1\right)$$
Sposób II – Wykorzystanie długości boku i odległości punktu od prostej:
Obliczamy długość podstawy $|AB|$: $$\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} \\[8pt] &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$$ Korzystając ze wzoru na pole trójkąta $P = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$, wyznaczamy wymaganą wysokość $h$: $$\begin{aligned} 10 &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot h \\[8pt] 10 &= \dfrac{5}{2} h \\[8pt] h &= 10 \cdot \dfrac{2}{5} = 4 \end{aligned}$$ Wysokość $h = 4$ jest odległością punktu $C(x_C, -1)$ od prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$. Wyznaczamy równanie ogólne prostej $AB$: $$\begin{aligned} a_{pr} &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - 1}{4 - 1} = \dfrac{4}{3} \\[8pt] y - 1 &= \dfrac{4}{3}(x - 1) \\[8pt] 3(y - 1) &= 4(x - 1) \\[8pt] 3y - 3 &= 4x - 4 \\[8pt] 4x - 3y - 1 &= 0 \end{aligned}$$ Stosujemy wzór na odległość punktu $C(x_C, -1)$ od prostej $4x - 3y - 1 = 0$: $$\begin{aligned} d(C, AB) &= \dfrac{|4x_C - 3(-1) - 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \\[8pt] &= \dfrac{|4x_C + 3 - 1|}{\sqrt{16 + 9}} = \dfrac{|4x_C + 2|}{\sqrt{25}} = \dfrac{|4x_C + 2|}{5} \end{aligned}$$ Przyrównujemy odległość do obliczonej wysokości $h = 4$: $$\begin{aligned} \dfrac{|4x_C + 2|}{5} &= 4 \\[8pt] |4x_C + 2| &= 20 \\[8pt] |2x_C + 1| &= 10 \end{aligned}$$ Otrzymujemy identyczne równanie jak w Sposobie I, które prowadzi do rozwiązań: $$x_C = \dfrac{9}{2} \quad \text{lub} \quad x_C = -\dfrac{11}{2}$$
Rysunek wynikowy i interpretacja geometryczna:
Zadanie ma dwa rozwiązania geometryczne, ponieważ na prostej $y = -1$ istnieją dokładnie dwa punkty odległe od prostej $AB$ o $h = 4$. Punkty te leżą po przeciwnych stronach odcinka $AB$.

Odpowiedź:
Warunki zadania spełniają dwa punkty: $C = \left(\dfrac{9}{2}, -1\right)$ oraz $C = \left(-\dfrac{11}{2}, -1\right)$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Określ wzajemne położenie prostej $k : x - y - 3 = 0$ i okręgu $o : (x - 3)^2 + y^2 = 1$. Jeśli są punkty wspólne, wyznacz ich współrzędne.

Wskazówki:

Odczytaj z równania kanonicznego okręgu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ współrzędne jego środka $S(a, b)$ oraz promień $r$.
Wzajemne położenie prostej i okręgu można ustalić geometrycznie, obliczając odległość $d$ środka okręgu od prostej za pomocą wzoru $d = \dfrac{|A x_S + B y_S + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ i porównując ją z promieniem $r$:
- jeśli $d < r$, prosta jest sieczną (posiada $2$ punkty wspólne z okręgiem),
- jeśli $d = r$, prosta jest styczną (posiada $1$ punkt wspólny),
- jeśli $d > r$, prosta i okrąg są rozłączne (brak punktów wspólnych).
Alternatywnie można rozwiązać problem algebraicznie, podstawiając równanie prostej do równania okręgu i badając liczbę rozwiązań otrzymanego równania kwadratowego za pomocą wyróżnika $\Delta$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Odczytanie parametrów okręgu, prostej i rysunek pomocniczy:
Równanie okręgu podane jest w postaci kanonicznej: $$(x - 3)^2 + y^2 = 1 \iff (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$$ Odczytujemy współrzędne środka okręgu oraz promień: $$S = (3, 0), \quad r = 1$$ Równanie prostej $k$ w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$ ma współczynniki: $$A = 1, \quad B = -1, \quad C = -3$$ W postaci kierunkowej prosta ma postać $y = x - 3$.
Sposób I – Wyznaczenie wzajemnego położenia metodą geometryczną:
Obliczamy odległość $d$ środka okręgu $S(3, 0)$ od prostej $k: 1x - 1y - 3 = 0$: $$\begin{aligned} d &= \dfrac{|A x_S + B y_S + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\[8pt] &= \dfrac{|1 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \\[8pt] &= \dfrac{|3 - 3|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{0}{\sqrt{2}} = 0 \end{aligned}$$ Ponieważ $d = 0$, środek okręgu $S$ leży bezpośrednio na prostej $k$. Porównujemy odległość $d$ z promieniem $r = 1$: $$d = 0 < 1 = r$$ Z nierówności $d < r$ wynika, że prosta $k$ jest sieczną okręgu $o$. Co więcej, ponieważ $d = 0$, prosta ta zawiera średnicę okręgu i przecina go w dwóch różnych punktach.
Sposób II – Wyznaczenie wzajemnego położenia metodą algebraiczną:
Układamy układ równań złożony z równania prostej i równania okręgu: $$\begin{cases} x - y - 3 = 0 \\[6pt] (x - 3)^2 + y^2 = 1 \end{cases}$$ Z pierwszego równania wyznaczamy wyrażenie $x - 3 = y$ (lub $y = x - 3$) i wstawiamy do równania drugiego: $$\begin{aligned} y^2 + y^2 &= 1 \\[8pt] 2y^2 - 1 &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze zmienną $y$ (gdzie $a = 2, b = 0, c = -1$). Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 8 > 0$$ Ponieważ wyróżnik jest ściśle dodatni ($\Delta > 0$), równanie posiada dwa różne rozwiązania rzeczywiste, co oznacza, że układ ma dwa rozwiązania. Dowodzi to algebraicznie, że prosta $k$ jest sieczną okręgu $o$.
Wyznaczenie współrzędnych punktów wspólnych i rysunek wynikowy:
Rozwiązujemy równanie kwadratowe $2y^2 - 1 = 0$: $$\begin{aligned} 2y^2 &= 1 \\[8pt] y^2 &= \dfrac{1}{2} \\[8pt] y &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{lub} \quad y = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$ Wyznaczamy odpowiadające wartości współrzędnej $x$ ze związku $x = y + 3$:
- dla $y_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$: $$x_1 = 3 + y_1 = 3 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ - dla $y_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$: $$x_2 = 3 + y_2 = 3 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ Otrzymujemy dwa punkty przecięcia: $$A = \left(3 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right), \quad B = \left(3 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Odpowiedź:
Prosta $k$ jest sieczną okręgu $o$ (zawiera jego średnicę, gdyż przechodzi przez środek okręgu $S$). Punkty wspólne mają współrzędne:
$A = \left(3 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ oraz $B = \left(3 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Zadanie 3 (4 pkt)

Dane są punkty $A(-2, -1)$, $B(4, 3)$, $C(1, 4)$, $D(-2, 2)$.

a) Wykaż, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem.

b) Oblicz pole trapezu.

Wskazówki:

Czworokąt jest trapezem, gdy co najmniej jedna para jego przeciwległych boków jest równoległa. Sprawdź równoległość boków za pomocą wektorów lub porównując współczynniki kierunkowe prostych.
Pole trapezu możesz wyznaczyć ze standardowego wzoru $P = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$, obliczając odległość między prostymi równoległymi, albo metodą dopełnienia figury do prostokąta w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rysunek pomocniczy i wykazanie równoległości podstaw:
Czworokąt jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna para jego przeciwległych boków leży na prostych równoległych. Badamy parę boków $AB$ i $CD$.

