Równania wielomianowe z parametrem kartkówka

16.15 Równania wielomianowe z parametrem

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których jedno z rozwiązań równania$$2x^3 + (p - 5)x^2 - 8x = 0$$jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych rozwiązań.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których równanie $(x - 1)[x^2 - (p - 2)x - p + 1] = 0$ ma dwa rozwiązania.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Równanie ma postać $(x - 1)W(x) = 0$, gdzie $W(x) = x^2 - (p - 2)x - p + 1$. Jednym z rozwiązań równania jest zawsze $x_1 = 1$. Aby równanie miało dokładnie dwa rozwiązania, muszą zajść następujące przypadki: 1. Równanie kwadratowe $W(x) = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, które nie jest równe $1$. 2. Równanie kwadratowe $W(x) = 0$ ma dwa różne rozwiązania, z których jedno jest równe $1$. Analiza równania kwadratowego $W(x) = x^2 - (p - 2)x - p + 1 = 0$: Współczynniki to $a = 1$, $b = -(p - 2)$, $c = -p + 1$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = b^2 - 4ac \]\[ \Delta = (-(p - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p + 1) \]\[ \Delta = (p - 2)^2 + 4p - 4 \]\[ \Delta = p^2 - 4p + 4 + 4p - 4 \]\[ \Delta = p^2 \]Przypadek 1: $\Delta = 0$ i rozwiązanie $W(x) = 0$ jest różne od $1$. Z warunku $\Delta = 0$ otrzymujemy:\[ p^2 = 0 \implies p = 0 \]Podstawiamy $p = 0$ do równania kwadratowego $W(x) = 0$:\[ x^2 - (0 - 2)x - 0 + 1 = 0 \]\[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]\[ (x + 1)^2 = 0 \]\[ x = -1 \]Rozwiązaniem równania kwadratowego jest $x = -1$. Ponieważ $x = -1 \neq 1$, ten przypadek jest spełniony. Dla $p = 0$ równanie ma rozwiązania $x = 1$ i $x = -1$, które są dwoma różnymi rozwiązaniami. Przypadek 2: $\Delta > 0$ i $x = 1$ jest rozwiązaniem $W(x) = 0$. Z warunku $\Delta > 0$ otrzymujemy:\[ p^2 > 0 \implies p \neq 0 \]Podstawiamy $x = 1$ do równania kwadratowego $W(x) = 0$:\[ W(1) = 1^2 - (p - 2)(1) - p + 1 = 0 \]\[ 1 - p + 2 - p + 1 = 0 \]\[ 4 - 2p = 0 \]\[ 2p = 4 \]\[ p = 2 \]Sprawdzamy warunek $\Delta > 0$ dla $p = 2$: $\Delta = 2^2 = 4 > 0$. Warunek jest spełniony. Dla $p = 2$ równanie kwadratowe $x^2 - (2 - 2)x - 2 + 1 = 0$ upraszcza się do $x^2 - 1 = 0$. Jego rozwiązania to $x = 1$ i $x = -1$. W połączeniu z pierwszym czynnikiem $(x - 1)$, zbiór rozwiązań oryginalnego równania to $\{1, -1\}$, co daje dwa różne rozwiązania. Finalna odpowiedź: Wartości parametru $p$, dla których równanie ma dwa rozwiązania, to $p = 0$ oraz $p = 2$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Pokaż, że dla każdej wartości parametru $m$ równanie $x^3 - x^2 + (m^2 + 3)x - m^2 - 3 = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^4 + 7mx^2 + 6m^2 + 4m = 0$ ma trzy rozwiązania.