Wielomiany sprawdzian

Wielomiany

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest wielomian $W(x) = (x^5 - x^2 - 1)^{1000}$. Określ stopień wielomianu i wyznacz sumę współczynników wielomianu przy parzystych potęgach $x$.

Wskazówki:

Stopień potęgi wielomianu wyznaczamy, mnożąc najwyższy stopień wielomianu bazowego przez wykładnik potęgi zewnętrznej.
Wartość wielomianu dla $x = 1$ daje sumę wszystkich jego współczynników, natomiast dla $x = -1$ daje sumę współczynników z naprzemiennymi znakami (znaki minus pojawiają się przy potęgach nieparzystych).
Dodając stronami wartości $W(1)$ oraz $W(-1)$, wyrazy przy nieparzystych potęgach ulegają redukcji. Pamiętaj, że wyraz wolny to współczynnik przy $x^0$, a liczba zero jest parzysta.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie stopnia wielomianu:
Wielomian wewnątrz nawiasu to $P(x) = x^5 - x^2 - 1$. Najwyższą potęgą zmiennej $x$ jest w nim $5$, zatem stopień tego wielomianu wynosi $5$.
Po podniesieniu całego wyrażenia do potęgi $1000$, najwyższa potęga zmiennej powstanie z podniesienia wyrazu o najwyższym stopniu: $$(x^5)^{1000} = x^{5 \cdot 1000} = x^{5000}$$ Współczynnik stojący przy tej potędze jest równy $1 \neq 0$, zatem stopień całego wielomianu wynosi: $$\deg(W) = 5000$$
Zapis ogólnej postaci wielomianu oraz interpretacja wartości dla $x = 1$ i $x = -1$:
Niech wielomian $W(x)$ po uporządkowaniu ma postać: $$W(x) = a_{5000}x^{5000} + a_{4999}x^{4999} + a_{4998}x^{4998} + \dots + a_1 x + a_0$$ gdzie $a_{5000}, a_{4999}, \dots, a_0$ są współczynnikami rzeczywistymi, a $a_0 = a_0 x^0$ jest wyrazem wolnym (odpowiadającym parzystej potędze $0$).

Obliczamy wartość wielomianu dla argumentu $x = 1$: $$\begin{aligned} W(1) &= a_{5000}\cdot 1^{5000} + a_{4999}\cdot 1^{4999} + \dots + a_1\cdot 1 + a_0 \\[8pt] &= a_{5000} + a_{4999} + a_{4998} + \dots + a_1 + a_0 \end{aligned}$$ Widzimy, że $W(1)$ jest sumą wszystkich współczynników wielomianu.

Obliczamy wartość wielomianu dla argumentu $x = -1$: $$\begin{aligned} W(-1) &= a_{5000}\cdot (-1)^{5000} + a_{4999}\cdot (-1)^{4999} + \dots + a_1\cdot (-1) + a_0 \\[8pt] &= a_{5000} - a_{4999} + a_{4998} - \dots - a_1 + a_0 \end{aligned}$$ Dla potęg parzystych mamy $(-1)^{2k} = 1$, a dla potęg nieparzystych $(-1)^{2k+1} = -1$.
Wyprowadzenie wzoru na sumę współczynników przy parzystych potęgach:
Dodajemy stronami wyznaczone równości dla $W(1)$ oraz $W(-1)$: $$\begin{aligned} W(1) + W(-1) &= (a_{5000} + a_{4999} + \dots + a_0) + (a_{5000} - a_{4999} + \dots + a_0) \\[8pt] &= 2a_{5000} + 2a_{4998} + 2a_{4996} + \dots + 2a_2 + 2a_0 \\[8pt] &= 2(a_{5000} + a_{4998} + 2a_{4996} + \dots + a_2 + a_0) \end{aligned}$$ Wszystkie wyrazy o indeksach nieparzystych uległy redukcji. Oznaczając sumę współczynników przy parzystych potęgach jako $S_{parz}$: $$S_{parz} = a_{5000} + a_{4998} + \dots + a_2 + a_0$$ Otrzymujemy zależność: $$S_{parz} = \dfrac{W(1) + W(-1)}{2}$$
Obliczenie wartości $W(1)$ oraz $W(-1)$ ze wzoru wyjściowego:
Podstawiamy wartości $x = 1$ oraz $x = -1$ do wzoru $W(x) = (x^5 - x^2 - 1)^{1000}$:

Dla $x = 1$: $$\begin{aligned} W(1) &= \left(1^5 - 1^2 - 1\right)^{1000} \\[8pt] &= (1 - 1 - 1)^{1000} \\[8pt] &= (-1)^{1000} = 1 \end{aligned}$$ Dla $x = -1$: $$\begin{aligned} W(-1) &= \left((-1)^5 - (-1)^2 - 1\right)^{1000} \\[8pt] &= (-1 - 1 - 1)^{1000} \\[8pt] &= (-3)^{1000} = 3^{1000} \end{aligned}$$ Ponieważ potęga $1000$ jest parzysta, zachodzi równość $(-3)^{1000} = 3^{1000}$.
Wyznaczenie ostatecznej wartości sumy współczynników:
Wstawiamy uzyskane liczby do wzoru na $S_{parz}$: $$S_{parz} = \dfrac{1 + 3^{1000}}{2} = \dfrac{3^{1000} + 1}{2}$$

Odpowiedź:
Stopień wielomianu wynosi $5000$, a suma współczynników przy parzystych potęgach $x$ jest równa $\dfrac{3^{1000} + 1}{2}$.

Zadanie 2 (4 pkt)

Wyznacz współczynniki $a$ i $b$ wielomianu $W(x) = x^4 + 6x^3 + 13x^2 + ax + b$ tak, aby $W(x)$ był kwadratem trójmianu kwadratowego.

Wskazówki:

Trójmian kwadratowy to wielomian drugiego stopnia o postaci ogólnej $P(x) = c x^2 + px + q$. Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze $x^4$ w wielomianie $W(x)$ jest równy $1$, współczynnik wiodący trójmianu musi spełniać zależność $c^2 = 1$, czyli $c = 1$ lub $c = -1$. Zauważ, że $(-P(x))^2 = (P(x))^2$, zatem bez utraty ogólności wystarczy przyjąć trójmian z dodatnim współczynnikiem wiodącym: $P(x) = x^2 + px + q$.
Podnieś trójmian $x^2 + px + q$ do kwadratu i uporządkuj wyrazy według potęg zmiennej $x$, a następnie porównaj odpowiednie współczynniki z wielomianem $W(x)$. Alternatywnie możesz wykorzystać metodę dopełniania do kwadratu sumy.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie postaci ogólnej trójmianu i podniesienie go do kwadratu:
Niech szukany trójmian kwadratowy ma postać $P(x) = x^2 + px + q$, gdzie $p, q \in \mathbb{R}$. Podnosimy go do kwadratu, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy trzech składników $(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2uv + 2uw + 2vw$: $$ \begin{aligned} (P(x))^2 &= (x^2 + px + q)^2 \\[8pt] &= (x^2)^2 + (px)^2 + q^2 + 2 \cdot x^2 \cdot px + 2 \cdot x^2 \cdot q + 2 \cdot px \cdot q \\[8pt] &= x^4 + p^2 x^2 + q^2 + 2px^3 + 2qx^2 + 2pqx \\[8pt] &= x^4 + 2px^3 + (p^2 + 2q)x^2 + 2pqx + q^2 \end{aligned} $$
Sposób I – Przyrównanie współczynników odpowiednich potęg:
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej $x$ są identyczne. Z warunku $(P(x))^2 = W(x)$ porównujemy współczynniki wielomianu $x^4 + 2px^3 + (p^2 + 2q)x^2 + 2pqx + q^2$ ze współczynnikami wielomianu $W(x) = x^4 + 6x^3 + 13x^2 + ax + b$: $$ \begin{aligned} x^3 &\colon \quad 2p = 6 \\[8pt] x^2 &\colon \quad p^2 + 2q = 13 \\[8pt] x^1 &\colon \quad 2pq = a \\[8pt] x^0 &\colon \quad q^2 = b \end{aligned} $$ Z równania przy potędze $x^3$ natychmiast wyznaczamy współczynnik $p$: $$ 2p = 6 \implies p = 3 $$ Wstawiamy obliczone $p = 3$ do równania przy potędze $x^2$, aby wyznaczyć $q$: $$ \begin{aligned} 3^2 + 2q &= 13 \\[8pt] 9 + 2q &= 13 \\[8pt] 2q &= 4 \implies q = 2 \end{aligned} $$ Mając wyznaczone parametry trójmianu $p = 3$ oraz $q = 2$, obliczamy szukane współczynniki $a$ i $b$: $$ \begin{aligned} a &= 2pq = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \\[8pt] b &= q^2 = 2^2 = 4 \end{aligned} $$
Sposób II – Metoda algebraicznego dopełniania do pełnego kwadratu sumy:
Możemy przekształcić wielomian $W(x)$, zwijając dwa pierwsze składniki $x^4 + 6x^3$ do kwadratu sumy na podstawie wzoru skróconego mnożenia: $$ (x^2 + 3x)^2 = x^4 + 6x^3 + 9x^2 \implies x^4 + 6x^3 = (x^2 + 3x)^2 - 9x^2 $$ Wstawiamy to wyrażenie do wielomianu $W(x)$: $$ \begin{aligned} W(x) &= (x^2 + 3x)^2 - 9x^2 + 13x^2 + ax + b \\[8pt] &= (x^2 + 3x)^2 + 4x^2 + ax + b \end{aligned} $$ Aby cały wielomian $W(x)$ był kwadratem trójmianu postaci $[(x^2 + 3x) + q]^2$, rozpisujemy ten kwadrat: $$ \begin{aligned} [(x^2 + 3x) + q]^2 &= (x^2 + 3x)^2 + 2q(x^2 + 3x) + q^2 \\[8pt] &= (x^2 + 3x)^2 + 2qx^2 + 6qx + q^2 \end{aligned} $$ Porównując wyrażenia stojące poza nawiasem $(x^2 + 3x)^2$: $$ 4x^2 + ax + b = 2qx^2 + 6qx + q^2 $$ Przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach, otrzymujemy: $$ \begin{aligned} 2q = 4 &\implies q = 2 \\[8pt] a = 6q &\implies a = 6 \cdot 2 = 12 \\[8pt] b = q^2 &\implies b = 2^2 = 4 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
Szukane współczynniki to $a = 12$ oraz $b = 4$ (wielomian jest kwadratem trójmianu $x^2 + 3x + 2$ lub $-x^2 - 3x - 2$).

Zadanie 3 (2 pkt)

Wykaż, że dla każdego $n \in \mathbb{N}$ liczba $n^4 + 2n^3 + n^2$ jest podzielna przez $4$.

Wskazówki:

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias, a następnie zastosuj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
Zauważ, że wyrażenie można zapisać jako kwadrat iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych. Zastanów się nad parzystością takich liczb.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyłączenie wspólnego czynnika i zastosowanie wzoru skróconego mnożenia:
Rozpatrujemy wyjściowe wyrażenie algebraiczne: $$n^4 + 2n^3 + n^2$$ Wyłączamy wspólny czynnik $n^2$ przed nawias: $$n^2(n^2 + 2n + 1)$$ Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie stanowi wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dla $a = n$ oraz $b = 1$: $$n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$$ Wstawiając tę postać, otrzymujemy iloczyn kwadratów, który możemy zapisać jako kwadrat całego iloczynu: $$\begin{aligned} n^4 + 2n^3 + n^2 &= n^2(n + 1)^2 \\[8pt] &= [n(n + 1)]^2 \end{aligned}$$
Sposób I – Własność iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych:
Czynniki $n$ oraz $n + 1$ to dwie kolejne liczby naturalne. Wśród każdych dwóch kolejnych liczb naturalnych dokładnie jedna jest parzysta (podzielna przez $2$).

