Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi z parametrem kartkówka

10.11 Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi z parametrem

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Rozwiąż dany układ równań, stosując wyznaczniki.

a) $\begin{cases} 2x + 5y = 3 \\ 4x - 3y = -7 \end{cases}$

b) $\begin{cases} \sqrt{2}x + 3y = 7 \\ 5x = 10 + 2\sqrt{2}y \end{cases}$

Wskazówki:

Uporządkowanie układu do postaci ogólnej: Przed przystąpieniem do obliczeń każde równanie musi mieć standardową postać liniową $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$. Niewiadome $x$ oraz $y$ muszą znajdować się w stałej kolejności po lewej stronie, a wyrazy wolne po prawej stronie równania.
Definicja wyznaczników stopnia drugiego (metoda Cramera): Wyznacznik główny układu tworzą współczynniki przy niewiadomych: $W = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$. Wyznacznik $W_x$ otrzymujemy, zastępując kolumnę współczynników przy $x$ kolumną wyrazów wolnych, a wyznacznik $W_y$ – zastępując kolumnę przy $y$ wyrazami wolnymi.
Warunek istnienia rozwiązań: Układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony), gdy wyznacznik główny jest różny od zera ($W \ne 0$). Gdy $W = 0$, układ jest sprzeczny (brak rozwiązań) lub nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).
Wyznaczenie wartości niewiadomych ze wzorów Cramera: Gdy $W \ne 0$, szukane wartości obliczamy bezpośrednio ze wzorów: $x = \dfrac{W_x}{W}$ oraz $y = \dfrac{W_y}{W}$.
Czego unikać (częsta pułapka): Zwracaj szczególną uwagę na uporządkowanie równań przed wyznaczeniem współczynników. W podpunkcie b) składnik $2\sqrt{2}y$ znajduje się początkowo po prawej stronie – przeniesienie go na lewą stronę zmienia jego znak na przeciwny: $-2\sqrt{2}y$. Pamiętaj także o regule znaków przy odejmowaniu iloczynu przekątnej bocznej: $a_1 b_2 - (a_2 b_1)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy układ równań $\begin{cases} 2x + 5y = 3 \\ 4x - 3y = -7 \end{cases}$:
Układ jest już zapisany w postaci uporządkowanej: $$\begin{cases} a_1 = 2, \quad b_1 = 5, \quad c_1 = 3 \\ a_2 = 4, \quad b_2 = -3, \quad c_2 = -7 \end{cases}$$ Obliczamy wyznacznik główny układu $W$: $$\begin{aligned} W &= \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} \\[8pt] &= 2 \cdot (-3) - 5 \cdot 4 \\[8pt] &= -6 - 20 = -26 \end{aligned}$$ Obliczamy wyznacznik $W_x$, wstawiając wyrazy wolne w miejsce pierwszej kolumny: $$\begin{aligned} W_x &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ -7 & -3 \end{vmatrix} \\[8pt] &= 3 \cdot (-3) - 5 \cdot (-7) \\[8pt] &= -9 - (-35) = -9 + 35 = 26 \end{aligned}$$ Obliczamy wyznacznik $W_y$, wstawiając wyrazy wolne w miejsce drugiej kolumny: $$\begin{aligned} W_y &= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -7 \end{vmatrix} \\[8pt] &= 2 \cdot (-7) - 3 \cdot 4 \\[8pt] &= -14 - 12 = -26 \end{aligned}$$ Ponieważ $W = -26 \ne 0$, układ jest oznaczony. Wyznaczamy niewiadome ze wzorów Cramera: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{W_x}{W} = \dfrac{26}{-26} = -1 \\[8pt] y &= \dfrac{W_y}{W} = \dfrac{-26}{-26} = 1 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem układu jest para liczb: $$\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy układ równań $\begin{cases} \sqrt{2}x + 3y = 7 \\ 5x = 10 + 2\sqrt{2}y \end{cases}$:
W pierwszym kroku porządkujemy drugie równanie, przenosząc wyraz z niewiadomą $y$ na lewą stronę ze zmianą znaku: $$5x - 2\sqrt{2}y = 10$$ Zapisujemy układ w postaci uporządkowanej: $$\begin{cases} \sqrt{2}x + 3y = 7 \\ 5x - 2\sqrt{2}y = 10 \end{cases}$$ Współczynniki wynoszą: $$\begin{cases} a_1 = \sqrt{2}, \quad b_1 = 3, \quad c_1 = 7 \\ a_2 = 5, \quad b_2 = -2\sqrt{2}, \quad c_2 = 10 \end{cases}$$ Obliczamy wyznacznik główny $W$: $$\begin{aligned} W &= \begin{vmatrix} \sqrt{2} & 3 \\ 5 & -2\sqrt{2} \end{vmatrix} \\[8pt] &= \sqrt{2} \cdot (-2\sqrt{2}) - 3 \cdot 5 \\[8pt] &= -2 \cdot 2 - 15 \\[8pt] &= -4 - 15 = -19 \end{aligned}$$ Obliczamy wyznacznik $W_x$: $$\begin{aligned} W_x &= \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 10 & -2\sqrt{2} \end{vmatrix} \\[8pt] &= 7 \cdot (-2\sqrt{2}) - 3 \cdot 10 \\[8pt] &= -14\sqrt{2} - 30 = -(30 + 14\sqrt{2}) \end{aligned}$$ Obliczamy wyznacznik $W_y$: $$\begin{aligned} W_y &= \begin{vmatrix} \sqrt{2} & 7 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\[8pt] &= \sqrt{2} \cdot 10 - 7 \cdot 5 \\[8pt] &= 10\sqrt{2} - 35 = -(35 - 10\sqrt{2}) \end{aligned}$$ Ponieważ $W = -19 \ne 0$, układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Stosujemy wzory Cramera: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{W_x}{W} = \dfrac{-(30 + 14\sqrt{2})}{-19} = \dfrac{30 + 14\sqrt{2}}{19} \\[8pt] y &= \dfrac{W_y}{W} = \dfrac{-(35 - 10\sqrt{2})}{-19} = \dfrac{35 - 10\sqrt{2}}{19} \end{aligned}$$ Rozwiązaniem układu jest para liczb: $$\begin{cases} x = \dfrac{30 + 14\sqrt{2}}{19} \\[10pt] y = \dfrac{35 - 10\sqrt{2}}{19} \end{cases}$$

