13.3 Podstawowe tożsamości trygonometryczne
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
Dla kąta $\alpha$, dla którego $\operatorname{tg} \alpha = 3$, oblicz wartości funkcji: $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\operatorname{ctg} \alpha$.
Zadanie 2 (1 pkt)
Wiedząc, że $\sin \beta \neq 0$, doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: $\cot \beta \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta + \cos^2\beta$.
Zadanie 3 (4 pkt)
Zweryfikuj, czy poniższe wyrażenie stanowi tożsamość trygonometryczną:
$$\left(\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\right) \cdot \text{ctg}\alpha = \frac{2}{\sin\alpha}$$
przy założeniu, że $\alpha \in (0^\circ, 360^\circ)$ oraz $\alpha \ne 0^\circ$, $\alpha \ne 90^\circ$, $\alpha \ne 180^\circ$, $\alpha \ne 270^\circ$.
Zadanie 4 (2 pkt)
Wyznacz wartość $\operatorname{tg} \alpha$, jeśli spełniony jest warunek:
$$\frac{3\cos\alpha + 2\sin\alpha}{5\sin\alpha - 4\cos\alpha} = 1.$$
Zadanie 5 (5 pkt)
Wiedząc, że $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$ oraz $\sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{3}{8}$, oblicz $\sin \alpha - \cos \alpha$.
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
Dla kąta $\alpha$, dla którego $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{2}$, oblicz wartości funkcji: $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\operatorname{ctg} \alpha$.
Zadanie 2 (1 pkt)
Wiedząc, że $ \cos \gamma \neq 0 $, doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie: $ \tan \gamma \cdot \sin \gamma \cdot \cos \gamma + \cos^2\gamma $.
Zadanie 3 (4 pkt)
Zweryfikuj, czy poniższe wyrażenie stanowi tożsamość trygonometryczną:
$$\left(\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\right) \cdot \text{tg}\alpha = \frac{2}{\cos\alpha}$$
przy założeniu, że $\alpha \in (0^\circ, 360^\circ)$ oraz $\alpha \ne 0^\circ$, $\alpha \ne 90^\circ$, $\alpha \ne 180^\circ$, $\alpha \ne 270^\circ$.
Zadanie 4 (2 pkt)
Wyznacz wartość $\operatorname{tg} \alpha$, jeśli spełniony jest warunek:
$$\frac{4\cos\alpha + 5\sin\alpha}{2\sin\alpha - 3\cos\alpha} = 1.$$
Zadanie 5 (5 pkt)
Wiedząc, że $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$ oraz $\sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{2}{5}$, oblicz $\sin \alpha - \cos \alpha$.