Twierdzenie o stycznej i siecznej kartkówka - LiczBit

12.5 Twierdzenie o stycznej i siecznej

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (1 pkt)

Przez punkt P leżący na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną P A, gdzie A jest punktem styczności, oraz sieczną, która przecina okrąg w punktach B i C. Wiedząc, że $|PB| = 4 \text{ cm}$ i $|BC| = 5 \text{ cm}$, oblicz długość odcinka $|P A|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z twierdzenia o stycznej i siecznej poprowadzonych z punktu zewnętrznego $P$. Twierdzenie to mówi, że kwadrat długości odcinka stycznej jest równy iloczynowi długości zewnętrznego odcinka siecznej oraz długości całej siecznej:$$|PA|^{2} = |PB| \cdot |PC|$$2) Najpierw oblicz długość całej siecznej $|PC|$. Ponieważ sieczna przechodzi przez punkty $B$ i $C$, jej całkowita długość jest sumą długości odcinka zewnętrznego $|PB|$ oraz cięciwy $|BC|$ znajdującej się wewnątrz okręgu:$$|PC| = |PB| + |BC|$$3) Po obliczeniu $|PC|$, podstaw wszystkie znane wartości do wzoru z punktu 1). Aby wyznaczyć długość $|PA|$, wyciągnij pierwiastek kwadratowy z otrzymanego iloczynu. Pamiętaj, że długość odcinka musi być wartością dodatnią. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie długości całej siecznej $|PC|$. Z treści zadania wiemy, że odcinek zewnętrzny siecznej ma długość $|PB| = 4$ $cm$, a odcinek siecznej leżący wewnątrz okręgu (cięciwa) ma długość $|BC| = 5$ $cm$. Aby otrzymać długość całej siecznej $|PC|$, musimy zsumować te dwie wartości:$$|PC| = |PB| + |BC|$$Podstawiamy dane liczbowe:$$|PC| = 4 + 5$$Wykonujemy dodawanie:$$|PC| = 9$$Długość całej siecznej $|PC|$ wynosi $9$ $cm$. b) Zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej. Mając dane $|PB| = 4$ $cm$ oraz obliczone $|PC| = 9$ $cm$, możemy skorzystać z twierdzenia o stycznej i siecznej, aby wyznaczyć szukany odcinek $|PA|$:$$|PA|^{2} = |PB| \cdot |PC|$$Podstawiamy wartości do równania:$$|PA|^{2} = 4 \cdot 9$$Wykonujemy mnożenie liczby $4$ przez liczbę $9$ po prawej stronie równania:$$|PA|^{2} = 36$$c) Obliczanie długości odcinka $|PA|$. Ostatnim krokiem jest wyznaczenie wartości $|PA|$. Aby pozbyć się potęgi drugiej, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:$$|PA| = \sqrt{36}$$Szukamy liczby, która podniesiona do kwadratu daje $36$. Ponieważ $6 \cdot 6 = 36$, pierwiastek z tej liczby wynosi $6$:$$|PA| = 6$$Długość odcinka stycznej $|PA|$ wynosi $6$ $cm$.

Zadanie 2 (2 pkt)

