Wzory viete'a kartkówka

11.15 Wzory viete’a

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Funkcja kwadratowa $f$ ma dwa miejsca zerowe. Nie obliczając tych miejsc zerowych, ustal ich znaki.

a) $f(x) = x^2 - 7x + 10$

b) $f(x) = x^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{10})x - \sqrt{70}$

Wskazówki:

Aby zbadać znaki miejsc zerowych bez ich wyliczania, wykorzystaj wzory Viète'a: $$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}, \qquad x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$$
Najpierw zbadaj znak iloczynu $x_1 \cdot x_2$:
- Jeśli $x_1 \cdot x_2 < 0$, to miejsca zerowe mają przeciwne znaki (jedno jest dodatnie, a drugie ujemne).
- Jeśli $x_1 \cdot x_2 > 0$, to oba miejsca zerowe mają ten sam znak (oba są dodatnie lub oba ujemne).
Gdy iloczyn jest dodatni, o znaku obu miejsc zerowych decyduje znak ich sumy $x_1 + x_2$:
- Gdy $x_1 + x_2 > 0$, oba miejsca zerowe są dodatnie.
- Gdy $x_1 + x_2 < 0$, oba miejsca zerowe są ujemne.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Ustalenie znaków miejsc zerowych funkcji $f(x) = x^2 - 7x + 10$:
Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: $$a = 1, \quad b = -7, \quad c = 10$$ Zgodnie z treścią zadania funkcja ma dwa miejsca zerowe. Stosujemy wzory Viète'a:

1. Badamy znak iloczynu miejsc zerowych: $$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2 &= \dfrac{c}{a} \\[8pt] &= \dfrac{10}{1} = 10 > 0 \end{aligned}$$ Ponieważ $x_1 \cdot x_2 > 0$, miejsca zerowe mają ten sam znak (oba są dodatnie lub oba ujemne).

2. Badamy znak sumy miejsc zerowych: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} \\[8pt] &= -\dfrac{-7}{1} = 7 > 0 \end{aligned}$$ Suma dwóch liczb o tym samym znaku jest dodatnia, co jednoznacznie wskazuje, że: $$x_1 \cdot x_2 > 0 \quad \text{oraz} \quad x_1 + x_2 > 0 \implies x_1 > 0 \quad \text{i} \quad x_2 > 0$$ Oba miejsca zerowe funkcji są liczbami dodatnimi.
Podpunkt b) Ustalenie znaków miejsc zerowych funkcji $f(x) = x^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{10})x - \sqrt{70}$:
Wypisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: $$a = 1, \quad b = \sqrt{7} - \sqrt{10}, \quad c = -\sqrt{70}$$ Zgodnie z informacją w zadaniu funkcja posiada dwa miejsca zerowe. Badamy znak iloczynu miejsc zerowych za pomocą wzoru Viète'a: $$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2 &= \dfrac{c}{a} \\[8pt] &= \dfrac{-\sqrt{70}}{1} = -\sqrt{70} \end{aligned}$$ Ponieważ $\sqrt{70} > 0$, otrzymujemy: $$x_1 \cdot x_2 = -\sqrt{70} < 0$$ Iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy czynniki mają różne znaki. Zatem jedno z miejsc zerowych jest liczbą dodatnią, a drugie liczbą ujemną (mają przeciwne znaki).

Odpowiedź:
a) Oba miejsca zerowe są dodatnie ($x_1 > 0, x_2 > 0$).

b) Miejsca zerowe mają przeciwne znaki (jedno miejsce zerowe jest dodatnie, a drugie ujemne).

Zadanie 2 (2 pkt)

Sprawdź, że funkcja $y = x^2 + 3x - 4$ ma dwa miejsca zerowe. Następnie bez obliczania tych miejsc zerowych oblicz:
a) kwadrat ich sumy
b) sumę ich kwadratów.

