a) Wyznaczenie wartości parametru $a$: Zgodnie z twierdzeniem o reszcie, reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x+1$ jest równa $W(-1)$. Z treści zadania wiemy, że $W(-1) = -9$. Podstawiamy $x = -1$ do wielomianu $W(x) = x^4 + (a^3 - 2)x^2 - (2a^2 - 3a + 10)$:\[ W(-1) = (-1)^4 + (a^3 - 2)(-1)^2 - (2a^2 - 3a + 10) \]\[ W(-1) = 1 + (a^3 - 2) - (2a^2 - 3a + 10) \]\[ W(-1) = 1 + a^3 - 2 - 2a^2 + 3a - 10 \]\[ W(-1) = a^3 - 2a^2 + 3a - 11 \]Przyrównujemy obliczoną resztę do wartości podanej w zadaniu:\[ a^3 - 2a^2 + 3a - 11 = -9 \]\[ a^3 - 2a^2 + 3a - 2 = 0 \]Szukamy całkowitych pierwiastków tego równania wśród dzielników wyrazu wolnego ($2$): $\pm 1, \pm 2$. Sprawdzamy $a = 1$:\[ 1^3 - 2 \cdot (1^2) + 3 \cdot 1 - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0 \]Zatem $a=1$ jest pierwiastkiem tego równania. Dzielimy wielomian $a^3 - 2a^2 + 3a - 2$ przez $(a-1)$.\[ a^3 - a^2 - a^2 + a + 2a - 2 = a^2(a-1) - a(a-1) + 2(a-1) = (a-1)(a^2-a+2) \]Równanie przyjmuje postać:\[ (a - 1)(a^2 - a + 2) = 0 \]Stąd $a - 1 = 0$ lub $a^2 - a + 2 = 0$.\[ a = 1 \]Dla równania kwadratowego $a^2 - a + 2 = 0$, obliczamy wyróżnik $\Delta_a$:\[ \Delta_a = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \]Ponieważ $\Delta_a < 0$, równanie $a^2 - a + 2 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest $a=1$. b) Obliczenie pierwiastków wielomianu $W(x)$: Podstawiamy wyznaczoną wartość $a=1$ do wzoru wielomianu $W(x)$:\[ W(x) = x^4 + (1^3 - 2)x^2 - (2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 10) \]\[ W(x) = x^4 + (1 - 2)x^2 - (2 - 3 + 10) \]\[ W(x) = x^4 - x^2 - ( -1 + 10) \]\[ W(x) = x^4 - x^2 - 9 \]Jest to równanie dwukwadratowe. Wprowadzamy zmienną pomocniczą $y = x^2$. Pamiętamy, że $y \ge 0$.\[ y^2 - y - 9 = 0 \]Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta$:\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 1 + 36 = 37 \]Obliczamy pierwiastki $y_1, y_2$:\[ y_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{37}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{37}}{2} \]\[ y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{37}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \]Ponieważ $y = x^2$, wartość $y$ nie może być ujemna. Wiemy, że $\sqrt{37} \approx 6.08$, więc $1 - \sqrt{37} < 0$, co oznacza, że $y_1 < 0$. Zatem odrzucamy $y_1$. Rozważamy tylko $y_2 = \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$.\[ x^2 = \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \]Rozwiązujemy to równanie dla $x$:\[ x = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{37}}{2}} \quad \text{lub} \quad x = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{37}}{2}} \]Pierwiastkami rzeczywistymi wielomianu $W(x)$ są $x_1 = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{37}}{2}}$ i $x_2 = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{37}}{2}}$.