Przez punkt $P$ leżący na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie sieczne. Pierwsza sieczna przecina okrąg w punktach $A$ i $B$, a druga w punktach $C$ i $D$. Wiedząc, że $|PA| = 3$, $|AB| = 7$ oraz $|PC| = 4$, oblicz długość odcinka $|CD|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Wykorzystaj twierdzenie o siecznych okręgu poprowadzonych z punktu zewnętrznego $P$. Mówi ono, że iloczyn długości odcinka zewnętrznego siecznej i długości całej siecznej jest stały dla każdej siecznej wyprowadzonej z tego samego punktu:$$|PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PD|$$2) Oblicz długość całej pierwszej siecznej $|PB|$. Składa się ona z odcinka zewnętrznego $|PA|$ oraz cięciwy $|AB|$, więc jej długość to suma tych dwóch wartości. 3) Wyznacz długość całej drugiej siecznej $|PD|$ jako sumę odcinka $|PC|$ oraz szukanego odcinka $|CD|$. Podstaw wszystkie dane do wzoru z punktu 1) i rozwiąż powstałe równanie liniowe. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie długości całej pierwszej siecznej $|PB|$. Z treści zadania wiemy, że pierwsza sieczna przecina okrąg w punktach $A$ i $B$. Odcinek $|PA|$ to jej część zewnętrzna, a odcinek $|AB|$ to jej część leżąca wewnątrz okręgu. Cała długość siecznej $|PB|$ jest sumą tych dwóch części:$$|PB| = |PA| + |AB|$$Podstawiamy dane liczbowe $|PA| = 3$ oraz $|AB| = 7$:$$|PB| = 3 + 7$$Wykonujemy dodawanie:$$|PB| = 10$$b) Wyznaczenie wyrażenia na długość całej drugiej siecznej $|PD|$. Druga sieczna przecina okrąg w punktach $C$ i $D$. Jej całkowita długość $|PD|$ to suma odcinka zewnętrznego $|PC|$ oraz szukanego odcinka $|CD|$. Przyjmijmy oznaczenie $|CD| = x$. Wtedy:$$|PD| = |PC| + |CD|$$Podstawiamy znaną wartość $|PC| = 4$:$$|PD| = 4 + x$$c) Zastosowanie twierdzenia o siecznych i ułożenie równania. Korzystamy ze wzoru na iloczyn długości odcinków siecznych:$$|PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PD|$$Podstawiamy wszystkie wartości, które znamy lub wyznaczyliśmy: $|PA| = 3$, $|PB| = 10$, $|PC| = 4$ oraz $|PD| = 4 + x$:$$3 \cdot 10 = 4 \cdot (4 + x)$$Wykonujemy mnożenie po lewej stronie równania:$$30 = 4 \cdot (4 + x)$$Teraz mnożymy liczbę $4$ przez każdy element znajdujący się w nawiasie po prawej stronie:$$30 = 4 \cdot 4 + 4 \cdot x$$$$30 = 16 + 4x$$d) Rozwiązanie równania w celu wyznaczenia $x$. Przenosimy liczbę $16$ na lewą stronę równania, aby oddzielić ją od niewiadomej. Pamiętamy o zmianie znaku na przeciwny:$$30 - 16 = 4x$$Wykonujemy odejmowanie po lewej stronie:$$14 = 4x$$Aby otrzymać wartość $x$, musimy podzielić obie strony równania przez liczbę $4$:$$x = \frac{14}{4}$$Zauważamy, że zarówno licznik, jak i mianownik dzielą się przez $2$. Wykonujemy skracanie ułamka:$$x = \frac{7}{2}$$Aby podać wynik w postaci dziesiętnej, dzielimy $7$ przez $2$:$$x = 3,5$$Odpowiedź: Długość odcinka $|CD|$ wynosi $3,5$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Z punktu P leżącego w odległości 10 od środka okręgu O o promieniu r = 6 poprowadzono styczną P A i sieczną P C B, przechodzącą przez środek O (gdzie A jest punktem styczności, a B i C leżą na okręgu, C jest bliżej P). 1. Oblicz długość odcinka $|PA|$. 