Odpowiedź:
a) $\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x = \dfrac{30 + 14\sqrt{2}}{19} \\[10pt] y = \dfrac{35 - 10\sqrt{2}}{19} \end{cases}$

Zadanie 2 (5 pkt)

Przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań układu równań z parametrem $b$, gdzie $b \in \mathbb{R}$. W przypadku istnienia rozwiązań, wyznacz je.

a) $\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ 6x + by = 3b \end{cases}$

b) $\begin{cases} (b - 2)x - 3y = 4 \\ 5x - (b + 2)y = b \end{cases}$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i metoda wyznacznikowa (twierdzenie Cramera): Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $x, y$ oraz parametrem $b$ najwygodniej analizować metodą wyznaczników, obliczając wyznacznik główny $W$ oraz wyznaczniki zmiennych $W_x$ i $W_y$: $$ W = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 $$ $$ W_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - c_2 b_1, \quad W_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - a_2 c_1 $$
Klasyfikacja liczby rozwiązań układu liniowego:
- Układ oznaczony (dokładnie 1 rozwiązanie): zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $W \neq 0$. Rozwiązaniem jest para liczb dana wzorami Cramera: $x = \dfrac{W_x}{W}$ oraz $y = \dfrac{W_y}{W}$.
- Układ sprzeczny (0 rozwiązań): zachodzi wtedy, gdy $W = 0$, a przynajmniej jeden z wyznaczników $W_x$ lub $W_y$ jest różny od zera ($W_x \neq 0$ lub $W_y \neq 0$).
- Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań): zachodzi wtedy, gdy wszystkie trzy wyznaczniki jednocześnie znikają: $W = 0$ oraz $W_x = 0$ oraz $W_y = 0$.
Kolejność operacji: Zawsze zacznij od wyznaczenia i uproszczenia wyznacznika głównego $W$. Przyrównaj go do zera, aby zidentyfikować wartości krytyczne parametru $b$, a następnie sprawdź wartości $W_x$ i $W_y$ osobno dla każdej z wyznaczonych liczb.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na znaki minus przy wymnażaniu po przekątnych w wyznacznikach, w szczególności przy iloczynach wyrażeń dwumianowych w podpunkcie b): $(b - 2) \cdot [-(b + 2)] = -(b^2 - 4) = -b^2 + 4$. Pamiętaj też, że sam warunek $W = 0$ nie oznacza od razu sprzeczności – bez obliczenia $W_x$ i $W_y$ nie da się odróżnić układu sprzecznego od nieoznaczonego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Przeprowadzamy dyskusję i rozwiązujemy układ równań:
Wyjściowy układ równań z niewiadomymi $x, y$ i parametrem $b \in \mathbb{R}$ ma postać: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ 6x + by = 3b \end{cases} $$ Wyznaczamy wyznacznik główny układu $W$: $$ \begin{aligned} W &= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 6 & b \end{vmatrix} \\[8pt] &= 3 \cdot b - 2 \cdot 6 \\[8pt] &= 3b - 12 \end{aligned} $$ Wyznaczamy wyznacznik zmiennej $x$: $$ \begin{aligned} W_x &= \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3b & b \end{vmatrix} \\[8pt] &= 5 \cdot b - 2 \cdot 3b \\[8pt] &= 5b - 6b \\[8pt] &= -b \end{aligned} $$ Wyznaczamy wyznacznik zmiennej $y$: $$ \begin{aligned} W_y &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 3b \end{vmatrix} \\[8pt] &= 3 \cdot 3b - 5 \cdot 6 \\[8pt] &= 9b - 30 \end{aligned} $$ Badamy warunek zerowania się wyznacznika głównego: $$ W = 0 \iff 3b - 12 = 0 \iff 3b = 12 \iff b = 4 $$ Przeprowadzamy dyskusję ze względu na wartość parametru $b$:
