Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej kartkówka

10.1 Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia: $\left|(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - 4 \cdot (\sqrt{12} - 2 \cdot |\sqrt{3} - 3|)\right|$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i kolejność działań: Złożone wyrażenie arytmetyczne upraszczamy etapami od wewnątrz – najpierw obliczamy iloczyn nawiasów, wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka oraz zdejmujemy wewnętrzną wartość bezwzględną.
Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia: Zauważ, że w pierwszym iloczynie dodawanie jest przemienne: $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (\sqrt{3} + \sqrt{2})$. Wyrażenie ma więc postać różnicy kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Definicja wartości bezwzględnej: Przypomnij sobie, że $|a| = a$, gdy $a \ge 0$, oraz $|a| = -a$, gdy $a < 0$. Aby zdjąć moduł, należy najpierw oszacować znak wyrażenia znajdującego się wewnątrz kresek.
Porównywanie liczb niewymiernych: Aby ustalić, czy $a - b$ jest liczbą dodatnią czy ujemną, warto wciągnąć czynniki pod pierwiastek i porównać liczby podpierwiastkowe (np. $25 = \sqrt{625}$, a $16\sqrt{3} = \sqrt{768}$).
Czego unikać (częsta pułapka): Pamiętaj o dokładnej dystrybucji znaku minus przed nawiasem przy wymnażaniu przez $-2$ oraz $-4$. Najczęstszym błędem jest mechaniczne opuszczenie kresek wartości bezwzględnej bez zmiany znaków przy wyrażeniu o wartości ujemnej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia dla pierwszego składnika:
W iloczynie $(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ zmieniamy kolejność składników w drugim nawiasie: $$\begin{aligned} (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) &= (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \\[8pt] &= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 \\[8pt] &= 3 - 2 = 1 \end{aligned}$$
Uproszczenie pierwiastka $\sqrt{12}$ oraz zdjęcie wewnętrznego modułu $|\sqrt{3} - 3|$:
Rozkładamy liczbę podpierwiastkową na czynniki: $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$ Następnie badamy znak wyrażenia wewnątrz modułu $|\sqrt{3} - 3|$. Ponieważ $\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 3$, to: $$\sqrt{3} - 3 < 0$$ Z definicji wartości bezwzględnej zmieniamy znaki na przeciwne: $$|\sqrt{3} - 3| = -(\sqrt{3} - 3) = 3 - \sqrt{3}$$
Obliczenie wartości wyrażenia w nawiasie za liczbą $4$:
Podstawiamy otrzymane wyniki do wyrażenia w nawiasie: $$\begin{aligned} \sqrt{12} - 2 \cdot |\sqrt{3} - 3| &= 2\sqrt{3} - 2(3 - \sqrt{3}) \\[8pt] &= 2\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3} \\[8pt] &= 4\sqrt{3} - 6 \end{aligned}$$
Zredukowanie całego wyrażenia pod zewnętrzną wartością bezwzględną:
Podstawiamy wyznaczone części składowe do wyjściowego wyrażenia: $$\begin{aligned} &\left|(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - 4 \cdot (\sqrt{12} - 2 \cdot |\sqrt{3} - 3|)\right| \\[8pt] &= \left|1 - 4(4\sqrt{3} - 6)\right| \\[8pt] &= \left|1 - 16\sqrt{3} + 24\right| \\[8pt] &= \left|25 - 16\sqrt{3}\right| \end{aligned}$$
Ustalenie znaku wyrażenia pod zewnętrznym modułem i zapisanie ostatecznego wyniku:
Sprawdzamy znak liczby $25 - 16\sqrt{3}$ poprzez wciągnięcie liczb pod pierwiastek kwadratowy: $$\begin{aligned} 25 &= \sqrt{25^2} = \sqrt{625} \\[8pt] 16\sqrt{3} &= \sqrt{16^2 \cdot 3} = \sqrt{256 \cdot 3} = \sqrt{768} \end{aligned}$$ Ponieważ $625 < 768$, to: $$25 < 16\sqrt{3} \implies 25 - 16\sqrt{3} < 0$$ Wartość pod modułem jest ujemna, zatem opuszczając zewnętrzne kreski wartości bezwzględnej, zmieniamy znak wyrażenia na przeciwny: $$\begin{aligned} \left|25 - 16\sqrt{3}\right| &= -(25 - 16\sqrt{3}) \\[8pt] &= -25 + 16\sqrt{3} \\[8pt] &= 16\sqrt{3} - 25 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
$16\sqrt{3} - 25$