Zatem ich iloczyn $n(n + 1)$ jest zawsze liczbą parzystą, co pozwala zapisać go w postaci: $$n(n + 1) = 2k, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{N}$$ Podnosząc ten iloczyn do kwadratu, otrzymujemy: $$\begin{aligned} [n(n + 1)]^2 &= (2k)^2 \\[8pt] &= 4k^2 \end{aligned}$$ Ponieważ $k$ jest liczbą naturalną, to $k^2$ również jest liczbą naturalną. Wyrażenie $4k^2$ jest iloczynem liczby $4$ oraz liczby całkowitej, co bezwzględnie dowodzi, że jest ono podzielne przez $4$.
Sposób II – Analiza przypadków ze względu na parzystość liczby $n$:
Możemy również przeprowadzić bezpośrednią analizę parzystości liczby $n$ w wyrażeniu $n^2(n + 1)^2$:

• Przypadek 1: Liczba $n$ jest parzysta.
Wtedy $n = 2k$ dla pewnego $k \in \mathbb{N}$. Podstawiamy tę postać do wyrażenia: $$\begin{aligned} n^2(n + 1)^2 &= (2k)^2 \cdot (2k + 1)^2 \\[8pt] &= 4k^2(2k + 1)^2 \end{aligned}$$ Obecność czynnika $4$ przed iloczynem dowodzi, że liczba ta jest podzielna przez $4$.

• Przypadek 2: Liczba $n$ jest nieparzysta.
Wtedy $n = 2k + 1$ dla pewnego $k \in \mathbb{N}$. Wówczas liczba $n + 1$ jest parzysta: $$n + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$$ Podstawiamy to do wyrażenia: $$\begin{aligned} n^2(n + 1)^2 &= (2k + 1)^2 \cdot [2(k + 1)]^2 \\[8pt] &= (2k + 1)^2 \cdot 4(k + 1)^2 \\[8pt] &= 4(2k + 1)^2(k + 1)^2 \end{aligned}$$ W tym przypadku również udało się wyłączyć czynnik $4$, co potwierdza podzielność przez $4$.

Ponieważ każda liczba naturalna jest parzysta albo nieparzysta, wykazano, że dla każdego $n \in \mathbb{N}$ liczba $n^4 + 2n^3 + n^2$ jest podzielna przez $4$.

Odpowiedź:
Przeprowadzono dowód. Wyrażenie $n^4 + 2n^3 + n^2$ sprowadzono do postaci $[n(n + 1)]^2 = 4k^2$ dla pewnego $k \in \mathbb{N}$, co dowodzi podzielności przez $4$ dla każdego $n \in \mathbb{N}$.

Zadanie 4 (4 pkt)

Wyznacz pierwiastki wielomianu $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2$ i określ ich krotność.

Wskazówki:

Sprawdź, czy wielomian ma pierwiastki całkowite – zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych szukaj ich wśród dzielników wyrazu wolnego $a_0 = -2$.
Po odnalezieniu pierwszego pierwiastka obniż stopień wielomianu, dzieląc go przez odpowiedni dwumian za pomocą schematu Hornera lub tradycyjnego dzielenia wielomianów.
Otrzymany wielomian stopnia trzeciego rozłóż na czynniki metodą grupowania wyrazów oraz wzorami skróconego mnożenia.
Odczytaj pierwiastki z postaci iloczynowej i określ ich krotności na podstawie wykładników potęg poszczególnych czynników.