- Przypadek 1: $b \neq 4$ (czyli $b \in \mathbb{R} \setminus \{4\}$):
  Wyznacznik główny jest różny od zera ($W \neq 0$), zatem układ jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami: $$ x = \dfrac{W_x}{W} = \dfrac{-b}{3b - 12} = -\dfrac{b}{3(b - 4)} $$ $$ y = \dfrac{W_y}{W} = \dfrac{9b - 30}{3b - 12} = \dfrac{3(3b - 10)}{3(b - 4)} = \dfrac{3b - 10}{b - 4} $$
- Przypadek 2: $b = 4$:
  Podstawiamy $b = 4$ do wyznaczników $W_x$ i $W_y$: $$ W_x = -4 \neq 0, \quad W_y = 9 \cdot 4 - 30 = 36 - 30 = 6 \neq 0 $$ Ponieważ $W = 0$, a $W_x \neq 0$ i $W_y \neq 0$, układ jest sprzeczny i posiada 0 rozwiązań (brak rozwiązań).
Podpunkt b) Przeprowadzamy dyskusję i rozwiązujemy układ równań:
Rozpatrujemy układ równań: $$ \begin{cases} (b - 2)x - 3y = 4 \\ 5x - (b + 2)y = b \end{cases} $$ Wyznaczamy wyznacznik główny układu $W$: $$ \begin{aligned} W &= \begin{vmatrix} b - 2 & -3 \\ 5 & -(b + 2) \end{vmatrix} \\[8pt] &= (b - 2) \cdot [-(b + 2)] - (-3) \cdot 5 \\[8pt] &= -(b - 2)(b + 2) + 15 \\[8pt] &= -(b^2 - 4) + 15 \\[8pt] &= -b^2 + 4 + 15 \\[8pt] &= 19 - b^2 \end{aligned} $$ Wyznaczamy wyznacznik zmiennej $x$: $$ \begin{aligned} W_x &= \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ b & -(b + 2) \end{vmatrix} \\[8pt] &= 4 \cdot [-(b + 2)] - (-3) \cdot b \\[8pt] &= -4(b + 2) + 3b \\[8pt] &= -4b - 8 + 3b \\[8pt] &= -b - 8 \end{aligned} $$ Wyznaczamy wyznacznik zmiennej $y$: $$ \begin{aligned} W_y &= \begin{vmatrix} b - 2 & 4 \\ 5 & b \end{vmatrix} \\[8pt] &= (b - 2) \cdot b - 4 \cdot 5 \\[8pt] &= b^2 - 2b - 20 \end{aligned} $$ Wyznaczamy wartości parametru $b$, dla których wyznacznik główny jest równy zero: $$ W = 0 \iff 19 - b^2 = 0 \iff b^2 = 19 \iff b = -\sqrt{19} \quad \text{lub} \quad b = \sqrt{19} $$ Przeprowadzamy dyskusję liczby rozwiązań:
- Przypadek 1: $b \neq -\sqrt{19}$ oraz $b \neq \sqrt{19}$ (czyli $b \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{19}, \sqrt{19}\}$):
  Wyznacznik główny spełnia warunek $W \neq 0$. Układ jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie: $$ x = \dfrac{W_x}{W} = \dfrac{-b - 8}{19 - b^2} = \dfrac{b + 8}{b^2 - 19} $$ $$ y = \dfrac{W_y}{W} = \dfrac{b^2 - 2b - 20}{19 - b^2} = \dfrac{-b^2 + 2b + 20}{b^2 - 19} $$
- Przypadek 2: $b = \sqrt{19}$:
  Wartość wyznacznika $W_x$ wynosi: $$ W_x = -\sqrt{19} - 8 \neq 0 $$ Ponieważ $W = 0$ oraz $W_x \neq 0$, układ jest sprzeczny – ma 0 rozwiązań.
- Przypadek 3: $b = -\sqrt{19}$:
  Wartość wyznacznika $W_x$ wynosi: $$ W_x = -(-\sqrt{19}) - 8 = \sqrt{19} - 8 \neq 0 \quad (\text{gdyż } \sqrt{19} \approx 4{,}36 \neq 8) $$ Ponieważ $W = 0$ oraz $W_x \neq 0$, układ jest sprzeczny – ma 0 rozwiązań.