Zadanie 2 (4 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia: $$ \dfrac{\left|(\sqrt{13} - 2\sqrt{3})(\sqrt{13} + 2\sqrt{3})\right|}{|\sqrt{13} - 3||3 - \sqrt{13}|} + \dfrac{1}{22 + 6\sqrt{13}} $$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza struktury: Wyrażenie składa się z sumy dwóch ułamków. Rozwiązanie warto podzielić na etapy: najpierw uprościć licznik oraz mianownik pierwszego ułamka, a dopiero potem dodać do siebie oba składniki.
Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia: W liczniku pierwszego ułamka pod wartością bezwzględną występuje iloczyn postaci $(a - b)(a + b)$. Zastosuj wzór na różnicę kwadratów: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Własności wartości bezwzględnej w mianowniku: Wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi w mianowniku są liczbami przeciwnymi: $3 - \sqrt{13} = -(\sqrt{13} - 3)$. Ponieważ $|-t| = |t|$, ich iloczyn jest równy kwadratowi wartości bezwzględnej: $|t| \cdot |t| = |t|^2 = t^2$. Otrzymany kwadrat rozwiń ze wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Dodawanie ułamków o sprzężonych mianownikach: Po uproszczeniu pierwszego składnika zauważ, że mianowniki obu ułamków to wyrażenia sprzężone: $22 - 6\sqrt{13}$ oraz $22 + 6\sqrt{13}$. Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika, którym jest ich iloczyn – ponownie wykorzystasz wzór na różnicę kwadratów, co całkowicie zredukuje niewymierność.
Czego unikać (częsta pułapka): Pamiętaj o poprawnym potęgowaniu iloczynu: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ (częstym błędem jest pominięcie kwadratu liczby stojącej przed pierwiastkiem i zapisanie np. $6$). Podobnie $(6\sqrt{13})^2 = 36 \cdot 13 = 468$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie wartości licznika pierwszego ułamka:
Wewnątrz wartości bezwzględnej stosujemy wzór na różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ dla $a = \sqrt{13}$ oraz $b = 2\sqrt{3}$: $$ \begin{aligned} \left|(\sqrt{13} - 2\sqrt{3})(\sqrt{13} + 2\sqrt{3})\right| &= \left|(\sqrt{13})^2 - (2\sqrt{3})^2\right| \\[8pt] &= |13 - 4 \cdot 3| \\[8pt] &= |13 - 12| \\[8pt] &= |1| = 1 \end{aligned} $$
Uproszczenie mianownika pierwszego ułamka:
Zauważamy, że liczby pod modułami są przeciwne: $3 - \sqrt{13} = -(\sqrt{13} - 3)$. Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $|-x| = |x|$ oraz $|x|^2 = x^2$: $$ \begin{aligned} |\sqrt{13} - 3| \cdot |3 - \sqrt{13}| &= |\sqrt{13} - 3| \cdot |-(\sqrt{13} - 3)| \\[8pt] &= |\sqrt{13} - 3| \cdot |\sqrt{13} - 3| \\[8pt] &= |\sqrt{13} - 3|^2 \\[8pt] &= (\sqrt{13} - 3)^2 \end{aligned} $$ Rozwijamy kwadrat różnicy ze wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ \begin{aligned} (\sqrt{13} - 3)^2 &= (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 3 + 3^2 \\[8pt] &= 13 - 6\sqrt{13} + 9 \\[8pt] &= 22 - 6\sqrt{13} \end{aligned} $$
Podstawienie uproszczonych części i dodanie ułamków:
Wstawiamy otrzymany licznik i mianownik do wyjściowego wyrażenia: $$ \dfrac{1}{22 - 6\sqrt{13}} + \dfrac{1}{22 + 6\sqrt{13}} $$ Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik każdego z nich przez sprzężenie mianownika drugiego ułamka: $$ \begin{aligned} \dfrac{1}{22 - 6\sqrt{13}} + \dfrac{1}{22 + 6\sqrt{13}} &= \dfrac{(22 + 6\sqrt{13}) + (22 - 6\sqrt{13})}{(22 - 6\sqrt{13})(22 + 6\sqrt{13})} \\[8pt] &= \dfrac{22 + 22 + 6\sqrt{13} - 6\sqrt{13}}{(22)^2 - (6\sqrt{13})^2} \\[8pt] &= \dfrac{44}{484 - 36 \cdot 13} \\[8pt] &= \dfrac{44}{484 - 468} \\[8pt] &= \dfrac{44}{16} \end{aligned} $$ Skracamy otrzymany ułamek przez 4: $$ \dfrac{44}{16} = \dfrac{11}{4} = 2\dfrac{3}{4} = 2{,}75 $$

Odpowiedź:
$\dfrac{11}{4}$ (lub $2\dfrac{3}{4}$, $2{,}75$)

Zadanie 3 (1 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia: $3x \cdot |x + 5|$, jeśli $x = -2$.

