Własności wartości bezwzględnej kartkówka

10.5 Własności wartości bezwzględnej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (12 pkt)

Udowodnij, że podana liczba jest całkowita.

a) $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$

b) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i cel przekształcenia: Aby uprościć pierwiastki zagnieżdżone postaci $\sqrt{a \pm b\sqrt{c}}$, dążymy do zapisania wyrażenia znajdującego się pod pierwiastkiem zewnętrznym jako kwadratu sumy lub różnicy: $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.
Identyfikacja składników wzoru skróconego mnożenia: Człon zawierający pierwiastek zawsze odpowiada podwojonemu iloczynowi $2xy$, natomiast liczba całkowita odpowiada sumie kwadratów $x^2 + y^2$. Na tej podstawie wyznaczamy liczby $x$ oraz $y$.
Zastosowanie tożsamości z wartością bezwzględną: Pamiętamy o podstawowej własności pierwiastka arytmetycznego: $\sqrt{A^2} = |A|$. Pierwiastek kwadratowy z kwadratu dowolnego wyrażenia daje jego wartość bezwzględną.
Zdejmowanie modułu i redukcja: Badamy znak wyrażenia wewnątrz wartości bezwzględnej. Jeśli wyrażenie jest dodatnie, opuszczamy kreski bez zmian; jeśli jest ujemne, zmieniamy znaki wszystkich składników na przeciwne. Na koniec redukujemy wyrazy podobne.
Czego unikać (częsta pułapka): Kardynalnym błędem jest pomijanie wartości bezwzględnej i zapisywanie np. $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = 2 - \sqrt{5}$. Ponieważ pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, a $2 - \sqrt{5} < 0$, takie opuszczenie prowadzi do błędu znaku. Pamiętaj również o zmianie znaków przy odejmowaniu całego drugiego wyrażenia w nawiasie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Udowadniamy, że liczba $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ jest całkowita:
Zwijamy oba wyrażenia podpierwiastkowe do kwadratów różnicy: - Dla pierwszego pierwiastka $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$: Podwojony iloczyn to $2xy = 2\sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1$. Sprawdzamy sumę kwadratów: $$(\sqrt{5})^2 + 1^2 = 5 + 1 = 6$$ Zatem: $$6 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 1)^2$$ Stosujemy tożsamość $\sqrt{A^2} = |A|$: $$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1|$$ Ponieważ $\sqrt{5} \approx 2{,}24 > 1$, wyrażenie pod modułem jest dodatnie: $$|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$$ - Dla drugiego pierwiastka $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$: Podwojony iloczyn to $2xy = 4\sqrt{5} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Sprawdzamy sumę kwadratów: $$(\sqrt{5})^2 + 2^2 = 5 + 4 = 9$$ Zatem: $$9 - 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 2)^2$$ Stosujemy tożsamość z wartością bezwzględną: $$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2|$$ Ponieważ $\sqrt{5} = \sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$, wyrażenie pod modułem jest dodatnie: $$|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$$ Podstawiamy otrzymane wyniki do wyjściowego wyrażenia i wykonujemy odejmowanie: $$\begin{aligned} \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} &= (\sqrt{5} - 1) - (\sqrt{5} - 2) \\[8pt] &= \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} + 2 \\[8pt] &= 1 \end{aligned}$$ Ponieważ liczba $1$ jest liczbą całkowitą ($1 \in \mathbb{Z}$), dowód został zakończony.
Podpunkt b) Udowadniamy, że liczba $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ jest całkowita:
Zwijamy oba wyrażenia podpierwiastkowe do odpowiednich wzorów skróconego mnożenia: - Dla pierwszego pierwiastka $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$: Podwojony iloczyn to $2xy = 6\sqrt{2} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}$. Sprawdzamy sumę kwadratów: $$3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$$ Zatem: $$11 + 6\sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$$ Stosujemy tożsamość $\sqrt{A^2} = |A|$: $$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = |3 + \sqrt{2}|$$ Ponieważ $3 + \sqrt{2} > 0$, opuszczamy moduł bez zmian: $$|3 + \sqrt{2}| = 3 + \sqrt{2}$$ - Dla drugiego pierwiastka $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$: Podwojony iloczyn to $2xy = 2\sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1$. Sprawdzamy sumę kwadratów: $$(\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$$ Zatem: $$3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$$ Stosujemy tożsamość z wartością bezwzględną: $$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|$$ Ponieważ $\sqrt{2} \approx 1{,}41 > 1$, wartość pod modułem jest dodatnia: $$|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$$ Podstawiamy otrzymane wyniki do wyjściowego wyrażenia i wykonujemy odejmowanie: $$\begin{aligned} \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} &= (3 + \sqrt{2}) - (\sqrt{2} - 1) \\[8pt] &= 3 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \\[8pt] &= 4 \end{aligned}$$ Ponieważ liczba $4$ jest liczbą całkowitą ($4 \in \mathbb{Z}$), dowód został zakończony.