Rozwiązanie krok po kroku:

Poszukiwanie pierwszego pierwiastka całkowitego:
Wielomian $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2$ ma współczynniki całkowite. Ewentualnych pierwiastków całkowitych poszukujemy wśród dzielników wyrazu wolnego $a_0 = -2$. Zbiór dzielników wynosi: $$\{-2, -1, 1, 2\}$$ Obliczamy wartość wielomianu dla $x = 1$: $$\begin{aligned} P(1) &= 1^4 - 3 \cdot 1^3 + 1^2 + 3 \cdot 1 - 2 \\[8pt] &= 1 - 3 + 1 + 3 - 2 \\[8pt] &= 0 \end{aligned}$$ Wartość wynosi $0$, zatem liczba $x = 1$ jest pierwiastkiem wielomianu. Na mocy twierdzenia Bézouta wielomian $P(x)$ jest podzielny przez dwumian $(x - 1)$.
Dzielenie wielomianu przez dwumian $(x - 1)$ za pomocą schematu Hornera:
Wypisujemy współczynniki wielomianu $P(x)$: $[1, -3, 1, 3, -2]$ i wykonujemy dzielenie przez $x - 1$ (dla $c = 1$): $$\begin{array}{r|r|r|r|r|r} & 1 & -3 & 1 & 3 & -2 \\ \hline 1 & 1 & -2 & -1 & 2 & 0 \end{array}$$ Otrzymany iloraz to wielomian stopnia trzeciego $Q(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$, a reszta wynosi $0$. Możemy zatem zapisać: $$P(x) = (x - 1)(x^3 - 2x^2 - x + 2)$$
Rozkład wielomianu stopnia trzeciego metodą grupowania wyrazów:
Rozkładamy wielomian $Q(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ na czynniki liniowe, grupując po dwa wyrazy: $$\begin{aligned} Q(x) &= x^2(x - 2) - 1 \cdot (x - 2) \\[8pt] &= (x^2 - 1)(x - 2) \end{aligned}$$ Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Zatem: $$Q(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$$ Podstawiamy otrzymany rozkład do wyjściowej postaci wielomianu $P(x)$: $$\begin{aligned} P(x) &= (x - 1) \cdot (x - 1)(x + 1)(x - 2) \\[8pt] &= (x - 1)^2(x + 1)(x - 2) \end{aligned}$$
Wyznaczenie pierwiastków, określenie ich krotności oraz interpretacja graficzna:
Przyrównujemy postać iloczynową do zera: $$(x - 1)^2(x + 1)(x - 2) = 0$$ Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero: $$\begin{aligned} (x - 1)^2 = 0 &\implies x = 1 \quad \text{o krotności 2 (pierwiastek dwukrotny)} \\[8pt] x + 1 = 0 &\implies x = -1 \quad \text{o krotności 1 (pierwiastek jednokrotny)} \\[8pt] x - 2 = 0 &\implies x = 2 \quad \text{o krotności 1 (pierwiastek jednokrotny)} \end{aligned}$$ Krotność pierwiastka określa zachowanie wykresu wielomianu: dla krotności parzystej (tutaj $x = 1$) wykres jest styczny do osi i odbija się od niej, natomiast dla krotności nieparzystej ($x = -1$ oraz $x = 2$) wykres przecina oś $OX$.

Odpowiedź:
Pierwiastkami wielomianu są: $x = 1$ (pierwiastek dwukrotny), $x = -1$ (pierwiastek jednokrotny) oraz $x = 2$ (pierwiastek jednokrotny).