Zadanie 4 (1 pkt)

Zapisz podane wyrażenie bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: $|x + 3|$, jeśli $x \in (-\infty, -3)$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza przedziału: Zwróć uwagę na przedział liczbowy, do którego należy zmienna: $x \in (-\infty, -3)$. Oznacza to, że każda rozpatrywana liczba $x$ jest mniejsza od $-3$ (czyli $x < -3$).
Kluczowa metoda i definicja: Zastosuj algebraiczną definicję wartości bezwzględnej. Pamiętaj, że $|a| = a$, gdy wyrażenie pod kreskami jest nieujemne ($a \ge 0$), natomiast $|a| = -a$, gdy wyrażenie to jest ujemne ($a < 0$).
Ustalenie znaku wnętrza: Przekształć nierówność $x < -3$ tak, aby po jednej stronie otrzymać całe wyrażenie podwartościowe $x + 3$, i sprawdź jego znak. Możesz również sprawdzić znak pomocniczo, podstawiając dowolną liczbę testową z danego przedziału (np. $x = -4$).
Opuszczenie symbolu wartości bezwzględnej: Skoro wnętrze jest ujemne, opuść kreski wartości bezwzględnej, zmieniając znak każdego wyrazu wewnątrz na przeciwny – najlepiej zapisując najpierw znak minus przed całym wyrażeniem w nawiasie: $-(x + 3)$, a następnie wymnażając go przez nawias.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie zmieniaj znaku tylko przy jednym wyrazie (np. pisząc błędnie $x - 3$ lub $-x + 3$). Pamiętaj, że minus odnosi się do całego dwumianu: $-(x + 3) = -x - 3$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Analiza wyjściowego wyrażenia i definicji wartości bezwzględnej:
Rozpatrujemy wyrażenie $|x + 3|$ dla $x \in (-\infty, -3)$. Przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$: $$|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \ge 0 \\[6pt] -a & \text{dla } a < 0 \end{cases}$$ Aby opuścić pionowe kreski wartości bezwzględnej, musimy zbadać, jaki znak (dodatni czy ujemny) przyjmuje wyrażenie $x + 3$ w podanym przedziale.
Sposób I – Wyznaczenie znaku algebraicznie i uproszczenie wyrażenia:
Zgodnie z treścią zadania $x$ należy do przedziału $(-\infty, -3)$, co zapisujemy nierównością: $$x < -3$$ Dodajemy obustronnie liczbę $3$ do nierówności, aby uzyskać wyrażenie z wnętrza wartości bezwzględnej: $$\begin{aligned} x + 3 &< -3 + 3 \\[8pt] x + 3 &< 0 \end{aligned}$$ Widzimy, że dla każdego $x \in (-\infty, -3)$ dwumian $x + 3$ przyjmuje wyłącznie wartości ujemne. Możemy to potwierdzić, wybierając dowolną liczbę testową z tego przedziału, np. $x = -4$: $$-4 + 3 = -1 < 0$$ Ponieważ wnętrze wartości bezwzględnej jest ujemne, z definicji zmieniamy znak całego wyrażenia na przeciwny (stawiamy minus przed całym wyrażeniem w nawiasie): $$\begin{aligned} |x + 3| &= -(x + 3) \\[8pt] &= -x - 3 \end{aligned}$$
Sposób II – Interpretacja geometryczna odległości na osi liczbowej:
Wyrażenie postaci $|a - b|$ interpretujemy geometrycznie jako odległość punktu $a$ od punktu $b$ na osi liczbowej. Przepiszmy nasze wyjściowe wyrażenie jako różnicę: $$|x + 3| = |x - (-3)|$$ Oznacza to odległość zmiennej $x$ od liczby $-3$. Ponieważ $x \in (-\infty, -3)$, liczba $x$ znajduje się na osi zawsze na lewo od punktu $-3$ (czyli $x$ jest mniejszy od $-3$). Odległość na osi liczbowej to różnica: wartość większa (leżąca bardziej na prawo) minus wartość mniejsza (leżąca bardziej na lewo): $$\begin{aligned} \text{odległość} &= -3 - x \\[8pt] &= -x - 3 \end{aligned}$$ Poniższy rysunek ilustruje położenie przedziału $(-\infty, -3)$ oraz odległość dowolnego punktu $x$ od liczby $-3$:

Odpowiedź:
$-x - 3$ (lub $-(x + 3)$)

