1. Znalezienie dziedziny: Mianowniki nie mogą być równe zero. Pierwszy mianownik:\[ x^2 - 4x - 12 \neq 0 \]Zastosujemy metodę z deltą, aby znaleźć miejsca zerowe trójmianu:\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64, \quad \sqrt{\Delta} = 8 \]Pierwiastki:\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{2} \Rightarrow x_1 = 6, \; x_2 = -2 \]Zatem:\[ x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) \]Warunek:\[ x \neq 6 \quad \text{i} \quad x \neq -2 \] Drugi mianownik: $$x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$$ Dziedzina wyrażenia to: $$D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 6\}$$ 2. Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wykonanie odejmowania: Pierwszy mianownik to $x^2-4x-12 = (x-6)(x+2)$. Wspólnym mianownikiem jest $(x-6)(x+2)$. Przekształcamy drugie wyrażenie:\[ \frac{3x-2}{x-6} = \frac{(3x-2)(x+2)}{(x-6)(x+2)} \]Rozwijamy licznik:\[ (3x-2)(x+2) = 3x \cdot x + 3x \cdot 2 - 2 \cdot x - 2 \cdot 2 = 3x^2+6x-2x-4 = 3x^2+4x-4 \]Podstawiamy do wyrażenia:\[ \frac{x+2}{x^2-4x-12} - \frac{3x-2}{x-6} = \frac{x+2}{(x-6)(x+2)} - \frac{3x^2+4x-4}{(x-6)(x+2)} \]Wykonujemy odejmowanie:\[ = \frac{x+2 - (3x^2+4x-4)}{(x-6)(x+2)} \]Usuwamy nawiasy i zmieniamy znaki:\[ = \frac{x+2 - 3x^2 - 4x + 4}{(x-6)(x+2)} \]Porządkujemy licznik:\[ = \frac{-3x^2 - 3x + 6}{(x-6)(x+2)} \] 3. Uproszczenie licznika: Wyłączamy $-3$ przed nawias:\[ -3x^2 - 3x + 6 = -3(x^2 + x - 2) \]Faktoryzujemy trójmian kwadratowy $x^2 + x - 2$ (można to zrobić "z głowy" lub za pomocą delty):\[ x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) \]Licznik staje się:\[ -3(x+2)(x-1) \] 4. Ostateczne uproszczenie wyrażenia:\[ \frac{-3(x+2)(x-1)}{(x-6)(x+2)} \]Ponieważ $x \neq -2$, możemy skrócić czynnik $(x+2)$ z licznika i mianownika:\[ = \frac{-3(x-1)}{x-6} \]