Równania i nierówności, w których niewiadoma występuje, pod znakiem pierwiastka kwadratowego kartkówka

11.12 Równania i nierówności, w których niewiadoma występuje, pod znakiem pierwiastka kwadratowego

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Rozwiąż dane równanie, stosując metodę analizy starożytnych.

a) $\sqrt{-1 - 2x} = -x - 2$

b) $\sqrt{x + \sqrt{31 + x}} = 5$

Wskazówki:

Metoda analizy starożytnych (metoda wnioskowania) polega na przekształcaniu wyjściowego równania za pomocą operacji jednostronnych (np. obustronnego podnoszenia do kwadratu) bez konieczności wyznaczania dziedziny na wstępie.
Podnoszenie obu stron do parzystej potęgi może wprowadzić tzw. pierwiastki obce (rozwiązania, które nie spełniają pierwotnego równania).
Integralną i obowiązkową częścią tej metody jest sprawdzenie każdego otrzymanego wyniku poprzez bezpośrednie podstawienie go do równania wyjściowego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{-1 - 2x} = -x - 2$:
Zakładamy, że istnieje liczba $x$ spełniająca dane równanie, i podnosimy obie strony równania do kwadratu: $$\begin{aligned} \left(\sqrt{-1 - 2x}\right)^2 &= (-x - 2)^2 \\[8pt] -1 - 2x &= x^2 + 4x + 4 \end{aligned}$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, porządkując równanie kwadratowe: $$\begin{aligned} x^2 + 4x + 2x + 4 + 1 &= 0 \\[8pt] x^2 + 6x + 5 &= 0 \end{aligned}$$ Rozkładamy trójmian kwadratowy na czynniki: $$\begin{aligned} (x + 1)(x + 5) &= 0 \\[8pt] x = -1 \quad &\text{lub} \quad x = -5 \end{aligned}$$ Sprawdzenie otrzymanych wartości w równaniu wyjściowym:
Dla $x = -1$: $$\begin{aligned} L &= \sqrt{-1 - 2 \cdot (-1)} = \sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1 \\[8pt] P &= -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1 \\[8pt] L &\neq P \end{aligned}$$ Wartość $x = -1$ nie spełnia równania (jest pierwiastkiem obcym).

Dla $x = -5$: $$\begin{aligned} L &= \sqrt{-1 - 2 \cdot (-5)} = \sqrt{-1 + 10} = \sqrt{9} = 3 \\[8pt] P &= -(-5) - 2 = 5 - 2 = 3 \\[8pt] L &= P \end{aligned}$$ Wartość $x = -5$ spełnia równanie wyjściowe.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{x + \sqrt{31 + x}} = 5$:
Podnosimy obie strony równania do kwadratu, aby usunąć zewnętrzny pierwiastek: $$\begin{aligned} \left(\sqrt{x + \sqrt{31 + x}}\right)^2 &= 5^2 \\[8pt] x + \sqrt{31 + x} &= 25 \end{aligned}$$ Izolujemy pozostały pierwiastek po lewej stronie równania: $$\sqrt{31 + x} = 25 - x$$ Podnosimy ponownie obie strony do kwadratu: $$\begin{aligned} \left(\sqrt{31 + x}\right)^2 &= (25 - x)^2 \\[8pt] 31 + x &= 625 - 50x + x^2 \end{aligned}$$ Porządkujemy równanie kwadratowe do postaci ogólnej: $$\begin{aligned} x^2 - 50x - x + 625 - 31 &= 0 \\[8pt] x^2 - 51x + 594 &= 0 \end{aligned}$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 594 \\[8pt] &= 2601 - 2376 = 225 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{225} = 15 \end{aligned}$$ Wyznaczamy potencjalne rozwiązania: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{51 - 15}{2} = \dfrac{36}{2} = 18 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{51 + 15}{2} = \dfrac{66}{2} = 33 \end{aligned}$$ Sprawdzenie otrzymanych wartości w równaniu wyjściowym:
Dla $x = 18$: $$\begin{aligned} L &= \sqrt{18 + \sqrt{31 + 18}} = \sqrt{18 + \sqrt{49}} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5 \\[8pt] P &= 5 \\[8pt] L &= P \end{aligned}$$ Wartość $x = 18$ spełnia równanie wyjściowe.

Dla $x = 33$: $$\begin{aligned} L &= \sqrt{33 + \sqrt{31 + 33}} = \sqrt{33 + \sqrt{64}} = \sqrt{33 + 8} = \sqrt{41} \\[8pt] P &= 5 \\[8pt] L &\neq P \end{aligned}$$ Wartość $x = 33$ nie spełnia równania (jest pierwiastkiem obcym, co wynika także z faktu, że dla $x = 33$ wyrażenie $25 - x = 25 - 33 = -8 < 0$).

Odpowiedź:
a) $x = -5$

b) $x = 18$

Zadanie 2 (4 pkt)

Rozwiąż dane równanie, stosując metodę równań równoważnych.
a) $\sqrt{2x + 3} = x$

b) $x + 3 = 5 + \sqrt{x - 1}$

Wskazówki:

Metoda równań równoważnych polega na przekształcaniu równania w taki sposób, aby na każdym etapie zbiór jego rozwiązań pozostawał dokładnie taki sam.
Podnoszenie obu stron równania do kwadratu jest operacją równoważną tylko wtedy, gdy obie strony równania są nieujemne.
Równanie postaci $\sqrt{f(x)} = g(x)$ jest równoważne układowi warunków: $$ \sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases} $$ (Warunek $f(x) \ge 0$ jest spełniony automatycznie, ponieważ $f(x)$ jest równe kwadratowi wyrażenia $g(x)$).
Przed podniesieniem do kwadratu w podpunkcie b) należy najpierw wyizolować pierwiastek po jednej stronie równania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{2x + 3} = x$:
Lewa strona jest pierwiastkiem arytmetycznym, a więc przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Aby równanie miało rozwiązanie, prawa strona również musi być nieujemna: $$ x \ge 0 $$ Określamy również dziedzinę wyrażenia podpierwiastkowego: $$ 2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -\dfrac{3}{2} $$ Część wspólna obu warunków daje zbiór dopuszczalnych rozwiązań: $$ x \in \langle 0, +\infty) $$ Przy założeniu $x \ge 0$ obie strony równania są nieujemne, więc możemy je obustronnie podnieść do kwadratu: $$ \begin{aligned} (\sqrt{2x + 3})^2 &= x^2 \\[8pt] 2x + 3 &= x^2 \\[8pt] x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} $$ Rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe, wyznaczając wyróżnik $\Delta$: $$ \begin{aligned} \Delta &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) \\[8pt] &= 4 + 12 = 16 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{16} = 4 \end{aligned} $$ Obliczamy pierwiastki równania: $$ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-(-2) - 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 - 4}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(-2) + 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 + 4}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \end{aligned} $$ Konfrontujemy otrzymane wartości z warunkiem równoważności $x \ge 0$:
- Dla $x_1 = -1$: liczba nie spełnia warunku ($-1 < 0$), jest to tzw. pierwiastek obcy.
- Dla $x_2 = 3$: liczba spełnia warunek ($3 \ge 0$), zatem należy do dziedziny równania.
Jedynym rozwiązaniem podpunktu a) jest liczba $x = 3$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $x + 3 = 5 + \sqrt{x - 1}$:
W pierwszym kroku izolujemy wyrażenie z pierwiastkiem po jednej stronie, przenosząc liczbę $5$ na lewą stronę: $$ \begin{aligned} x + 3 - 5 &= \sqrt{x - 1} \\[8pt] x - 2 &= \sqrt{x - 1} \end{aligned} $$ czyli: $$ \sqrt{x - 1} = x - 2 $$ Stosujemy metodę równań równoważnych. Ustalamy warunki konieczne:
1. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne: $$ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $$
2. Prawa strona (równa pierwiastkowi) również musi być nieujemna: $$ x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 $$
Częścią wspólną założeń jest przedział: $$ x \in \langle 2, +\infty) $$ Mając obie strony nieujemne dla $x \ge 2$, podnosimy równanie obustronnie do kwadratu: $$ \begin{aligned} (\sqrt{x - 1})^2 &= (x - 2)^2 \\[8pt] x - 1 &= x^2 - 4x + 4 \\[8pt] x^2 - 4x - x + 4 + 1 &= 0 \\[8pt] x^2 - 5x + 5 &= 0 \end{aligned} $$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta$: $$ \begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 \\[8pt] &= 25 - 20 = 5 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{5} \end{aligned} $$ Wyznaczamy pierwiastki równania: $$ x_1 = \dfrac{5 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \dfrac{5 + \sqrt{5}}{2} $$ Szacujemy wartości obu rozwiązań, pamiętając, że $\sqrt{5} \approx 2{,}24$: $$ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \dfrac{5 - 2{,}24}{2} = \dfrac{2{,}76}{2} = 1{,}38 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \dfrac{5 + 2{,}24}{2} = \dfrac{7{,}24}{2} = 3{,}62 \end{aligned} $$ Weryfikujemy zgodność z założeniem równoważności $x \ge 2$:
- $x_1 = \dfrac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}38 < 2$ – nie spełnia warunku, odrzucamy (pierwiastek obcy).
- $x_2 = \dfrac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx 3{,}62 \ge 2$ – spełnia warunek, należy do dziedziny.
Jedynym rozwiązaniem równania jest $x = \dfrac{5 + \sqrt{5}}{2}$.

Odpowiedź:
a) $x = 3$

b) $x = \dfrac{5 + \sqrt{5}}{2}$

Zadanie 3 (4 pkt)

Rozwiąż równanie:
a) $\sqrt{x^2 - 5x + 7} = x - 1$
b) $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Wskazówki:

Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne ($\ge 0$). Ponadto wartość pierwiastka kwadratowego jest zawsze liczbą nieujemną, zatem prawa strona równania również musi spełniać warunek nieujemności.
Równania z pierwiastkami można rozwiązywać dwoma sposobami: precyzyjnie wyznaczając dziedzinę oraz warunki na obie strony przed potęgowaniem (metoda równań równoważnych) lub podnosząc równanie obustronnie do kwadratu i obowiązkowo sprawdzając otrzymane pierwiastki w wyjściowym równaniu (metoda analizy starożytnych).
W równaniach z dwoma pierwiastkami (podpunkt b) najwygodniej jest przed potęgowaniem przenieść jeden z nich na drugą stronę ze znakiem plus, tak aby po obu stronach znajdowały się sumy wyrażeń nieujemnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{x^2 - 5x + 7} = x - 1$:
Równanie to możemy rozwiązać dwoma równorzędnymi sposobami:

Sposób I – Wyznaczenie założeń i obustronne podniesienie do kwadratu:
Najpierw sprawdzamy warunek istnienia pierwiastka kwadratowego: $$x^2 - 5x + 7 \ge 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 \\[8pt] &= 25 - 28 = -3 \end{aligned}$$ Ponieważ $\Delta < 0$ oraz współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a = 1 > 0$), trójmian przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej: $$x \in \mathbb{R}$$ Lewa strona równania jest pierwiastkiem kwadratowym, a więc wartością nieujemną ($\ge 0$). Aby równanie mogło mieć rozwiązanie, prawa strona również musi być nieujemna: $$\begin{aligned} x - 1 &\ge 0 \\[8pt] x &\ge 1 \implies x \in \langle 1, +\infty) \end{aligned}$$ Mając pewność, że obie strony równania są nieujemne, możemy podnieść je obustronnie do kwadratu: $$\left(\sqrt{x^2 - 5x + 7}\right)^2 = (x - 1)^2$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$x^2 - 5x + 7 = x^2 - 2x + 1$$ Odejmujemy $x^2$ od obu stron równania: $$-5x + 7 = -2x + 1$$ Przenosimy wyrażenia z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} -5x + 2x &= 1 - 7 \\[8pt] -3x &= -6 \\[8pt] x &= \dfrac{-6}{-3} = 2 \end{aligned}$$ Sprawdzamy zgodność z warunkiem $x \ge 1$: liczba $2 \ge 1$, a zatem należy do dziedziny rozwiązań.

Sposób II – Metoda analizy starożytnych (sprawdzenie wyniku):
Podnosimy wyjściowe równanie obustronnie do kwadratu bez wstępnych założeń (pamiętając, że operacja ta może wprowadzić pierwiastki obce): $$\begin{aligned} x^2 - 5x + 7 &= (x - 1)^2 \\[8pt] x^2 - 5x + 7 &= x^2 - 2x + 1 \\[8pt] -3x &= -6 \implies x = 2 \end{aligned}$$ Sprawdzamy poprawność otrzymanej liczby, wstawiając $x = 2$ bezpośrednio do lewej i prawej strony wyjściowego równania: $$\begin{aligned} L &= \sqrt{2^2 - 5 \cdot 2 + 7} = \sqrt{4 - 10 + 7} = \sqrt{1} = 1 \\[8pt] P &= 2 - 1 = 1 \end{aligned}$$ Ponieważ $L = P$, liczba $x = 2$ jest poprawnym i jedynym rozwiązaniem równania.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$:
Równanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:

Sposób I – Wyznaczenie dziedziny i przekształcenie do sumy wyrażeń:
Ustalamy warunki nieujemności wyrażeń podpierwiastkowych: $$\begin{aligned} x + 4 &\ge 0 \implies x \ge -4 \\[8pt] x - 1 &\ge 0 \implies x \ge 1 \end{aligned}$$ Wyznaczamy część wspólną obu warunków, otrzymując dziedzinę równania: $$D = \langle 1, +\infty)$$ W wyjściowym równaniu $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$ przenosimy wyrażenie $-\sqrt{x - 1}$ na prawą stronę: $$\sqrt{x + 4} = 1 + \sqrt{x - 1}$$ Dla każdego $x \in D$ obie strony równania są dodatnie, więc możemy podnieść je obustronnie do kwadratu: $$\left(\sqrt{x + 4}\right)^2 = \left(1 + \sqrt{x - 1}\right)^2$$ Rozpisujemy prawą stronę ze wzoru skróconego mnożenia $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$\begin{aligned} x + 4 &= 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + \left(\sqrt{x - 1}\right)^2 \\[8pt] x + 4 &= 1 + 2\sqrt{x - 1} + x - 1 \\[8pt] x + 4 &= x + 2\sqrt{x - 1} \end{aligned}$$ Odejmujemy $x$ od obu stron równania: $$4 = 2\sqrt{x - 1}$$ Dzielimy obie strony przez $2$: $$2 = \sqrt{x - 1}$$ Podnosimy ponownie obie strony do kwadratu: $$\begin{aligned} 2^2 &= \left(\sqrt{x - 1}\right)^2 \\[8pt] 4 &= x - 1 \\[8pt] x &= 4 + 1 = 5 \end{aligned}$$ Sprawdzamy przynależność do dziedziny: $5 \in \langle 1, +\infty)$, więc $x = 5$ jest rozwiązaniem równania.

Sposób II – Metoda analizy starożytnych (sprawdzenie wyniku):
Przekształcamy równanie do postaci z odseparowanym pierwiastkiem i podnosimy dwukrotnie do kwadratu, co prowadzi do wartości $x = 5$.
Weryfikujemy poprawność wyniku poprzez podstawienie liczby $x = 5$ do lewej i prawej strony równania wyjściowego: $$\begin{aligned} L &= \sqrt{5 + 4} - \sqrt{5 - 1} \\[8pt] &= \sqrt{9} - \sqrt{4} \\[8pt] &= 3 - 2 = 1 \\[8pt] P &= 1 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy tożsamość $L = P$, co potwierdza, że liczba $x = 5$ jest jedynym rozwiązaniem równania.

Odpowiedź:
a) $x = 2$

b) $x = 5$

Zadanie 4 (4 pkt)

Rozwiąż nierówność:
a) $\sqrt{x - 1} < 7 - x$
b) $\sqrt{x + 2} + 2 > x$

Wskazówki:

Zawsze rozpoczynaj od ustalenia dziedziny nierówności – wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne.
Przy nierówności typu $\sqrt{f(x)} < g(x)$ prawa strona musi być ściśle dodatnia ($g(x) > 0$), ponieważ pierwiastek kwadratowy przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Przy obu stronach nieujemnych można obustronnie podnieść nierówność do kwadratu.
Przy nierówności typu $\sqrt{f(x)} > g(x)$ rozpatrz dwa rozłączne przypadki w zależności od znaku prawej strony: gdy $g(x) < 0$ (wtedy liczba nieujemna jest zawsze większa od ujemnej) oraz gdy $g(x) \ge 0$ (wtedy można bezpiecznie podnieść obie strony do kwadratu).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $\sqrt{x - 1} < 7 - x$:
Ustalamy dziedzinę nierówności. Wyrażenie podpierwiastkowe nie może być ujemne: $$\begin{aligned} x - 1 &\ge 0 \\[8pt] x &\ge 1 \iff x \in \langle 1, +\infty) \end{aligned}$$ Analizujemy znak prawej strony. Dla każdego $x$ z dziedziny lewa strona przyjmuje wartości nieujemne ($\sqrt{x - 1} \ge 0$). Aby lewa strona mogła być mniejsza od prawej, prawa strona musi być ściśle dodatnia: $$\begin{aligned} 7 - x &> 0 \\[8pt] x &< 7 \end{aligned}$$ Łącząc warunek dziedziny oraz dodatniości prawej strony, otrzymujemy przedział: $$x \in \langle 1, 7)$$ Ponieważ obie strony nierówności są w tym przedziale nieujemne, możemy podnieść je obustronnie do kwadratu bez zmiany zwrotu nierówności: $$\begin{aligned} \left(\sqrt{x - 1}\right)^2 &< (7 - x)^2 \\[8pt] x - 1 &< 49 - 14x + x^2 \\[8pt] 0 &< x^2 - 15x + 50 \\[8pt] x^2 - 15x + 50 &> 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 \\[8pt] &= 225 - 200 = 25 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 5 \\[8pt] x_1 &= \dfrac{15 - 5}{2} = 5 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{15 + 5}{2} = 10 \end{aligned}$$ Ramiona paraboli są skierowane ku górze ($a = 1 > 0$), zatem trójmian przyjmuje wartości dodatnie dla: $$x \in (-\infty, 5) \cup (10, +\infty)$$ Wyznaczamy część wspólną otrzymanego rozwiązania z warunkiem początkowym $x \in \langle 1, 7)$: $$\begin{aligned} x &\in \langle 1, 7) \cap \Big( (-\infty, 5) \cup (10, +\infty) \Big) \\[8pt] x &\in \langle 1, 5) \end{aligned}$$
Zilustrowanie rozwiązania podpunktu a) na osi liczbowej:
Przedstawiamy graficznie nałożenie warunku dziedziny i znaku prawej strony $x \in \langle 1, 7)$ oraz rozwiązania nierówności kwadratowej $x \in (-\infty, 5) \cup (10, +\infty)$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $\sqrt{x + 2} + 2 > x$:
Przenosimy liczbę $2$ na prawą stronę, izolując pierwiastek po lewej stronie: $$\sqrt{x + 2} > x - 2$$ Ustalamy dziedzinę nierówności: $$\begin{aligned} x + 2 &\ge 0 \\[8pt] x &\ge -2 \iff x \in \langle -2, +\infty) \end{aligned}$$ Ponieważ prawa strona ($x - 2$) może przyjmować zarówno wartości ujemne, jak i nieujemne, rozpatrujemy dwa rozłączne przypadki w dziedzinie:

Przypadek 1 – Prawa strona jest ujemna ($x - 2 < 0$):
Warunek ten oznacza $x < 2$. Uwzględniając dziedzinę ($x \ge -2$), otrzymujemy przedział: $$x \in \langle -2, 2)$$ Dla każdego $x$ z tego przedziału lewa strona nierówności jest nieujemna ($\sqrt{x + 2} \ge 0$), natomiast prawa strona jest ujemna ($x - 2 < 0$). Ponieważ każda liczba nieujemna jest większa od dowolnej liczby ujemnej, nierówność jest w tym przypadku spełniona tożsamościowo przez każdą liczbę. Rozwiązaniem Przypadku 1 jest cały przedział: $$x \in \langle -2, 2)$$
Przypadek 2 – Prawa strona jest nieujemna ($x - 2 \ge 0$):
Warunek ten oznacza $x \ge 2$. W tym przedziale obie strony nierówności są nieujemne, więc podnosimy je obustronnie do kwadratu: $$\begin{aligned} \left(\sqrt{x + 2}\right)^2 &> (x - 2)^2 \\[8pt] x + 2 &> x^2 - 4x + 4 \\[8pt] 0 &> x^2 - 5x + 2 \\[8pt] x^2 - 5x + 2 &< 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \\[8pt] &= 25 - 8 = 17 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{17} \\[8pt] x_1 &= \dfrac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0{,}44 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx 4{,}56 \end{aligned}$$ Parabola ma ramiona skierowane ku górze ($a = 1 > 0$), więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi: $$x \in \left(\dfrac{5 - \sqrt{17}}{2}, \dfrac{5 + \sqrt{17}}{2}\right)$$ Wyznaczamy część wspólną z założeniem Przypadku 2 ($x \ge 2$). Ponieważ $\dfrac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0{,}44 < 2$, otrzymujemy: $$x \in \left[2, \dfrac{5 + \sqrt{17}}{2}\right)$$
Zsumowanie przypadków i zilustrowanie rozwiązania podpunktu b):
Ostateczne rozwiązanie nierówności jest sumą rozwiązań uzyskanych w obu rozłącznych przypadkach: $$\begin{aligned} x &\in \langle -2, 2) \cup \left[2, \dfrac{5 + \sqrt{17}}{2}\right) \\[8pt] x &\in \left\langle -2, \dfrac{5 + \sqrt{17}}{2}\right) \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $x \in \langle 1, 5)$

b) $x \in \left\langle -2, \dfrac{5 + \sqrt{17}}{2}\right)$

Zadanie 5 (4 pkt)

Rozwiąż równanie: $$\sqrt{x + 2 - 2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 17 - 8\sqrt{x + 1}} = 3$$

Wskazówki:

Wyznacz dziedzinę równania, pamiętając, że wyrażenia pod pierwiastkami kwadratowymi muszą być nieujemne.
Zauważ, że wyrażenia pod głównymi pierwiastkami można zwinąć do kwadratu różnicy za pomocą wzoru skróconego mnożenia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Zastosuj tożsamość pierwiastka z kwadratu: $\sqrt{A^2} = |A|$.
Wprowadź pomocniczą zmienną $t = \sqrt{x + 1}$ ($t \ge 0$) i rozwiąż prostsze równanie z wartością bezwzględną metodą przedziałów lub interpretacją odległości na osi liczbowej.
Wróć do zmiennej wyjściowej $x$ i sprawdź zgodność z dziedziną.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny i zwinięcie wyrażeń pod pierwiastkami do kwadratów różnic:
Rozważmy wyjściowe równanie: $$\sqrt{x + 2 - 2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 17 - 8\sqrt{x + 1}} = 3$$ Wyrażenie pod pierwiastkiem wewnętrznym musi być nieujemne: $$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$$ Zauważmy, że oba wyrażenia pod głównymi pierwiastkami dają się przedstawić jako pełne kwadraty różnic: $$\begin{aligned} x + 2 - 2\sqrt{x + 1} &= (x + 1) - 2\sqrt{x + 1} + 1 \\[8pt] &= \left(\sqrt{x + 1}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1^2 \\[8pt] &= \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)^2 \end{aligned}$$ oraz: $$\begin{aligned} x + 17 - 8\sqrt{x + 1} &= (x + 1) - 8\sqrt{x + 1} + 16 \\[8pt] &= \left(\sqrt{x + 1}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{x + 1} \cdot 4 + 4^2 \\[8pt] &= \left(\sqrt{x + 1} - 4\right)^2 \end{aligned}$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc dla każdego $x \ge -1$ wyrażenia pod oboma pierwiastkami spełniają warunek nieujemności. Dziedziną równania jest zbiór: $$D = \langle -1, +\infty)$$
Zastosowanie tożsamości $\sqrt{A^2} = |A|$ i wprowadzenie zmiennej pomocniczej:
Korzystając z własności pierwiastka kwadratowego $\sqrt{A^2} = |A|$, zapisujemy równanie w postaci modułowej: $$\left|\sqrt{x + 1} - 1\right| + \left|\sqrt{x + 1} - 4\right| = 3$$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą: $$t = \sqrt{x + 1}, \quad \text{gdzie } t \ge 0$$ Otrzymujemy prostsze równanie z jedną niewiadomą $t$: $$|t - 1| + |t - 4| = 3$$
Sposób I – Rozwiązanie algebraiczne równania metodą przedziałów dla $t$:
Miejscami zerowymi wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi są liczby $t = 1$ oraz $t = 4$. Uwzględniając założenie $t \ge 0$, rozpatrujemy trzy przypadki:

Przypadek 1: $t \in \langle 0, 1)$
Oba wyrażenia pod modułami są ujemne, więc opuszczamy wartości bezwzględne ze zmianą znaku: $$\begin{aligned} -(t - 1) - (t - 4) &= 3 \\[8pt] -t + 1 - t + 4 &= 3 \\[8pt] -2t + 5 &= 3 \\[8pt] -2t &= -2 \\[8pt] t &= 1 \end{aligned}$$ Liczba $t = 1$ nie należy do rozpatrywanego przedziału $\langle 0, 1)$, zatem w tym przedziale brak rozwiązań.

Przypadek 2: $t \in \langle 1, 4\rangle$
Pierwsze wyrażenie jest nieujemne, a drugie niedodatnie: $$\begin{aligned} (t - 1) - (t - 4) &= 3 \\[8pt] t - 1 - t + 4 &= 3 \\[8pt] 3 &= 3 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy tożsamość prawdziwą dla każdej liczby z tego przedziału. Zatem wszystkie liczby $t \in \langle 1, 4\rangle$ są rozwiązaniami.

Przypadek 3: $t \in (4, +\infty)$
Oba wyrażenia pod modułami są dodatnie: $$\begin{aligned} (t - 1) + (t - 4) &= 3 \\[8pt] 2t - 5 &= 3 \\[8pt] 2t &= 8 \\[8pt] t &= 4 \end{aligned}$$ Liczba $t = 4$ nie należy do przedziału $(4, +\infty)$.

Łącząc wyniki ze wszystkich trzech przypadków, otrzymujemy: $$t \in \langle 1, 4\rangle$$
Sposób II – Geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej jako odległości:
Wyrażenie $|t - 1|$ to odległość punktu $t$ od liczby $1$ na osi liczbowej, natomiast $|t - 4|$ to odległość punktu $t$ od liczby $4$.
Równanie: $$|t - 1| + |t - 4| = 3$$ pyta o punkty $t$, dla których suma odległości od punktów $1$ i $4$ wynosi dokładnie $3$.
Ponieważ odległość między punktami $1$ i $4$ wynosi dokładnie $|4 - 1| = 3$, to dla każdego punktu leżącego pomiędzy nimi (wraz z końcami) suma odległości jest stała i wynosi $3$. Dla punktów położonych na zewnątrz odcinka $\langle 1, 4\rangle$ suma ta jest zawsze ściśle większa od $3$.
Stąd natychmiast otrzymujemy: $$t \in \langle 1, 4\rangle$$
Powrót do zmiennej $x$ i wyznaczenie zbioru rozwiązań:
Wracamy do podstawienia $t = \sqrt{x + 1}$. Z warunku $t \in \langle 1, 4\rangle$ zapisujemy podwójną nierówność: $$1 \le \sqrt{x + 1} \le 4$$ Ponieważ wszystkie strony nierówności są dodatnie, możemy podnieść je obustronnie do kwadratu bez zmiany kierunku nierówności: $$\begin{aligned} 1^2 &\le \left(\sqrt{x + 1}\right)^2 \le 4^2 \\[8pt] 1 &\le x + 1 \le 16 \end{aligned}$$ Odejmujemy $1$ od każdej części nierówności: $$\begin{aligned} 1 - 1 &\le x \le 16 - 1 \\[8pt] 0 &\le x \le 15 \end{aligned}$$ Porównujemy wyznaczony zbiór z dziedziną $D = \langle -1, +\infty)$. Cały przedział $\langle 0, 15\rangle$ mieści się w dziedzinie, zatem ostatecznym zbiorem rozwiązań równania jest: $$x \in \langle 0, 15\rangle$$

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest przedział $x \in \langle 0, 15\rangle$ (czyli $0 \le x \le 15$).

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Rozwiąż dane równanie, stosując metodę analizy starożytnych. a) $\sqrt{-4-4x} = -x - 1$ b) $\sqrt{x + \sqrt{20+x}} = 6$