Równania liniowe z wartością bezwzględną i parametrem kartkówka

10.10 Równania liniowe z wartością bezwzględną i parametrem

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, $m \in \mathbb{R}$, dla których równanie:

a) $|x| = 7 + 7m$ ma dwa rozwiązania

b) $(49m^2 - 9)|5 - 4x| - 7m + 3 = 0$ jest tożsamościowe.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza liczby rozwiązań równania z modułem: Równanie postaci $|W| = c$ analizujemy w zależności od znaku prawej strony: posiada dokładnie dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $c > 0$; jedno rozwiązanie, gdy $c = 0$; oraz zero rozwiązań (jest sprzeczne), gdy $c < 0$.
Warunek istnienia dwóch rozwiązań w podpunkcie a): W równaniu $|x| = 7 + 7m$ całe wyrażenie stojące po prawej stronie musi być ściśle dodatnie ($7 + 7m > 0$). Rozwiązujemy otrzymaną prostą nierówność liniową z niewiadomą $m$.
Definicja równania tożsamościowego w podpunkcie b): Równanie jest tożsamościowe, gdy spełnia je każda liczba rzeczywista ($x \in \mathbb{R}$). Po uporządkowaniu równania do postaci $A(m) \cdot |5 - 4x| = B(m)$ zauważamy, że wartość modułu zmienia się w zależności od $x$, podczas gdy prawa strona jest stała. Jedyną możliwością uzyskania tożsamości dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$ jest jednoczesne wyzerowanie się obu stron: $A(m) = 0$ oraz $B(m) = 0$.
Rozkład na czynniki i weryfikacja przypadków: Współczynnik $49m^2 - 9$ rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Następnie sprawdzamy, dla których wartości parametru obie strony równania jednocześnie stają się zerem (dając tożsamość $0 = 0$), a dla których równanie staje się sprzeczne ($0 = c \ne 0$).
Czego unikać (częsta pułapka): W podpunkcie a) nie dopuszczaj równości ze zerem ($7 + 7m \ge 0$) – dla wartości zerowej równanie $|x| = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie ($x = 0$), a nie dwa. W podpunkcie b) częstym błędem jest mechaniczne przyjęcie obu pierwiastków $m = \pm \dfrac{3}{7}$ bez weryfikacji prawej strony równania – dla $m = -\dfrac{3}{7}$ prawa strona wynosi $-6$, co daje równanie sprzeczne ($0 = -6$), a nie tożsamościowe.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wartości parametru $m$, dla których równanie $|x| = 7 + 7m$ ma dwa rozwiązania:
Zgodnie z własnościami wartości bezwzględnej równanie $|x| = c$ posiada dokładnie dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest liczbą ściśle dodatnią: $$c > 0$$ W naszym równaniu $c = 7 + 7m$, zatem układamy nierówność: $$7 + 7m > 0$$ Rozwiązujemy nierówność liniową: $$\begin{aligned} 7m &> -7 \quad / :7 \\[8pt] m &> -1 \end{aligned}$$ Dzielimy przez liczbę dodatnią $7$, więc zwrot nierówności pozostaje bez zmian. Otrzymujemy przedział: $$m \in (-1, +\infty)$$
Podpunkt b) Wyznaczamy wartości parametru $m$, dla których równanie $(49m^2 - 9)|5 - 4x| - 7m + 3 = 0$ jest tożsamościowe:
W pierwszym kroku porządkujemy równanie, przenosząc wyrazy wolne na prawą stronę: $$(49m^2 - 9)|5 - 4x| = 7m - 3$$ Równanie z niewiadomą $x$ jest tożsamościowe, gdy spełnia je każda liczba rzeczywista ($x \in \mathbb{R}$). Ponieważ wyrażenie $|5 - 4x|$ zależy od zmiennej $x$ i przyjmuje różne wartości nieujemne, lewa strona może być stała i równa prawej stronie dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$ tylko wtedy, gdy współczynnik przy module jest równy zero, a prawa strona jednocześnie również wynosi zero: $$\begin{cases} 49m^2 - 9 = 0 \\[6pt] 7m - 3 = 0 \end{cases}$$ Rozwiązujemy oba równania: - Rozkładamy lewy współczynnik ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $$\begin{aligned} 49m^2 - 9 &= 0 \\[8pt] (7m - 3)(7m + 3) &= 0 \\[8pt] 7m - 3 = 0 \quad &\lor \quad 7m + 3 = 0 \\[8pt] m = \dfrac{3}{7} \quad &\lor \quad m = -\dfrac{3}{7} \end{aligned}$$ - Z drugiego warunku (zerowanie prawej strony): $$\begin{aligned} 7m - 3 &= 0 \\[8pt] 7m &= 3 \\[8pt] m &= \dfrac{3}{7} \end{aligned}$$ Sprawdzamy poszczególne przypadki: - Dla $m = \dfrac{3}{7}$: $$\begin{aligned} \left[49 \cdot \left(\dfrac{3}{7}\right)^2 - 9\right]|5 - 4x| &= 7 \cdot \dfrac{3}{7} - 3 \\[8pt] (9 - 9)|5 - 4x| &= 3 - 3 \\[8pt] 0 \cdot |5 - 4x| &= 0 \\[8pt] 0 &= 0 \end{aligned}$$ Równość $0 = 0$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$, co oznacza, że równanie jest tożsamościowe. - Dla $m = -\dfrac{3}{7}$: Współczynnik przy module wynosi zero, natomiast prawa strona: $$7 \cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right) - 3 = -3 - 3 = -6$$ Równanie przyjmuje postać $0 = -6$, co jest sprzecznością – w tym przypadku równanie nie posiada żadnych rozwiązań ($x \in \emptyset$). - Dla pozostałych wartości $m \in \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{3}{7}, \dfrac{3}{7}\right\}$: Możemy podzielić obie strony przez $49m^2 - 9 \ne 0$: $$|5 - 4x| = \dfrac{7m - 3}{(7m - 3)(7m + 3)} = \dfrac{1}{7m + 3}$$ Równanie to ma postać $|5 - 4x| = c$ ze stałą liczbą $c$, zatem posiada co najwyżej dwa rozwiązania (nie może być tożsamościowe).