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Niech $y = x^2$. Wtedy równanie $x^4 + 7mx^2 + 6m^2 + 4m = 0$ przekształca się w równanie kwadratowe zmiennej $y$:\[ y^2 + 7my + (6m^2 + 4m) = 0 \]Aby wyjściowe równanie miało dokładnie trzy rozwiązania, równanie kwadratowe dla $y$ musi mieć dwa pierwiastki rzeczywiste: jeden równy $0$ i jeden dodatni. Jeśli $y=0$ jest pierwiastkiem równania kwadratowego, to wyraz wolny musi być równy zero:\[ 6m^2 + 4m = 0 \]Wyłączamy $2m$ przed nawias:\[ 2m(3m + 2) = 0 \]Zatem, możliwe wartości $m$ to:\[ 2m = 0 \quad \text{lub} \quad 3m + 2 = 0 \]\[ m = 0 \quad \text{lub} \quad m = -\frac{2}{3} \]Rozważmy te dwa przypadki. 1. Dla $m = 0$: Podstawiamy $m=0$ do równania kwadratowego dla $y$: \[ y^2 + 7(0)y + (6(0)^2 + 4(0)) = 0 \] \[ y^2 = 0 \] To równanie ma jeden pierwiastek $y=0$ (pierwiastek podwójny). Z $y = x^2$ otrzymujemy $x^2 = 0$, co daje tylko jedno rozwiązanie $x=0$. Ten przypadek nie spełnia warunku trzech rozwiązań. 2. Dla $m = -\frac{2}{3}$: Podstawiamy $m = -\frac{2}{3}$ do równania kwadratowego dla $y$: \[ y^2 + 7\left(-\frac{2}{3}\right)y + \left(6\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = 0 \] \[ y^2 - \frac{14}{3}y + \left(6\left(\frac{4}{9}\right) - \frac{8}{3}\right) = 0 \] \[ y^2 - \frac{14}{3}y + \left(\frac{24}{9} - \frac{8}{3}\right) = 0 \] \[ y^2 - \frac{14}{3}y + \left(\frac{8}{3} - \frac{8}{3}\right) = 0 \] \[ y^2 - \frac{14}{3}y = 0 \] Wyłączamy $y$ przed nawias: \[ y\left(y - \frac{14}{3}\right) = 0 \] Pierwiastkami tego równania są $y_1 = 0$ i $y_2 = \frac{14}{3}$. Rozważmy te pierwiastki w kontekście $x^2 = y$: Dla $y_1 = 0$:\[ x^2 = 0 \]\[ x = 0 \]Dla $y_2 = \frac{14}{3}$: \[ x^2 = \frac{14}{3} \]\[ x = \pm\sqrt{\frac{14}{3}} \]\[ x = \pm\frac{\sqrt{42}}{3} \]W tym przypadku otrzymujemy trzy różne rozwiązania dla $x$: $x=0$, $x=\frac{\sqrt{42}}{3}$ i $x=-\frac{\sqrt{42}}{3}$. Ten przypadek spełnia warunek trzech rozwiązań. Zatem jedyną wartością parametru $m$, dla której równanie ma trzy rozwiązania, jest $m = -\frac{2}{3}.$