Odpowiedź:
a) Wartość wyrażenia wynosi $1$, a ponieważ $1 \in \mathbb{Z}$, liczba jest całkowita.

b) Wartość wyrażenia wynosi $4$, a ponieważ $4 \in \mathbb{Z}$, liczba jest całkowita.

Zadanie 2 (8 pkt)

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: $\sqrt{25 - 10k + k^2} - 4\sqrt{k^2 + 8k + 16}$, jeśli $k \in (-4, 5)$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wyrażeń podpierwiastkowych: Zauważ, że pod obydwoma pierwiastkami stopnia drugiego znajdują się trójmiany kwadratowe zmiennej $k$. Aby uprościć pierwiastki, należy przedstawić te trójmiany w postaci kwadratu sumy lub różnicy.
Zwijanie trójmianów kwadratowych: Wyznacz pierwiastki trójmianów za pomocą wyróżnika $\Delta$. Otrzymasz w obu przypadkach $\Delta = 0$, co oznacza obecność pojedynczego pierwiastka podwójnego i pozwala zapisać trójmiany w postaci iloczynowej jako pełne kwadraty: $(k - k_0)^2$.
Kluczowa tożsamość z wartością bezwzględną: Zastosuj fundamentalną własność pierwiastka arytmetycznego: $\sqrt{A^2} = |A|$. Pierwiastek z kwadratu nie redukuje się do samego wyrażenia $A$, lecz do jego wartości bezwzględnej.
Badanie znaku wyrażeń w zadanym przedziale: Skorzystaj z warunku $k \in (-4, 5)$, czyli nierówności podwójnej $-4 < k < 5$. Ustal, czy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi przyjmują wartości dodatnie, czy ujemne, i opuść moduły zgodnie z ich definicją:
- jeśli $W \ge 0$, to $|W| = W$,
- jeśli $W < 0$, to $|W| = -W$.
Czego unikać (częsta pułapka): Kategorycznie unikaj błędnego zapisu $\sqrt{(k - 5)^2} = k - 5$. Dla $k < 5$ wyrażenie $k - 5$ jest ujemne, podczas gdy pierwiastek kwadratowy z definicji musi być liczbą nieujemną. Pominięcie wartości bezwzględnej prowadzi do błędu znaku i nieprawidłowego wyniku końcowego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wyrażeń podpierwiastkowych w postaci pełnych kwadratów:
Rozpatrujemy pierwszy trójmian kwadratowy znajdujący się pod pierwszym pierwiastkiem: $$ T_1(k) = k^2 - 10k + 25 $$ Wyznaczamy wyróżnik trójmianu $\Delta$ dla współczynników $a = 1$, $b = -10$, $c = 25$: $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0 $$ Ponieważ $\Delta = 0$, trójmian posiada jeden pierwiastek podwójny: $$ k_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(-10)}{2 \cdot 1} = \dfrac{10}{2} = 5 $$ Postać iloczynowa pierwszego trójmianu wynosi zatem: $$ k^2 - 10k + 25 = (k - 5)^2 $$
Rozpatrujemy drugi trójmian kwadratowy znajdujący się pod drugim pierwiastkiem: $$ T_2(k) = k^2 + 8k + 16 $$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$ dla współczynników $a = 1$, $b = 8$, $c = 16$: $$ \Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 $$ Wyznaczamy pierwiastek podwójny: $$ k_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-8}{2 \cdot 1} = -4 $$ Postać iloczynowa drugiego trójmianu to: $$ k^2 + 8k + 16 = (k + 4)^2 $$
Zastosowanie tożsamości pierwiastka z kwadratu:
Wstawiamy otrzymane postacie kwadratowe do wyjściowego wyrażenia i stosujemy tożsamość $\sqrt{A^2} = |A|$: $$ \begin{aligned} \sqrt{25 - 10k + k^2} - 4\sqrt{k^2 + 8k + 16} &= \sqrt{(k - 5)^2} - 4\sqrt{(k + 4)^2} \\[8pt] &= |k - 5| - 4|k + 4| \end{aligned} $$
Określenie znaków wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi dla $k \in (-4, 5)$:
Z treści zadania wiemy, że zmienna $k$ należy do przedziału otwartego $(-4, 5)$, co oznacza spełnienie dwóch warunków jednocześnie: $$ -4 < k < 5 $$ Badamy znak pierwszego wyrażenia $k - 5$: $$ k < 5 \implies k - 5 < 0 $$ Wyrażenie pod pierwszym modułem jest ujemne, zatem opuszczając wartość bezwzględną, zmieniamy znaki na przeciwne: $$ |k - 5| = -(k - 5) = 5 - k $$ Badamy znak drugiego wyrażenia $k + 4$: $$ k > -4 \implies k + 4 > 0 $$ Wyrażenie pod drugim modułem jest dodatnie, zatem opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaków: $$ |k + 4| = k + 4 $$
Redukcja wyrazów podobnych i wyznaczenie postaci końcowej:
Podstawiamy wyznaczone wartości bezwzględne do wyrażenia: $$ \begin{aligned} |k - 5| - 4|k + 4| &= (5 - k) - 4(k + 4) \\[8pt] &= 5 - k - 4k - 16 \\[8pt] &= (-k - 4k) + (5 - 16) \\[8pt] &= -5k - 11 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
$-5k - 11$

