Powtórzenie wiadomości z geometrii z klasy 1 kartkówka

12.1 Powtórzenie wiadomości z geometrii z klasy 1

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Boki trójkąta $ABC$ są w stosunku $3 : 4 : 5$. Trójkąt utworzony przez środki jego boków ma obwód równy $12$ cm. Wyznacz długości boków trójkąta $ABC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Rozpatrz trójkąt prostokątny będący jednocześnie trójkątem równoramiennym. Wiadomo, że jego najkrótsza wysokość ma długość $3$ cm. a) Oblicz długości jego boków. b) Punkt $M$ znajduje się na przeciwprostokątnej tego trójkąta i dzieli ją w stosunku $1 : 3$. Wyznacz odległości punktu $M$ od przyprostokątnych.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie długości boków trójkąta: Niech $a$ będzie długością przyprostokątnych, a $c$ długością przeciwprostokątnej. W trójkącie prostokątnym równoramiennym zachodzi zależność: \[ c = a\sqrt{2} \] Najkrótsza wysokość $h$ jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną. Jej długość jest dana wzorem: \[ h = \frac{a}{\sqrt{2}} \] Zgodnie z treścią zadania $h = 3 \ \text{cm}$. Obliczamy długość przyprostokątnej $a$: \[ 3 = \frac{a}{\sqrt{2}} \] \[ a = 3\sqrt{2} \ \text{cm} \] Następnie obliczamy długość przeciwprostokątnej $c$: \[ c = a\sqrt{2} \] \[ c = (3\sqrt{2})\cdot\sqrt{2} \] \[ c = 3 \cdot 2 \] \[ c = 6 \ \text{cm} \] b) Wyznaczenie odległości punktu $M$ od przyprostokątnych: Przeciwprostokątna ma długość $c = 6 \ \text{cm}$. Punkt $M$ dzieli ją w stosunku $1:3$. Długości odcinków, na które punkt $M$ dzieli przeciwprostokątną, to $L_1$ i $L_2$: \[ L_1 = \frac{1}{1+3} \cdot c = \frac{1}{4} \cdot 6 = \frac{3}{2} = 1.5 \ \text{cm} \] \[ L_2 = \frac{3}{1+3} \cdot c = \frac{3}{4} \cdot 6 = \frac{9}{2} = 4.5 \ \text{cm} \] Odległości punktu $M$ od przyprostokątnych można wyznaczyć, korzystając z podobieństwa trójkątów. Jeśli $M$ jest punktem na przeciwprostokątnej, a prostopadłe z $M$ do przyprostokątnych tworzą małe trójkąty prostokątne, to te trójkąty są również równoramienne (ponieważ kąty ostre trójkąta głównego to $45^\circ$). Niech $d_1$ i $d_2$ będą szukanymi odległościami. Odległość $d_1$ (od krótszego odcinka przeciwprostokątnej do odpowiadającej jej przyprostokątnej) jest równa długości tego krótszego odcinka podzielonej przez $\sqrt{2}$: \[ d_1 = \frac{L_1}{\sqrt{2}} \] \[ d_1 = \frac{1.5}{\sqrt{2}} \] \[ d_1 = \frac{1.5\sqrt{2}}{2} \] \[ d_1 = \frac{3\sqrt{2}}{4} \ \text{cm} \] Odległość $d_2$ (od dłuższego odcinka przeciwprostokątnej do odpowiadającej jej przyprostokątnej) jest równa długości tego dłuższego odcinka podzielonej przez $\sqrt{2}$: \[ d_2 = \frac{L_2}{\sqrt{2}} \] \[ d_2 = \frac{4.5}{\sqrt{2}} \] \[ d_2 = \frac{4.5\sqrt{2}}{2} \] \[ d_2 = \frac{9\sqrt{2}}{4} \ \text{cm} \]

Zadanie 3 (4 pkt)

ZadaDany jest trójkąt o bokach długości $15$ cm, $14$ cm i $13$ cm. a) Określ, czy ten trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. b) Znajdź długości wszystkich jego wysokości.nie