Odpowiedź:
a)
• dla $b \in \mathbb{R} \setminus \{4\}$: dokładnie 1 rozwiązanie (układ oznaczony): $$ \begin{cases} x = -\dfrac{b}{3(b - 4)} \\[8pt] y = \dfrac{3b - 10}{b - 4} \end{cases} $$ • dla $b = 4$: 0 rozwiązań (układ sprzeczny, brak rozwiązań)

b)
• dla $b \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{19}, \sqrt{19}\}$: dokładnie 1 rozwiązanie (układ oznaczony): $$ \begin{cases} x = \dfrac{b + 8}{b^2 - 19} \\[8pt] y = \dfrac{-b^2 + 2b + 20}{b^2 - 19} \end{cases} $$ • dla $b \in \{-\sqrt{19}, \sqrt{19}\}$: 0 rozwiązań (układ sprzeczny, brak rozwiązań)

Zadanie 3 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, $p \in \mathbb{R}$, dla których rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} 5x + 2y = 3p - 1 \\ 3x + y = p + 2 \end{cases}$ jest para liczb $(x, y)$, spełniająca nierówność $-2 < x + y \le 8$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza układu: Zadany układ to układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$ oraz parametrem $p$. Pierwszym celem jest wyznaczenie niewiadomych $x$ oraz $y$ w zależności od parametru $p$.
Wybór metody rozwiązania: Niewiadome można wyznaczyć klasyczną metodą podstawiania (wyznaczając zmienną $y$ z drugiego równania) lub metodą wyznacznikową (wzorami Cramera). Obie drogi prowadzą do tego samego wyniku.
Zbudowanie wyrażenia sumy i podstawienie do warunku: Po wyznaczeniu wzorów na $x$ oraz $y$ oblicz ich sumę $x + y$, a następnie wstaw otrzymane wyrażenie liniowe w miejsce środka podwójnej nierówności $-2 < x + y \le 8$.
Rozwiązanie podwójnej nierówności: Wykonaj obustronne działania algebraiczne (dodanie liczby oraz obustronne dzielenie przez współczynnik dodatni stojący przy $p$), pamiętając, że relacje nierówności nie zmieniają wtedy swoich zwrotów.
Czego unikać (częsta pułapka): Zwróć szczególną uwagę na rodzaje nierówności: lewa strona to nierówność ostra ($<$), co daje kółko otwarte na osi i nawias okrągły, natomiast prawa strona jest nieostra ($\le$), co oznacza kółko zamalowane i nawias domknięty.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapisanie wyjściowego układu równań i wyznaczenie niewiadomych – Sposób I (metoda podstawiania):
Wychodzimy od wyjściowego układu równań: $$\begin{cases} 5x + 2y = 3p - 1 \\ 3x + y = p + 2 \end{cases}$$ Z drugiego równania wyznaczamy zmienną $y$: $$y = p + 2 - 3x$$ Wstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania: $$5x + 2(p + 2 - 3x) = 3p - 1$$ Wymnażamy nawias i porządkujemy wyrazy: $$\begin{aligned} 5x + 2p + 4 - 6x &= 3p - 1 \\[8pt] -x + 2p + 4 &= 3p - 1 \\[8pt] -x &= 3p - 1 - 2p - 4 \\[8pt] -x &= p - 5 \\[8pt] x &= 5 - p \end{aligned}$$ Obliczamy wartość zmiennej $y$, podstawiając wyznaczony $x$: $$\begin{aligned} y &= p + 2 - 3(5 - p) \\[8pt] &= p + 2 - 15 + 3p \\[8pt] &= 4p - 13 \end{aligned}$$ Rozwiązaniem układu równań dla każdego $p \in \mathbb{R}$ jest para liczb: $$\begin{cases} x = 5 - p \\ y = 4p - 13 \end{cases}$$
Alternatywne wyznaczenie rozwiązania – Sposób II (metoda wyznacznikowa Cramera):
Zapisujemy macierz współczynników układu i obliczamy wyznacznik główny $W$: $$W = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1$$ Ponieważ $W = -1 \neq 0$, układ jest układem oznaczonym (posiada dokładnie jedno rozwiązanie dla dowolnego $p \in \mathbb{R}$). Obliczamy wyznaczniki zmiennych $W_x$ oraz $W_y$: $$\begin{aligned} W_x &= \begin{vmatrix} 3p - 1 & 2 \\ p + 2 & 1 \end{vmatrix} = (3p - 1) \cdot 1 - 2(p + 2) \\[8pt] &= 3p - 1 - 2p - 4 = p - 5 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} W_y &= \begin{vmatrix} 5 & 3p - 1 \\ 3 & p + 2 \end{vmatrix} = 5(p + 2) - 3(3p - 1) \\[8pt] &= 5p + 10 - 9p + 3 = -4p + 13 \end{aligned}$$ Stosujemy wzory Cramera do wyznaczenia $x$ i $y$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{W_x}{W} = \dfrac{p - 5}{-1} = 5 - p \\[8pt] y &= \dfrac{W_y}{W} = \dfrac{-4p + 13}{-1} = 4p - 13 \end{aligned}$$
Wyznaczenie sumy $x + y$ oraz ułożenie i rozwiązanie podwójnej nierówności:
Obliczamy sumę wyznaczonych zmiennych: $$\begin{aligned} x + y &= (5 - p) + (4p - 13) \\[8pt] &= -p + 4p + 5 - 13 \\[8pt] &= 3p - 8 \end{aligned}$$ Wstawiamy otrzymane wyrażenie do warunku podanego w treści zadania: $$-2 < x + y \le 8$$ $$-2 < 3p - 8 \le 8$$ Dodajemy liczbę $8$ do wszystkich stron podwójnej nierówności: $$\begin{aligned} -2 + 8 &< 3p \le 8 + 8 \\[8pt] 6 &< 3p \le 16 \end{aligned}$$ Dzielimy wszystkie strony przez $3$ (zwroty nierówności pozostają bez zmian): $$\begin{aligned} \dfrac{6}{3} &< p \le \dfrac{16}{3} \\[8pt] 2 &< p \le \dfrac{16}{3} \end{aligned}$$
Zapis zbioru rozwiązań i zilustrowanie go na osi liczbowej:
Zbiorem wartości parametru $p$ spełniających zadaną nierówność jest przedział: $$p \in \left(2, \dfrac{16}{3}\right\rangle \quad \left(\text{czyli } p \in \left(2; 5\dfrac{1}{3}\right\rangle\right)$$ Punkt $2$ oznaczamy kółkiem otwartym, natomiast punkt $\dfrac{16}{3}$ kółkiem zamalowanym:

Odpowiedź:
$p \in \left(2, \dfrac{16}{3}\right\rangle \quad \left(\text{czyli } p \in \left(2; 5\dfrac{1}{3}\right\rangle\right)$

Zadanie 4 (3 pkt)

Dla jakich wartości parametru $b$, $b \in \mathbb{R}$, wykresy funkcji liniowych $$f(x) = -0{,}25x - \dfrac{b+1}{2} \quad \text{oraz} \quad g(x) = 0{,}75x + \dfrac{3b-2}{4}$$ przecinają się w punkcie, który należy do wykresu funkcji $h(x) = 0{,}25x + 5$?

Wskazówki:

Punkt wyjścia i interpretacja geometryczna: Warunek, że wykresy trzech funkcji liniowych przecinają się w jednym punkcie $P = (x_0, y_0)$, oznacza, że współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie każdej z tych funkcji jednocześnie: $y_0 = f(x_0) = g(x_0) = h(x_0)$.
Główna metoda i zamiana ułamków: Zamień ułamki dziesiętne na zwykłe ($-0{,}25 = -\frac{1}{4}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$), co ułatwi operacje na ułamkach o wspólnym mianowniku $4$.
Kolejność operacji (algorytm wyznaczenia parametru):
- Przyrównaj wzory funkcji zależnych od parametru: $f(x) = g(x)$, a następnie wyznacz zmienną $x$ w zależności od $b$.
- Wstaw wyznaczone wyrażenie $x(b)$ do wzoru funkcji $f(x)$ lub $g(x)$, aby otrzymać rzędną $y(b)$ punktu przecięcia.
- Wstaw parę współrzędnych $(x(b), y(b))$ do wzoru funkcji $h(x)$, uzyskując równanie liniowe z jedną niewiadomą $b$.
Alternatywny sposób (układ trzech równań): Zadanie można również rozwiązać jako układ równań liniowych z niewiadomymi $x$ i $y$. Dodając i odejmując równania prostych $f(x)$ oraz $h(x)$, można bezpośrednio i szybko wyznaczyć relację między współrzędnymi a parametrem.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na znak minus stojący przed całym ułamkiem $-\frac{b+1}{2}$. Minus dotyczy obu składników licznika: $-(b + 1) = -b - 1$. Pamiętaj także o mnożeniu każdego wyrazu przez wspólny mianownik, w tym również wyrazu wolnego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Zapis wzorów funkcji w postaci ułamków zwykłych:
Przekształcamy współczynniki dziesiętne na ułamki zwykłe: $-0{,}25 = -\dfrac{1}{4}$, $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$ oraz $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$: $$\begin{aligned} f(x) &= -\dfrac{1}{4}x - \dfrac{b+1}{2} \\[8pt] g(x) &= \dfrac{3}{4}x + \dfrac{3b-2}{4} \\[8pt] h(x) &= \dfrac{1}{4}x + 5 \end{aligned}$$ Niech punkt $P = (x, y)$ będzie punktem przecięcia wykresów tych trzech funkcji.
Sposób I – Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia funkcji $f$ i $g$ w zależności od parametru $b$:
Przyrównujemy wartości funkcji $f(x)$ oraz $g(x)$: $$-\dfrac{1}{4}x - \dfrac{b+1}{2} = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{3b-2}{4}$$ Mnożymy obie strony równania przez $4$, aby pozbyć się mianowników: $$\begin{aligned} -x - 2(b + 1) &= 3x + (3b - 2) \\[8pt] -x - 2b - 2 &= 3x + 3b - 2 \\[8pt] -x - 3x &= 3b + 2b - 2 + 2 \\[8pt] -4x &= 5b \\[8pt] x &= -\dfrac{5}{4}b \end{aligned}$$ Wyznaczamy rzędną $y$ punktu przecięcia, podstawiając $x = -\dfrac{5}{4}b$ do wzoru funkcji $f(x)$: $$\begin{aligned} y &= -\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{5}{4}b\right) - \dfrac{b+1}{2} \\[8pt] &= \dfrac{5}{16}b - \dfrac{8(b+1)}{16} \\[8pt] &= \dfrac{5b - 8b - 8}{16} \\[8pt] &= \dfrac{-3b - 8}{16} \end{aligned}$$ Współrzędne punktu przecięcia wykresów funkcji $f$ i $g$ w zależności od parametru $b$ to: $$P = \left(-\dfrac{5}{4}b, \; \dfrac{-3b - 8}{16}\right)$$
