WSKAZÓWKI: 1) Rozpocznij od obliczenia wysokości $CD$ trójkąta równoramiennego $ABC$ opuszczonej na podstawę $AB$. Skorzystaj z faktu, że w trójkącie równoramiennym wysokość ta dzieli podstawę na dwie równe części, a następnie zastosuj twierdzenie Pitagorasa w jednym z powstałych trójkątów prostokątnych ($ADC$ lub $BDC$). 2) Zauważ, że punkt $P$ jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta, co oznacza, że jest on środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Z własności symetralnej wynika, że punkt $P$ leży na wysokości $CD$ (ponieważ wysokość ta jest jednocześnie symetralną podstawy $AB$) oraz jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków trójkąta ($|AP| = |BP| = |CP|$). 3) Oznacz długość odcinka $|CP|$ jako niewiadomą $x$. Wówczas długość pozostałej części wysokości, czyli odcinka $|PD|$, będzie różnicą między całą wysokością $|CD|$ a odcinkiem $x$. 4) Zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $PDB$. Wykorzystaj wyznaczoną długość odcinka $DB$ oraz wyrażenia opisujące boki $PD$ i $PB$ (pamiętając, że $|PB| = |CP| = x$), aby ułożyć i rozwiązać równanie z jedną niewiadomą. ROZWIĄZANIE: a) Obliczanie wysokości $CD$ trójkąta. W trójkącie równoramiennym $ABC$ o podstawie $AB = 30$ i ramionach $AC = BC = 25$, wysokość $CD$ opuszczona na podstawę dzieli ją na dwa równe odcinki. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$, więc długość odcinka $AD$ oraz $DB$ wynosi:$$|AD| = |DB| = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$$Rozważamy trójkąt prostokątny $ADC$. Z twierdzenia Pitagorasa mamy zależność:$$|AD|^{2} + |CD|^{2} = |AC|^{2}$$Podstawiamy znane wartości $|AD| = 15$ oraz $|AC| = 25$:$$15^{2} + |CD|^{2} = 25^{2}$$Wykonujemy potęgowanie liczb:$$225 + |CD|^{2} = 625$$Przenosimy liczbę $225$ na prawą stronę równania ze zmianą znaku:$$|CD|^{2} = 625 - 225$$$$|CD|^{2} = 400$$Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:$$|CD| = \sqrt{400} = 20$$Cała wysokość trójkąta ma długość $20$. b) Określenie zależności między odcinkami na wysokości. Punkt $P$ leży na symetralnej boku $AB$, którą jest linia zawierająca wysokość $CD$. Punkt $P$ leży również na symetralnej boku $BC$. Z własności symetralnych wiemy, że punkt ich przecięcia jest równo oddalony od wierzchołków trójkąta. Zatem:$$|CP| = |BP|$$Oznaczmy długość odcinka $|CP|$ jako $x$. Ponieważ punkt $P$ leży na odcinku $CD$, to odcinek $|PD|$ możemy zapisać jako różnicę całej wysokości i odcinka $x$:$$|CP| = x$$$$|PD| = 20 - x$$Długość odcinka $|BP|$ jest taka sama jak $|CP|$, czyli:$$|BP| = x$$c) Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $PDB$ i rozwiązanie równania. W trójkącie prostokątnym $PDB$ znamy długości boku $|DB| = 15$ oraz wyrażenia opisujące pozostałe boki: $|PD| = 20 - x$ oraz $|BP| = x$. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:$$|PD|^{2} + |DB|^{2} = |BP|^{2}$$Podstawiamy nasze wyrażenia:$$\left(20 - x\right)^{2} + 15^{2} = x^{2}$$Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dla wyrażenia $\left(20 - x\right)^{2}$:$$400 - 40x + x^{2} + 225 = x^{2}$$Po obu stronach równania występuje wyraz $x^{2}$, więc możemy go odjąć od obu stron. Dodajemy do siebie liczby $400$ i $225$:$$625 - 40x = 0$$Przenosimy wyrażenie z niewiadomą na prawą stronę zmieniając znak:$$625 = 40x$$Dzielimy obie strony równania przez $40$:$$x = \frac{625}{40}$$Skracamy ułamek przez $5$:$$x = \frac{125}{8}$$Wykonujemy dzielenie, aby otrzymać postać dziesiętną:$$x = 15,625$$d) Wyznaczenie obu części wysokości. Pierwsza część wysokości to odcinek $|CP|$, który oznaczyliśmy jako $x$:$$|CP| = 15,625$$Druga część wysokości to odcinek $|PD|$, który obliczamy odejmując $x$ od całej wysokości:$$|PD| = 20 - 15,625 = 4,375$$Odpowiedź: Punkt $P$ podzielił wysokość na odcinki o długościach $15,625$ oraz $4,375$.