Proste równania z wartością bezwzględną kartkówka

10.3 Proste równania z wartością bezwzględną

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (6 pkt)

Rozwiąż dane równanie, korzystając z odległości między liczbami na osi liczbowej.

a) $|x + 1| = 4$

b) $|6 - x| = 2$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i interpretacja geometryczna: Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb $|a - b|$ reprezentuje odległość między punktami $a$ i $b$ na osi liczbowej. Równanie postaci $|x - a| = d$ oznacza poszukiwanie liczb $x$, których odległość od liczby $a$ wynosi dokładnie $d$.
Sprowadzenie sumy do postaci różnicy: W wyrażeniu $|x + 1|$ występuje dodawanie, dlatego zamieniamy je na różnicę: $|x - (-1)|$. Punktem odniesienia (środkiem) na osi liczbowej jest liczba $-1$.
Symetria wartości bezwzględnej: W podpunkcie b) korzystamy z tożsamości $|a - b| = |b - a|$. Wyrażenie $|6 - x|$ jest tożsame z $|x - 6|$, co oznacza odległość liczby $x$ od punktu $6$.
Odczytywanie liczb na osi: Mając punkt odniesienia $a$ i odległość $d$, szukane liczby wyznaczamy, przesuwając się na osi o $d$ jednostek w lewo ($x_1 = a - d$) oraz o $d$ jednostek w prawo ($x_2 = a + d$).
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na znak punktu bazowego. W zapisie $|x + 1| = 4$ częstym błędem jest przyjęcie za punkt odniesienia liczby $1$ zamiast $-1$. Pamiętaj, że wzór bazuje na odejmowaniu: $x - a$, stąd $x + 1 = x - (-1)$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $|x + 1| = 4$ za pomocą osi liczbowej:
Przekształcamy wyrażenie pod wartością bezwzględną do postaci różnicy: $$|x - (-1)| = 4$$ Geometrycznie równanie to oznacza poszukiwanie wszystkich takich liczb $x$, których odległość od liczby $-1$ na osi liczbowej wynosi dokładnie $4$.

Od punktu $-1$ odmierzamy $4$ jednostki w lewą oraz w prawą stronę: $$\begin{aligned} x_1 &= -1 - 4 = -5 \\[8pt] x_2 &= -1 + 4 = 3 \end{aligned}$$ Zatem rozwiązaniami równania są liczby: $$x = -5 \quad \lor \quad x = 3$$
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $|6 - x| = 2$ za pomocą osi liczbowej:
Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $|a - b| = |b - a|$, co pozwala zapisać równanie w równoważnej postaci: $$|x - 6| = 2$$ Oznacza to poszukiwanie liczb $x$, których odległość od liczby $6$ na osi liczbowej wynosi dokładnie $2$.

Od punktu $6$ odmierzamy $2$ jednostki w lewą oraz w prawą stronę: $$\begin{aligned} x_1 &= 6 - 2 = 4 \\[8pt] x_2 &= 6 + 2 = 8 \end{aligned}$$ Zatem rozwiązaniami równania są liczby: $$x = 4 \quad \lor \quad x = 8$$

Odpowiedź:
a) $x \in \{-5, 3\}$

b) $x \in \{4, 8\}$

Zadanie 2 (8 pkt)

Rozwiąż algebraicznie równanie:

a) $|x + 2{,}5| - 4{,}5 = 0$

b) $-0{,}2|-1 - x| = -3$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i izolacja modułu: Zanim skorzystasz z definicji wartości bezwzględnej, doprowadź równanie do postaci elementarnej $|W(x)| = c$, przenosząc wyrazy wolne na prawą stronę i dzieląc obustronnie przez współczynnik liczbowy stojący przed wartością bezwzględną.
Analiza warunku rozwiązywalności: Zwróć uwagę na znak stałej $c$ po prawej stronie równania:
- jeśli $c > 0$, równanie ma dwa rozwiązania,
- jeśli $c = 0$, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie,
- jeśli $c < 0$, równanie jest sprzeczne (ponieważ moduł z dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny).
Rozbicie na dwa równania liniowe: Dla $c > 0$ równanie $|W(x)| = c$ zastępujemy alternatywą dwóch prostych równań połączonych spójnikiem „lub”: $W(x) = c$ lub $W(x) = -c$.
Własność symetrii modułu (ułatwienie w podpunkcie b): Pamiętaj, że liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, czyli $|-t| = |t|$. Z tego względu wyrażenie pod modułem można przekształcić: $|-1 - x| = |-(1 + x)| = |x + 1|$, co pozwala uniknąć pomyłek przy znakach minus.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie opuszczaj nawiasów wartości bezwzględnej tak, jakby były zwykłymi nawiasami. Pamiętaj również, że dzielenie obu stron równania przez liczbę ujemną (w podpunkcie b przez $-0{,}2$) daje po prawej stronie liczbę dodatnią: $\frac{-3}{-0{,}2} = 15$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy algebraicznie równanie $|x + 2{,}5| - 4{,}5 = 0$:
W pierwszym kroku izolujemy wyrażenie z wartością bezwzględną, przenosząc liczbę $-4{,}5$ na prawą stronę równania ze zmianą znaku: $$ |x + 2{,}5| = 4{,}5 $$ Prawa strona jest dodatnia ($4{,}5 > 0$), zatem korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozbijamy równanie na alternatywę dwóch równań liniowych: $$ x + 2{,}5 = 4{,}5 \quad \text{lub} \quad x + 2{,}5 = -4{,}5 $$ Rozwiązujemy każde z nich, odejmując obustronnie $2{,}5$: $$ \begin{aligned} x &= 4{,}5 - 2{,}5 \quad &\text{lub} \quad &x = -4{,}5 - 2{,}5 \\[8pt] x &= 2 \quad &\text{lub} \quad &x = -7 \end{aligned} $$ Otrzymujemy dwa rozwiązania: $$ x \in \{-7, 2\} $$
Podpunkt b) Rozwiązujemy algebraicznie równanie $-0{,}2|-1 - x| = -3$:
Izolujemy wartość bezwzględną, dzieląc obie strony równania przez współczynnik $-0{,}2$: $$ \begin{aligned} |-1 - x| &= \dfrac{-3}{-0{,}2} \\[8pt] |-1 - x| &= \dfrac{30}{2} \\[8pt] |-1 - x| &= 15 \end{aligned} $$ Wykorzystujemy własność wartości bezwzględnej $|-a| = |a|$, wyłączając minus przed nawias wewnątrz modułu: $$ |-1 - x| = |-(x + 1)| = |x + 1| $$ Równanie przyjmuje prostszą postać: $$ |x + 1| = 15 $$ Rozbijamy równanie na dwa przypadki: $$ \begin{aligned} x + 1 = 15 \quad &\text{lub} \quad x + 1 = -15 \\[8pt] x = 15 - 1 \quad &\text{lub} \quad x = -15 - 1 \\[8pt] x = 14 \quad &\text{lub} \quad x = -16 \end{aligned} $$ Uwaga: Rozwiązując równanie bezpośrednio z postaci $|-1 - x| = 15$ bez przekształcania wnętrza modułu: $$ \begin{aligned} -1 - x = 15 \quad &\text{lub} \quad -1 - x = -15 \\[8pt] -x = 16 \quad &\text{lub} \quad -x = -14 \\[8pt] x = -16 \quad &\text{lub} \quad x = 14 \end{aligned} $$ Otrzymujemy dokładnie ten sam zbiór rozwiązań: $$ x \in \{-16, 14\} $$

Odpowiedź:
a) $x \in \{-7, 2\}$

b) $x \in \{-16, 14\}$

Zadanie 3 (12 pkt)

Rozwiąż równanie:

a) $10 - 2|x| - 5(|x| + 1) = 3(|x| - 4) - 3$

b) $-\dfrac{3|x - 2| - 1}{4} + \dfrac{|2 - x| + 5}{2} = 1 - \dfrac{7 - |-x + 2|}{8}$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Zwróć uwagę, że w obu równaniach wyrażenie z wartością bezwzględną można potraktować jako jedną całość. Nie ma potrzeby rozpatrywania przedziałów na osi liczbowej od samego początku.
Własność liczb przeciwnych w wartości bezwzględnej: Pamiętaj o tożsamości $|a| = |-a|$. Wynika z niej bezpośrednio, że $|2 - x| = |-(x - 2)| = |x - 2|$ oraz $|-x + 2| = |-(x - 2)| = |x - 2|$, co pozwala sprowadzić wszystkie moduły w podpunkcie b) do jednakowej postaci $|x - 2|$.
Kolejność operacji algebraicznych: W podpunkcie a) wymnóż współczynniki stojące przed nawiasami i zredukuj wyrazy podobne. W podpunkcie b) pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik (liczbę $8$), aby całkowicie pozbyć się ułamków.
Wyznaczenie niewiadomej z równania modułowego: Doprowadź równanie do elementarnej postaci $|w(x)| = c$. Jeżeli $c > 0$, skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej, rozbijając równanie na dwa przypadki: $w(x) = c$ lub $w(x) = -c$.
Czego unikać (częsta pułapka): Zwróć szczególną uwagę na znak minus stojący przed pierwszym ułamkiem w podpunkcie b). Przy mnożeniu przez wspólny mianownik minus odnosi się do całego licznika, zmieniając znaki obu jego składników: $-(3|x - 2| - 1) = -3|x - 2| + 1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wymnożenie nawiasów w równaniu $10 - 2|x| - 5(|x| + 1) = 3(|x| - 4) - 3$:
Opuszczamy nawiasy okrągłe, mnożąc wyrażenia w ich wnętrzu przez liczby stojące przed nimi: $$10 - 2|x| - 5|x| - 5 = 3|x| - 12 - 3$$
Podpunkt a) Redukcja wyrazów podobnych i wyznaczenie wartości $|x|$:
Upraszczamy lewą oraz prawą stronę równania: $$5 - 7|x| = 3|x| - 15$$ Grupujemy wyrazy z wartością bezwzględną po lewej stronie, a wyrazy wolne po prawej stronie: $$\begin{aligned} -7|x| - 3|x| &= -15 - 5 \\[8pt] -10|x| &= -20 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $-10$: $$|x| = 2$$ Z definicji wartości bezwzględnej liczba, której odległość od zera wynosi $2$, to $2$ lub $-2$: $$x = 2 \quad \text{lub} \quad x = -2$$
Podpunkt b) Uproszczenie modułów w równaniu $-\dfrac{3|x - 2| - 1}{4} + \dfrac{|2 - x| + 5}{2} = 1 - \dfrac{7 - |-x + 2|}{8}$:
Wartość bezwzględna liczb przeciwnych jest taka sama, czyli $|a| = |-a|$. Wyciągając czynnik $-1$ przed nawias pod znakiem modułu, otrzymujemy: $$\begin{aligned} |2 - x| &= |-(x - 2)| = |x - 2| \\[8pt] |-x + 2| &= |-(x - 2)| = |x - 2| \end{aligned}$$ Wstawiamy otrzymane wyrażenie $|x - 2|$ w miejsce pozostałych modułów: $$-\dfrac{3|x - 2| - 1}{4} + \dfrac{|x - 2| + 5}{2} = 1 - \dfrac{7 - |x - 2|}{8}$$
Podpunkt b) Mnożenie przez wspólny mianownik i redukcja do postaci elementarnej:
Wspólnym mianownikiem dla liczb $4$, $2$ oraz $8$ jest $8$. Mnożymy obie strony równania przez $8$, zabezpieczając liczniki nawiasami: $$-2 \cdot (3|x - 2| - 1) + 4 \cdot (|x - 2| + 5) = 8 \cdot 1 - (7 - |x - 2|)$$ Wymnażamy wyrażenia w nawiasach: $$-6|x - 2| + 2 + 4|x - 2| + 20 = 8 - 7 + |x - 2|$$ Redukujemy wyrazy podobne po obu stronach: $$-2|x - 2| + 22 = 1 + |x - 2|$$ Przenosimy wyrażenia z $|x - 2|$ na lewą stronę, a liczby na prawą: $$\begin{aligned} -2|x - 2| - |x - 2| &= 1 - 22 \\[8pt] -3|x - 2| &= -21 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $-3$: $$|x - 2| = 7$$
Podpunkt b) Wyznaczenie ostatecznych rozwiązań:
Korzystamy z własności wartości bezwzględnej: odległość liczby $x - 2$ od zera wynosi $7$, co daje dwa równania liniowe: $$\begin{aligned} x - 2 = 7 \quad &\text{lub} \quad x - 2 = -7 \\[8pt] x = 7 + 2 \quad &\text{lub} \quad x = -7 + 2 \\[8pt] x = 9 \quad &\text{lub} \quad x = -5 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $x = -2$ lub $x = 2$

b) $x = -5$ lub $x = 9$

Zadanie 4 (14 pkt)

Wyznacz liczbę $k$ wiedząc, że jednym z rozwiązań danego równania z niewiadomą $x$ jest liczba podana obok równania. Dla wyznaczonej wartości $k$ znajdź drugie rozwiązanie tego równania (o ile istnieje).

a) $|x + k - 2| = 3, \quad 6$

b) $|x - k^2 + 5| = 2, \quad -1$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i wykorzystanie znanego pierwiastka: Skoro podana obok równania liczba jest jego rozwiązaniem, podstaw ją w miejsce niewiadomej $x$. W ten sposób otrzymasz równanie z jedną niewiadomą – parametrem $k$.
Główna metoda rozwiązywania równań z wartością bezwzględną: Zastosuj algebraiczną własność wartości bezwzględnej: dla dowolnej liczby $c > 0$ równanie postaci $|w| = c$ rozbija się na alternatywę dwóch prostych równań liniowych: $w = c$ lub $w = -c$.
Kolejność operacji i wyznaczenie parametru: Rozwiąż oba powstałe przypadki, pamiętając, że możesz otrzymać więcej niż jedną wartość $k$. W podpunkcie b) zwróć szczególną uwagę na równanie kwadratowe z $k^2$ – równość typu $k^2 = d$ dla $d > 0$ daje zawsze dwa przeciwne rozwiązania: $k = \sqrt{d}$ oraz $k = -\sqrt{d}$.
Poszukiwanie drugiego rozwiązania równania: Każdą wyznaczoną wartość parametru $k$ wstaw z powrotem do pierwotnego równania z niewiadomą $x$ i ponownie rozwiąż równanie z wartością bezwzględną, identyfikując drugą liczbę spełniającą równość.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie zatrzymuj się na wyznaczeniu tylko jednej wartości parametru $k$. Opuszczenie modułu bez uwzględnienia ujemnej wartości po prawej stronie (czyli zapomnienie o przypadku $w = -c$) lub zgubienie ujemnych pierwiastków przy $k^2$ prowadzi do utraty połowy rozwiązań.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Podstawienie znanego rozwiązania $x = 6$ do równania $|x + k - 2| = 3$ i wyznaczenie parametru $k$:
Liczba $6$ spełnia równanie $|x + k - 2| = 3$, zatem podstawiamy $x = 6$: $$|6 + k - 2| = 3$$ Redukujemy wyrazy podobne wewnątrz wartości bezwzględnej: $$|k + 4| = 3$$ Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej wyrażenie wewnątrz modułu musi być równe $3$ lub $-3$: $$\begin{aligned} k + 4 &= 3 \quad &\lor \quad k + 4 &= -3 \\[8pt] k &= 3 - 4 \quad &\lor \quad k &= -3 - 4 \\[8pt] k &= -1 \quad &\lor \quad k &= -7 \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy dwie możliwe wartości parametru: $k = -1$ oraz $k = -7$.
Podpunkt a) Wyznaczenie drugiego rozwiązania dla $k = -1$ oraz $k = -7$:
Podstawiamy kolejno otrzymane wartości $k$ do wyjściowego równania z niewiadomą $x$:

• Dla $k = -1$: $$\begin{aligned} |x + (-1) - 2| &= 3 \\[8pt] |x - 3| &= 3 \end{aligned}$$ Rozpisujemy na dwa przypadki: $$\begin{aligned} x - 3 &= 3 \quad &\lor \quad x - 3 &= -3 \\[8pt] x &= 6 \quad &\lor \quad x &= 0 \end{aligned}$$ Pierwszym rozwiązaniem jest podana w poleceniu liczba $6$, zatem drugim rozwiązaniem jest $x = 0$.