Sposób I – Wykorzystanie wektorów:
Wyznaczamy współrzędne wektorów $\vec{AB}$ oraz $\vec{DC}$: $$\begin{aligned} \vec{AB} &= [x_B - x_A, y_B - y_A] = [4 - (-2), 3 - (-1)] = [6, 4] \\[8pt] \vec{DC} &= [x_C - x_D, y_C - y_D] = [1 - (-2), 4 - 2] = [3, 2] \end{aligned}$$ Zauważamy bezpośrednią zależność proporcjonalności: $$\vec{AB} = 2 \cdot [3, 2] = 2\vec{DC}$$ Wektory $\vec{AB}$ i $\vec{DC}$ są równoległe i mają ten sam zwrot. Ponieważ punkty $A, B, C, D$ nie leżą na jednej prostej, odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe ($AB \parallel CD$).

Sposób II – Porównanie współczynników kierunkowych:
Wyznaczamy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki czworokąta: $$\begin{aligned} a_{AB} &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{3 - (-1)}{4 - (-2)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \\[8pt] a_{CD} &= \dfrac{y_C - y_D}{x_C - x_D} = \dfrac{4 - 2}{1 - (-2)} = \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Ponieważ $a_{AB} = a_{CD} = \dfrac{2}{3}$, proste $AB$ i $CD$ są równoległe.
Dla pozostałych boków: prosta $AD$ ma równanie $x = -2$ (jest pionowa), natomiast współczynnik prostej $BC$ wynosi $a_{BC} = \dfrac{4 - 3}{1 - 4} = -\dfrac{1}{3} \neq a_{AD}$, więc boki te nie są równoległe. Czworokąt $ABCD$ jest zatem trapezem o podstawach $AB$ i $CD$.
Podpunkt b) Sposób I – Obliczenie pola ze wzoru klasycznego z wysokością:
Obliczamy długości obu podstaw trapezu ze wzoru na odległość dwóch punktów: $$\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{(4 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2} \\[8pt] &= \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \\[8pt] |CD| &= \sqrt{(1 - (-2))^2 + (4 - 2)^2} \\[8pt] &= \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \end{aligned}$$ Wyznaczamy równanie ogólne prostej $AB$ przechodzącej przez punkty $A(-2, -1)$ i $B(4, 3)$: $$\begin{aligned} y - 3 &= \dfrac{2}{3}(x - 4) \\[8pt] 3(y - 3) &= 2(x - 4) \\[8pt] 3y - 9 &= 2x - 8 \\[8pt] 2x - 3y + 1 &= 0 \end{aligned}$$ Wysokość trapezu $h$ jest odległością wierzchołka $D(-2, 2)$ od prostej $AB$: $$\begin{aligned} h &= d(D, pr. AB) = \dfrac{|2 \cdot (-2) - 3 \cdot 2 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} \\[8pt] &= \dfrac{|-4 - 6 + 1|}{\sqrt{4 + 9}} = \dfrac{|-9|}{\sqrt{13}} = \dfrac{9}{\sqrt{13}} = \dfrac{9\sqrt{13}}{13} \end{aligned}$$ Obliczamy pole trapezu: $$\begin{aligned} P &= \dfrac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h \\[8pt] &= \dfrac{2\sqrt{13} + \sqrt{13}}{2} \cdot \dfrac{9}{\sqrt{13}} \\[8pt] &= \dfrac{3\sqrt{13}}{2} \cdot \dfrac{9}{\sqrt{13}} \\[8pt] &= \dfrac{27}{2} = 13{,}5 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Sposób II – Metoda dopełnienia do prostokąta (metoda siatkowa):
Opisujemy czworokąt $ABCD$ prostokątem o bokach równoległych do osi układu współrzędnych, wyznaczonym przez skrajne współrzędne wierzchołków: $$x \in [-2, 4], \quad y \in [-1, 4]$$ Wymiary tego prostokąta wynoszą: $$\text{szerokość} = 4 - (-2) = 6, \quad \text{wysokość} = 4 - (-1) = 5$$ Pole całego prostokąta opisującego wynosi: $$P_{\text{prostokąta}} = 6 \cdot 5 = 30$$ Od pola prostokąta odejmujemy pola figur zewnętrznych dopełniających trapez:

1. Trójkąt prostokątny pod bokiem $AB$ o wierzchołkach $(-2, -1)$, $(4, -1)$, $(4, 3)$: $$P_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$ 2. Trójkąt prostokątny nad bokiem $BC$ o wierzchołkach $(1, 4)$, $(4, 4)$, $(4, 3)$: $$P_2 = \dfrac{1}{2} \cdot (4 - 1) \cdot (4 - 3) = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1{,}5$$ 3. Trójkąt prostokątny z lewej strony boku $CD$ o wierzchołkach $(-2, 2)$, $(-2, 4)$, $(1, 4)$: $$P_3 = \dfrac{1}{2} \cdot (1 - (-2)) \cdot (4 - 2) = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$$ 4. Odcinek $AD$ leży na linii $x = -2$, stanowiącej lewy brzeg prostokąta, zatem nie ma tam dodatkowego obszaru do odliczenia.

Odejmujemy pola figur dopełniających od pola prostokąta: $$\begin{aligned} P &= P_{\text{prostokąta}} - (P_1 + P_2 + P_3) \\[8pt] &= 30 - (12 + 1{,}5 + 3) \\[8pt] &= 30 - 16{,}5 = 13{,}5 = \dfrac{27}{2} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Wykazano, że $\vec{AB} = 2\vec{DC}$ (lub $a_{AB} = a_{CD} = \dfrac{2}{3}$), co dowodzi, że boki $AB$ i $CD$ są równoległe, a czworokąt $ABCD$ jest trapezem.

b) $P = \dfrac{27}{2} = 13{,}5$

Zadanie 4 (3 pkt)

Punkty $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(2, 6)$ są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz:

a) równanie ogólne prostej $AB$,

b) równanie ogólne prostej zawierającej wysokość $CD$,

c) długość wysokości $CD$.

Wskazówki:

W podpunkcie a wyznacz współczynnik kierunkowy prostej $AB$ ze wzoru $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ lub zastosuj wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty, po czym doprowadź równanie do postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$.
W podpunkcie b skorzystaj z faktu, że wysokość opuszczona z wierzchołka $C$ jest prostopadła do boku $AB$ – oznacza to, że iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $-1$ ($a_{AB} \cdot a_{CD} = -1$).
W podpunkcie c długość wysokości możesz wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru na odległość punktu $C$ od prostej $AB$ (Sposób I) lub obliczając współrzędne spodka wysokości $D$ jako punktu przecięcia prostych $AB$ i $CD$ oraz wyznaczając odległość między punktami $C$ i $D$ (Sposób II).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza punktów w układzie współrzędnych:
Mamy dane trzy punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych: wierzchołek $A(1, 2)$, wierzchołek $B(5, 4)$ oraz wierzchołek $C(2, 6)$. Tworzą one trójkąt $\triangle ABC$.
Podpunkt a) Wyznaczenie równania ogólnego prostej $AB$:
Wychodzimy od współrzędnych punktów $A(1, 2)$ oraz $B(5, 4)$. Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $$\begin{aligned} a_{AB} &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\[8pt] &= \dfrac{4 - 2}{5 - 1} \\[8pt] &= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ Zapisujemy równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt $A(1, 2)$: $$\begin{aligned} y - y_A &= a_{AB}(x - x_A) \\[8pt] y - 2 &= \dfrac{1}{2}(x - 1) \\[8pt] y - 2 &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2} \\[8pt] y &= \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \end{aligned}$$ Przekształcamy równanie do postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$, mnożąc obustronnie przez $2$: $$\begin{aligned} 2y &= x + 3 \\[8pt] x - 2y + 3 &= 0 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie równania ogólnego prostej zawierającej wysokość $CD$:
Wysokość $CD$ jest odcinkiem prostopadłym do boku $AB$, opuszczonym z wierzchołka $C(2, 6)$. Oznacza to, że prosta $CD$ jest prostopadła do prostej $AB$. Korzystamy z warunku prostopadłości prostych: $$\begin{aligned} a_{CD} \cdot a_{AB} &= -1 \\[8pt] a_{CD} \cdot \dfrac{1}{2} &= -1 \\[8pt] a_{CD} &= -2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy równanie prostej o współczynniku kierunkowym $a_{CD} = -2$ przechodzącej przez wierzchołek $C(2, 6)$: $$\begin{aligned} y - y_C &= a_{CD}(x - x_C) \\[8pt] y - 6 &= -2(x - 2) \\[8pt] y - 6 &= -2x + 4 \\[8pt] y &= -2x + 10 \end{aligned}$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, uzyskując postać ogólną: $$2x + y - 10 = 0$$
Podpunkt c) Sposób I – Wyznaczenie długości wysokości ze wzoru na odległość punktu od prostej:
Długość wysokości $CD$ jest równa odległości punktu $C(x_0, y_0) = (2, 6)$ od prostej $AB$ o równaniu ogólnym $1 \cdot x - 2 \cdot y + 3 = 0$, gdzie $A = 1$, $B = -2$, $C_{\text{wyraz}} = 3$.