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykaż, że równanie $x^4 + 3x^2 - 2x + 4 = 0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wskazówki:

Aby dowieść, że dane równanie nie posiada pierwiastków rzeczywistych, wystarczy wykazać, że wyrażenie po lewej stronie przyjmuje dla każdej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ wartości ściśle większe od zera (czyli $L(x) > 0$).
Przekształć lewą stronę równania, grupując odpowiednie wyrazy w sumę kwadratów przy wykorzystaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Alternatywnie można wydzielić składnik czwartego stopnia $x^4$ oraz trójmian kwadratowy i zbadać znak jego wyróżnika $\Delta$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Przekształcenie lewej strony równania do postaci sumy kwadratów:
Zapisujemy wyjściowe równanie: $$x^4 + 3x^2 - 2x + 4 = 0$$ Oznaczmy lewą stronę równania jako $L(x) = x^4 + 3x^2 - 2x + 4$. Rozbijamy wyraz $3x^2$ na sumę $2x^2 + x^2$ oraz wyraz wolny $4$ na sumę $1 + 3$: $$\begin{aligned} L(x) &= x^4 + 3x^2 - 2x + 4 \\[8pt] &= x^4 + 2x^2 + (x^2 - 2x + 1) + 3 \end{aligned}$$ Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie zwija się do kwadratu różnicy zgodnie ze wzorem $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$: $$L(x) = x^4 + 2x^2 + (x - 1)^2 + 3$$ Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$ kwadrat oraz każda parzysta potęga liczby rzeczywistej jest nieujemna: $$\begin{aligned} x^4 &\ge 0 \\[8pt] 2x^2 &\ge 0 \\[8pt] (x - 1)^2 &\ge 0 \end{aligned}$$ Dodając do sumy tych trzech wyrażeń nieujemnych liczbę dodatnią $3$, otrzymujemy: $$L(x) = x^4 + 2x^2 + (x - 1)^2 + 3 \ge 0 + 0 + 0 + 3 = 3 > 0$$ Dla każdego $x \in \mathbb{R}$ lewa strona przyjmuje wartość co najmniej równą $3$, a więc jest zawsze ściśle dodatnia: $$x^4 + 3x^2 - 2x + 4 > 0$$ Równość $L(x) = 0$ nie zachodzi dla żadnej liczby rzeczywistej, co dowodzi, że równanie nie posiada pierwiastków rzeczywistych.
Sposób II – Analiza trójmianu kwadratowego i potęgi parzystej:
Rozbijamy lewą stronę wyjściowego równania na składnik $x^4$ oraz trójmian kwadratowy: $$L(x) = x^4 + (3x^2 - 2x + 4)$$ Rozpatrzmy trójmian kwadratowy $T(x) = 3x^2 - 2x + 4$. Jego współczynniki wynoszą: $$a = 3, \quad b = -2, \quad c = 4$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$ tego trójmianu: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 \\[8pt] &= 4 - 48 \\[8pt] &= -44 \end{aligned}$$ Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni ($a = 3 > 0$), a wyróżnik ujemny ($\Delta = -44 < 0$), wykres trójmianu leży w całości powyżej osi $OX$. Wyznaczamy rzędną wierzchołka paraboli $q$, która stanowi najmniejszą wartość tego trójmianu: $$\begin{aligned} q &= -\dfrac{\Delta}{4a} \\[8pt] &= -\dfrac{-44}{4 \cdot 3} \\[8pt] &= \dfrac{44}{12} = \dfrac{11}{3} \end{aligned}$$ Stąd dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi nierówność: $$3x^2 - 2x + 4 \ge \dfrac{11}{3}$$ Ponieważ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ zachodzi również warunek $x^4 \ge 0$, otrzymujemy sumarycznie: $$L(x) = x^4 + (3x^2 - 2x + 4) \ge 0 + \dfrac{11}{3} = \dfrac{11}{3} > 0$$ Lewa strona jest ściśle większa od zera dla każdego $x \in \mathbb{R}$, zatem równanie $x^4 + 3x^2 - 2x + 4 = 0$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Odpowiedź:
Wykazano, że dla każdego $x \in \mathbb{R}$ lewa strona równania przyjmuje wyłącznie wartości ściśle dodatnie ($L(x) \ge 3 > 0$), a zatem równanie nie posiada pierwiastków rzeczywistych.

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Dany jest wielomian $W(x) = (x^6 + x^3 - 1)^{500}$. Określ stopień wielomianu i wyznacz sumę współczynników wielomianu przy parzystych potęgach $x$.