Zadanie 3 (14 pkt)

Rozwiąż równanie:

a) $\sqrt{x^2} = |3x - 4|$

b) $|5x - 10| = 3 \cdot |2x - 3|$

c) $|3x - 8| - \sqrt{9x^2 - 18x + 9} = 0$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i tożsamość pierwiastka: Wykorzystaj fundamentalną zależność arytmetyczną $\sqrt{w^2} = |w|$. Pozwala ona zamienić pierwiastki arytmetyczne z kwadratów wyrażeń na postać wartości bezwzględnej.
Główna metoda dla równań typu $|A| = |B|$: Dwa moduły są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenia pod nimi są identyczne lub są liczbami przeciwnymi. Równanie to rozbijamy bezpośrednio na alternatywę: $A = B$ lub $A = -B$, bez potrzeby uciążliwego rozpatrywania przedziałów.
Własność mnożenia wartości bezwzględnej: Liczbę dodatnią stojącą przed modułem można włączyć do jego wnętrza na podstawie własności $k \cdot |w| = |k \cdot w|$ dla $k > 0$. W ten sposób w podpunkcie b) zapisujemy $3 \cdot |2x - 3| = |6x - 9|$.
Rozpoznawanie wzorów skróconego mnożenia: W podpunkcie c) wyrażenie podpierwiastkowe $9x^2 - 18x + 9$ to rozwinięty kwadrat różnicy $(3x - 3)^2$, co pozwala na natychmiastowe sprowadzenie równania do postaci modułowej.
Czego unikać (częsta pułapka): Kategorycznie nie wolno pisać $\sqrt{x^2} = x$, ponieważ dla liczb ujemnych równość ta jest fałszywa. Ponadto przy zapisywaniu przypadku liczb przeciwnych $A = -B$ pamiętaj o objęciu całego wyrażenia nawiasem, aby poprawnie zmienić znaki wszystkich jego składników.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{x^2} = |3x - 4|$:
Wychodzimy od wyjściowej postaci równania: $$\sqrt{x^2} = |3x - 4|$$ Korzystamy z tożsamości $\sqrt{x^2} = |x|$: $$|x| = |3x - 4|$$ Równość modułów oznacza, że wyrażenia pod nimi są równe lub przeciwne: $$x = 3x - 4 \quad \text{lub} \quad x = -(3x - 4)$$ Rozwiązujemy pierwsze równanie liniowe: $$\begin{aligned} x - 3x &= -4 \\[8pt] -2x &= -4 \\[8pt] x &= 2 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy drugie równanie liniowe: $$\begin{aligned} x &= -3x + 4 \\[8pt] x + 3x &= 4 \\[8pt] 4x &= 4 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}$$ Otrzymujemy dwa rozwiązania: $x = 1$ lub $x = 2$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $|5x - 10| = 3 \cdot |2x - 3|$:
Wychodzimy od wyjściowej postaci równania: $$|5x - 10| = 3 \cdot |2x - 3|$$ Włączamy czynnik $3$ pod znak wartości bezwzględnej: $$\begin{aligned} 3 \cdot |2x - 3| &= |3 \cdot (2x - 3)| \\[8pt] &= |6x - 9| \end{aligned}$$ Otrzymujemy równanie o postaci: $$|5x - 10| = |6x - 9|$$ Rozbijamy je na dwa przypadki: $$5x - 10 = 6x - 9 \quad \text{lub} \quad 5x - 10 = -(6x - 9)$$ Rozwiązujemy przypadek pierwszy: $$\begin{aligned} 5x - 6x &= -9 + 10 \\[8pt] -x &= 1 \\[8pt] x &= -1 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy przypadek drugi: $$\begin{aligned} 5x - 10 &= -6x + 9 \\[8pt] 5x + 6x &= 9 + 10 \\[8pt] 11x &= 19 \\[8pt] x &= \dfrac{19}{11} \end{aligned}$$ Rozwiązaniami są liczby: $x = -1$ lub $x = \dfrac{19}{11}$ (czyli $1\dfrac{8}{11}$).
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $|3x - 8| - \sqrt{9x^2 - 18x + 9} = 0$:
Wychodzimy od wyjściowego równania: $$|3x - 8| - \sqrt{9x^2 - 18x + 9} = 0$$ Zwijamy trójmian pod pierwiastkiem za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $$9x^2 - 18x + 9 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 3 + 3^2 = (3x - 3)^2$$ Stosujemy zależność $\sqrt{(3x - 3)^2} = |3x - 3|$: $$|3x - 8| - |3x - 3| = 0$$ Przenosimy drugi moduł na prawą stronę równania: $$|3x - 8| = |3x - 3|$$ Rozbijamy zależność na dwa równania liniowe: $$3x - 8 = 3x - 3 \quad \text{lub} \quad 3x - 8 = -(3x - 3)$$ Analizujemy przypadek pierwszy: $$\begin{aligned} 3x - 3x &= -3 + 8 \\[8pt] 0 &= 5 \quad \text{(sprzeczność -- brak rozwiązań)} \end{aligned}$$ Rozwiązujemy przypadek drugi: $$\begin{aligned} 3x - 8 &= -3x + 3 \\[8pt] 3x + 3x &= 3 + 8 \\[8pt] 6x &= 11 \\[8pt] x &= \dfrac{11}{6} \end{aligned}$$ Ostatecznym rozwiązaniem równania jest liczba: $x = \dfrac{11}{6}$ (czyli $1\dfrac{5}{6}$).

Odpowiedź:
a) $x = 1$ lub $x = 2$

b) $x = -1$ lub $x = \dfrac{19}{11}$

c) $x = \dfrac{11}{6}$

Zadanie 4 (8 pkt)