• Dla $k = -7$: $$\begin{aligned} |x + (-7) - 2| &= 3 \\[8pt] |x - 9| &= 3 \end{aligned}$$ Rozpisujemy na dwa przypadki: $$\begin{aligned} x - 9 &= 3 \quad &\lor \quad x - 9 &= -3 \\[8pt] x &= 12 \quad &\lor \quad x &= 6 \end{aligned}$$ Pierwszym rozwiązaniem jest liczba $6$, zatem drugim rozwiązaniem jest $x = 12$.
Podpunkt b) Podstawienie znanego rozwiązania $x = -1$ do równania $|x - k^2 + 5| = 2$ i wyznaczenie parametru $k$:
Wstawiamy $x = -1$ do wyjściowego równania: $$|-1 - k^2 + 5| = 2$$ Upraszczamy wyrażenie pod wartością bezwzględną: $$|4 - k^2| = 2$$ Rozbijamy na dwa równania: $$\begin{aligned} 4 - k^2 &= 2 \quad &\lor \quad 4 - k^2 &= -2 \\[8pt] -k^2 &= 2 - 4 \quad &\lor \quad -k^2 &= -2 - 4 \\[8pt] -k^2 &= -2 \quad &\lor \quad -k^2 &= -6 \\[8pt] k^2 &= 2 \quad &\lor \quad k^2 &= 6 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy oba równania z niewiadomą $k$: $$\begin{aligned} k^2 &= 2 \implies k = \sqrt{2} \quad \lor \quad k = -\sqrt{2} \\[8pt] k^2 &= 6 \implies k = \sqrt{6} \quad \lor \quad k = -\sqrt{6} \end{aligned}$$ Otrzymaliśmy cztery możliwe wartości parametru $k$: $k \in \{-\sqrt{6}, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{6}\}$.
Podpunkt b) Wyznaczenie drugiego rozwiązania dla obliczonych wartości parametru $k$:
Zauważmy, że w wyjściowym równaniu parametr $k$ występuje wyłącznie w postaci $k^2$, dlatego rozpatrujemy dwie wartości kwadratu parametru ($k^2 = 2$ oraz $k^2 = 6$):

• Dla $k = \sqrt{2}$ oraz $k = -\sqrt{2}$ (wtedy $k^2 = 2$): $$\begin{aligned} |x - 2 + 5| &= 2 \\[8pt] |x + 3| &= 2 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie: $$\begin{aligned} x + 3 &= 2 \quad &\lor \quad x + 3 &= -2 \\[8pt] x &= -1 \quad &\lor \quad x &= -5 \end{aligned}$$ Podaną w zadaniu liczbą jest $x = -1$, zatem poszukiwane drugie rozwiązanie to $x = -5$.

• Dla $k = \sqrt{6}$ oraz $k = -\sqrt{6}$ (wtedy $k^2 = 6$): $$\begin{aligned} |x - 6 + 5| &= 2 \\[8pt] |x - 1| &= 2 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy równanie: $$\begin{aligned} x - 1 &= 2 \quad &\lor \quad x - 1 &= -2 \\[8pt] x &= 3 \quad &\lor \quad x &= -1 \end{aligned}$$ Podaną w zadaniu liczbą jest $x = -1$, zatem poszukiwane drugie rozwiązanie to $x = 3$.

Odpowiedź:
a) Dla $k = -1$ drugim rozwiązaniem jest $x = 0$; dla $k = -7$ drugim rozwiązaniem jest $x = 12$.

b) Dla $k = \sqrt{2}$ lub $k = -\sqrt{2}$ drugim rozwiązaniem jest $x = -5$; dla $k = \sqrt{6}$ lub $k = -\sqrt{6}$ drugim rozwiązaniem jest $x = 3$.

