Czworokąty sprawdzian

Czworokąty

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

W trapezie prostokątnym $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$, kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są proste. Wykaż, że jeśli ramię $BC$ ma długość równą podstawie $AB$, to przekątna $AC$ zawiera się w dwusiecznej kąta $C$.

Wskazówki:

Zauważ, że trójkąt $ABC$ jest trójkątem równoramiennym o ramionach $AB$ oraz $BC$, co oznacza, że kąty przy jego podstawie $AC$ mają równe miary: $\sphericalangle BAC = \sphericalangle BCA$.
Wykorzystaj fakt, że podstawy trapezu są równoległe ($AB \parallel CD$). Przekątna $AC$ jest sieczną przecinającą obie proste równoległe, tworząc parę równych kątów naprzemianległych wewnętrznych.
Porównując miary tych kątów, wykaż równość kątów $\sphericalangle BCA$ oraz $\sphericalangle ACD$, co bezpośrednio oznacza podział kąta $C$ na połowy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Rozważmy trapez prostokątny $ABCD$, w którym odcinek $AD$ jest ramieniem prostopadłym do podstaw $AB$ oraz $CD$ ($\sphericalangle DAB = \sphericalangle ADC = 90^\circ$). Zgodnie z treścią zadania podstawa $AB$ i ramię $BC$ mają jednakową długość: $$|AB| = |BC| = a$$ Rysujemy przekątną $AC$ trapezu łączącą wierzchołki $A$ i $C$.
Sposób I – Wykorzystanie własności trójkąta równoramiennego i kątów naprzemianległych:
Rozpatrzmy trójkąt $ABC$ wyznaczony przez przekątną $AC$ oraz boki $AB$ i $BC$.
Ponieważ z założenia zachodzi $|AB| = |BC|$, trójkąt $ABC$ jest trójkątem równoramiennym o ramionach $AB$, $BC$ i podstawie $AC$.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają równe miary. Oznaczmy tę miarę symbolem $\alpha$: $$\sphericalangle BAC = \sphericalangle BCA = \alpha$$ Z definicji trapezu podstawy $AB$ oraz $CD$ są równoległe ($AB \parallel CD$). Rozważmy prostą zawierającą przekątną $AC$ jako sieczną przecinającą obie te proste równoległe.

Kąty $\sphericalangle BAC$ oraz $\sphericalangle ACD$ są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi. Na mocy twierdzenia o kątach naprzemianległych przy prostych równoległych mają one równe miary: $$\sphericalangle ACD = \sphericalangle BAC = \alpha$$ Zestawiając powyższe równości: $$\begin{aligned} \sphericalangle BCA &= \alpha \\[8pt] \sphericalangle ACD &= \alpha \end{aligned}$$ Otrzymujemy bezpośrednią równość: $$\sphericalangle BCA = \sphericalangle ACD$$ Przekątna $AC$ dzieli kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ ($\sphericalangle BCD$) na dwa kąty o jednakowej mierze, co oznacza, że zawiera się w dwusiecznej tego kąta. Dowód został zakończony.
Sposób II – Wykorzystanie sumy miar kątów czworokąta i trójkąta:
Niech miara kąta przy wierzchołku $B$ wynosi $\beta$, czyli $\sphericalangle ABC = \beta$.

W czworokącie o podstawach równoległych suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu wynosi $180^\circ$ (są to kąty jednostronne wewnętrzne): $$\sphericalangle ABC + \sphericalangle BCD = 180^\circ \implies \sphericalangle BCD = 180^\circ - \beta$$ W trójkącie równoramiennym $ABC$ kąt między ramionami o długości $a$ ma miarę $\beta$. Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^\circ$, zatem kąty przy podstawie $AC$ wynoszą: $$\begin{aligned} \sphericalangle BAC = \sphericalangle BCA &= \dfrac{180^\circ - \beta}{2} \\[8pt] &= 90^\circ - \dfrac{\beta}{2} \end{aligned}$$ Kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ składa się z sumy dwóch kątów: $\sphericalangle BCD = \sphericalangle BCA + \sphericalangle ACD$. Wyznaczamy stąd miarę kąta $\sphericalangle ACD$: $$\begin{aligned} \sphericalangle ACD &= \sphericalangle BCD - \sphericalangle BCA \\[8pt] &= (180^\circ - \beta) - \left(90^\circ - \dfrac{\beta}{2}\right) \\[8pt] &= 180^\circ - \beta - 90^\circ + \dfrac{\beta}{2} \\[8pt] &= 90^\circ - \dfrac{\beta}{2} \end{aligned}$$ Porównując wyznaczone zależności: $$\sphericalangle BCA = 90^\circ - \dfrac{\beta}{2} = \sphericalangle ACD$$ Wynika stąd, że: $$\sphericalangle BCA = \sphericalangle ACD = \dfrac{1}{2} \sphericalangle BCD$$ Zatem przekątna $AC$ połowi kąt $C$, czyli zawiera się w jego dwusiecznej, co kończy dowód.

Odpowiedź:
Wykazano, że $\sphericalangle BCA = \sphericalangle ACD$, co dowodzi, że przekątna $AC$ dzieli kąt wewnętrzny $C$ na dwa kąty o jednakowych miarach i zawiera się w jego dwusiecznej.

Zadanie 2 (3 pkt)

W rombie jedna z przekątnych jest o 6 dłuższa od drugiej, zaś bok rombu jest o 5 dłuższy od połowy krótszej przekątnej. Wyznacz długość dłuższej przekątnej tego rombu.

Wskazówki:

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy, tworząc cztery przystające trójkąty prostokątne.
Wprowadź pomocniczą zmienną $x$ oznaczającą połowę krótszej przekątnej – wówczas połowa dłuższej przekątnej wynosi $x + 3$, a bok rombu $x + 5$.
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa dla jednego z powstałych trójkątów prostokątnych, pamiętając, że długość w geometrii musi być liczbą dodatnią ($x > 0$).
Pamiętaj, że szukaną wielkością jest cała dłuższa przekątna rombu, a nie jedynie jej połowa.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wprowadzenie oznaczeń:
W rombie przekątne $d_1$ (krótsza) i $d_2$ (dłuższa) przecinają się pod kątem prostym w punkcie $S$ i dzielą się na połowy. Niech $x > 0$ oznacza połowę krótszej przekątnej: $$\dfrac{d_1}{2} = x \implies d_1 = 2x$$ Ponieważ dłuższa przekątna jest o $6$ dłuższa od krótszej ($d_2 = d_1 + 6 = 2x + 6$), jej połowa wynosi: $$\dfrac{d_2}{2} = \dfrac{2x + 6}{2} = x + 3$$ Bok rombu $a$ jest o $5$ dłuższy od połowy krótszej przekątnej: $$a = x + 5$$
Sposób I – Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa dla połówek przekątnych:
W trójkącie prostokątnym $SCD$ przyprostokątnymi są $\dfrac{d_1}{2} = x$ oraz $\dfrac{d_2}{2} = x + 3$, a przeciwprostokątną jest bok rombu $a = x + 5$: $$x^2 + (x + 3)^2 = (x + 5)^2$$ Rozwijamy wyrażenia za pomocą wzorów skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} x^2 + (x^2 + 6x + 9) &= x^2 + 10x + 25 \\[8pt] 2x^2 + 6x + 9 &= x^2 + 10x + 25 \\[8pt] x^2 - 4x - 16 &= 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe za pomocą wyróżnika $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) \\[8pt] &= 16 + 64 = 80 = 16 \cdot 5 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \end{aligned}$$ Wyznaczamy pierwiastki równania: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-4) - 4\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 - 4\sqrt{5}}{2} = 2 - 2\sqrt{5} \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-4) + 4\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 + 4\sqrt{5}}{2} = 2 + 2\sqrt{5} \end{aligned}$$ Ponieważ $x$ reprezentuje długość odcinka, musi zachodzić $x > 0$. Wartość $x_1 = 2 - 2\sqrt{5} \approx 2 - 4{,}47 = -2{,}47 < 0$ odrzucamy jako sprzeczną z warunkami geometrycznymi.
Zatem przyjmujemy: $$x = 2 + 2\sqrt{5}$$ Obliczamy długość dłuższej przekątnej $d_2$: $$\begin{aligned} d_2 &= 2(x + 3) \\[8pt] &= 2(2 + 2\sqrt{5} + 3) \\[8pt] &= 2(5 + 2\sqrt{5}) \\[8pt] &= 10 + 4\sqrt{5} \end{aligned}$$
Sposób II – Bezpośrednie ułożenie równania z krótszą przekątną $d_1$:
Przyjmując bezpośrednio $d_1$ jako długość krótszej przekątnej ($d_1 > 0$), otrzymujemy: $$\begin{aligned} d_2 &= d_1 + 6 \\[8pt] a &= \dfrac{1}{2}d_1 + 5 \end{aligned}$$ Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa: $$\left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d_1 + 6}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{d_1}{2} + 5\right)^2$$ Podnosimy ułamki do kwadratu: $$\begin{aligned} \dfrac{d_1^2}{4} + \dfrac{d_1^2 + 12d_1 + 36}{4} &= \dfrac{d_1^2}{4} + 2 \cdot \dfrac{d_1}{2} \cdot 5 + 25 \\[8pt] \dfrac{d_1^2 + 12d_1 + 36}{4} &= 5d_1 + 25 \end{aligned}$$ Mnożymy obie strony przez $4$: $$\begin{aligned} d_1^2 + 12d_1 + 36 &= 20d_1 + 100 \\[8pt] d_1^2 - 8d_1 - 64 &= 0 \end{aligned}$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) \\[8pt] &= 64 + 256 = 320 = 64 \cdot 5 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 8\sqrt{5} \end{aligned}$$ Uwzględniając warunek $d_1 > 0$: $$d_1 = \dfrac{8 + 8\sqrt{5}}{2} = 4 + 4\sqrt{5}$$ Wyznaczamy dłuższą przekątną: $$\begin{aligned} d_2 &= d_1 + 6 \\[8pt] &= 4 + 4\sqrt{5} + 6 \\[8pt] &= 10 + 4\sqrt{5} \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy z wymiarami rombu:
Poniższy rysunek przedstawia romb z wyliczonymi wymiarami:

Odpowiedź:
Długość dłuższej przekątnej tego rombu wynosi $10 + 4\sqrt{5}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

W równoległoboku $ABCD$ wysokość trójkąta $ABC$, opuszczona z wierzchołka $B$, dzieli przekątną $AC$ na odcinki o długości $|AE| = 10$ i $|EC| = 2$. Wysokość równoległoboku poprowadzona z wierzchołka $C$ na prostą $AB$ ma długość 4. Wyznacz $|BE|$.

Wskazówki:

Oblicz pole trójkąta $ABC$ na dwa sposoby: przyjmując jako podstawę przekątną $AC$ oraz bok $AB$. Pozwoli to uzależnić długość boku $|AB|$ bezpośrednio od szukanej wysokości $|BE|$.
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $AEB$ lub wykorzystaj funkcje trygonometryczne (sinus kąta $\angle CAB$) w trójkątach prostokątnych $AEB$ i $AFC$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza własności trójkąta $ABC$:
Wysokość trójkąta $ABC$ opuszczona z wierzchołka $B$ dzieli przekątną $AC$ na odcinki $|AE| = 10$ oraz $|EC| = 2$. Długość całej przekątnej wynosi zatem: $$|AC| = |AE| + |EC| = 10 + 2 = 12$$ Punkt $E$ leży na przekątnej $AC$, a odcinek $BE$ jest do niej prostopadły ($BE \perp AC$).
Wysokość równoległoboku opuszczona z wierzchołka $C$ na prostą $AB$ to odcinek $CF \perp AB$ (gdzie punkt $F$ leży na prostej zawierającej bok $AB$), o długości $|CF| = 4$. Dla trójkąta $ABC$ odcinek ten stanowi wysokość opuszczoną na bok $AB$.
Wyznaczenie zależności między bokiem $|AB|$ a wysokością $|BE|$ przez porównanie pól:
Pole trójkąta $ABC$ możemy obliczyć na dwa sposoby:

1. Biorąc jako podstawę przekątną $AC$ oraz opuszczoną na nią wysokość $BE$: $$\begin{aligned} P_{\triangle ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BE| \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot |BE| \\[8pt] &= 6|BE| \end{aligned}$$ 2. Biorąc jako podstawę bok $AB$ oraz opuszczoną na prostą $AB$ wysokość $CF = 4$: $$\begin{aligned} P_{\triangle ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CF| \\[8pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 4 \\[8pt] &= 2|AB| \end{aligned}$$ Przyrównując oba wzory na pole tego samego trójkąta, otrzymujemy: $$\begin{aligned} 6|BE| &= 2|AB| \\[8pt] |AB| &= 3|BE| \end{aligned}$$
Sposób I – Wyznaczenie $|BE|$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $AEB$:
Trójkąt $AEB$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $E$. Przyprostokątne mają długości $|AE| = 10$ oraz $|BE|$, a przeciwprostokątna to bok $|AB|$.

Z twierdzenia Pitagorasa: $$|AB|^2 = |AE|^2 + |BE|^2$$ Podstawiamy $|AE| = 10$ oraz wyznaczoną zależność $|AB| = 3|BE|$: $$\begin{aligned} (3|BE|)^2 &= 10^2 + |BE|^2 \\[8pt] 9|BE|^2 &= 100 + |BE|^2 \\[8pt] 8|BE|^2 &= 100 \\[8pt] |BE|^2 &= \dfrac{100}{8} = \dfrac{25}{2} \end{aligned}$$ Pierwiastkujemy obie strony i usuwamy niewymierność z mianownika: $$\begin{aligned} |BE| &= \sqrt{\dfrac{25}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{5}{\sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$
Sposób II – Wyznaczenie $|BE|$ za pomocą funkcji trygonometrycznych:
Oznaczmy miarę kąta $\angle CAB$ jako $\alpha$.

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $AFC$ z kątem prostym przy wierzchołku $F$. Przeciwprostokątną jest przekątna $|AC| = 12$, a przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $\alpha$ jest wysokość $|CF| = 4$. Wyznaczamy sinus kąta $\alpha$: $$\sin \alpha = \dfrac{|CF|}{|AC|} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$$ Teraz spójrzmy na trójkąt prostokątny $AEB$ z kątem prostym przy wierzchołku $E$. Przeciwprostokątną jest bok $|AB|$, przyprostokątną naprzeciw kąta $\alpha$ jest odcinek $|BE|$, a przyprostokątną przyległą jest $|AE| = 10$: $$\sin \alpha = \dfrac{|BE|}{|AB|} \implies \dfrac{|BE|}{|AB|} = \dfrac{1}{3} \implies |AB| = 3|BE|$$ $$\cos \alpha = \dfrac{|AE|}{|AB|} = \dfrac{10}{|AB|}$$ Stosujemy jedynkę trygonometryczną $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{10}{|AB|}\right)^2 &= 1 \\[8pt] \dfrac{1}{9} + \dfrac{100}{|AB|^2} &= 1 \\[8pt] \dfrac{100}{|AB|^2} &= 1 - \dfrac{1}{9} \\[8pt] \dfrac{100}{|AB|^2} &= \dfrac{8}{9} \\[8pt] |AB|^2 &= \dfrac{900}{8} = \dfrac{225}{2} \end{aligned}$$ Ponieważ $|BE| = \dfrac{1}{3}|AB|$, po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy: $$\begin{aligned} |BE|^2 &= \dfrac{1}{9} |AB|^2 \\[8pt] &= \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{225}{2} \\[8pt] &= \dfrac{25}{2} \end{aligned}$$ Stąd ostatecznie: $$|BE| = \sqrt{\dfrac{25}{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$$

Odpowiedź:
$|BE| = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Wskazówki:

Wykorzystaj własność kątów przy tym samym ramieniu trapezu – ponieważ podstawy $AB$ i $CD$ są równoległe, suma kątów przy ramieniu $AD$ wynosi $180^\circ$, co pozwala od razu obliczyć miarę kąta $\angle A$.
Opuszczając wysokości z wierzchołków $D$ oraz $C$ na dłuższą podstawę $AB$, podziel trapez na dwa trójkąty prostokątne o wspólnej wysokości $h$.
Zadanie możesz rozwiązać za pomocą definicji funkcji trygonometrycznych (sinusa) w powstałych trójkątach prostokątnych (Sposób I) lub korzystając z własności trójkątów o kątach charakterystycznych $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ oraz $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ (Sposób II).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie miary kąta przy wierzchołku $A$:
W trapezie o podstawach równoległych $AB \parallel CD$ suma kątów wewnętrznych leżących przy każdym ramieniu jest równa $180^\circ$. Dla ramienia $AD$ zachodzi: $$\begin{aligned} |\angle A| + |\angle D| &= 180^\circ \\[8pt] |\angle A| + 135^\circ &= 180^\circ \\[8pt] |\angle A| &= 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \end{aligned}$$ Prowadzimy wysokości trapezu $h$ z wierzchołków $D$ i $C$ prostopadle do podstawy $AB$, otrzymując ich spodki odpowiednio w punktach $F$ i $E$.
Sposób I – Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych:
Rozważamy trójkąt prostokątny $\triangle CEB$, w którym $\angle CEB = 90^\circ$, $|\angle B| = 30^\circ$ oraz przeciwprostokątna $|BC| = 10$. Z definicji sinusa: $$\begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{|CE|}{|BC|} \\[8pt] \dfrac{1}{2} &= \dfrac{h}{10} \\[8pt] h &= 10 \cdot \dfrac{1}{2} \\[8pt] h &= 5 \end{aligned}$$ Wysokość trapezu wynosi $h = 5$. Przechodzimy do trójkąta prostokątnego $\triangle DFA$, w którym $\angle DFA = 90^\circ$, $|\angle A| = 45^\circ$ oraz przyprostokątna leżąca naprzeciwko tego kąta to $|DF| = h = 5$. Korzystamy z definicji sinusa kąta $45^\circ$: $$\begin{aligned} \sin 45^\circ &= \dfrac{|DF|}{|AD|} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{2}}{2} &= \dfrac{5}{|AD|} \end{aligned}$$ Mnożymy na krzyż i wyznaczamy $|AD|$: $$\begin{aligned} |AD| \cdot \sqrt{2} &= 5 \cdot 2 \\[8pt] |AD| \cdot \sqrt{2} &= 10 \\[8pt] |AD| &= \dfrac{10}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt{2}$: $$\begin{aligned} |AD| &= \dfrac{10 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{10\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= 5\sqrt{2} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie własności trójkątów o kątach charakterystycznych:
Możemy skorzystać z bezpośrednich zależności miarowych w trójkątach szczególnych:

• Trójkąt $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ ($\triangle CEB$):
W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym $30^\circ$ przyprostokątna leżąca naprzeciwko tego kąta (wysokość $h$) ma długość równą dokładnie połowie przeciwprostokątnej ($|BC|$): $$h = \dfrac{1}{2} |BC| = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5$$ • Trójkąt $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ ($\triangle DFA$):
Trójkąt ten jest prostokątny i równoramienny, co oznacza, że obie przyprostokątne mają jednakową długość: $$|AF| = |DF| = h = 5$$ Przeciwprostokątna $|AD|$ w trójkącie równoramiennym prostokątnym o przyprostokątnej $a = 5$ odpowiada przekątnej kwadratu o boku $a$: $$\begin{aligned} |AD| &= a\sqrt{2} \\[8pt] &= 5\sqrt{2} \end{aligned}$$
Interpretacja geometryczna i rysunek wynikowy:
Podsumowując, ramię $AD$ wraz ze swoją rzutowaną wysokością $h = 5$ tworzy połówkę kwadratu o boku $5$, stąd jego ostateczna długość wynosi $5\sqrt{2}$.

Odpowiedź:
Długość ramienia wynosi $|AD| = 5\sqrt{2}$.

Zadanie 5 (3 pkt)

W biurze zawieszono na ścianie zdjęcie o wymiarach $50\text{ cm}$ na $80\text{ cm}$, oprawione w ramkę. Prostokąty wyznaczone przez zdjęcie i zewnętrzny brzeg ramki są figurami podobnymi. Obwód większego prostokąta wynosi $390\text{ cm}$. Podaj wymiary zewnętrzne ramki.

Wskazówki:

Wyznacz obwód mniejszego prostokąta (zdjęcia) na podstawie jego danych boków.
Stosunek obwodów dwóch figur podobnych jest równy skali ich podobieństwa $k$. Wykorzystaj ten fakt, aby obliczyć $k$, a następnie pomnóż wymiary zdjęcia przez wyznaczoną skalę.
Alternatywnie zadanie można rozwiązać, układając układ równań oparty na stałym stosunku boków w prostokątach podobnych oraz wzorze na obwód większego prostokąta.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Niech prostokąt mniejszy (zdjęcie) ma boki o długościach $a_1 = 50\text{ cm}$ oraz $b_1 = 80\text{ cm}$. Zewnętrzny brzeg ramki tworzy większy prostokąt o bokach odpowiednio $a_2$ oraz $b_2$, którego obwód wynosi $Obw_2 = 390\text{ cm}$. Ponieważ oba prostokąty są figurami podobnymi, stosunek ich odpowiadających sobie boków jest jednakowy.
Sposób I – Wykorzystanie skali podobieństwa i stosunku obwodów:
Obliczamy obwód mniejszego prostokąta $Obw_1$ (zdjęcia): $$\begin{aligned} Obw_1 &= 2a_1 + 2b_1 \\[8pt] &= 2 \cdot 50\text{ cm} + 2 \cdot 80\text{ cm} \\[8pt] &= 100\text{ cm} + 160\text{ cm} = 260\text{ cm} \end{aligned}$$ Stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa $k$: $$\begin{aligned} k &= \dfrac{Obw_2}{Obw_1} \\[8pt] &= \dfrac{390\text{ cm}}{260\text{ cm}} = \dfrac{39}{26} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \end{aligned}$$ Obliczamy wymiary zewnętrzne ramki $a_2$ oraz $b_2$, mnożąc boki zdjęcia przez wyznaczoną skalę podobieństwa: $$\begin{aligned} a_2 &= k \cdot a_1 \\[8pt] &= \dfrac{3}{2} \cdot 50\text{ cm} = 75\text{ cm} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} b_2 &= k \cdot b_1 \\[8pt] &= \dfrac{3}{2} \cdot 80\text{ cm} = 120\text{ cm} \end{aligned}$$
Sposób II – Ułożenie układu równań z proporcji boków i obwodu:
Z podobieństwa prostokątów wynika, że stosunek dłuższego boku do krótszego jest w obu figurach identyczny: $$\begin{aligned} \dfrac{b_2}{a_2} &= \dfrac{b_1}{a_1} \\[8pt] \dfrac{b_2}{a_2} &= \dfrac{80}{50} = \dfrac{8}{5} \\[8pt] b_2 &= \dfrac{8}{5}a_2 = 1{,}6 a_2 \end{aligned}$$ Z treści zadania znamy obwód większego prostokąta: $$\begin{aligned} 2a_2 + 2b_2 &= 390 \quad / : 2 \\[8pt] a_2 + b_2 &= 195 \end{aligned}$$ Podstawiamy $b_2 = 1{,}6 a_2$ do powyższego równania: $$\begin{aligned} a_2 + 1{,}6 a_2 &= 195 \\[8pt] 2{,}6 a_2 &= 195 \quad / : 2{,}6 \\[8pt] a_2 &= \dfrac{195}{2{,}6} = \dfrac{1950}{26} = 75\text{ cm} \end{aligned}$$ Obliczamy długość drugiego boku: $$b_2 = 195\text{ cm} - 75\text{ cm} = 120\text{ cm}$$
Prezentacja wyznaczonych wymiarów ramki:
Otrzymane wymiary ramki to $75\text{ cm}$ na $120\text{ cm}$. Sprawdzamy obwód: $$2 \cdot 75\text{ cm} + 2 \cdot 120\text{ cm} = 150\text{ cm} + 240\text{ cm} = 390\text{ cm}$$ Wynik jest zgodny z treścią zadania.

Odpowiedź:
Wymiary zewnętrzne ramki wynoszą $75\text{ cm} \times 120\text{ cm}$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

W trapezie prostokątnym $KLMN$, w którym $KL \parallel NM$, kąty przy wierzchołkach $K$ i $N$ są proste. Wykaż, że jeśli ramię $LM$ ma długość równą podstawie $KL$, to przekątna $KM$ zawiera się w dwusiecznej kąta $M$.