Wykaż, że jeśli $x \in \mathbf{R} \setminus \{-3, 3\}$, to $\dfrac{\sqrt{25x^2 + 150x + 225} \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 9}}{|9 - x^2|} = 5$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza założeń: Zwróć uwagę na warunek $x \in \mathbf{R} \setminus \{-3, 3\}$. Gwarantuje on, że mianownik ułamka jest różny od zera ($9 - x^2 \neq 0$), co umożliwia bezpieczne skracanie jednakowych czynników niezerowych.
Wzory skróconego mnożenia pod pierwiastkami: Przyjrzyj się trójmianom kwadratowym pod pierwiastkami w liczniku. W pierwszym wyrażeniu wyłącz wspólny czynnik $25$ przed nawias, a następnie zwiń wyrażenia do postaci kwadratu sumy oraz kwadratu różnicy: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ oraz $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Kluczowa tożsamość pierwiastka kwadratowego: Zastosuj fundamentalną tożsamość $\sqrt{a^2} = |a|$. Pamiętaj, że pierwiastek stopnia parzystego z kwadratu wyrażenia daje zawsze jego wartość bezwzględną, a nie samo wyrażenie.
Własności wartości bezwzględnej: Skorzystaj z reguły iloczynu wartości bezwzględnych: $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$ oraz własności symetrii: $|a| = |-a|$, co oznacza w szczególności, że $|9 - x^2| = |x^2 - 9|$ lub $|3 - x| = |x - 3|$.
Czego unikać (częsta pułapka): Nigdy nie pomijaj wartości bezwzględnej przy pierwiastkowaniu kwadratu (błędem jest zapis $\sqrt{(x-3)^2} = x - 3$). Uważaj również na mianownik – pamiętaj, że $|9 - x^2|$ i $|x^2 - 9|$ są równe z definicji modułu, ponieważ liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza dziedziny wyrażenia i roli założenia $x \in \mathbf{R} \setminus \{-3, 3\}$:
Mianownik ułamka algebraicznego nie może być zerem: $$\begin{aligned} |9 - x^2| &\neq 0 \\[8pt] 9 - x^2 &\neq 0 \\[8pt] (3 - x)(3 + x) &\neq 0 \iff x \neq 3 \quad \land \quad x \neq -3 \end{aligned}$$ Warunek podany w treści zadania określa dokładnie dziedzinę tego wyrażenia: $D = \mathbf{R} \setminus \{-3, 3\}$.
Przekształcenie wyrażeń podpierwiastkowych w liczniku za pomocą wzorów skróconego mnożenia:
Zajmijmy się pierwszym pierwiastkiem licznika. Wyłączamy liczbę $25$ przed nawias: $$\begin{aligned} 25x^2 + 150x + 225 &= 25(x^2 + 6x + 9) \\[8pt] &= 25(x + 3)^2 \end{aligned}$$ Korzystamy z tożsamości pierwiastkowania iloczynu oraz własności $\sqrt{a^2} = |a|$: $$\begin{aligned} \sqrt{25x^2 + 150x + 225} &= \sqrt{25 \cdot (x + 3)^2} \\[8pt] &= \sqrt{25} \cdot \sqrt{(x + 3)^2} \\[8pt] &= 5|x + 3| \end{aligned}$$ Zajmijmy się drugim pierwiastkiem licznika, stosując wzór na kwadrat różnicy $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $$\begin{aligned} x^2 - 6x + 9 &= (x - 3)^2 \\[8pt] \sqrt{x^2 - 6x + 9} &= \sqrt{(x - 3)^2} \\[8pt] &= |x - 3| \end{aligned}$$ Cały licznik przyjmuje zatem postać: $$5|x + 3| \cdot |x - 3|$$
Sposób I – Wykorzystanie iloczynu wartości bezwzględnych i tożsamości modułu:
Iloczyn wartości bezwzględnych jest równy wartości bezwzględnej iloczynu ($|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$): $$\begin{aligned} 5|x + 3| \cdot |x - 3| &= 5|(x + 3)(x - 3)| \\[8pt] &= 5|x^2 - 9| \end{aligned}$$ Zbadajmy teraz mianownik $|9 - x^2|$. Zauważmy, że liczby przeciwne mają identyczną wartość bezwzględną, czyli $|a| = |-a|$: $$\begin{aligned} |9 - x^2| &= |-(x^2 - 9)| \\[8pt] &= |x^2 - 9| \end{aligned}$$ Podstawiamy przekształcony licznik oraz mianownik do lewej strony równania: $$\begin{aligned} L &= \dfrac{5|x^2 - 9|}{|9 - x^2|} \\[8pt] &= \dfrac{5|x^2 - 9|}{|x^2 - 9|} \end{aligned}$$ Ponieważ $x \in \mathbf{R} \setminus \{-3, 3\}$, zachodzi $x^2 - 9 \neq 0$, więc możemy skrócić wyrażenie $|x^2 - 9|$: $$L = 5 = P$$
Sposób II – Rozłożenie mianownika na czynniki i bezpośrednia redukcja:
Rozkładamy wyrażenie w mianowniku na czynniki przy użyciu wzoru na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$\begin{aligned} |9 - x^2| &= |(3 - x)(3 + x)| \\[8pt] &= |3 - x| \cdot |3 + x| \end{aligned}$$ Ponieważ $|3 - x| = |-(x - 3)| = |x - 3|$ oraz $|3 + x| = |x + 3|$, mianownik możemy zapisać jako: $$|9 - x^2| = |x - 3| \cdot |x + 3|$$ Zapisujemy całe wyrażenie z rozłożonym licznikiem i mianownikiem: $$\begin{aligned} L &= \dfrac{5|x + 3| \cdot |x - 3|}{|x + 3| \cdot |x - 3|} \\[8pt] &= 5 \cdot \dfrac{|x + 3|}{|x + 3|} \cdot \dfrac{|x - 3|}{|x - 3|} \\[8pt] &= 5 \cdot 1 \cdot 1 = 5 = P \end{aligned}$$ Obie metody dowodzą, że dla każdego $x \in \mathbf{R} \setminus \{-3, 3\}$ wartość wyrażenia wynosi $5$, co kończy dowód.