Stosujemy wzór na odległość punktu od prostej: $$d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C_{\text{wyraz}}|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Podstawiamy odpowiednie wartości: $$\begin{aligned} |CD| &= \dfrac{|1 \cdot 2 + (-2) \cdot 6 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} \\[8pt] &= \dfrac{|2 - 12 + 3|}{\sqrt{1 + 4}} \\[8pt] &= \dfrac{|-7|}{\sqrt{5}} \\[8pt] &= \dfrac{7}{\sqrt{5}} \end{aligned}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika: $$\begin{aligned} |CD| &= \dfrac{7 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \\[8pt] &= \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Sposób II – Wyznaczenie współrzędnych punktu $D$ i długości odcinka $|CD|$:
Punkt $D$ jest spodkiem wysokości, czyli punktem przecięcia prostej $AB$ oraz prostej $CD$. Rozwiązujemy układ równań: $$\begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\[6pt] 2x + y - 10 = 0 \end{cases}$$ Z drugiego równania wyznaczamy $y$: $$y = 10 - 2x$$ Podstawiamy do pierwszego równania: $$\begin{aligned} x - 2(10 - 2x) + 3 &= 0 \\[8pt] x - 20 + 4x + 3 &= 0 \\[8pt] 5x - 17 &= 0 \\[8pt] 5x &= 17 \implies x = \dfrac{17}{5} = 3{,}4 \end{aligned}$$ Obliczamy rzędną punktu $D$: $$\begin{aligned} y &= 10 - 2 \cdot \dfrac{17}{5} \\[8pt] &= \dfrac{50 - 34}{5} = \dfrac{16}{5} = 3{,}2 \end{aligned}$$ Spodek wysokości ma współrzędne $D\left(\dfrac{17}{5}, \dfrac{16}{5}\right)$. Obliczamy długość odcinka $|CD|$ ze wzoru na odległość dwóch punktów: $$\begin{aligned} |CD| &= \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} \\[8pt] &= \sqrt{\left(\dfrac{17}{5} - 2\right)^2 + \left(\dfrac{16}{5} - 6\right)^2} \\[8pt] &= \sqrt{\left(\dfrac{17 - 10}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{16 - 30}{5}\right)^2} \\[8pt] &= \sqrt{\left(\dfrac{7}{5}\right)^2 + \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2} \\[8pt] &= \sqrt{\dfrac{49}{25} + \dfrac{196}{25}} = \sqrt{\dfrac{245}{25}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{49 \cdot 5}}{5} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \end{aligned}$$
Podsumowanie geometryczne i rysunek wynikowy:
Wysokość $CD$ opuszczona na przedłużenie/odcinek podstawy $AB$ tworzy kąt prosty w punkcie $D(3{,}4;\; 3{,}2)$, a jej długość wynosi $\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$.