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz: $$ \left| \, \left| 2 + \log_{\frac{1}{2}} 16 \right| - \left| 7 + 27^{\frac{1}{3}} \right| \cdot \left| -3 \log_3 9 - \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right| \, \right| $$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza struktury: Rozbij całe złożone wyrażenie na trzy mniejsze, niezależne moduły wewnętrzne. Oblicz wartość liczbową każdego z nich z osobna, zanim przejdziesz do działań w module zewnętrznym.
Własności logarytmów i potęg: Skorzystaj z definicji logarytmu $\log_a b = c \iff a^c = b$ (sprowadzając liczby do wspólnej potęgi), zamień potęgę o wykładniku ułamkowym na pierwiastek według wzoru $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$, a potęgę o wykładniku ujemnym na odwrotność liczby: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$.
Opuszczanie modułów: Zastosuj definicję wartości bezwzględnej: $|x| = x$ dla $x \ge 0$ oraz $|x| = -x$ dla $x < 0$ (wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest zawsze nieujemna).
Kolejność wykonywania działań: Po wyznaczeniu wartości trzech modułów wewnętrznych pamiętaj, że mnożenie ma pierwszeństwo przed odejmowaniem. Dopiero po odjęciu iloczynu od pierwszej wartości opuść zewnętrzny moduł.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na kolejność działań – częstym błędem jest odejmowanie wartości pierwszych dwóch modułów przed wykonaniem mnożenia przez trzeci moduł. Zwróć też uwagę na znaki minus przy obliczaniu potęg o ujemnym wykładniku i logarytmów o ułamkowej podstawie.

Rozwiązanie krok po kroku:

Obliczenie wartości pierwszego modułu $\left| 2 + \log_{\frac{1}{2}} 16 \right|$:
Wyznaczamy najpierw wartość logarytmu $\log_{\frac{1}{2}} 16$. Korzystając z definicji logarytmu $\log_a b = c \iff a^c = b$, sprowadzamy obie strony do wspólnej podstawy $2$: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^c = 16 \iff 2^{-c} = 2^4 \iff -c = 4 \iff c = -4 $$ Zatem: $$ \log_{\frac{1}{2}} 16 = -4 $$ Wstawiamy wyliczoną wartość do pierwszego modułu: $$ \begin{aligned} \left| 2 + \log_{\frac{1}{2}} 16 \right| &= |2 + (-4)| \\[8pt] &= |-2| \\[8pt] &= 2 \end{aligned} $$
Obliczenie wartości drugiego modułu $\left| 7 + 27^{\frac{1}{3}} \right|$:
Obliczamy wartość potęgi o wykładniku ułamkowym $27^{\frac{1}{3}}$, zamieniając ją na pierwiastek stopnia trzeciego: $$ 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3 $$ Wstawiamy otrzymany wynik do wnętrza drugiego modułu: $$ \begin{aligned} \left| 7 + 27^{\frac{1}{3}} \right| &= |7 + 3| \\[8pt] &= |10| \\[8pt] &= 10 \end{aligned} $$
Obliczenie wartości trzeciego modułu $\left| -3 \log_3 9 - \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right|$:
Wyznaczamy osobno każdy ze składników sumy algebraicznej wewnątrz wartości bezwzględnej: Najpierw obliczamy logarytm $\log_3 9$: $$ 3^c = 9 \iff 3^c = 3^2 \iff c = 2 \implies \log_3 9 = 2 $$ Stąd pierwszy składnik wynosi: $$ -3 \log_3 9 = -3 \cdot 2 = -6 $$ Następnie obliczamy wartość potęgi o wykładniku $-1$: $$ \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} = 5 $$ Podstawiamy oba składniki do modułu: $$ \begin{aligned} \left| -3 \log_3 9 - \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right| &= |-6 - 5| \\[8pt] &= |-11| \\[8pt] &= 11 \end{aligned} $$
Złożenie wyznaczonych wartości i obliczenie wyniku końcowego:
Podstawiamy otrzymane liczby do wyjściowego wyrażenia: $$ \left| \, \left| 2 + \log_{\frac{1}{2}} 16 \right| - \left| 7 + 27^{\frac{1}{3}} \right| \cdot \left| -3 \log_3 9 - \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right| \, \right| $$ Pamiętając o pierwszeństwie mnożenia przed odejmowaniem, wykonujemy kolejne operacje arytmetyczne: $$ \begin{aligned} \left| 2 - 10 \cdot 11 \right| &= |2 - 110| \\[8pt] &= |-108| \\[8pt] &= 108 \end{aligned} $$

Odpowiedź:
$108$