Wskazówki:

Funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni ($\Delta > 0$).
Wzory Viète'a pozwalają obliczyć wyłącznie sumę $(x_1 + x_2)$ oraz iloczyn $(x_1 x_2)$: $$ x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} $$
Zwróć uwagę na różnicę pojęciową: kwadrat sumy to $(x_1 + x_2)^2$, natomiast suma kwadratów to $x_1^2 + x_2^2$.
Ponieważ wzory Viète'a nie dają gotowego wzoru na $x_1^2 + x_2^2$, musimy wyrazić to wyrażenie za pomocą sumy i iloczynu. Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia: $$ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 $$ Odejmując obustronnie podwojony iloczyn $2x_1 x_2$, otrzymujemy: $$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$

Rozwiązanie krok po kroku:

Sprawdzenie istnienia dwóch miejsc zerowych i wyznaczenie wzorów Viète'a:
Wypisujemy współczynniki funkcji kwadratowej $y = ax^2 + bx + c$: $$ a = 1, \quad b = 3, \quad c = -4 $$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta$: $$ \begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \\[8pt] &= 9 + 16 \\[8pt] &= 25 \end{aligned} $$ Ponieważ $\Delta = 25 > 0$, funkcja posiada dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$.

Wyznaczamy sumę oraz iloczyn tych miejsc zerowych, korzystając ze wzorów Viète'a: $$ \begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{1} = -3 \\[8pt] x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a} = \dfrac{-4}{1} = -4 \end{aligned} $$
Podpunkt a) Obliczenie kwadratu sumy miejsc zerowych:
Kwadrat sumy dwóch wielkości $x_1$ oraz $x_2$ zapisujemy w postaci: $$ (x_1 + x_2)^2 $$ Podstawiamy wartość sumy obliczoną ze wzoru Viète'a ($x_1 + x_2 = -3$): $$ \begin{aligned} (x_1 + x_2)^2 &= (-3)^2 \\[8pt] &= 9 \end{aligned} $$
Podpunkt b) Obliczenie sumy kwadratów miejsc zerowych:
Szukaną wartością jest suma kwadratów, czyli wyrażenie: $$ x_1^2 + x_2^2 $$
Sposób I – Wyprowadzenie tożsamości ze wzorów Viète'a i wzoru skróconego mnożenia:
Dlaczego przekształcamy to wyrażenie?
Wzory Viète'a dają nam wyłącznie wartość sumy $(x_1 + x_2)$ oraz iloczynu $(x_1 x_2)$. Nie ma wzoru Viète'a bezpośrednio na $x_1^2 + x_2^2$. Naszym celem jest więc zapisanie sumy kwadratów wyłącznie przy użyciu tych dwóch znanych "cegiełek": $(x_1 + x_2)$ oraz $(x_1 x_2)$.

Wyprowadzenie krok po kroku:
1. Rozpisujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $$ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 $$
2. Zauważamy, że po prawej stronie pojawia się poszukiwana przez nas suma kwadratów $x_1^2 + x_2^2$, ale towarzyszy jej dodatkowy składnik $+ 2x_1 x_2$: $$ (x_1 + x_2)^2 = \underbrace{x_1^2 + x_2^2}_{\text{szukana suma}} + \underbrace{2x_1 x_2}_{\text{podwojony iloczyn}} $$
3. Aby wyizolować samo $x_1^2 + x_2^2$, odejmujemy obustronnie $2x_1 x_2$ (przenosimy go na drugą stronę równości ze zmianą znaku): $$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$
Mając wyrażenie zależne wyłącznie od sumy $(x_1 + x_2)$ oraz iloczynu $(x_1 x_2)$, podstawiamy wartości wyznaczone ze wzorów Viète'a ($x_1 + x_2 = -3$ oraz $x_1 x_2 = -4$): $$ \begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 &= (-3)^2 - 2 \cdot (-4) \\[8pt] &= 9 - (-8) \\[8pt] &= 9 + 8 \\[8pt] &= 17 \end{aligned} $$
Sposób II – Wykorzystanie tożsamości miejsc zerowych:
Z definicji miejsca zerowego liczby $x_1$ oraz $x_2$ spełniają równanie kwadratowe $x^2 + 3x - 4 = 0$: $$ x_1^2 + 3x_1 - 4 = 0 \implies x_1^2 = 4 - 3x_1 $$ $$ x_2^2 + 3x_2 - 4 = 0 \implies x_2^2 = 4 - 3x_2 $$ Dodajemy powyższe równości stronami: $$ \begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 &= (4 - 3x_1) + (4 - 3x_2) \\[8pt] &= 8 - 3(x_1 + x_2) \end{aligned} $$ Wstawiamy sumę ze wzoru Viète'a ($x_1 + x_2 = -3$): $$ \begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 &= 8 - 3 \cdot (-3) \\[8pt] &= 8 + 9 \\[8pt] &= 17 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
a) Kwadrat sumy miejsc zerowych wynosi $9$.

b) Suma kwadratów miejsc zerowych wynosi $17$.

