16.10 Pierwiastki wymierne wielomianu
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu $W(x)$, gdzie $W(x) = 6x^3 + x^2 - 19x + 6$, wiedząc, że wielomian $W(x)$ ma pierwiastek całkowity.
Zadanie 2 (3 pkt)
Sprawdź, czy wielomian $W(x)$, gdzie $W(x)=3x^4+5x+2$, ma całkowite pierwiastki.
Zadanie 3 (3 pkt)
Wykaż, że wielomian $3x^4 - 2x^3 - 10x^2 + 6x + 3$ ma dwa pierwiastki wymierne i dwa pierwiastki niewymierne. Wyznacz te pierwiastki.
Zadanie 4 (3 pkt)
Dwa różne pierwiastki wielomianu $W(x) = x^4 - 5x^3 + ax^2 + bx + 12$ są liczbami pierwszymi.
a) Oblicz $a$ i $b$.
b) Wykaż, że wielomian $W(x)$ nie ma innych pierwiastków.
Zadanie 5 (3 pkt)
Liczba $-1,5$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = px^3 + 7x^2 + 8x + q$. Wykaż, że jeśli liczby $p$ i $q$ są liczbami pierwszymi, to wielomian $W(x)$ ma tylko jeden pierwiastek będący liczbą całkowitą.
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu $W(x)$, gdzie $W(x) = 6x^3 - 7x^2 + 1$, wiedząc, że wielomian $W(x)$ ma pierwiastek całkowity.
Zadanie 2 (3 pkt)
Sprawdź, czy wielomian $W(x)$, gdzie $W(x)=x^3-2x^2+x-1$, ma całkowite pierwiastki.
Zadanie 3 (3 pkt)
Wykaż, że wielomian $4x^4 - 7x^3 - 22x^2 + 35x + 10$ ma dwa pierwiastki wymierne i dwa pierwiastki niewymierne. Wyznacz te pierwiastki.
Zadanie 4 (3 pkt)
Dwa różne pierwiastki wielomianu $W(x) = x^4 - 7x^3 + ax^2 + bx + 20$ są liczbami pierwszymi.
a) Oblicz $a$ i $b$.
b) Wykaż, że wielomian $W(x)$ nie ma innych pierwiastków.
Zadanie 5 (3 pkt)
Liczba $-2/3$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = px^3 + 8x^2 + 7x + q$. Wykaż, że jeśli liczby $p$ i $q$ są liczbami pierwszymi, to wielomian $W(x)$ ma tylko jeden pierwiastek będący liczbą całkowitą.