Zadanie 5 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k, k \in \mathbb{R}$, dla których równanie $(x-2) \cdot (x^2 + kx + 5) = 0$ ma dwa rozwiązania.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Rozwiązujemy równanie $(x-2) \cdot (x^2 + kx + 5) = 0$. To równanie ma rozwiązania, jeśli $x-2 = 0$ lub $x^2 + kx + 5 = 0$. Z pierwszego członu otrzymujemy rozwiązanie:\[ x_1 = 2 \]Chcemy, aby całe równanie miało dokładnie dwa różne rozwiązania. Rozważamy równanie kwadratowe $x^2 + kx + 5 = 0$. Wyróżnik tego równania to:\[ \Delta = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = k^2 - 20 \]Przypadek 1: Równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie, które nie jest równe $2$. Dla jednego rozwiązania wyróżnik musi być równy zero:\[ \Delta = 0 \]\[ k^2 - 20 = 0 \]\[ k^2 = 20 \]\[ k = \pm \sqrt{20} \]\[ k = \pm 2\sqrt{5} \]Dla $k = 2\sqrt{5}$: równanie kwadratowe to $x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$, czyli $(x+\sqrt{5})^2 = 0$. Rozwiązaniem jest $x = -\sqrt{5}$. Sprawdzamy, czy to rozwiązanie jest równe $2$:\[ -\sqrt{5} \ne 2 \]Dla $k = -2\sqrt{5}$: równanie kwadratowe to $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$, czyli $(x-\sqrt{5})^2 = 0$. Rozwiązaniem jest $x = \sqrt{5}$. Sprawdzamy, czy to rozwiązanie jest równe $2$:\[ \sqrt{5} \ne 2 \]Obie wartości $k = 2\sqrt{5}$ i $k = -2\sqrt{5}$ prowadzą do dwóch różnych rozwiązań całego równania: $x=2$ i $x=-\sqrt{5}$ (dla $k=2\sqrt{5}$) lub $x=2$ i $x=\sqrt{5}$ (dla $k=-2\sqrt{5}$). Przypadek 2: Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, a jedno z nich jest równe $2$. Dla dwóch różnych rozwiązań wyróżnik musi być większy od zera:\[ \Delta > 0 \]\[ k^2 - 20 > 0 \]\[ k^2 > 20 \]\[ k \in (-\infty, -2\sqrt{5}) \cup (2\sqrt{5}, \infty) \]Jeśli $x=2$ jest jednym z rozwiązań równania kwadratowego, to musi je spełniać:\[ (2)^2 + k \cdot (2) + 5 = 0 \]\[ 4 + 2k + 5 = 0 \]\[ 9 + 2k = 0 \]\[ 2k = -9 \]\[ k = -\frac{9}{2} \]Sprawdzamy warunek $\Delta > 0$ dla $k=-\frac{9}{2}$:\[ \Delta = \left(-\frac{9}{2}\right)^2 - 20 = \frac{81}{4} - \frac{80}{4} = \frac{1}{4} \]Ponieważ $\frac{1}{4} > 0$, to dla $k=-\frac{9}{2}$ równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania. Rozwiązania równania $x^2 - \frac{9}{2}x + 5 = 0$:\[ x = \frac{-\left(-\frac{9}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{1}{4}}}{2} \]\[ x = \frac{\frac{9}{2} \pm \frac{1}{2}}{2} \]Rozwiązaniami są $x = \frac{\frac{9}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{2}$ oraz $x = \frac{\frac{9}{2} - \frac{1}{2}}{2} = 2$. Zatem dla $k=-\frac{9}{2}$ rozwiązania całego równania $(x-2)(x^2+kx+5)=0$ to $x=2$ (podwójne) oraz $x=\frac{5}{2}$. W rezultacie mamy dwa różne rozwiązania: $x=2$ i $x=\frac{5}{2}$. Przypadek 3: Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Dla braku rozwiązań rzeczywistych wyróżnik musi być mniejszy od zera:\[ \Delta < 0 \]\[ k^2 - 20 < 0 \]\[ k^2 < 20 \]\[ k \in (-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}) \]W tym przypadku jedynym rozwiązaniem całego równania byłoby $x=2$, co daje tylko jedno rozwiązanie, a nie dwa. Zatem ten przypadek nie spełnia warunków zadania. Podsumowując, wartości parametru $k$, dla których równanie ma dokładnie dwa rozwiązania, to te znalezione w Przypadku 1 i Przypadku 2.\[ k \in \left\{-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, -\frac{9}{2}\right\} \]

Grupa B

Zadanie 1 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których jedno z rozwiązań równania$$4x^3 + (p - 1)x^2 - 12x = 0$$jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych rozwiązań.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których równanie $(x - 3)[x^2 - (p - 2)x - p + 1] = 0$ ma dwa rozwiązania.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Pokaż, że dla każdej wartości parametru $m$ równanie $x^3 - x^2 + (m^2 + 5)x - m^2 - 5 = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^4 + 9mx^2 + 3m^2 + 2m = 0$ ma trzy rozwiązania.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k, k \in \mathbb{R}$, dla których równanie $(x+3) \cdot (x^2 + kx + 7) = 0$ ma dwa rozwiązania.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

16.15 Równania wielomianowe z parametrem

Grupa A

Zadanie 1 (5 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (5 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (5 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (3 pkt)

Zadanie 4 (5 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