Zadanie 5 (10 pkt)

Rozwiąż równanie: $$ \dfrac{4 \cdot (|x + 5| - \sqrt{5})}{3} - \dfrac{5|x + 5| - 2\sqrt{5}}{6} = -\dfrac{2|x + 5| + 11\sqrt{5}}{12} $$

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Zauważ, że we wszystkich trzech ułamkach występuje dokładnie to samo wyrażenie z wartością bezwzględną: $|x + 5|$. Aby uprościć zapis i zminimalizować ryzyko pomyłki rachunkowej, potraktuj je jako jedną zmienną (np. wprowadzając pomocniczą niewiadomą $t = |x + 5|$ z warunkiem $t \ge 0$).
Kluczowa metoda i powiązanie pojęciowe: Pozbądź się ułamków, mnożąc obie strony równania przez najmniejszy wspólny mianownik liczb $3$, $6$ oraz $12$, czyli przez liczbę $12$. Następnie, po wyznaczeniu wartości $|x + 5|$, zastosuj fundamentalną definicję wartości bezwzględnej: dla liczby dodatniej $c > 0$ równanie $|w| = c$ jest równoważne alternatywie $w = c \lor w = -c$.
Kolejność operacji i przekształceń: Po pomnożeniu przez $12$ wymnóż liczniki przez odpowiednio skrócone mnożniki ($12:3 = 4$, $12:6 = 2$, $12:12 = 1$), zachowaj nawiasy przy odejmowaniu, zredukuj wyrazy podobne i przenieś niewiadome na lewą stronę, a liczby z pierwiastkiem $\sqrt{5}$ na prawą stronę. Po wyliczeniu wartości modułu rozwiąż dwa elementarne równania liniowe.
Weryfikacja wyniku: Sprawdź, czy wyznaczona wartość modułu spełnia warunek nieujemności ($t \ge 0$). Gdyby wartość modułu okazała się liczbą ujemną, równanie byłoby sprzeczne (brak rozwiązań). W naszym przypadku wartość jest dodatnia, co daje dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
Czego unikać (częsta pułapka): Najczęstszym błędem jest gubienie nawiasu przy odejmowaniu ułamków. Znak minus przed kreską ułamkową dotyczy każdego wyrazu licznika, np. $-\dfrac{5|x + 5| - 2\sqrt{5}}{6}$ po pomnożeniu przez $12$ daje $-2 \cdot (5|x + 5| - 2\sqrt{5}) = -10|x + 5| + 4\sqrt{5}$. Zmiana znaku na plus przy drugim wyrazie jest kluczowa dla poprawności wyniku.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wprowadzenie zmiennej pomocniczej i usunięcie ułamków:
Wychodzimy od równania z treści zadania: $$ \dfrac{4 \cdot (|x + 5| - \sqrt{5})}{3} - \dfrac{5|x + 5| - 2\sqrt{5}}{6} = -\dfrac{2|x + 5| + 11\sqrt{5}}{12} $$ Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = |x + 5|$. Ponieważ wartość bezwzględna z dowolnego wyrażenia rzeczywistego nie może być ujemna, nakładamy założenie: $$ t \ge 0 $$ Podstawiając $t$ do wyjściowego równania, otrzymujemy równanie liniowe: $$ \dfrac{4(t - \sqrt{5})}{3} - \dfrac{5t - 2\sqrt{5}}{6} = -\dfrac{2t + 11\sqrt{5}}{12} $$ Mnożymy obie strony równania przez wspólny mianownik, czyli przez $12$: $$ 12 \cdot \dfrac{4(t - \sqrt{5})}{3} - 12 \cdot \dfrac{5t - 2\sqrt{5}}{6} = 12 \cdot \left( -\dfrac{2t + 11\sqrt{5}}{12} \right) $$ Skracamy mianowniki z liczbą $12$: $$ 4 \cdot 4(t - \sqrt{5}) - 2(5t - 2\sqrt{5}) = -(2t + 11\sqrt{5}) $$ $$ 16(t - \sqrt{5}) - 2(5t - 2\sqrt{5}) = -2t - 11\sqrt{5} $$