Odpowiedź:
Dla każdego $x \in \mathbf{R} \setminus \{-3, 3\}$ zachodzi tożsamość $L = P = 5$, co dowodzi prawdziwości tezy zadania.

Zadanie 5 (10 pkt)

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby $x$ spełniającej warunek $x \in (2, 5)$ zachodzi tożsamość: $$ 2\sqrt{\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \dfrac{x^2 - 16}{4}} = x - 2 $$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza struktury: Przekształcanie tożsamości rozpocznij od jej lewej strony $L$. Zauważ zagnieżdżenie pierwiastków – redukcję należy prowadzić warstwowo, zaczynając od wyrażenia znajdującego się pod wewnętrznym pierwiastkiem kwadratowym.
Kluczowa tożsamość algebraiczna: Skorzystaj z fundamentalnej zależności łączącej pierwiastek kwadratowy z wartością bezwzględną: $\sqrt{W^2} = |W|$. Pod wewnętrznym pierwiastkiem rozpoznaj wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
Kolejność operacji i wspólny mianownik: Po zapisaniu wewnętrznego pierwiastka w postaci modułu wykorzystaj założenie $x \in (2, 5)$, aby ustalić jego znak i poprawnie go opuścić. Następnie sprowadź oba składniki pod głównym pierwiastkiem do wspólnego mianownika równego $4$, zredukuj wyrazy podobne i ponownie zwiń powstały trójmian kwadratowy w kwadrat dwumianu.
Weryfikacja wyniku i opuszczenie zewnętrznego modułu: Po wyciągnięciu pierwiastka z ułamka otrzymasz wyrażenie z kolejną wartością bezwzględną: $|x - 2|$. Ponownie odwołaj się do przedziału $x \in (2, 5)$, aby uzasadnić, że $x - 2 > 0$, co pozwala opuścić moduł bez zmiany znaków i otrzymać prawą stronę tożsamości.
Czego unikać (częsta pułapka): Kategorycznie unikaj błędnego uproszczenia $\sqrt{(x - 5)^2} = x - 5$. Dla liczb z przedziału $(2, 5)$ wyrażenie $x - 5$ jest ujemne, więc opuszczenie pierwiastka bez wartości bezwzględnej doprowadziłoby do błędu znakowego i braku możliwości zwinięcia drugiego trójmianu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Przekształcenie lewej strony tożsamości z redukcją wewnętrznego pierwiastka:
Oznaczamy lewą stronę tożsamości przez $L$: $$ L = 2\sqrt{\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \dfrac{x^2 - 16}{4}} $$ Zauważamy, że trójmian kwadratowy pod wewnętrznym pierwiastkiem zwija się ze wzoru skróconego mnożenia $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$: $$ x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $$ Stosujemy tożsamość $\sqrt{W^2} = |W|$: $$ \sqrt{x^2 - 10x + 25} = \sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5| $$ Z treści zadania wiemy, że $x \in (2, 5)$, co oznacza nierówność podwójną $2 < x < 5$. Skoro $x < 5$, to: $$ x - 5 < 0 \implies |x - 5| = -(x - 5) = 5 - x $$
Sprowadzenie wyrażenia pod głównym pierwiastkiem do wspólnego mianownika:
Wstawiamy otrzymaną postać $5 - x$ na miejsce wewnętrznego pierwiastka: $$ L = 2\sqrt{5 - x + \dfrac{x^2 - 16}{4}} $$ Sprowadzamy wyrażenie pod pierwiastkiem do wspólnego mianownika $4$: $$ \begin{aligned} 5 - x + \dfrac{x^2 - 16}{4} &= \dfrac{4(5 - x)}{4} + \dfrac{x^2 - 16}{4} \\[8pt] &= \dfrac{20 - 4x + x^2 - 16}{4} \\[8pt] &= \dfrac{x^2 - 4x + 4}{4} \end{aligned} $$
Zwinięcie licznika i opuszczenie zewnętrznego pierwiastka:
Zauważamy, że licznik powstałego ułamka jest kwadratem różnicy: $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ Podstawiamy otrzymany ułamek pod pierwiastek zewnętrzny: $$ \begin{aligned} L &= 2\sqrt{\dfrac{(x - 2)^2}{4}} \\[8pt] &= 2 \cdot \dfrac{\sqrt{(x - 2)^2}}{\sqrt{4}} \\[8pt] &= 2 \cdot \dfrac{|x - 2|}{2} \\[8pt] &= |x - 2| \end{aligned} $$ Ponieważ z założenia $x \in (2, 5)$, zachodzi warunek $x > 2$, czyli: $$ x - 2 > 0 \implies |x - 2| = x - 2 $$ Otrzymaliśmy: $$ L = x - 2 = P $$ co kończy dowód tożsamości.
Sposób II – Etapowa redukcja wyrażenia z jawnym badaniem znaków:
Możemy przeprowadzić to samo rozumowanie, zapisując wewnętrzne wyrażenie w postaci $(5 - x)^2$: $$ \sqrt{x^2 - 10x + 25} = \sqrt{(5 - x)^2} = |5 - x| $$ Dla $x \in (2, 5)$ liczba $5 - x$ jest dodatnia ($5 - x > 0$), skąd natychmiast: $$ |5 - x| = 5 - x $$ Włączamy czynnik $2$ stojący przed pierwiastkiem pod znak pierwiastka jako $2 = \sqrt{4}$: $$ \begin{aligned} L &= \sqrt{4 \cdot \left( (5 - x) + \dfrac{x^2 - 16}{4} \right)} \\[8pt] &= \sqrt{4(5 - x) + 4 \cdot \dfrac{x^2 - 16}{4}} \\[8pt] &= \sqrt{20 - 4x + x^2 - 16} \\[8pt] &= \sqrt{x^2 - 4x + 4} \end{aligned} $$ Ponownie stosujemy definicję wartości bezwzględnej: $$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2| $$ Uwzględniając warunek $x > 2$, mamy $|x - 2| = x - 2$, co jest równe prawej stronie tożsamości.

Odpowiedź:
Wykazano, że dla każdej liczby $x \in (2, 5)$ lewa strona tożsamości po uproszczeniu jest równa prawej stronie: $L = x - 2 = P$.

Grupa B

Zadanie 1 (12 pkt)

Udowodnij, że podana liczba jest całkowita. a) $\sqrt{22 - 8\sqrt{6}} + \sqrt{10 + 4\sqrt{6}}$ b) $\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (8 pkt)

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: $\sqrt{m^2 + 12m + 36} + \sqrt{m^2 - 14m + 49}$, jeśli $m \in \left(7, +\infty\right)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (14 pkt)

Rozwiąż równanie: a) $\sqrt{x^2} = |4x + 1|$ b) $|6x - 12| = 4 \cdot |x + 2|$ c) $|x + 5| - \sqrt{x^2 + 8x + 16} = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (8 pkt)

Wykaż, że jeśli $x \in \mathbf{R} - \{-2, 2\}$, to $\dfrac{\sqrt{4x^2 + 16x + 16} \cdot \sqrt{x^2 - 4x + 4}}{|4 - x^2|} = 2$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (10 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczba $m$ należy do przedziału $(2, 6)$, to wartość wyrażenia $$ 2\sqrt{\sqrt{36 - 12m + m^2} + \dfrac{m^2 - 20}{4}} $$ jest równa $m - 2$.

10.5 Własności wartości bezwzględnej

Grupa A

Zadanie 1 (12 pkt)

Zadanie 2 (8 pkt)

Zadanie 3 (14 pkt)

Zadanie 4 (8 pkt)

Zadanie 5 (10 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (12 pkt)

Zadanie 2 (8 pkt)

Zadanie 3 (14 pkt)

Zadanie 4 (8 pkt)

Zadanie 5 (10 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