2. Wyznacz długości odcinków $|PB|$ i $|PC|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Z punktu P poprowadzono dwie sieczne. Pierwsza sieczna przecina okrąg w punktach A i B, a druga w punktach C i D. Wiadomo, że punkty A i C są bliżej P. Długości odcinków spełniają następujące warunki: $|PA| = |CD|$ $|AB| = 6$ $|PC| = 4$ Oblicz długość odcinka $|PA|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Wykorzystaj twierdzenie o siecznych okręgu poprowadzonych z punktu zewnętrznego $P$. Twierdzenie to mówi, że dla każdej siecznej iloczyn długości jej części zewnętrznej oraz długości całej siecznej jest stały:$$|PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PD|$$2) Wprowadź niewiadomą $x$ pod szukaną długość odcinka $|PA|$. Zauważ, że z treści zadania wynika zależność $|CD| = |PA|$, więc odcinek $|CD|$ również oznacz jako $x$. 3) Wyznacz długości całych siecznych $|PB|$ oraz $|PD|$ jako sumy ich poszczególnych części. Na przykład $|PB| = |PA| + |AB|$. 4) Po podstawieniu wszystkich danych do wzoru otrzymasz równanie kwadratowe. Rozwiąż je, obliczając wyróżnik (deltę). Pamiętaj, że długość odcinka musi być liczbą dodatnią, co pozwoli Ci wybrać właściwy wynik. ROZWIĄZANIE: a) Oznaczenie niewiadomych i wyznaczenie długości całych siecznych. Przyjmijmy, że długość szukanego odcinka $|PA|$ wynosi $x$. Z treści zadania wiemy, że $|PA| = |CD|$, więc długość odcinka $|CD|$ również wynosi $x$. Mamy zatem:$$|PA| = x$$$$|CD| = x$$Długości pozostałych odcinków podane w zadaniu to $|AB| = 6$ oraz $|PC| = 4$. Teraz wyznaczamy długości całych siecznych, które są sumami ich części składowych: Dla pierwszej siecznej długość całego odcinka $|PB|$ wynosi:$$|PB| = |PA| + |AB| = x + 6$$Dla drugiej siecznej długość całego odcinka $|PD|$ wynosi:$$|PD| = |PC| + |CD| = 4 + x$$b) Zastosowanie twierdzenia o siecznych i ułożenie równania. Korzystamy z twierdzenia o siecznych:$$|PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PD|$$Podstawiamy do wzoru nasze wyznaczone wyrażenia oraz dane liczbowe:$$x \cdot (x + 6) = 4 \cdot (4 + x)$$Wykonujemy mnożenie po obu stronach równania. Po lewej stronie mnożymy $x$ przez każdy wyraz w nawiasie, a po prawej mnożymy $4$ przez każdy wyraz w nawiasie:$$x^2 + 6x = 16 + 4x$$Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania, aby po prawej stronie pozostało zero. Pamiętamy o zmianie znaków na przeciwne:$$x^2 + 6x - 4x - 16 = 0$$Redukujemy wyrazy podobne, czyli wykonujemy odejmowanie $6x - 4x$:$$x^2 + 2x - 16 = 0$$c) Rozwiązanie równania kwadratowego. Mamy równanie kwadratowe w postaci $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a = 1$, $b = 2$ oraz $c = -16$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:$$\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c$$$$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)$$Wykonujemy potęgowanie oraz mnożenie (pamiętając, że minus razy minus daje plus):$$\Delta = 4 + 64 = 68$$Obliczamy pierwiastek z delty:$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{68}$$Liczbę $68$ możemy rozłożyć na iloczyn $4 \cdot 17$, co pozwala wyłączyć liczbę przed znak pierwiastka:$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$$Wyznaczamy teraz pierwiastki równania $x_1$ oraz $x_2$:$$x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{17}}{2 \cdot 1} = -1 - \sqrt{17}$$Ponieważ wynik ten jest liczbą ujemną, a długość odcinka musi być dodatnia, odrzucamy to rozwiązanie.$$x_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{17}}{2 \cdot 1} = -1 + \sqrt{17}$$Wynik ten jest dodatni, więc stanowi szukaną długość. Odpowiedź: Długość odcinka $|PA|$ wynosi $-1 + \sqrt{17}$.