Uporządkowanie równania i wyznaczenie wartości niewiadomej $t$:
Wymnażamy wyrażenia w nawiasach, uważając na znaki: $$ 16t - 16\sqrt{5} - 10t + 4\sqrt{5} = -2t - 11\sqrt{5} $$ Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie równania: $$ \begin{aligned} (16t - 10t) + (-16\sqrt{5} + 4\sqrt{5}) &= -2t - 11\sqrt{5} \\[8pt] 6t - 12\sqrt{5} &= -2t - 11\sqrt{5} \end{aligned} $$ Przenosimy wyrazy z niewiadomą $t$ na lewą stronę, a wyrażenia z pierwiastkiem $\sqrt{5}$ na prawą stronę: $$ \begin{aligned} 6t + 2t &= -11\sqrt{5} + 12\sqrt{5} \\[8pt] 8t &= \sqrt{5} \end{aligned} $$ Dzielimy obie strony równania przez $8$: $$ t = \dfrac{\sqrt{5}}{8} $$ Otrzymana liczba jest dodatnia ($\dfrac{\sqrt{5}}{8} > 0$), zatem spełnia początkowy warunek $t \ge 0$.
Powrót do zmiennej wyjściowej $x$ i rozwiązanie równania z modułem:
Wracamy do podstawienia $t = |x + 5|$: $$ |x + 5| = \dfrac{\sqrt{5}}{8} $$ Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej równanie to rozbija się na dwa przypadki: $$ x + 5 = \dfrac{\sqrt{5}}{8} \quad \text{lub} \quad x + 5 = -\dfrac{\sqrt{5}}{8} $$ Odejmujemy $5$ od obu stron każdego z równań: $$ x = -5 + \dfrac{\sqrt{5}}{8} \quad \text{lub} \quad x = -5 - \dfrac{\sqrt{5}}{8} $$ Sprowadzając liczbę $-5$ do wspólnego mianownika $-5 = -\dfrac{40}{8}$, możemy zapisać wyniki w zwartej postaci ułamka: $$ x = \dfrac{-40 + \sqrt{5}}{8} \quad \text{lub} \quad x = \dfrac{-40 - \sqrt{5}}{8} $$
Sposób II – Bezpośrednie przekształcenia algebraiczne bez zmiennej pomocniczej:
Równanie możemy rozwiązać bezpośrednio, traktując cały blok $|x + 5|$ jako jeden nierozerwalny składnik algebraiczny. Zapisujemy wyjściowe równanie: $$ \dfrac{4(|x + 5| - \sqrt{5})}{3} - \dfrac{5|x + 5| - 2\sqrt{5}}{6} = -\dfrac{2|x + 5| + 11\sqrt{5}}{12} $$ Mnożymy obustronnie przez $12$: $$ 16(|x + 5| - \sqrt{5}) - 2(5|x + 5| - 2\sqrt{5}) = -(2|x + 5| + 11\sqrt{5}) $$ Wymnażamy współczynniki przed nawiasami: $$ 16|x + 5| - 16\sqrt{5} - 10|x + 5| + 4\sqrt{5} = -2|x + 5| - 11\sqrt{5} $$ Grupujemy wyrazy z modułem po lewej stronie, a liczby z pierwiastkiem po prawej: $$ \begin{aligned} 16|x + 5| - 10|x + 5| + 2|x + 5| &= -11\sqrt{5} + 16\sqrt{5} - 4\sqrt{5} \\[8pt] 8|x + 5| &= \sqrt{5} \\[8pt] |x + 5| &= \dfrac{\sqrt{5}}{8} \end{aligned} $$ Stąd bezpośrednio otrzymujemy dwa rozwiązania: $$ x_1 = -5 - \dfrac{\sqrt{5}}{8}, \quad x_2 = -5 + \dfrac{\sqrt{5}}{8} $$

Odpowiedź:
$x = -5 - \dfrac{\sqrt{5}}{8}$ lub $x = -5 + \dfrac{\sqrt{5}}{8}$
(równoważnie: $x = \dfrac{-40 - \sqrt{5}}{8}$ lub $x = \dfrac{-40 + \sqrt{5}}{8}$)

Grupa B

Zadanie 1 (6 pkt)

Rozwiąż dane równanie, korzystając z odległości między liczbami na osi liczbowej. a) $\left| x - 0 \right| = 7$ b) $\left| -3 - x \right| = 1$