Zadanie 3 (4 pkt)

Sprawdź, że funkcja $y = \sqrt{3}x^2 - \sqrt{2}x - \sqrt{3}$ ma dwa miejsca zerowe. Następnie bez obliczania tych miejsc zerowych oblicz:
a) sumę ich odwrotności
b) sumę kwadratów ich odwrotności.

Wskazówki:

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od znaku wyróżnika trójmianu ($\Delta$). Funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy $a \ne 0$ oraz $\Delta > 0$.
Alternatywnie: jeśli iloczyn współczynników $a \cdot c < 0$, to trójmian zawsze ma dwa miejsca zerowe o przeciwnych znakach, ponieważ $\Delta = b^2 - 4ac \ge -4ac > 0$.
Aby obliczyć wartości wyrażeń bez wyznaczania miejsc zerowych, przekształć je do postaci zawierającej wyłącznie sumę $x_1 + x_2$ oraz iloczyn $x_1 \cdot x_2$, a następnie zastosuj wzory Viète'a: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ oraz $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sprawdzenie istnienia dwóch miejsc zerowych i wyznaczenie wzorów Viète'a:
Wypisujemy współczynniki funkcji kwadratowej $y = \sqrt{3}x^2 - \sqrt{2}x - \sqrt{3}$: $$a = \sqrt{3}, \quad b = -\sqrt{2}, \quad c = -\sqrt{3}$$ Sprawdzenie liczby miejsc zerowych możemy przeprowadzić na dwa sposoby:

Sposób I – Obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego ($\Delta$):
Stosujemy wzór $\Delta = b^2 - 4ac$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) \\[8pt] &= 2 - 4 \cdot (-3) \\[8pt] &= 2 + 12 = 14 \end{aligned}$$ Ponieważ $a = \sqrt{3} \ne 0$ oraz $\Delta = 14 > 0$, funkcja kwadratowa ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe, które oznaczamy jako $x_1$ oraz $x_2$.

Sposób II – Analiza iloczynu współczynników $a$ i $c$:
Zauważmy, że iloczyn współczynników wynosi: $$a \cdot c = \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3 < 0$$ Ponieważ $b^2 \ge 0$ dla każdej liczby rzeczywistej, a wyrażenie $-4ac > 0$, wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$ musi być ściśle dodatni ($\Delta > 0$), co gwarantuje istnienie dwóch różnych miejsc zerowych o przeciwnych znakach.

Wyznaczenie sumy i iloczynu pierwiastków ze wzorów Viète'a:
Obliczamy sumę miejsc zerowych: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \end{aligned}$$ Obliczamy iloczyn miejsc zerowych: $$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2 &= \dfrac{c}{a} = \dfrac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -1 \end{aligned}$$ Zauważmy, że iloczyn $x_1 \cdot x_2 = -1 \ne 0$, co oznacza, że żadne z miejsc zerowych nie jest równe zero ($x_1 \ne 0$ i $x_2 \ne 0$), zatem odwrotności $\dfrac{1}{x_1}$ oraz $\dfrac{1}{x_2}$ są poprawnie określone.
Podpunkt a) Obliczamy sumę odwrotności miejsc zerowych:
Wyjściowe wyrażenie to: $$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$$ Obliczenia możemy wykonać na dwa sposoby:

Sposób I – Sprowadzenie do wspólnego mianownika:
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $x_1 \cdot x_2$: $$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$$ Podstawiamy obliczone wcześniej wartości wzorów Viète'a: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} &= \dfrac{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}{-1} \\[8pt] &= -\dfrac{\sqrt{6}}{3} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie bezpośredniego ilorazu wzorów Viète'a:
Zapisujemy iloraz sumy i iloczynu za pomocą współczynników funkcji kwadratowej: $$\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{-\dfrac{b}{a}}{\dfrac{c}{a}} = -\dfrac{b}{c}$$ Podstawiamy współczynniki $b = -\sqrt{2}$ oraz $c = -\sqrt{3}$: $$\begin{aligned} -\dfrac{b}{c} &= -\dfrac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\[8pt] &= -\dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczamy sumę kwadratów odwrotności miejsc zerowych:
Wyjściowe wyrażenie to: $$\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{x_2}\right)^2 = \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2}$$ Wartość tego wyrażenia możemy wyznaczyć dwoma sposobami:

Sposób I – Wykorzystanie wyniku z podpunktu a) i wzoru skróconego mnożenia:
Zauważmy, że kwadrat sumy odwrotności wynosi: $$\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\right)^2 = \dfrac{1}{x_1^2} + 2 \cdot \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \left(\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2}\right) + \dfrac{2}{x_1 \cdot x_2}$$ Przekształcamy tożsamość, aby wyznaczyć szukaną sumę kwadratów: $$\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\right)^2 - \dfrac{2}{x_1 \cdot x_2}$$ Podstawiamy obliczoną w podpunkcie a) wartość sumy odwrotności $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ oraz iloczyn $x_1 \cdot x_2 = -1$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} &= \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 - \dfrac{2}{-1} \\[8pt] &= \dfrac{6}{9} - (-2) \\[8pt] &= \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{8}{3} = 2\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$
Sposób II – Sprowadzenie do wspólnego mianownika i uzupełnienie do kwadratu sumy:
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika: $$\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \dfrac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 \cdot x_2^2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 \cdot x_2)^2}$$ Wyrażamy sumę kwadratów w liczniku za pomocą tożsamości $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$: $$\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 \cdot x_2)^2}$$ Wstawiamy wartości ze wzorów Viète'a: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} &= \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \cdot (-1)}{(-1)^2} \\[8pt] &= \dfrac{\dfrac{2}{3} + 2}{1} \\[8pt] &= \dfrac{2}{3} + \dfrac{6}{3} = \dfrac{8}{3} = 2\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

b) $\dfrac{8}{3} = 2\dfrac{2}{3}$

Zadanie 4 (4 pkt)

Funkcja kwadratowa $f$ ma dwa miejsca zerowe, których suma wynosi $-4$, a iloczyn jest równy $3$. Wiedząc, że do wykresu funkcji $f$ należy punkt $A(1, 8)$, wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Wskazówki:

Sumę i iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ można powiązać bezpośrednio ze współczynnikami za pomocą wzorów Viète'a: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ oraz $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Alternatywnie można wyznaczyć konkretne wartości miejsc zerowych $x_1$ i $x_2$, rozwiązać prosty układ równań i zapisać funkcję w postaci iloczynowej: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Współczynnik kierunkowy $a$ wyznaczamy, wykorzystując fakt, że punkt $A(1, 8)$ należy do wykresu funkcji, czyli spełnia warunek $f(1) = 8$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wykorzystanie wzorów Viète'a i postaci ogólnej:
Niech funkcja kwadratowa w postaci ogólnej ma postać: $$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad \text{gdzie } a \ne 0$$ Ze wzorów Viète'a dla sumy i iloczynu pierwiastków otrzymujemy: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} = -4 \\[8pt] x_1 \cdot x_2 &= \dfrac{c}{a} = 3 \end{aligned}$$ Mnożymy oba równania obustronnie przez $a$, uzależniając współczynniki $b$ oraz $c$ od współczynnika $a$: $$\begin{aligned} b &= 4a \\[8pt] c &= 3a \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczone wielkości do wzoru ogólnego funkcji: $$\begin{aligned} f(x) &= ax^2 + 4ax + 3a \\[8pt] &= a(x^2 + 4x + 3) \end{aligned}$$ Do wykresu funkcji należy punkt $A(1, 8)$, co oznacza, że $f(1) = 8$. Podstawiamy współrzędne punktu: $$\begin{aligned} 8 &= a \cdot (1^2 + 4 \cdot 1 + 3) \\[8pt] 8 &= a \cdot (1 + 4 + 3) \\[8pt] 8 &= 8a \\[8pt] a &= 1 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pozostałe współczynniki trójmianu: $$\begin{aligned} b &= 4 \cdot 1 = 4 \\[8pt] c &= 3 \cdot 1 = 3 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek istnienia dwóch miejsc zerowych ($\Delta > 0$): $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \\[8pt] &= 16 - 12 = 4 > 0 \end{aligned}$$ Warunek jest spełniony. Ostateczny wzór funkcji w postaci ogólnej to: $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$
Sposób II – Wyznaczenie miejsc zerowych i postaci iloczynowej:
Zapisujemy układ równań dla miejsc zerowych $x_1$ oraz $x_2$: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{cases}$$ Wyznaczamy $x_2$ z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego: $$\begin{aligned} x_2 &= -4 - x_1 \\[8pt] x_1(-4 - x_1) &= 3 \\[8pt] -x_1^2 - 4x_1 - 3 &= 0 \\[8pt] x_1^2 + 4x_1 + 3 &= 0 \end{aligned}$$ Rozkładamy trójmian na czynniki: $$\begin{aligned} (x_1 + 1)(x_1 + 3) &= 0 \\[8pt] x_1 = -1 \quad &\lor \quad x_1 = -3 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi funkcji są zatem liczby $-3$ oraz $-1$. Zapisujemy postać iloczynową funkcji: $$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 3)(x + 1)$$ Wykorzystujemy przynależność punktu $A(1, 8)$ do wykresu ($f(1) = 8$): $$\begin{aligned} 8 &= a(1 + 3)(1 + 1) \\[8pt] 8 &= a \cdot 4 \cdot 2 \\[8pt] 8 &= 8a \\[8pt] a &= 1 \end{aligned}$$ Wstawiamy $a = 1$ i przekształcamy postać iloczynową do postaci ogólnej: $$\begin{aligned} f(x) &= 1 \cdot (x + 3)(x + 1) \\[8pt] &= x^2 + x + 3x + 3 \\[8pt] &= x^2 + 4x + 3 \end{aligned}$$
Interpretacja geometryczna rozwiązania i szkic wykresu:
Wykres funkcji to parabola o ramionach skierowanych w górę ($a = 1 > 0$), przecinająca oś $OX$ w punktach $(-3, 0)$ oraz $(-1, 0)$. Współrzędne wierzchołka paraboli $W(p, q)$ wynoszą: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2 \\[8pt] q &= f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \end{aligned}$$ Parabola przecina oś $OY$ w punkcie $(0, c) = (0, 3)$ oraz przechodzi przez zadany punkt $A(1, 8)$.

Odpowiedź:
$f(x) = x^2 + 4x + 3$

Zadanie 5 (5 pkt)

Funkcja kwadratowa $f$ ma dwa miejsca zerowe $x_1, x_2$ takie, że $x_1 \cdot x_2 = 5$.

Wiedząc, że dla argumentu $3$ funkcja $f$ przyjmuje największą wartość, równą $8$, wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej.

Wskazówki:

Największa wartość funkcji kwadratowej jest przyjmowana w wierzchołku paraboli $W = (p, q)$, co oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół ($a < 0$).
Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek i jest symetralną odcinka łączącego miejsca zerowe: $p = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.
Wyznacz sumę miejsc zerowych, a następnie ułóż układ równań z danym iloczynem $x_1 \cdot x_2 = 5$, aby wyznaczyć wartości $x_1$ oraz $x_2$.
Współczynnik kierunkowy $a$ wyznacz za pomocą postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$ lub wzorów Viète'a.
Zapisz ostateczny wzór w postaci iloczynowej: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza własności wierzchołka paraboli:
Z treści zadania funkcja kwadratowa $f$ dla argumentu $x = 3$ przyjmuje największą wartość równą $8$. Oznacza to, że:
- Wierzchołek paraboli ma współrzędne $W = (p, q) = (3, 8)$.
- Współczynnik kierunkowy jest ujemny ($a < 0$), więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
- Prosta o równaniu $x = 3$ jest osią symetrii paraboli.
Miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ leżą symetrycznie względem prostej $x = p$, zatem ich średnia arytmetyczna jest równa pierwszej współrzędnej wierzchołka: $$p = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \implies \dfrac{x_1 + x_2}{2} = 3 \implies x_1 + x_2 = 6$$
Sposób I – Wyznaczenie miejsc zerowych i współczynnika $a$ z postaci kanonicznej:
Znamy sumę oraz iloczyn miejsc zerowych funkcji: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 \cdot x_2 = 5 \end{cases}$$ Z pierwszego równania wyznaczamy $x_2 = 6 - x_1$ i wstawiamy do drugiego równania: $$\begin{aligned} x_1 \cdot (6 - x_1) &= 5 \\[8pt] 6x_1 - x_1^2 &= 5 \\[8pt] x_1^2 - 6x_1 + 5 &= 0 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe: $$\begin{aligned} \Delta &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 4 \\[8pt] x_1 &= \dfrac{6 - 4}{2} = 1 \implies x_2 = 6 - 1 = 5 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi funkcji są liczby $1$ oraz $5$.

Znając współrzędne wierzchołka $W(3, 8)$, zapisujemy postać kanoniczną funkcji $f$: $$f(x) = a(x - p)^2 + q = a(x - 3)^2 + 8$$ Ponieważ liczba $1$ jest miejscem zerowym funkcji, zachodzi warunek $f(1) = 0$: $$\begin{aligned} a(1 - 3)^2 + 8 &= 0 \\[8pt] a \cdot (-2)^2 + 8 &= 0 \\[8pt] 4a + 8 &= 0 \\[8pt] 4a &= -8 \\[8pt] a &= -2 \end{aligned}$$ Współczynnik $a = -2$ spełnia warunek $a < 0$ (parabola ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja rzeczywiście osiąga maksimum).

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$: $$f(x) = -2(x - 1)(x - 5)$$
Sposób II – Wykorzystanie wzorów Viète'a i postaci ogólnej:
Niech funkcja $f$ będzie określona wzorem w postaci ogólnej: $$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad \text{gdzie } a \neq 0$$ Z wzorów Viète'a oraz pierwszej współrzędnej wierzchołka $p = 3$ otrzymujemy: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} = 2p = 6 \implies b = -6a \\[8pt] x_1 \cdot x_2 &= \dfrac{c}{a} = 5 \implies c = 5a \end{aligned}$$ Wartość największa wynosi $8$ i jest przyjmowana dla argumentu $x = 3$, czyli $f(3) = 8$: $$\begin{aligned} f(3) &= a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c \\[8pt] 8 &= 9a + 3 \cdot (-6a) + 5a \\[8pt] 8 &= 9a - 18a + 5a \\[8pt] 8 &= -4a \\[8pt] a &= -2 \end{aligned}$$ Wyznaczamy współczynniki $b$ oraz $c$: $$\begin{aligned} b &= -6 \cdot (-2) = 12 \\[8pt] c &= 5 \cdot (-2) = -10 \end{aligned}$$ Wzór funkcji w postaci ogólnej to: $$f(x) = -2x^2 + 12x - 10$$ Wyznaczamy miejsca zerowe z postaci ogólnej: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-10) = 144 - 80 = 64 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 8 \\[8pt] x_1 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-12 + 8}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{-4}{-4} = 1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-12 - 8}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{-20}{-4} = 5 \end{aligned}$$ Przechodzimy do postaci iloczynowej: $$f(x) = -2(x - 1)(x - 5)$$
Rysunek wynikowy i interpretacja geometryczna:
Wykres funkcji $f(x) = -2(x - 1)(x - 5)$ to parabola o wierzchołku $W(3, 8)$, osi symetrii $x = 3$ i miejscach zerowych $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Odpowiedź:
Wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej to $f(x) = -2(x - 1)(x - 5)$.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Funkcja kwadratowa $f$ ma dwa miejsca zerowe. Nie obliczając tych miejsc zerowych, ustal ich znaki. a) $f(x) = x^2 - 5x - 6$ b) $f(x) = x^2 - (\sqrt{5}-2)x - 2\sqrt{5}$