Ostatecznie równanie jest tożsamościowe wyłącznie dla liczby: $$m = \dfrac{3}{7}$$

Odpowiedź:
a) $m \in (-1, +\infty)$

b) $m = \dfrac{3}{7}$

Zadanie 2 (5 pkt)

Ustal liczbę rozwiązań danego równania z niewiadomą $x$ ze względu na wartość parametru $k, \; k \in \mathbb{R}$:

a) $k \cdot |x - 2| = k^2$

b) $|k + 3| \cdot |x - 1| = |10 - 10x| + 2$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i uporządkowanie równania: W obu równaniach niewiadomą jest $x$, a litera $k$ oznacza stały parametr liczbowy. Zanim zaczniesz rozpatrywać przypadki, doprowadź równanie do postaci iloczynowej ze zgrupowaną wartością bezwzględną niewiadomej: $$ M(k) \cdot |x - x_0| = C(k) $$ W podpunkcie b) wykorzystaj najpierw własność wartości bezwzględnej: $|10 - 10x| = |(-10)(x - 1)| = 10|x - 1|$, co pozwoli wyłączyć wspólny czynnik $|x - 1|$ przed nawias.
Badanie przypadku zerowania się współczynnika przy module: Zawsze w pierwszej kolejności zbadaj sytuację, w której współczynnik stojący przy wartości bezwzględnej jest równy zero:
- jeśli po podstawieniu otrzymasz tożsamość $0 = 0$, równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$),
- jeśli otrzymasz sprzeczność $0 = c$ (gdzie $c \neq 0$), równanie ma 0 rozwiązań.
Izolacja modułu i analiza znaku prawej strony: Gdy współczynnik przy module jest różny od zera, podziel przez niego obie strony, uzyskując postać bazową $|x - x_0| = P(k)$. Liczba rozwiązań zależy wówczas bezpośrednio od znaku wyrażenia $P(k)$:
- jeśli $P(k) < 0$, równanie ma 0 rozwiązań (moduł nie może być liczbą ujemną),
- jeśli $P(k) = 0$, równanie ma dokładnie 1 rozwiązanie ($x = x_0$),
- jeśli $P(k) > 0$, równanie ma dokładnie 2 różne rozwiązania ($x - x_0 = P(k)$ lub $x - x_0 = -P(k)$).
Weryfikacja i podsumowanie w przedziałach: Zbierz wszystkie cząstkowe warunki dla parametru $k$ i zapisz ostateczną liczbę rozwiązań w postaci czytelnych przedziałów liczbowych.
Czego unikać (częsta pułapka): Kategorycznie unikaj dzielenia obu stron przez parametr bez uprzedniego sprawdzenia, czy nie jest on zerem. W podpunkcie a) bezpośrednie podzielenie przez $k$ bez zbadania przypadku $k = 0$ powoduje utratę rozwiązania tożsamościowego! W podpunkcie b) pamiętaj, że $|10 - 10x| = 10|x - 1|$, a nie $10(x - 1)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Ustalamy liczbę rozwiązań równania $k \cdot |x - 2| = k^2$:
Współczynnikiem stojącym przy wartości bezwzględnej $|x - 2|$ jest sam parametr $k$. Rozpatrujemy dwa przypadki:

Przypadek 1: $k = 0$
Podstawiamy $k = 0$ bezpośrednio do wyjściowego równania: $$ 0 \cdot |x - 2| = 0^2 \iff 0 = 0 $$ Równanie jest tożsamościowe – każda liczba rzeczywista $x$ spełnia to równanie.
Zatem dla $k = 0$ równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$).

Przypadek 2: $k \neq 0$
Ponieważ $k \neq 0$, możemy obustronnie podzielić równanie przez $k$: $$ |x - 2| = \dfrac{k^2}{k} \iff |x - 2| = k $$ Ponieważ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ wartość bezwzględna jest nieujemna ($|x - 2| \ge 0$), liczba rozwiązań zależy od znaku prawej strony:
- Dla $k < 0$: lewa strona jest nieujemna, a prawa ujemna. Równanie jest sprzeczne i ma 0 rozwiązań.
- Dla $k > 0$: prawa strona jest dodatnia. Równanie rozbija się na dwa przypadki: $$ x - 2 = k \implies x = 2 + k \quad \text{lub} \quad x - 2 = -k \implies x = 2 - k $$ Ponieważ $k > 0$, liczby $2 + k$ oraz $2 - k$ są różne, więc równanie posiada dokładnie 2 rozwiązania.
Podsumowanie dla podpunktu a):
- dla $k \in (-\infty, 0)$: 0 rozwiązań,
- dla $k = 0$: nieskończenie wiele rozwiązań,
- dla $k \in (0, +\infty)$: 2 rozwiązania.
Podpunkt b) Ustalamy liczbę rozwiązań równania $|k + 3| \cdot |x - 1| = |10 - 10x| + 2$:
W pierwszym kroku przekształcamy wyrażenie $|10 - 10x|$, wyłączając liczbę $-10$ przed nawias pod wartością bezwzględną: $$ |10 - 10x| = |(-10)(x - 1)| = |-10| \cdot |x - 1| = 10|x - 1| $$ Wstawiamy otrzymaną postać do równania: $$ |k + 3| \cdot |x - 1| = 10|x - 1| + 2 $$ Przenosimy wyrazy zawierające $|x - 1|$ na lewą stronę: $$ |k + 3| \cdot |x - 1| - 10|x - 1| = 2 $$ Wyłączamy wspólny czynnik $|x - 1|$ przed nawias: $$ (|k + 3| - 10) \cdot |x - 1| = 2 $$ Badamy zachowanie równania w zależności od wartości współczynnika $|k + 3| - 10$:

Przypadek 1: $|k + 3| - 10 = 0$
Rozwiązujemy równanie z modułem: $$ \begin{aligned} |k + 3| &= 10 \\[8pt] k + 3 = 10 \quad &\text{lub} \quad k + 3 = -10 \\[8pt] k = 7 \quad &\text{lub} \quad k = -13 \end{aligned} $$ Dla $k \in \{-13, 7\}$ lewa strona równania redukuje się do zera: $$ 0 \cdot |x - 1| = 2 \iff 0 = 2 $$ Otrzymujemy sprzeczność, co oznacza, że dla tych wartości parametru równanie ma 0 rozwiązań.

Przypadek 2: $|k + 3| - 10 \neq 0$ (czyli $k \in \mathbb{R} \setminus \{-13, 7\}$)
Dzielimy obie strony równania przez wyrażenie $(|k + 3| - 10)$: $$ |x - 1| = \dfrac{2}{|k + 3| - 10} $$ Zauważmy, że licznik ułamka jest dodatni ($2 > 0$). O znaku prawej strony decyduje wyłącznie mianownik $|k + 3| - 10$:
- Mianownik ujemny ($|k + 3| - 10 < 0$): $$ \begin{aligned} |k + 3| &< 10 \\[8pt] -10 &< k + 3 < 10 \\[8pt] -13 &< k < 7 \end{aligned} $$ Gdy $k \in (-13, 7)$, prawa strona jest ujemna: $$ \dfrac{2}{|k + 3| - 10} < 0 $$ Ponieważ $|x - 1| \ge 0$, równanie nie ma rozwiązań (0 rozwiązań).
  Łącząc ten przedział z Przypadkiem 1, otrzymujemy, że dla każdego $k \in [-13, 7]$ równanie ma 0 rozwiązań.
- Mianownik dodatni ($|k + 3| - 10 > 0$): $$ \begin{aligned} |k + 3| &> 10 \\[8pt] k + 3 < -10 \quad &\text{lub} \quad k + 3 > 10 \\[8pt] k < -13 \quad &\text{lub} \quad k > 7 \end{aligned} $$ Gdy $k \in (-\infty, -13) \cup (7, +\infty)$, prawa strona jest ściśle dodatnia: $$ \dfrac{2}{|k + 3| - 10} > 0 $$ Równanie postaci $|x - 1| = C$ (dla $C > 0$) posiada dokładnie 2 rozwiązania: $$ x - 1 = \dfrac{2}{|k + 3| - 10} \implies x = 1 + \dfrac{2}{|k + 3| - 10} $$ $$ \text{lub} \quad x - 1 = -\dfrac{2}{|k + 3| - 10} \implies x = 1 - \dfrac{2}{|k + 3| - 10} $$
Uwaga: Prawa strona równania nigdy nie przyjmuje wartości $0$ (licznik wynosi stale $2$), co oznacza, że równanie nigdy nie ma dokładnie jednego rozwiązania.

Podsumowanie dla podpunktu b):
- dla $k \in [-13, 7]$: 0 rozwiązań,
- dla $k \in (-\infty, -13) \cup (7, +\infty)$: 2 rozwiązania.

Odpowiedź:
a)
• dla $k \in (-\infty, 0)$: 0 rozwiązań (brak rozwiązań)
• dla $k = 0$: nieskończenie wiele rozwiązań ($x \in \mathbb{R}$)
• dla $k \in (0, +\infty)$: 2 rozwiązania

b)
• dla $k \in [-13, 7]$: 0 rozwiązań (brak rozwiązań)
• dla $k \in (-\infty, -13) \cup (7, +\infty)$: 2 rozwiązania

Zadanie 3 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, $k \in \mathbb{R}$, dla których równanie: $|x + 5| = 3 + 2k$ ma dwa rozwiązania ujemne.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Równanie ma postać $|x + 5| = m$, gdzie $m = 3 + 2k$. Ponieważ lewa strona przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, równanie posiada dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest ściśle dodatnia: $3 + 2k > 0$.
Główna metoda i powiązanie pojęciowe: Zadanie można rozwiązać na dwa równoważne sposoby:
• Algebraicznie: korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozbij równanie na dwa przypadki: $x + 5 = 3 + 2k$ lub $x + 5 = -(3 + 2k)$. Wyznacz oba pierwiastki w zależności od $k$ i ułóż układ nierówności wymuszający, aby oba były ujemne ($x_1 < 0$ oraz $x_2 < 0$).
• Graficznie: zinterpretuj lewą stronę jako wykres funkcji $y = |x + 5|$, a prawą stronę jako poziomą prostą $y = 3 + 2k$. Dwa ujemne rozwiązania oznaczają, że prosta musi przecinać oba ramiona wykresu na lewo od osi $OY$.
Kolejność operacji i przekształceń: Rozwiąż nierówność warunkową na istnienie dwóch rozwiązań ($k > -\frac{3}{2}$), wyznacz rozwiązania $x_1 = 2k - 2$ oraz $x_2 = -2k - 8$, a następnie wyznacz część wspólną otrzymanych warunków na parametr $k$.
Interpretacja i weryfikacja końcowa: Zauważ, że mniejszy pierwiastek $x_2 = -5 - (3 + 2k)$ jest ujemny dla każdego $3 + 2k > 0$, więc decydującym warunkiem staje się ujemność większego pierwiastka: $x_1 < 0 \iff 2k - 2 < 0 \iff k < 1$. Sprawdź poprawność wyniku, podstawiając wartość próbną, np. $k = 0 \in (-1{,}5; 1)$, dla której równanie przyjmuje postać $|x + 5| = 3$ i daje pierwiastki $x = -2$ oraz $x = -8$ (oba ujemne).
Czego unikać (częsta pułapka): Nie myl nierówności ostrej ze słabą. Liczba $0$ nie jest liczbą ujemną, więc warunek $x_1 \le 0$ byłby błędem – dla $k = 1$ otrzymujemy $x_1 = 0$, co daje tylko jedno rozwiązanie ujemne zamiast dwóch. Pamiętaj też o bezwzględnym warunku $3 + 2k > 0$, bez którego równanie w ogóle nie ma dwóch rozwiązań.
Interpretacja graficzna: Równanie sprowadzamy do postaci $f(x) = k$, gdzie $f(x) = ||x - 1| - 2| - 3$. Liczba pierwiastków to liczba przecięć wykresu $y = f(x)$ z prostą poziomą $y = k$.
Sekwencja przekształceń: Wykres budujemy wychodząc od bazowej funkcji $|x|$, wykonując po kolei:
- krok 1: $f_1(x) = |x|$ (wykres bazowy),
- krok 2: $f_2(x) = |x - 1|$ (translacja o wektor $[1, 0]$),
- krok 3: $f_3(x) = |x - 1| - 2$ (translacja o wektor $[0, -2]$),
- krok 4: $f_4(x) = ||x - 1| - 2|$ (symetria części ujemnej względem $OX$),
- krok 5: $f(x) = ||x - 1| - 2| - 3$ (translacja o wektor $[0, -3]$).
Śledzenie wierzchołków: W każdym kroku kontroluj przesunięcie charakterystycznych punktów załamania wykresu oraz miejsc zerowych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Warunek konieczny istnienia dwóch różnych rozwiązań:
Rozpatrujemy wyjściowe równanie: $$ |x + 5| = 3 + 2k $$ Z definicji wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi $|x + 5| \ge 0$. Równanie typu $|w| = c$ ma:
• brak rozwiązań, gdy $c < 0$,
• dokładnie jedno rozwiązanie, gdy $c = 0$,
• dokładnie dwa różne rozwiązania, gdy $c > 0$.

Aby równanie posiadało dwa rozwiązania, prawa strona musi być ściśle dodatnia: $$ 3 + 2k > 0 \iff 2k > -3 \iff k > -\dfrac{3}{2} $$
Sposób I – Algebraiczne wyznaczenie rozwiązań i nałożenie warunków ujemności:
Zakładając, że $k > -\dfrac{3}{2}$, opuszczamy wartość bezwzględną zgodnie z definicją: $$ x + 5 = 3 + 2k \quad \lor \quad x + 5 = -(3 + 2k) $$ Wyznaczamy oba pierwiastki w zależności od parametru $k$: $$ \begin{aligned} x_1 &= 3 + 2k - 5 = 2k - 2 \\[8pt] x_2 &= -3 - 2k - 5 = -2k - 8 \end{aligned} $$ Zgodnie z poleceniem oba rozwiązania mają być ujemne, co prowadzi do układu nierówności: $$ \begin{cases} x_1 < 0 \\ x_2 < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2k - 2 < 0 \\ -2k - 8 < 0 \end{cases} $$ Rozwiązujemy pierwszą nierówność: $$ 2k - 2 < 0 \iff 2k < 2 \iff k < 1 $$ Rozwiązujemy drugą nierówność: $$ -2k - 8 < 0 \iff -2k < 8 \iff 2k > -8 \iff k > -4 $$ Wyznaczamy część wspólną wszystkich warunków (warunek istnienia dwóch rozwiązań oraz ujemność obu pierwiastków): $$ \begin{cases} k > -\dfrac{3}{2} \\[6pt] k < 1 \\[6pt] k > -4 \end{cases} $$ Ponieważ $-\dfrac{3}{2} = -1{,}5 > -4$, warunek $k > -4$ jest automatycznie spełniony przy założeniu $k > -\dfrac{3}{2}$. Ostatecznie otrzymujemy: $$ k \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right) $$
Sposób II – Interpretacja graficzna w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Krok 1 konstrukcji wykresu – funkcja bazowa $f_1(x) = |x|$:
Wykres składa się z dwóch półprostych o wierzchołku w punkcie $(0, 0)$, tworzących z osią $OX$ kąty $45^\circ$.
Krok 2 – przesunięcie w prawo: $f_2(x) = f_1(x - 1) = |x - 1|$:
Wykres funkcji $f_1$ przesuwamy równolegle wzdłuż osi $OX$ w prawo o $1$ jednostkę (wektor $\vec{u} = [1, 0]$). Wierzchołek przechodzi z punktu $(0, 0)$ do punktu $(1, 0)$.
Krok 3 – przesunięcie w dół: $f_3(x) = f_2(x) - 2 = |x - 1| - 2$:
Wykres funkcji $f_2$ przesuwamy wzdłuż osi $OY$ w dół o $2$ jednostki (wektor $\vec{v} = [0, -2]$). Wierzchołek osiąga punkt $(1, -2)$, a ramiona przecinają oś $OX$ w miejscach zerowych $x = -1$ oraz $x = 3$.
Krok 4 – nałożenie wartości bezwzględnej: $f_4(x) = |f_3(x)| = ||x - 1| - 2|$:
Część wykresu leżącą pod osią $OX$ (przedział $(-1, 3)$) odbijamy symetrycznie ponad oś $OX$. Wierzchołek $(1, -2)$ przechodzi w punkt $(1, 2)$, a wykres przyjmuje charakterystyczny kształt litery „W”.
Krok 5 – końcowe przesunięcie w dół: $f(x) = f_4(x) - 3 = ||x - 1| - 2| - 3$:
Wykres funkcji $f_4$ przesuwamy pionowo w dół o $3$ jednostki (wektor $\vec{w} = [0, -3]$).
Współrzędne kluczowych punktów po przesunięciu:
- Dwa minima globalne: $(-1, -3)$ oraz $(3, -3)$,
- Lokalne maksimum: $(1, -1)$,
- Miejsca zerowe ($f(x) = 0$): $x = -4$ oraz $x = 6$.
Dyskusja liczby rozwiązań równania z prostą $y = k$:
Prowadząc poziomą prostą $y = k$ na różnych wysokościach (od $k \to -\infty$ do $k \to \infty$), badamy liczbę jej punktów wspólnych z wykresem funkcji $f(x)$:
- Dla $k \in (-\infty, -3)$: brak punktów przecięcia $\implies$ $0$ rozwiązań.
- Dla $k = -3$: prosta dotyka obu minimów globalnych $\implies$ $2$ rozwiązania.
- Dla $k \in (-3, -1)$: prosta przecina wszystkie cztery gałęzie wykresu $\implies$ $4$ rozwiązania.
- Dla $k = -1$: prosta jest styczna do lokalnego wierzchołka $(1, -1)$ i przecina dwa skrajne ramiona $\implies$ $3$ rozwiązania.
- Dla $k \in (-1, \infty)$: prosta przecina wyłącznie dwa zewnętrzne ramiona $\implies$ $2$ rozwiązania.
Zapis wzoru funkcji $g(k)$:
Zbierając wyniki z dyskusji, otrzymujemy wzór funkcji klamrowej: $$g(k) = \begin{cases} 0 & \text{dla } k \in (-\infty, -3) \\[4pt] 2 & \text{dla } k \in \{-3\} \cup (-1, \infty) \\[4pt] 3 & \text{dla } k = -1 \\[4pt] 4 & \text{dla } k \in (-3, -1) \end{cases}$$
Podsumowanie i wyznaczenie zbioru wartości parametru $k$:
Obie metody (analityczna i geometryczna) prowadzą do identycznego wniosku: równanie posiada dwa rozwiązania ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy: $$ -\dfrac{3}{2} < k < 1 $$ Zapisując wynik w postaci przedziału liczbowego, otrzymujemy: $$ k \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right) $$

Odpowiedź:
$k \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right)$ (czyli $k \in (-1{,}5; 1)$)

Zadanie 4 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$, $b \in \mathbb{R}$, dla których równanie $|4x - 20| + b^2 = b \cdot |5 - x| + 16$ ma dwa rozwiązania. Wyznacz te rozwiązania.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i sprowadzenie do wspólnego modułu: Zauważ, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ze sobą ściśle powiązane: z pierwszego modułu wyłącz liczbę $4$ przed symbol wartości bezwzględnej ($|4x - 20| = 4|x - 5|$), a w drugim skorzystaj z tożsamości liczb przeciwnych $|a| = |-a|$, czyli $|5 - x| = |x - 5|$.
Grupowanie i faktoryzacja: Przenieś wszystkie wyrazy z modułem $|x - 5|$ na lewą stronę równania, a wyrazy ze stałą i parametrem $b$ na prawą stronę. Wyłącz wspólny czynnik $(4 - b)$ przed nawias po lewej stronie, a po prawej zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $16 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$.
Dyskusja przypadków zerowania współczynnika: Zbadaj osobno przypadek, gdy współczynnik przy module jest równy zero ($4 - b = 0 \iff b = 4$). Sprawdź liczbę rozwiązań powstałego równania tożsamościowego.
Warunek istnienia dokładnie dwóch rozwiązań: Dla $b \neq 4$ podziel równanie obustronnie przez $(4 - b)$, uzyskując postać bazową $|x - 5| = 4 + b$. Przypomnij sobie, że równanie typu $|w| = c$ posiada dokładnie dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest ściśle dodatnia ($c > 0$).
Czego unikać (częsta pułapka): Nie dziel pochopnie obu stron równania przez $(4 - b)$ bez wcześniejszego zbadania przypadku $b = 4$. Dla $b = 4$ równanie przyjmuje postać $0 = 0$, co daje nieskończenie wiele rozwiązań, a nie dwa. Pamiętaj również, że warunek $4 + b \ge 0$ byłby błędem – dla $4 + b = 0$ równanie ma tylko jedno rozwiązanie ($x = 5$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Uproszczenie wyrażeń z wartością bezwzględną:
Zapisujemy wyjściowe równanie: $$|4x - 20| + b^2 = b \cdot |5 - x| + 16$$ Przekształcamy oba moduły, korzystając z własności wartości bezwzględnej iloczynu oraz faktu, że liczby przeciwne mają równe wartości bezwzględne ($|a| = |-a|$): $$\begin{aligned} |4x - 20| &= |4(x - 5)| = 4|x - 5| \\[8pt] |5 - x| &= |-(x - 5)| = |x - 5| \end{aligned}$$ Podstawiamy otrzymane postaci do równania: $$4|x - 5| + b^2 = b|x - 5| + 16$$
Grupowanie wyrazów i wyłączenie wspólnego czynnika:
Przenosimy wyrazy zawierające moduł na lewą stronę, a pozostałe wyrazy na prawą stronę równania: $$\begin{aligned} 4|x - 5| - b|x - 5| &= 16 - b^2 \\[8pt] (4 - b)|x - 5| &= 16 - b^2 \end{aligned}$$ Prawą stronę rozkładamy na czynniki, stosując wzór na różnicę kwadratów $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$: $$(4 - b)|x - 5| = (4 - b)(4 + b)$$
Dyskusja liczby rozwiązań ze względu na parametr $b$:
Rozpatrujemy dwa przypadki w zależności od wartości współczynnika $(4 - b)$:

• Przypadek 1: $4 - b = 0 \iff b = 4$
Podstawiamy $b = 4$ do równania: $$\begin{aligned} (4 - 4)|x - 5| &= (4 - 4)(4 + 4) \\[8pt] 0 \cdot |x - 5| &= 0 \\[8pt] 0 &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy tożsamość, która jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x \in \mathbb{R}$. Równanie ma w tym przypadku nieskończenie wiele rozwiązań, co nie spełnia warunku zadania (szukamy dokładnie dwóch rozwiązań).

• Przypadek 2: $4 - b \neq 0 \iff b \neq 4$
Dla $b \neq 4$ możemy obustronnie podzielić równanie przez niezerowe wyrażenie $(4 - b)$: $$|x - 5| = 4 + b$$ Z definicji i własności wartości bezwzględnej liczba rozwiązań równania postaci $|w| = c$ zależy od znaku prawej strony:
- gdy $4 + b < 0 \iff b < -4$, równanie nie ma rozwiązań (zbiór pusty),
- gdy $4 + b = 0 \iff b = -4$, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie ($x = 5$),
- gdy $4 + b > 0 \iff b > -4$, równanie posiada dokładnie dwa różne rozwiązania.
Uwzględniając warunek $b \neq 4$, równanie ma dokładnie dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy: $$b \in (-4, 4) \cup (4, +\infty)$$
Wyznaczenie dwóch rozwiązań równania i interpretacja graficzna:
Dla $b \in (-4, 4) \cup (4, +\infty)$ wyrażenie $4 + b$ jest ściśle dodatnie. Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej: $$\begin{aligned} x - 5 = 4 + b \quad &\lor \quad x - 5 = -(4 + b) \\[8pt] x - 5 = 4 + b \quad &\lor \quad x - 5 = -4 - b \\[8pt] x_1 = 5 + 4 + b \quad &\lor \quad x_2 = 5 - 4 - b \\[8pt] x_1 = 9 + b \quad &\lor \quad x_2 = 1 - b \end{aligned}$$ Zauważmy, że skoro $4 + b > 0$, to $x_1 - x_2 = (9 + b) - (1 - b) = 8 + 2b = 2(4 + b) > 0$, co gwarantuje, że rozwiązania te są zawsze dwoma różnymi liczbami rzeczywistymi.

Poniższy wykres przedstawia interpretację geometryczną: funkcja $y = |x - 5|$ przecina się z poziomą prostą $y = 4 + b$ w dwóch punktach $x_2 = 1 - b$ oraz $x_1 = 9 + b$ wyłącznie wtedy, gdy linia pozioma znajduje się ściśle nad osią $OX$ ($4 + b > 0$):

Odpowiedź:
Parametr $b \in (-4, 4) \cup (4, +\infty)$.

Rozwiązaniami są: $x_1 = 1 - b$ oraz $x_2 = 9 + b$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, $k \in \mathbb{R}$, dla których równanie: $|x + 5| = 3 + 2k$ ma dwa rozwiązania ujemne.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Równanie ma postać $|x + 5| = m$, gdzie $m = 3 + 2k$. Ponieważ lewa strona przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, równanie posiada dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest ściśle dodatnia: $3 + 2k > 0$.
Główna metoda i powiązanie pojęciowe: Zadanie można rozwiązać na dwa równoważne sposoby:
• Algebraicznie: korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozbij równanie na dwa przypadki: $x + 5 = 3 + 2k$ lub $x + 5 = -(3 + 2k)$. Wyznacz oba pierwiastki w zależności od $k$ i ułóż układ nierówności wymuszający, aby oba były ujemne ($x_1 < 0$ oraz $x_2 < 0$).
• Graficznie: zinterpretuj lewą stronę jako wykres funkcji $y = |x + 5|$, a prawą stronę jako poziomą prostą $y = 3 + 2k$. Dwa ujemne rozwiązania oznaczają, że prosta musi przecinać oba ramiona wykresu na lewo od osi $OY$.
Kolejność operacji i przekształceń: Rozwiąż nierówność warunkową na istnienie dwóch rozwiązań ($k > -\frac{3}{2}$), wyznacz rozwiązania $x_1 = 2k - 2$ oraz $x_2 = -2k - 8$, a następnie wyznacz część wspólną otrzymanych warunków na parametr $k$.
Interpretacja i weryfikacja końcowa: Zauważ, że mniejszy pierwiastek $x_2 = -5 - (3 + 2k)$ jest ujemny dla każdego $3 + 2k > 0$, więc decydującym warunkiem staje się ujemność większego pierwiastka: $x_1 < 0 \iff 2k - 2 < 0 \iff k < 1$. Sprawdź poprawność wyniku, podstawiając wartość próbną, np. $k = 0 \in (-1{,}5; 1)$, dla której równanie przyjmuje postać $|x + 5| = 3$ i daje pierwiastki $x = -2$ oraz $x = -8$ (oba ujemne).
Czego unikać (częsta pułapka): Nie myl nierówności ostrej ze słabą. Liczba $0$ nie jest liczbą ujemną, więc warunek $x_1 \le 0$ byłby błędem – dla $k = 1$ otrzymujemy $x_1 = 0$, co daje tylko jedno rozwiązanie ujemne zamiast dwóch. Pamiętaj też o bezwzględnym warunku $3 + 2k > 0$, bez którego równanie w ogóle nie ma dwóch rozwiązań.

Rozwiązanie krok po kroku:

Warunek konieczny istnienia dwóch różnych rozwiązań:
Rozpatrujemy wyjściowe równanie: $$ |x + 5| = 3 + 2k $$ Z definicji wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi $|x + 5| \ge 0$. Równanie typu $|w| = c$ ma:
• brak rozwiązań, gdy $c < 0$,
• dokładnie jedno rozwiązanie, gdy $c = 0$,
• dokładnie dwa różne rozwiązania, gdy $c > 0$.

Aby równanie posiadało dwa rozwiązania, prawa strona musi być ściśle dodatnia: $$ 3 + 2k > 0 \iff 2k > -3 \iff k > -\dfrac{3}{2} $$
Sposób I – Algebraiczne wyznaczenie rozwiązań i nałożenie warunków ujemności:
Zakładając, że $k > -\dfrac{3}{2}$, opuszczamy wartość bezwzględną zgodnie z definicją: $$ x + 5 = 3 + 2k \quad \lor \quad x + 5 = -(3 + 2k) $$ Wyznaczamy oba pierwiastki w zależności od parametru $k$: $$ \begin{aligned} x_1 &= 3 + 2k - 5 = 2k - 2 \\[8pt] x_2 &= -3 - 2k - 5 = -2k - 8 \end{aligned} $$ Zgodnie z poleceniem oba rozwiązania mają być ujemne, co prowadzi do układu nierówności: $$ \begin{cases} x_1 < 0 \\ x_2 < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2k - 2 < 0 \\ -2k - 8 < 0 \end{cases} $$ Rozwiązujemy pierwszą nierówność: $$ 2k - 2 < 0 \iff 2k < 2 \iff k < 1 $$ Rozwiązujemy drugą nierówność: $$ -2k - 8 < 0 \iff -2k < 8 \iff 2k > -8 \iff k > -4 $$ Wyznaczamy część wspólną wszystkich warunków (warunek istnienia dwóch rozwiązań oraz ujemność obu pierwiastków): $$ \begin{cases} k > -\dfrac{3}{2} \\[6pt] k < 1 \\[6pt] k > -4 \end{cases} $$ Ponieważ $-\dfrac{3}{2} = -1{,}5 > -4$, warunek $k > -4$ jest automatycznie spełniony przy założeniu $k > -\dfrac{3}{2}$. Ostatecznie otrzymujemy: $$ k \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right) $$
Sposób II – Interpretacja graficzna w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Wprowadzamy dwie funkcje zmiennej $x$: $$ f(x) = |x + 5|, \quad g(x) = 3 + 2k $$ Wykres funkcji $f(x) = |x + 5|$ to charakterystyczna litera „V” o wierzchołku w punkcie $(-5, 0)$, przecinająca oś $OY$ w punkcie $(0, 5)$, gdyż $f(0) = |0 + 5| = 5$. Wykres funkcji $g(x)$ to prosta pozioma na wysokości $y = 3 + 2k$.

Rozwiązaniami równania są odcięte $x$ punktów przecięcia wykresów obu funkcji:
1. Prosta pozioma przecina wykres $f(x)$ w dwóch punktach tylko wtedy, gdy leży ściśle powyżej wierzchołka, czyli dla $y > 0 \iff 3 + 2k > 0$.
2. Lewy punkt przecięcia ma odciętą $x_2 < -5 < 0$, więc leży zawsze po ujemnej stronie osi $OX$.
3. Prawy punkt przecięcia leży na ramieniu $y = x + 5$. Aby jego odcięta była ujemna ($x_1 < 0$), punkt przecięcia musi znajdować się na lewo od osi $OY$, co oznacza, że prosta pozioma musi leżeć ściśle poniżej punktu przecięcia wykresu z osią $OY$, czyli $y < 5$.

Otrzymujemy podwójną nierówność dla wysokości prostej: $$ 0 < 3 + 2k < 5 $$ Odejmujemy $3$ od wszystkich stron: $$ -3 < 2k < 2 $$ Dzielimy przez $2$: $$ -\dfrac{3}{2} < k < 1 $$
Podsumowanie i wyznaczenie zbioru wartości parametru $k$:
Obie metody (analityczna i geometryczna) prowadzą do identycznego wniosku: równanie posiada dwa rozwiązania ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy: $$ -\dfrac{3}{2} < k < 1 $$ Zapisując wynik w postaci przedziału liczbowego, otrzymujemy: $$ k \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right) $$

Odpowiedź:
$k \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right)$ (czyli $k \in (-1{,}5; 1)$)

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, $p \in \mathbb{R}$, dla których równanie: a) $|x| = 1-2p$ ma dwa rozwiązania b) $(p^2-16)|1-x| - p - 4 = 0$ jest tożsamościowe.