Sposób I (cd.) – Wyznaczenie parametru $b$ z warunku przynależności punktu $P$ do wykresu funkcji $h(x)$:
Punkt $P$ należy do prostej $y = h(x) = \dfrac{1}{4}x + 5$, zatem jego współrzędne muszą spełniać to równanie: $$\dfrac{-3b - 8}{16} = \dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{5}{4}b\right) + 5$$ Wymnażamy ułamki po prawej stronie: $$\dfrac{-3b - 8}{16} = -\dfrac{5}{16}b + 5$$ Mnożymy obustronnie przez $16$: $$\begin{aligned} -3b - 8 &= -5b + 80 \\[8pt] -3b + 5b &= 80 + 8 \\[8pt] 2b &= 88 \\[8pt] b &= 44 \end{aligned}$$ Obliczamy współrzędne punktu przecięcia $P$ dla wyznaczonej wartości $b = 44$: $$\begin{aligned} x &= -\dfrac{5}{4} \cdot 44 = -55 \\[8pt] y &= \dfrac{-3 \cdot 44 - 8}{16} = \dfrac{-140}{16} = -\dfrac{35}{4} = -8{,}75 \end{aligned}$$
Sposób II – Rozwiązanie zadania za pomocą układu trzech równań liniowych:
Zapisujemy równania wszystkich trzech prostych w postaci ogólnej: $$\begin{cases} \dfrac{1}{4}x + y = -\dfrac{b+1}{2} & \text{(1)} \\[8pt] -\dfrac{3}{4}x + y = \dfrac{3b-2}{4} & \text{(2)} \\[8pt] -\dfrac{1}{4}x + y = 5 & \text{(3)} \end{cases}$$ Zauważmy, że równania (1) oraz (3) mają przeciwne współczynniki przy zmiennej $x$. Dodajemy je stronami: $$\begin{aligned} 2y &= -\dfrac{b+1}{2} + 5 \\[8pt] 2y &= \dfrac{-b - 1 + 10}{2} = \dfrac{9 - b}{2} \\[8pt] y &= \dfrac{9 - b}{4} \end{aligned}$$ Odejmujemy równanie (3) od równania (1) stronami: $$\begin{aligned} \dfrac{2}{4}x &= -\dfrac{b+1}{2} - 5 \\[8pt] \dfrac{1}{2}x &= \dfrac{-b - 1 - 10}{2} = \dfrac{-b - 11}{2} \\[8pt] x &= -b - 11 \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane wyrażenia $x = -b - 11$ oraz $y = \dfrac{9-b}{4}$ do równania (2): $$\begin{aligned} -\dfrac{3}{4}(-b - 11) + \dfrac{9 - b}{4} &= \dfrac{3b - 2}{4} \\[8pt] -3(-b - 11) + (9 - b) &= 3b - 2 \\[8pt] 3b + 33 + 9 - b &= 3b - 2 \\[8pt] 2b + 42 &= 3b - 2 \\[8pt] 42 + 2 &= 3b - 2b \\[8pt] b &= 44 \end{aligned}$$
Weryfikacja i interpretacja graficzna dla $b = 44$:
Dla $b = 44$ wyjściowe funkcje przyjmują postać: $$\begin{aligned} f(x) &= -0{,}25x - 22{,}5 \\[6pt] g(x) &= 0{,}75x + 32{,}5 \\[6pt] h(x) &= 0{,}25x + 5 \end{aligned}$$ Wszystkie trzy proste przecinają się dokładnie w jednym punkcie $P = (-55; -8{,}75)$.

Poniższy wykres przedstawia układ trzech prostych w otoczeniu wspólnego punktu przecięcia (przyjęto podziałkę: 1 kratka = 10 jednostek, $X_0 = 260$, $Y_0 = 100$):

Odpowiedź:
Wykresy podanych funkcji przecinają się w punkcie należącym do wykresu funkcji $h(x)$ dla $b = 44$.

Zadanie 5 (5 pkt)

Dla jakich wartości parametru $m$, $m \in \mathbb{R}$, wykresy funkcji liniowych $f(x) = -4x + 3m + 1$ oraz $g(x) = 2x - 5m - 17$ przecinają się w punkcie, którego współrzędne $(x, y)$ spełniają nierówność $|x - 2| - |4 - y| \le 2$?