Zadanie 5 (5 pkt)

Cięciwy $AB$ i $CD$ mają długość: $|AB| = 20 \text{cm}$, $|CD| = 20 \text{cm}$ i przecinają się w punkcie $P$. Wiedząc, że $|AP| : |CP| = 3$, oblicz długości odcinków $AP, PB, PC, PD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

WSKAZÓWKI: 1) Skorzystaj z twierdzenia o odcinkach cięciw przecinających się wewnątrz koła. Według tego twierdzenia, jeśli dwie cięciwy $AB$ oraz $CD$ przecinają się w punkcie $P$, to iloczyn długości odcinków jednej cięciwy jest równy iloczynowi długości odcinków drugiej cięciwy:$$AP \cdot PB = CP \cdot PD$$2) Pamiętaj, że punkt $P$ leży na cięciwach, więc dzielą się one na dwa odcinki, których suma daje całkowitą długość cięciwy. Możesz to zapisać jako:$$AP + PB = 20$$$$CP + PD = 20$$Z tych równań wyznacz $PB$ oraz $PD$ w zależności od $AP$ i $CP$. 3) Wykorzystaj podany stosunek długości $\frac{AP}{CP} = 3$. Wynika z niego, że odcinek $AP$ jest trzy razy dłuższy od odcinka $CP$. Podstaw tę zależność do równania z twierdzenia o cięciwach, aby otrzymać równanie z jedną niewiadomą. ROZWIĄZANIE: a) Oznaczenie niewiadomych i zapisanie zależności. Przyjmijmy długość odcinka $CP$ jako niewiadomą $x$. Skoro stosunek $\frac{AP}{CP} = 3$, to po pomnożeniu obu stron przez $CP$ otrzymujemy:$$AP = 3 \cdot CP$$Podstawiając naszą niewiadomą $x$, mamy:$$AP = 3 \cdot x$$Wiemy, że całe cięciwy mają długość $20$ $cm$. Możemy teraz zapisać długości pozostałych odcinków:$$PB = AB - AP = 20 - 3x$$$$PD = CD - CP = 20 - x$$b) Zastosowanie twierdzenia o cięciwach. Podstawiamy wyznaczone wyrażenia do wzoru $AP \cdot PB = CP \cdot PD$:$$3x \cdot (20 - 3x) = x \cdot (20 - x)$$Ponieważ $x$ reprezentuje długość odcinka $CP$, musi być liczbą dodatnią. Możemy więc podzielić obie strony równania przez $x$:$$3 \cdot (20 - 3x) = 20 - x$$c) Rozwiązanie równania stopnia pierwszego. Najpierw mnożymy liczbę $3$ przez każdy element w nawiasie po lewej stronie:$$3 \cdot 20 - 3 \cdot 3x = 20 - x$$$$60 - 9x = 20 - x$$Teraz przenosimy wyrażenia z niewiadomą $x$ na prawą stronę, a liczby na lewą stronę, pamiętając o zmianie znaków na przeciwne. Dodajemy $9x$ do obu stron i odejmujemy $20$ od obu stron:$$60 - 20 = 9x - x$$Wykonujemy odejmowanie po obu stronach:$$40 = 8x$$Aby wyznaczyć $x$, dzielimy obie strony równania przez $8$:$$x = \frac{40}{8}$$$$x = 5$$d) Obliczenie długości wszystkich szukanych odcinków. Mając wartość $x = 5$, obliczamy poszczególne długości: 1. Odcinek $CP$ jest równy $x$, czyli:$$CP = 5$$$cm$. 2. Odcinek $AP$ jest równy $3x$, czyli:$$AP = 3 \cdot 5 = 15$$$cm$. 3. Odcinek $PB$ obliczamy odejmując $AP$ od całości:$$PB = 20 - 15 = 5$$$cm$. 4. Odcinek $PD$ obliczamy odejmując $CP$ od całości:$$PD = 20 - 5 = 15$$$cm$. Ostatecznie długości odcinków to: $AP = 15$ $cm$, $PB = 5$ $cm$, $PC = 5$ $cm$, $PD = 15cm$.

Grupa B

Zadanie 1 (1 pkt)

Przez punkt P leżący na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną P A, gdzie A jest punktem styczności, oraz sieczną, która przecina okrąg w punktach B i C. Wiedząc, że $|PB| = 3 \text{ cm}$ i $|BC| = 6 \text{ cm}$, oblicz długość odcinka $|PA|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Przez punkt $P$ leżący na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie sieczne. Pierwsza sieczna przecina okrąg w punktach $A$ i $B$, a druga w punktach $C$ i $D$. Wiedząc, że $|PA| = 5$, $|AB| = 7$ oraz $|PC| = 6$, oblicz długość odcinka $|CD|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Z punktu P leżącego w odległości 13 od środka okręgu O o promieniu r = 5 poprowadzono styczną P A i sieczną P C B, przechodzącą przez środek O (gdzie A jest punktem styczności, a B i C leżą na okręgu, C jest bliżej P). 1. Oblicz długość odcinka $|PA|$. 2. Wyznacz długości odcinków $|PB|$ i $|PC|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

Z punktu P poprowadzono dwie sieczne. Pierwsza sieczna przecina okrąg w punktach A i B, a druga w punktach C i D. Wiadomo, że punkty A i C są bliżej P. Długości odcinków spełniają następujące warunki: $|PA| = |CD|$ $|AB| = 8$ $|PC| = 6$ Oblicz długość odcinka $|PA|$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (5 pkt)

Cięciwy $AB$ i $CD$ mają długość: $|AB| = 10 \text{cm}$, $|CD| = 10 \text{cm}$ i przecinają się w punkcie $P$. Wiedząc, że $|AP| : |CP| = 4$, oblicz długości odcinków $AP, PB, PC, PD$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi