Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną kartkówka

11.14 Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Rozwiąż algebraicznie równanie:

a) $(x - 2)^2 = 9|x - 2|$

b) $x^2 - 5|x| + 6 = 0$

Wskazówki:

Wykorzystaj fundamentalną tożsamość algebry: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi $a^2 = |a|^2$. Pozwala to zapisać kwadrat wyrażenia w postaci kwadratu jego wartości bezwzględnej.
W równaniach tego typu możesz zastosować rozkład na czynniki poprzez wyłączenie wspólnego elementu przed nawias, podstawienie zmiennej pomocniczej $t = |w(x)|$ (z koniecznym założeniem $t \ge 0$) lub klasyczne rozpatrzenie przypadków wynikających z definicji wartości bezwzględnej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $(x - 2)^2 = 9|x - 2|$ – Sposób I (wykorzystanie własności $a^2 = |a|^2$):
Zauważmy, że kwadrat dowolnego wyrażenia jest równy kwadratowi jego wartości bezwzględnej, czyli $(x - 2)^2 = |x - 2|^2$. Zastępujemy lewą stronę równania i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę: $$\begin{aligned} |x - 2|^2 &= 9|x - 2| \\[8pt] |x - 2|^2 - 9|x - 2| &= 0 \end{aligned}$$ Wyłączamy wspólny czynnik $|x - 2|$ przed nawias: $$|x - 2| \cdot (|x - 2| - 9) = 0$$ Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero: $$\begin{aligned} |x - 2| &= 0 \quad \text{lub} \quad |x - 2| - 9 = 0 \\[8pt] |x - 2| &= 0 \iff x - 2 = 0 \iff x = 2 \\[8pt] |x - 2| &= 9 \iff x - 2 = 9 \quad \text{lub} \quad x - 2 = -9 \end{aligned}$$ Z drugiego warunku otrzymujemy: $$\begin{aligned} x &= 9 + 2 = 11 \\[8pt] x &= -9 + 2 = -7 \end{aligned}$$ Ostatecznie rozwiązaniami podpunktu a) są liczby: $x \in \{-7, 2, 11\}$.
Podpunkt a) Sposób II (rozpatrzenie przypadków z definicji wartości bezwzględnej):
Definicja wartości bezwzględnej rozbija dziedzinę na dwa przedziały względem punktu zerowego wyrażenia pod modułem ($x = 2$):

Przypadek 1: $x \ge 2$. Wówczas $|x - 2| = x - 2$. $$\begin{aligned} (x - 2)^2 &= 9(x - 2) \\[8pt] (x - 2)^2 - 9(x - 2) &= 0 \\[8pt] (x - 2)(x - 2 - 9) &= 0 \\[8pt] (x - 2)(x - 11) &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymujemy $x = 2$ oraz $x = 11$. Obie liczby należą do przedziału $\langle 2, +\infty)$.

Przypadek 2: $x < 2$. Wówczas $|x - 2| = -(x - 2)$. $$\begin{aligned} (x - 2)^2 &= -9(x - 2) \\[8pt] (x - 2)^2 + 9(x - 2) &= 0 \\[8pt] (x - 2)(x - 2 + 9) &= 0 \\[8pt] (x - 2)(x + 7) &= 0 \end{aligned}$$ Stąd $x = 2$ (odrzucamy, gdyż nie spełnia warunku $x < 2$) oraz $x = -7$ (spełnia warunek $-7 < 2$).

Łącząc wyniki z obu przypadków, otrzymujemy: $x \in \{-7, 2, 11\}$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $x^2 - 5|x| + 6 = 0$ – Sposób I (metoda zmiennej pomocniczej):
Ponieważ $x^2 = |x|^2$, wyjściowe równanie możemy zapisać w postaci: $$|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = |x|$, pamiętając o bezwzględnym założeniu nieujemności: $t \ge 0$. Otrzymujemy standardowe równanie kwadratowe: $$t^2 - 5t + 6 = 0$$ Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ oraz pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \\[8pt] &= 25 - 24 = 1 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 1 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} t_1 &= \dfrac{-(-5) - 1}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2 \\[8pt] t_2 &= \dfrac{-(-5) + 1}{2 \cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3 \end{aligned}$$ Obie wyznaczone wartości są dodatnie, więc spełniają warunek $t \ge 0$. Wracamy do zmiennej $x$: $$\begin{aligned} |x| &= 2 \iff x = 2 \quad \text{lub} \quad x = -2 \\[8pt] |x| &= 3 \iff x = 3 \quad \text{lub} \quad x = -3 \end{aligned}$$ Zatem zbiorem rozwiązań podpunktu b) są cztery liczby: $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$.
Podpunkt b) Sposób II (rozpatrzenie przypadków ze względu na znak $x$):
Przypadek 1: $x \ge 0$. Wtedy $|x| = x$, a równanie ma postać: $$\begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &= 0 \\[8pt] (x - 2)(x - 3) &= 0 \end{aligned}$$ Stąd $x = 2$ lub $x = 3$. Obie liczby należą do przedziału $\langle 0, +\infty)$.

Przypadek 2: $x < 0$. Wtedy $|x| = -x$, a równanie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} x^2 - 5(-x) + 6 &= 0 \\[8pt] x^2 + 5x + 6 &= 0 \\[8pt] (x + 2)(x + 3) &= 0 \end{aligned}$$ Stąd $x = -2$ lub $x = -3$. Obie liczby należą do przedziału $(-\infty, 0)$.

Sumując rozwiązania uzyskane w obu przedziałach, otrzymujemy: $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$.

Odpowiedź:
a) $x \in \{-7, 2, 11\}$

b) $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$

Zadanie 2 (4 pkt)

Rozwiąż algebraicznie równanie:

a) $3x^2 - |x| = 24$

b) $|x^2 - 5x + 2| = 2$

Wskazówki:

W podpunkcie a) skorzystaj z tożsamości algebraicznej $x^2 = |x|^2$. Pozwala to wprowadzić zmienną pomocniczą $t = |x|$ z kluczowym założeniem $t \ge 0$ lub rozpatrzyć dwa przypadki wynikające ze znaku liczby $x$.
W podpunkcie b) zastosuj fundamentalną własność wartości bezwzględnej: dla dowolnej liczby $c > 0$ równanie $|w| = c$ jest równoważne alternatywie dwóch równań: $w = c$ lub $w = -c$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $3x^2 - |x| = 24$ – Sposób I (zmienna pomocnicza):
Wykorzystujemy własność $x^2 = |x|^2$ i zapisujemy równanie w postaci: $$3|x|^2 - |x| - 24 = 0$$ Wprowadzamy pomocniczą zmienną $t = |x|$, pamiętając o koniecznym założeniu nieujemności $t \ge 0$. Otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na $t$: $$3t^2 - t - 24 = 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) \\[8pt] &= 1 + 288 = 289 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{289} = 17 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pierwiastki równania: $$\begin{aligned} t_1 &= \dfrac{-(-1) - 17}{2 \cdot 3} = \dfrac{1 - 17}{6} = \dfrac{-16}{6} = -\dfrac{8}{3} \\[8pt] t_2 &= \dfrac{-(-1) + 17}{2 \cdot 3} = \dfrac{1 + 17}{6} = \dfrac{18}{6} = 3 \end{aligned}$$ Ponieważ wartość $t_1 = -\dfrac{8}{3} < 0$, odrzucamy ją, gdyż nie spełnia warunku $t \ge 0$.
Wartość $t_2 = 3$ jest dodatnia, zatem wracamy do zmiennej $x$: $$|x| = 3 \iff x = 3 \quad \text{lub} \quad x = -3$$ Rozwiązaniami podpunktu a) są liczby: $x \in \{-3, 3\}$.
Podpunkt a) Sposób II (rozpatrzenie przypadków ze względu na znak liczby $x$):
Wychodzimy z równania wyjściowego $3x^2 - |x| = 24$ i rozpatrujemy dwa przypadki na podstawie definicji modułu:

Przypadek 1: $x \ge 0$. Wtedy $|x| = x$, a równanie ma postać: $$3x^2 - x - 24 = 0$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta = 1 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 289$, $\sqrt{\Delta} = 17$.
Pierwiastkami są: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{1 - 17}{6} = -\dfrac{8}{3} \notin \langle 0, +\infty) \\[8pt] x_2 &= \dfrac{1 + 17}{6} = 3 \in \langle 0, +\infty) \end{aligned}$$ Z pierwszego przedziału otrzymujemy rozwiązanie $x = 3$.

Przypadek 2: $x < 0$. Wtedy $|x| = -x$, a równanie przyjmuje postać: $$\begin{aligned} 3x^2 - (-x) - 24 &= 0 \\[8pt] 3x^2 + x - 24 &= 0 \end{aligned}$$ Wyróżnik wynosi $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 289$, $\sqrt{\Delta} = 17$.
Pierwiastkami są: $$\begin{aligned} x_3 &= \dfrac{-1 - 17}{6} = \dfrac{-18}{6} = -3 \in (-\infty, 0) \\[8pt] x_4 &= \dfrac{-1 + 17}{6} = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3} \notin (-\infty, 0) \end{aligned}$$ Z drugiego przedziału otrzymujemy rozwiązanie $x = -3$.

Podsumowując oba przypadki, zbiorem rozwiązań jest $x \in \{-3, 3\}$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $|x^2 - 5x + 2| = 2$ – Sposób I (własność wartości bezwzględnej):
Korzystamy z faktu, że równanie $|w| = 2$ oznacza, iż wyrażenie wewnątrz modułu jest równe $2$ lub $-2$: $$x^2 - 5x + 2 = 2 \quad \text{lub} \quad x^2 - 5x + 2 = -2$$ Rozwiązujemy pierwsze równanie: $$\begin{aligned} x^2 - 5x + 2 &= 2 \\[8pt] x^2 - 5x &= 0 \\[8pt] x(x - 5) &= 0 \end{aligned}$$ Stąd otrzymujemy dwa rozwiązania: $$x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 5$$ Rozwiązujemy drugie równanie: $$\begin{aligned} x^2 - 5x + 2 &= -2 \\[8pt] x^2 - 5x + 4 &= 0 \end{aligned}$$ Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ dla tego trójmianu: $$\begin{aligned} \Delta &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \\[8pt] &= 25 - 16 = 9 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 3 \end{aligned}$$ Obliczamy pierwiastki: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{-(-5) - 3}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 - 3}{2} = 1 \\[8pt] x &= \dfrac{-(-5) + 3}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 + 3}{2} = 4 \end{aligned}$$ Łącząc rozwiązania z obu gałęzi, otrzymujemy cztery liczby spełniające równanie: $x \in \{0, 1, 4, 5\}$.
Podpunkt b) Sposób II (rozpatrzenie przypadków z definicji modułu):
Równanie wyjściowe to $|x^2 - 5x + 2| = 2$. Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej rozważamy dwa przypadki w zależności od znaku wyrażenia pod modułem:

Przypadek 1: $x^2 - 5x + 2 \ge 0$. Wówczas $|x^2 - 5x + 2| = x^2 - 5x + 2$: $$\begin{aligned} x^2 - 5x + 2 &= 2 \\[8pt] x(x - 5) &= 0 \iff x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 5 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek nieujemności: $$\begin{aligned} \text{Dla } x = 0: &\quad 0^2 - 5 \cdot 0 + 2 = 2 \ge 0 \quad \text{(warunek spełniony)} \\[8pt] \text{Dla } x = 5: &\quad 5^2 - 5 \cdot 5 + 2 = 2 \ge 0 \quad \text{(warunek spełniony)} \end{aligned}$$ Przypadek 2: $x^2 - 5x + 2 < 0$. Wówczas $|x^2 - 5x + 2| = -(x^2 - 5x + 2)$: $$\begin{aligned} -(x^2 - 5x + 2) &= 2 \\[8pt] x^2 - 5x + 2 &= -2 \\[8pt] x^2 - 5x + 4 &= 0 \\[8pt] (x - 1)(x - 4) &= 0 \iff x = 1 \quad \text{lub} \quad x = 4 \end{aligned}$$ Sprawdzamy warunek ujemności: $$\begin{aligned} \text{Dla } x = 1: &\quad 1^2 - 5 \cdot 1 + 2 = -2 < 0 \quad \text{(warunek spełniony)} \\[8pt] \text{Dla } x = 4: &\quad 4^2 - 5 \cdot 4 + 2 = -2 < 0 \quad \text{(warunek spełniony)} \end{aligned}$$ Oba podejścia prowadzą do tego samego zbioru rozwiązań: $x \in \{0, 1, 4, 5\}$.

Odpowiedź:
a) $x \in \{-3, 3\}$

b) $x \in \{0, 1, 4, 5\}$

Zadanie 3 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$, które spełniają podane równanie:

a) $x^2 = |x + 2| - |x - 2|$

b) $x \cdot |x| + |x - 2| = 2$

Wskazówki:

W równaniach zawierających wyrażenia pod znakiem wartości bezwzględnej wyznacz najpierw miejsca zerowe poszczególnych modułów. Dzielą one całą oś liczbową na przedziały, w których wyrażenia pod wartością bezwzględną mają stały znak.
Zastosuj definicję wartości bezwzględnej: jeżeli wyrażenie jest nieujemne, opuszczasz kreski bez zmian; jeżeli ujemne, zmieniasz znak każdego wyrazu wewnątrz modułu na przeciwny.
Rozwiąż powstałe równanie kwadratowe w każdym z przedziałów, a następnie bezwzględnie sprawdź, czy otrzymane liczby należą do rozpatrywanego w danym kroku przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $x^2 = |x + 2| - |x - 2|$:
Miejscami zerowymi wyrażeń pod modułami są liczby $x = -2$ oraz $x = 2$. Dzielą one oś liczb na trzy przedziały: $$\begin{aligned} I&: \quad x \in (-\infty, -2) \\[8pt] II&: \quad x \in [-2, 2) \\[8pt] III&: \quad x \in [2, \infty) \end{aligned}$$
Przedział I: $x \in (-\infty, -2)$
Dla liczb mniejszych od $-2$ oba wyrażenia są ujemne, zatem $|x + 2| = -(x + 2)$ oraz $|x - 2| = -(x - 2)$: $$\begin{aligned} x^2 &= -(x + 2) - [-(x - 2)] \\[8pt] x^2 &= -x - 2 + x - 2 \\[8pt] x^2 &= -4 \end{aligned}$$ Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być liczbą ujemną, więc w tym przedziale równanie nie ma rozwiązań.

Przedział II: $x \in [-2, 2)$
W tym przedziale $x + 2 \ge 0$, natomiast $x - 2 < 0$, stąd $|x + 2| = x + 2$ oraz $|x - 2| = -(x - 2)$: $$\begin{aligned} x^2 &= (x + 2) - [-(x - 2)] \\[8pt] x^2 &= x + 2 + x - 2 \\[8pt] x^2 &= 2x \\[8pt] x^2 - 2x &= 0 \\[8pt] x(x - 2) &= 0 \end{aligned}$$ Otrzymujemy dwa potencjalne pierwiastki: $$x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 2$$ Weryfikujemy przynależność do przedziału $[-2, 2)$: Liczba $x = 0$ należy do przedziału $[-2, 2)$. Liczba $x = 2$ nie należy do przedziału lewostronnie domkniętego $[-2, 2)$. Stąd jedynym rozwiązaniem w tym przedziale jest $x = 0$.

Przedział III: $x \in [2, \infty)$
Dla liczb nie mniejszych od $2$ oba wyrażenia są nieujemne, więc opuszczamy moduły bez zmiany znaków: $$\begin{aligned} x^2 &= (x + 2) - (x - 2) \\[8pt] x^2 &= x + 2 - x + 2 \\[8pt] x^2 &= 4 \\[8pt] x = 2 \quad &\text{lub} \quad x = -2 \end{aligned}$$ Weryfikujemy przynależność do przedziału $[2, \infty)$: Liczba $x = 2$ należy do przedziału, natomiast $x = -2$ nie spełnia warunku $x \ge 2$.

Ostatecznie z sumy wszystkich trzech przedziałów otrzymujemy dwa rozwiązania: $x = 0$ oraz $x = 2$.
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $x \cdot |x| + |x - 2| = 2$:
Wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi zerują się dla $x = 0$ oraz $x = 2$. Rozpatrujemy równanie w trzech kolejnych przedziałach: $$\begin{aligned} I&: \quad x \in (-\infty, 0) \\[8pt] II&: \quad x \in [0, 2) \\[8pt] III&: \quad x \in [2, \infty) \end{aligned}$$
Przedział I: $x \in (-\infty, 0)$
Dla $x < 0$ mamy $|x| = -x$ oraz $|x - 2| = -(x - 2)$: $$\begin{aligned} x \cdot (-x) - (x - 2) &= 2 \\[8pt] -x^2 - x + 2 &= 2 \\[8pt] -x^2 - x &= 0 \\[8pt] x^2 + x &= 0 \\[8pt] x(x + 1) &= 0 \end{aligned}$$ Stąd: $$x = 0 \quad \text{lub} \quad x = -1$$ Sprawdzamy warunek $x < 0$: Liczba $x = 0$ nie należy do przedziału $(-\infty, 0)$, natomiast $x = -1$ spełnia warunek $x < 0$. Rozwiązaniem jest $x = -1$.

Przedział II: $x \in [0, 2)$
Dla $x \in [0, 2)$ zachodzi $|x| = x$ oraz $|x - 2| = -(x - 2)$: $$\begin{aligned} x \cdot x - (x - 2) &= 2 \\[8pt] x^2 - x + 2 &= 2 \\[8pt] x^2 - x &= 0 \\[8pt] x(x - 1) &= 0 \end{aligned}$$ Stąd: $$x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 1$$ Obie wyznaczone liczby należą do przedziału $[0, 2)$, zatem obie stanowią poprawne rozwiązania równania w tym przedziale.

Przedział III: $x \in [2, \infty)$
Dla $x \ge 2$ oba moduły opuszczamy bez zmiany znaków: $$\begin{aligned} x \cdot x + (x - 2) &= 2 \\[8pt] x^2 + x - 2 &= 2 \\[8pt] x^2 + x - 4 &= 0 \end{aligned}$$ Obliczamy wyróżnik równania kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \\[8pt] &= 1 + 16 = 17 \end{aligned}$$ Pierwiastkami są: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2} < 0 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx \dfrac{-1 + 4{,}12}{2} = 1{,}56 \end{aligned}$$ Żadna z tych wartości nie jest większa bądź równa $2$, więc w tym przedziale nie ma rozwiązań.

Zbierając rozwiązania ze wszystkich przedziałów, zbiorem rozwiązań równania jest zbiór trójelementowy: $x \in \{-1, 0, 1\}$.

Odpowiedź:
a) $x \in \{0, 2\}$

b) $x \in \{-1, 0, 1\}$

Zadanie 4 (4 pkt)

Rozwiąż algebraicznie nierówność:

a) $|x^2 + 4x + 2| \le 2$

b) $x^2 - |x| - 6 \ge 0$

Wskazówki:

W podpunkcie a) skorzystaj z podstawowej własności wartości bezwzględnej dla $a \ge 0$: relacja $|W| \le a$ oznacza, że wyrażenie $W$ spełnia podwójną nierówność $-a \le W \le a$, co sprowadza zagadnienie do części wspólnej rozwiązań dwóch nierówności kwadratowych.
W podpunkcie b) wykorzystaj fakt, że kwadrat liczby rzeczywistej jest równy kwadratowi jej wartości bezwzględnej: $x^2 = |x|^2$. Możesz podstawić nową zmienną $t = |x|$ (pamiętając o warunku $t \ge 0$) lub podzielić oś liczbową na dwa przedziały zgodnie z definicją modułu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $|x^2 + 4x + 2| \le 2$:
Dla dowolnego wyrażenia algebraicznego $W$ oraz liczby nieujemnej $a \ge 0$ nierówność z wartością bezwzględną jest równoważna układowi nierówności: $$|W| \le a \iff -a \le W \le a \iff \begin{cases} W \ge -a \\[8pt] W \le a \end{cases}$$ Wstawiając wyrażenie z zadania, otrzymujemy układ dwóch nierówności kwadratowych, które muszą być spełnione jednocześnie: $$\begin{cases} x^2 + 4x + 2 \ge -2 \\[8pt] x^2 + 4x + 2 \le 2 \end{cases}$$ Rozpatrujemy pierwszą nierówność układu, przenosząc wyraz wolny na lewą stronę: $$x^2 + 4x + 4 \ge 0$$ Zwijamy trójmian za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(x + 2)^2 \ge 0$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze większy bądź równy zero. Oznacza to, że pierwsza nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej: $$x \in \mathbb{R}$$ Rozpatrujemy drugą nierówność układu: $$x^2 + 4x + 2 \le 2$$ Odejmujemy $2$ od obu stron: $$x^2 + 4x \le 0$$ Wyłączamy wspólny czynnik $x$ przed nawias: $$x(x + 4) \le 0$$ Miejscami zerowymi wielomianu są $x_1 = -4$ oraz $x_2 = 0$. Parabola ma ramiona skierowane ku górze ($a = 1 > 0$), zatem wartości niedodatnie przyjmuje w domkniętym przedziale pomiędzy miejscami zerowymi: $$x \in \langle -4, 0 \rangle$$ Wyznaczamy część wspólną rozwiązań obu nierówności: $$x \in \mathbb{R} \cap \langle -4, 0 \rangle = \langle -4, 0 \rangle$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność $x^2 - |x| - 6 \ge 0$ – Sposób I (metoda zmiennej pomocniczej):
Zauważamy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi tożsamość $x^2 = |x|^2$. Zapisujemy nierówność w równoważnej postaci: $$|x|^2 - |x| - 6 \ge 0$$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = |x|$, pamiętając o koniecznym założeniu nieujemności: $t \ge 0$. Otrzymujemy nierówność kwadratową zmiennej $t$: $$t^2 - t - 6 \ge 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \\[8pt] &= 1 + 24 = 25 \end{aligned}$$ $$\sqrt{\Delta} = 5$$ Wyznaczamy pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} t_1 &= \dfrac{-(-1) - 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 - 5}{2} = -2 \\[8pt] t_2 &= \dfrac{-(-1) + 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3 \end{aligned}$$ Współczynnik przy $t^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości większe bądź równe zero leżą na zewnątrz przedziału między pierwiastkami: $$t \le -2 \quad \text{lub} \quad t \ge 3$$ Konfrontujemy wynik z założeniem $t \ge 0$: Warunek $t \le -2$ jest sprzeczny z $t \ge 0$ (wartość bezwzględna nie może być mniejsza od liczby ujemnej). Pozostaje zatem wyłącznie: $$t \ge 3$$ Wracamy do zmiennej $x$, podstawiając $t = |x|$: $$|x| \ge 3 \iff x \le -3 \quad \text{lub} \quad x \ge 3$$ Co w zapisie przedziałowym daje rozwiązanie: $$x \in (-\infty, -3\rangle \cup \langle 3, +\infty)$$
Podpunkt b) – Sposób II (rozpatrzenie przedziałów z definicji wartości bezwzględnej):
Zgodnie z definicją modułu: $$|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}$$ Rozwiązujemy zadanie w dwóch rozłącznych przedziałach: Przypadek 1: Założenie $x \ge 0$
W tym przedziale $|x| = x$, zatem nierówność ma postać: $$x^2 - x - 6 \ge 0$$ Miejscami zerowymi są $x_1 = -2$ oraz $x_2 = 3$. Znak nierówności wskazuje na przedziały zewnętrzne: $$x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 3, +\infty)$$ Wyznaczamy część wspólną z założeniem przypadku ($x \ge 0$): $$x \in \langle 3, +\infty)$$ Przypadek 2: Założenie $x < 0$
W tym przedziale $|x| = -x$, co daje: $$\begin{aligned} x^2 - (-x) - 6 &\ge 0 \\[8pt] x^2 + x - 6 &\ge 0 \end{aligned}$$ Dla trójmianu $x^2 + x - 6$ obliczamy $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25$, a pierwiastki to: $$x_1 = \dfrac{-1 - 5}{2} = -3, \quad x_2 = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$$ Rozwiązaniem nierówności kwadratowej są przedziały zewnętrzne: $$x \in (-\infty, -3\rangle \cup \langle 2, +\infty)$$ Wyznaczamy część wspólną z założeniem przypadku ($x < 0$): $$x \in (-\infty, -3\rangle$$ Podsumowanie obu przypadków:
Ostateczne rozwiązanie stanowi sumę wyników uzyskanych w obu przypadkach: $$x \in (-\infty, -3\rangle \cup \langle 3, +\infty)$$

Odpowiedź:
a) $x \in \langle -4, 0 \rangle$

b) $x \in (-\infty, -3\rangle \cup \langle 3, +\infty)$

Zadanie 5 (4 pkt)

Wyznacz metodą graficzną zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

a) $|x^2 - 1| \le |x^2 - 7|$

b) $|x^2 - 1| > |x + 1|$

Wskazówki:

Przedstaw lewą i prawą stronę nierówności jako osobne funkcje, a następnie naszkicuj ich wykresy w jednym kartezjańskim układzie współrzędnych.
Punkty przecięcia wykresów wyznacz precyzyjnie drogą algebraiczną, rozwiązując odpowiednie równanie z wartością bezwzględną.
Odczytaj z osi $OX$ zbiór argumentów, dla których wykres funkcji po lewej stronie leży poniżej (lub powyżej) wykresu po prawej stronie. Zwróć uwagę na to, czy punkty graniczne należą do przedziału (nierówność nieostra $\le$) czy są wyłączone (nierówność ostra $>$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Szkic pomocniczy i analiza funkcji wyjściowych:
Rozpatrujemy nierówność $|x^2 - 1| \le |x^2 - 7|$. Niech lewa strona to funkcja $f(x) = |x^2 - 1|$, a prawa strona to funkcja $g(x) = |x^2 - 7|$.

Wykres $f(x)$ powstaje przez odbicie części paraboli $y = x^2 - 1$ leżącej pod osią $OX$ (miejsca zerowe: $x = -1$ oraz $x = 1$, wierzchołek po odbiciu w punkcie $(0, 1)$).
Wykres $g(x)$ to odbita parabola $y = x^2 - 7$ o miejscach zerowych $x = -\sqrt{7}$ i $x = \sqrt{7}$ oraz wierzchołku w punkcie $(0, 7)$.
Podpunkt a) Wyznaczenie punktów przecięcia i ustalenie zbioru rozwiązań:
W celu precyzyjnego wyznaczenia odciętych punktów przecięcia wykresów rozwiązujemy równanie $|x^2 - 1| = |x^2 - 7|$. Ponieważ obie strony są nieujemne, podnosimy je obustronnie do kwadratu: $$\begin{aligned} (x^2 - 1)^2 &= (x^2 - 7)^2 \\[8pt] (x^2 - 1)^2 - (x^2 - 7)^2 &= 0 \\[8pt] \big[(x^2 - 1) - (x^2 - 7)\big]\big[(x^2 - 1) + (x^2 - 7)\big] &= 0 \\[8pt] 6 \cdot (2x^2 - 8) &= 0 \\[8pt] 2x^2 - 8 &= 0 \\[8pt] x^2 &= 4 \implies x = -2 \quad \text{lub} \quad x = 2 \end{aligned}$$ Dla $x = -2$ oraz $x = 2$ wartość wynosi $y = |4 - 1| = 3$. Wykresy przecinają się dokładnie w punktach $(-2, 3)$ oraz $(2, 3)$.

Szukamy argumentów $x$, dla których wykres $f(x)$ znajduje się poniżej lub na wykresie $g(x)$ ($f(x) \le g(x)$). Z rysunku bezpośrednio odczytujemy, że warunek ten jest spełniony pomiędzy punktami przecięcia włącznie z nimi, czyli dla: $$x \in \langle -2, 2 \rangle$$
Podpunkt b) Analiza funkcji wyjściowych i szkic pomocniczy:
Rozpatrujemy nierówność $|x^2 - 1| > |x + 1|$. Definiujemy funkcje: $$f(x) = |x^2 - 1|, \quad h(x) = |x + 1|$$ Wykres $h(x) = |x + 1|$ ma kształt litery V o wierzchołku na osi $OX$ w punkcie $(-1, 0)$. Wykres $f(x)$ to znana z podpunktu a) odbita parabola.
Podpunkt b) Wyznaczenie punktów wspólnych i interpretacja zbioru rozwiązań:
Zauważamy, że $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, zatem $|x^2 - 1| = |x - 1| \cdot |x + 1|$. Przyrównujemy obie funkcje: $$\begin{aligned} |x - 1| \cdot |x + 1| &= |x + 1| \\[8pt] |x + 1| \cdot \big(|x - 1| - 1\big) &= 0 \end{aligned}$$ Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:
1) $|x + 1| = 0 \implies x = -1$ (punkt przecięcia: $(-1, 0)$),
2) $|x - 1| - 1 = 0 \implies |x - 1| = 1$, skąd: $$\begin{aligned} x - 1 = 1 &\implies x = 2 \quad (\text{punkt } (2, 3)) \\[8pt] x - 1 = -1 &\implies x = 0 \quad (\text{punkt } (0, 1)) \end{aligned}$$ Szukamy przedziałów, w których wykres $f(x)$ leży ściśle powyżej wykresu $h(x)$ ($f(x) > h(x)$):
- Dla $x < -1$: wykres niebieski znajduje się nad pomarańczowym,
- Dla $-1 < x < 0$: wykres niebieski znajduje się nad pomarańczowym,
- Dla $0 < x < 2$: wykres niebieski znajduje się pod pomarańczowym ($f(x) < h(x)$),
- Dla $x > 2$: wykres niebieski znajduje się nad pomarańczowym.

W punktach $x = -1$, $x = 0$ oraz $x = 2$ zachodzi równość, dlatego punkty te wykluczamy ze zbioru rozwiązań (nierówność ostra). Ostatecznie otrzymujemy sumę przedziałów otwartych: $$x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (2, \infty)$$

Odpowiedź:
a) $x \in \langle -2, 2 \rangle$

b) $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (2, \infty)$

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań rzeczywistych dla podanych równań algebraicznych:

a) $(x - 3)^2 = 4|x - 3|$

b) $x^2 - 8|x| + 15 = 0$

Zadanie 2 (4 pkt)

Znajdź algebraicznie wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające równania:

a) $x^2 - 2|x| = 8$

b) $|x^2 - 2x - 1| = 1$

Zadanie 3 (4 pkt)

Znajdź wszystkie rozwiązania rzeczywiste poniższego równania:

a) $x^2 = |x + 4| - |x - 1|$

b) $x \cdot |x| + |3x - 1| = 3$

Zadanie 4 (4 pkt)

Wyznacz algebraicznie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

a) $|x^2 - 4x + 1| \le 6$

b) $x^2 - |x| - 6 \ge 0$

Zadanie 5 (4 pkt)

Posługując się interpretacją graficzną odpowiednich funkcji, wyznacz zbiór rozwiązań nierówności:

a) $|x^2 - 4| \ge |x^2 - 14|$

b) $|x^2 - 4| > |x - 2|$

11.14 Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (4 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (4 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (4 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