Odpowiedź:
a) Równanie ogólne prostej $AB$: $x - 2y + 3 = 0$

b) Równanie ogólne prostej zawierającej wysokość $CD$: $2x + y - 10 = 0$

c) Długość wysokości $CD$: $|CD| = \dfrac{7\sqrt{5}}{5}$

Zadanie 5 (2 pkt)

Wyznacz liczbę $a$, dla których wektory $\vec{r} = [a + 4, -3]$ oraz $\vec{s} = [2a - 1, 9]$ są:

a) równoległe

b) prostopadłe

Wskazówki:

Warunek równoległości dwóch wektorów $\vec{u} = [x_1, y_1]$ i $\vec{v} = [x_2, y_2]$ można zapisać za pomocą wyznacznika pary wektorów: $x_1 y_2 - y_1 x_2 = 0$ bądź z faktu istnienia niezerowej liczby rzeczywistej $k$, takiej że $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$.
Warunek prostopadłości dwóch wektorów niezerowych zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru: $\vec{u} \circ \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.
Alternatywnie w podpunkcie b) można wyznaczyć współczynniki kierunkowe prostych zawierających te wektory ($m = \dfrac{y}{x}$) i skorzystać ze szkolnego warunku prostopadłości prostych: $m_1 \cdot m_2 = -1$.
W podpunkcie b) otrzymasz równanie kwadratowe ze zmienną $a$ – rozwiąż je, wyznaczając wyróżnik $\Delta$ oraz pierwiastki.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie liczby $a$, dla której wektory $\vec{r}$ i $\vec{s}$ są równoległe:
Współrzędne danych wektorów to: $$\vec{r} = [a + 4, -3], \quad \vec{s} = [2a - 1, 9]$$
Sposób I – Wykorzystanie wyznacznika pary wektorów:
Wektory na płaszczyźnie są równoległe ($\vec{r} \parallel \vec{s}$) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik pary tych wektorów wynosi zero: $$\begin{aligned} x_r \cdot y_s - y_r \cdot x_s &= 0 \\[8pt] (a + 4) \cdot 9 - (-3) \cdot (2a - 1) &= 0 \\[8pt] 9a + 36 - (-6a + 3) &= 0 \\[8pt] 9a + 36 + 6a - 3 &= 0 \\[8pt] 15a + 33 &= 0 \\[8pt] 15a &= -33 \\[8pt] a &= -\dfrac{33}{15} = -\dfrac{11}{5} = -2\dfrac{1}{5} = -2{,}2 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie proporcjonalności współrzędnych:
Dwa wektory są równoległe, gdy istnieje taka liczba $k \in \mathbb{R}$, że $\vec{s} = k \cdot \vec{r}$: $$[2a - 1, 9] = k \cdot [a + 4, -3]$$ Porównując drugie współrzędne obu wektorów: $$\begin{aligned} 9 &= k \cdot (-3) \\[8pt] k &= \dfrac{9}{-3} = -3 \end{aligned}$$ Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika $k = -3$ do relacji dla pierwszych współrzędnych: $$\begin{aligned} 2a - 1 &= -3 \cdot (a + 4) \\[8pt] 2a - 1 &= -3a - 12 \\[8pt] 5a &= -11 \\[8pt] a &= -\dfrac{11}{5} = -2{,}2 \end{aligned}$$ Dla $a = -\dfrac{11}{5}$ wektory przyjmują postać: $$\vec{r} = \left[-\dfrac{11}{5} + 4, -3\right] = \left[\dfrac{9}{5}, -3\right] = [1{,}8, -3]$$ $$\vec{s} = \left[2 \cdot \left(-\dfrac{11}{5}\right) - 1, 9\right] = \left[-\dfrac{27}{5}, 9\right] = [-5{,}4, 9]$$ Zauważmy, że $\vec{s} = -3 \vec{r}$, co oznacza, że wektory leżą na prostych równoległych i mają przeciwne zwroty.
Podpunkt b) Wyznaczenie liczby $a$, dla której wektory $\vec{r}$ i $\vec{s}$ są prostopadłe:

Sposób I – Wykorzystanie iloczynu skalarnego wektorów:
Dwa wektory niezerowe są prostopadłe ($\vec{r} \perp \vec{s}$) wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru: $$\vec{r} \circ \vec{s} = 0$$ Zapisujemy iloczyn skalarny za pomocą współrzędnych wektorów: $$\begin{aligned} x_r \cdot x_s + y_r \cdot y_s &= 0 \\[8pt] (a + 4)(2a - 1) + (-3) \cdot 9 &= 0 \\[8pt] 2a^2 - a + 8a - 4 - 27 &= 0 \\[8pt] 2a^2 + 7a - 31 &= 0 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie współczynników kierunkowych prostych:
Niezerowy wektor o współrzędnych $[x, y]$ (dla $x \neq 0$) leży na prostej o współczynniku kierunkowym równym tangensowi kąta nachylenia do osi $Ox$: $$m = \dfrac{y}{x}$$ Dla naszych wektorów współczynniki kierunkowe wynoszą odpowiednio: $$m_r = \dfrac{y_r}{x_r} = \dfrac{-3}{a + 4} \quad (\text{dla } a \neq -4)$$ $$m_s = \dfrac{y_s}{x_s} = \dfrac{9}{2a - 1} \quad \left(\text{dla } a \neq \dfrac{1}{2}\right)$$ Wektory są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy proste zawierające te wektory są prostopadłe, czyli gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$: $$\begin{aligned} m_r \cdot m_s &= -1 \\[8pt] \dfrac{-3}{a + 4} \cdot \dfrac{9}{2a - 1} &= -1 \\[8pt] \dfrac{-27}{(a + 4)(2a - 1)} &= -1 \end{aligned}$$ Mnożąc obie strony przez mianownik $(a + 4)(2a - 1)$: $$\begin{aligned} -27 &= -(a + 4)(2a - 1) \\[8pt] (a + 4)(2a - 1) &= 27 \\[8pt] 2a^2 + 7a - 4 &= 27 \\[8pt] 2a^2 + 7a - 31 &= 0 \end{aligned}$$
Rozwiązanie otrzymanego równania kwadratowego:
Współczynniki równania $2a^2 + 7a - 31 = 0$ wynoszą: $$a_{\text{}} = 2, \quad b = 7, \quad c = -31$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-31) \\[8pt] &= 49 + 248 \\[8pt] &= 297 \end{aligned}$$ Wyłączamy czynnik przed pierwiastek: $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{297} = \sqrt{9 \cdot 33} = 3\sqrt{33}$$ Wyznaczamy pierwiastki równania: $$\begin{aligned} a_1 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a_{\text{}}} = \dfrac{-7 - 3\sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-7 - 3\sqrt{33}}{4} \approx -6{,}06 \\[8pt] a_2 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a_{\text{}}} = \dfrac{-7 + 3\sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-7 + 3\sqrt{33}}{4} \approx 2{,}56 \end{aligned}$$ Obie wartości spełniają założenia $a \neq -4$ oraz $a \neq \dfrac{1}{2}$. Ponieważ drugie współrzędne wektorów to $-3$ i $9$, wektory są zawsze niezerowe, zatem dla obu wyznaczonych liczb $a$ zachodzi $\vec{r} \perp \vec{s}$.

Odpowiedź:
a) $a = -\dfrac{11}{5}$ $\left(\text{czyli } a = -2\dfrac{1}{5} = -2{,}2\right)$

b) $a = \dfrac{-7 - 3\sqrt{33}}{4}$ lub $a = \dfrac{-7 + 3\sqrt{33}}{4}$

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Dane są punkty $A(-1, 0)$, $B(1, 4)$. Wyznacz punkt $C$, leżący na prostej $k: x = 4$, aby pole trójkąta $ABC$ było równe 8.