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

W trójkącie $ABC$ boki mają długość: $|AB| = 16$ cm, $|BC| = |AC| = 10$ cm. Oblicz: a) wysokość $CD$ tego trójkąta, b) długość środkowej $AE$, c) długość odcinka $DE$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz długości środkowych trójkąta, którego boki mają długość: 10 cm, 13 cm, 13 cm.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Rozwiązanie zadania: Oznaczenia: $a = 13 \ \text{cm}$ $b = 13 \ \text{cm}$ $c = 10 \ \text{cm}$ Obliczenie długości środkowej $m_c$: Środkowa $m_c$ jest poprowadzona do podstawy trójkąta równoramiennego, więc jest też jego wysokością. Połowa długości podstawy $c$: \[ \frac{c}{2} = \frac{10 \ \text{cm}}{2} = 5 \ \text{cm} \] Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $m_c$ i $c/2$ oraz przeciwprostokątnej $a$: \[ m_c^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = a^2 \] \[ m_c^2 + (5 \ \text{cm})^2 = (13 \ \text{cm})^2 \] \[ m_c^2 + 25 \ \text{cm}^2 = 169 \ \text{cm}^2 \] \[ m_c^2 = 169 \ \text{cm}^2 - 25 \ \text{cm}^2 \] \[ m_c^2 = 144 \ \text{cm}^2 \] \[ m_c = \sqrt{144 \ \text{cm}^2} \] \[ m_c = 12 \ \text{cm} \] Obliczenie długości środkowych $m_a$ i $m_b$: Środkowe $m_a$ i $m_b$ mają równe długości, ponieważ są poprowadzone do równych ramion trójkąta równoramiennego. Środek ciężkości $G$ dzieli środkową $m_c$ w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka $C$. Niech $D$ będzie środkiem boku $c$. Wtedy $CD = m_c$. Długość odcinka $GD$: \[ GD = \frac{1}{3} m_c = \frac{1}{3} \cdot 12 \ \text{cm} = 4 \ \text{cm} \] Rozważamy trójkąt $BDG$. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Odcinek $BD$ ma długość $c/2$. \[ BD = \frac{c}{2} = \frac{10 \ \text{cm}}{2} = 5 \ \text{cm} \] Trójkąt $BDG$ jest trójkątem prostokątnym, ponieważ $CD$ (czyli $m_c$) jest prostopadłe do $AB$. Zatem $GD$ jest prostopadłe do $BD$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BDG$: \[ BG^2 = BD^2 + GD^2 \] \[ BG^2 = (5 \ \text{cm})^2 + (4 \ \text{cm})^2 \] \[ BG^2 = 25 \ \text{cm}^2 + 16 \ \text{cm}^2 \] \[ BG^2 = 41 \ \text{cm}^2 \] \[ BG = \sqrt{41} \ \text{cm} \] Środek ciężkości $G$ dzieli środkową $m_b$ w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka $B$. Zatem $BG = \frac{2}{3}m_b$. \[ \frac{2}{3} m_b = \sqrt{41} \ \text{cm} \] \[ m_b = \frac{3}{2} \sqrt{41} \ \text{cm} \] Ponieważ $m_a = m_b$, to: \[ m_a = \frac{3\sqrt{41}}{2} \ \text{cm} \] Ostateczne długości środkowych to: \[ m_c = 12 \ \text{cm} \] \[ m_a = m_b = \frac{3\sqrt{41}}{2} \ \text{cm} \]

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Boki trójkąta $ABC$ są w stosunku $3 : 5 : 7$. Trójkąt utworzony przez środki jego boków ma obwód równy $30$ cm. Wyznacz długości boków trójkąta $ABC$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (4 pkt)

Rozpatrz trójkąt prostokątny będący jednocześnie trójkątem równoramiennym. Wiadomo, że jego najkrótsza wysokość ma długość $4$ cm. a) Oblicz długości jego boków. b) Punkt $M$ znajduje się na przeciwprostokątnej tego trójkąta i dzieli ją w stosunku $1 : 3$. Wyznacz odległości punktu $M$ od przyprostokątnych.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Dany jest trójkąt o bokach długości $17$ cm, $15$ cm i $8$ cm. a) Określ, czy ten trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. b) Znajdź długości wszystkich jego wysokości.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (4 pkt)

W trójkącie $ABC$ boki mają długość: $|AB| = 24$ cm, $|BC| = |AC| = 13$ cm. Oblicz: a) wysokość $CD$ tego trójkąta, b) długość środkowej $AE$, c) długość odcinka $DE$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Oblicz długości środkowych trójkąta, którego boki mają długość: 12 cm, 10 cm, 10 cm.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

12.1 Powtórzenie wiadomości z geometrii z klasy 1

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (4 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Zadanie 2 (4 pkt)

Zadanie 3 (4 pkt)

Zadanie 4 (4 pkt)

Zadanie 5 (3 pkt)

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Witaj na Liczbit 👋