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Punkt przecięcia wykresów dwóch funkcji to punkt, w którym ich wartości są równe: $f(x) = g(x)$. Zacznij od przyrównania wzorów obu funkcji i wyznaczenia współrzędnych tego punktu $(x, y)$ w zależności od parametru $m$.
Główna metoda i powiązanie pojęciowe: Po wyznaczeniu $x(m)$ oraz $y(m)$ wstaw je bezpośrednio do zadanej nierówności $|x - 2| - |4 - y| \le 2$. Uprość wyrażenia znajdujące się wewnątrz modułów, sprowadzając je do wspólnego mianownika, a następnie pomnóż obie strony nierówności przez dodatni mianownik, aby otrzymać klasyczną nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi względem zmiennej $m$.
Kolejność operacji i przekształceń: Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod modułami. Dzielą one oś liczbową na trzy rozłączne przedziały. W każdym z tych przedziałów opuść wartości bezwzględne zgodnie z ich definicją ($|w| = w$ dla $w \ge 0$ oraz $|w| = -w$ dla $w < 0$), rozwiąż otrzymaną nierówność liniową i wyznacz część wspólną z rozpatrywanym przedziałem.
Interpretacja i weryfikacja końcowa: Zsumuj rozwiązania cząstkowe uzyskane ze wszystkich trzech przedziałów, zapisz ostateczny zbiór rozwiązań w postaci sumy przedziałów oraz zilustruj go na osi liczbowej. Poprawność możesz zweryfikować, podstawiając punkt kontrolny (np. $m = 0$, dla którego $|4 \cdot 0 + 3| - |7 \cdot 0 + 45| = 3 - 45 = -42 \le 6$, co potwierdza przynależność zera do zbioru rozwiązań).
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na znaki przy odejmowaniu wyrażeń wielomianowych – opuszczenie modułu z minusem przed nim wymaga zmiany znaków wszystkich wyrazów wewnątrz: $-(7m + 45) = -7m - 45$. Pamiętaj również, że przy dzieleniu lub mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną (np. przez $-11$ lub $-3$) należy bezwzględnie zmienić zwrot znaku nierówności na przeciwny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia wykresów w zależności od parametru $m$:
Wykresy funkcji $f(x)$ i $g(x)$ przecinają się w punkcie, którego odcięta $x$ spełnia równość: $$ f(x) = g(x) $$ Wstawiamy wzory obu funkcji: $$ -4x + 3m + 1 = 2x - 5m - 17 $$ Doprowadzamy równanie do postaci liniowej z niewiadomą $x$: $$ \begin{aligned} -4x - 2x &= -5m - 17 - 3m - 1 \\[8pt] -6x &= -8m - 18 \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony równania przez $-6$: $$ x = \dfrac{-8m - 18}{-6} = \dfrac{8m + 18}{6} = \dfrac{4m + 9}{3} $$ Wyznaczamy rzędną $y$ punktu przecięcia, podstawiając wyznaczone $x$ do wzoru funkcji $g(x)$: $$ \begin{aligned} y &= 2 \cdot \left(\dfrac{4m + 9}{3}\right) - 5m - 17 \\[8pt] &= \dfrac{8m + 18}{3} - \dfrac{15m + 51}{3} \\[8pt] &= \dfrac{8m + 18 - 15m - 51}{3} \\[8pt] &= \dfrac{-7m - 33}{3} \end{aligned} $$
Podstawienie współrzędnych do warunku zadania i uproszczenie nierówności:
Współrzędne punktu przecięcia mają spełniać warunek: $$ |x - 2| - |4 - y| \le 2 $$ Obliczamy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi: $$ x - 2 = \dfrac{4m + 9}{3} - 2 = \dfrac{4m + 9 - 6}{3} = \dfrac{4m + 3}{3} $$ $$ 4 - y = 4 - \left(\dfrac{-7m - 33}{3}\right) = \dfrac{12 - (-7m - 33)}{3} = \dfrac{7m + 45}{3} $$ Podstawiamy otrzymane ułamki do wyjściowej nierówności: $$ \left| \dfrac{4m + 3}{3} \right| - \left| \dfrac{7m + 45}{3} \right| \le 2 $$ Wyłączamy dodatni mianownik $3$ przed kreski modułów: $$ \dfrac{|4m + 3|}{3} - \dfrac{|7m + 45|}{3} \le 2 $$ Mnożymy obie strony nierówności przez $3$: $$ |4m + 3| - |7m + 45| \le 6 $$
Sposób I – Rozwiązanie nierówności metodą przedziałową:
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod modułami: $$ 4m + 3 = 0 \iff m = -\dfrac{3}{4} $$ $$ 7m + 45 = 0 \iff m = -\dfrac{45}{7} = -6\dfrac{3}{7} $$ Ponieważ $-\dfrac{45}{7} < -\dfrac{3}{4}$, liczby te dzielą oś liczbową na trzy przedziały:

1. Przedział $m \in \left(-\infty, -\dfrac{45}{7}\right)$:
W tym przedziale oba wyrażenia pod modułami są ujemne ($4m + 3 < 0$ oraz $7m + 45 < 0$), zatem zmieniamy ich znaki: $$ \begin{aligned} -(4m + 3) - \big(-(7m + 45)\big) &\le 6 \\[8pt] -4m - 3 + 7m + 45 &\le 6 \\[8pt] 3m + 42 &\le 6 \\[8pt] 3m &\le -36 \\[8pt] m &\le -12 \end{aligned} $$ Wyznaczamy część wspólną warunku przedziału i wyniku: $$ m \in \left(-\infty, -\dfrac{45}{7}\right) \cap (-\infty, -12] \implies m \in (-\infty, -12] $$
2. Przedział $m \in \left[-\dfrac{45}{7}, -\dfrac{3}{4}\right)$:
W tym przedziale $4m + 3 < 0$ oraz $7m + 45 \ge 0$: $$ \begin{aligned} -(4m + 3) - (7m + 45) &\le 6 \\[8pt] -4m - 3 - 7m - 45 &\le 6 \\[8pt] -11m - 48 &\le 6 \\[8pt] -11m &\le 54 \\[8pt] m &\ge -\dfrac{54}{11} = -4\dfrac{10}{11} \end{aligned} $$ Wyznaczamy część wspólną (pamiętając, że $-6\dfrac{3}{7} < -4\dfrac{10}{11} < -\dfrac{3}{4}$): $$ m \in \left[-\dfrac{45}{7}, -\dfrac{3}{4}\right) \cap \left[-\dfrac{54}{11}, +\infty\right) \implies m \in \left[-\dfrac{54}{11}, -\dfrac{3}{4}\right) $$
3. Przedział $m \in \left[-\dfrac{3}{4}, +\infty\right)$:
W tym przedziale oba wyrażenia pod modułami są nieujemne: $$ \begin{aligned} (4m + 3) - (7m + 45) &\le 6 \\[8pt] 4m + 3 - 7m - 45 &\le 6 \\[8pt] -3m - 42 &\le 6 \\[8pt] -3m &\le 48 \\[8pt] m &\ge -16 \end{aligned} $$ Wyznaczamy część wspólną: $$ m \in \left[-\dfrac{3}{4}, +\infty\right) \cap [-16, +\infty) \implies m \in \left[-\dfrac{3}{4}, +\infty\right) $$
Łączymy rozwiązania uzyskane ze wszystkich trzech przedziałów: $$ m \in (-\infty, -12] \cup \left[-\dfrac{54}{11}, -\dfrac{3}{4}\right) \cup \left[-\dfrac{3}{4}, +\infty\right) $$ Co po połączeniu dwóch ostatnich przedziałów daje ostateczny zbiór: $$ m \in (-\infty, -12] \cup \left[-\dfrac{54}{11}, +\infty\right) $$
Sposób II – Analiza monotoniczności funkcji kawałkami liniowej i ilustracja na osi:
Rozpatrujemy funkcję lewej strony nierówności $h(m) = |4m + 3| - |7m + 45|$. Jest to funkcja ciągła, złożona z trzech odcinków liniowych: $$ h(m) = \begin{cases} 3m + 42 & \text{dla } m < -\dfrac{45}{7} \\[6pt] -11m - 48 & \text{dla } -\dfrac{45}{7} \le m < -\dfrac{3}{4} \\[6pt] -3m - 42 & \text{dla } m \ge -\dfrac{3}{4} \end{cases} $$ Szukamy argumentów $m$, dla których zachodzi $h(m) \le 6$:
• Na pierwszym przedziale funkcja jest rosnąca ($a = 3 > 0$), a wartość $6$ osiąga dla $3m + 42 = 6 \iff m = -12$. Wartości mniejsze bądź równe $6$ przyjmuje więc dla $m \le -12$.
• Na drugim przedziale funkcja maleje od wartości $h\left(-\dfrac{45}{7}\right) = \dfrac{159}{7} \approx 22{,}71$ do wartości $h\left(-\dfrac{3}{4}\right) = -39{,}75$. Punktem przecięcia z poziomem $6$ jest $-11m - 48 = 6 \iff m = -\dfrac{54}{11}$. Funkcja leży pod poziomem $6$ dla $m \ge -\dfrac{54}{11}$.
• Na trzecim przedziale funkcja dalej maleje ($a = -3 < 0$), startując z wartości ujemnej $-39{,}75 < 6$, więc dla każdego $m \ge -\dfrac{3}{4}$ spełnia nierówność $h(m) < 6$.

Otrzymujemy identyczny zbiór rozwiązań, który nanosimy na oś liczbową:

Odpowiedź:
$m \in (-\infty, -12] \cup \left[-\dfrac{54}{11}, +\infty\right)$

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Rozwiąż dany układ równań, stosując wyznaczniki. a) $\begin{cases} 5x+2y=-1 \\ 3x-4y=7 \end{cases}$ b) $\begin{cases} \sqrt{5}x+3y=8 \\ 2x=6+4\sqrt{5}y \end{cases}$