16.9 Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bézouta
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
Pierwiastkami wielomianu $W(x)$ stopnia trzeciego są liczby: $1, 2, -3$. Wiedząc, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian $x + 1$ jest równa $24$, wyznacz wzór tego wielomianu.
Zadanie 2 (4 pkt)
Oblicz współczynniki $a$ i $b$ wielomianu $W(x)$, $W(x) = 3x^3 + ax^2 + bx + 10$, jeśli wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$, gdzie $P(x) = (x - 1)(3x + 2)$.
Zadanie 3 (4 pkt)
Wielomian $x^3 + 9x^2 + ax + b$ ma trzy pierwiastki $x_1, x_2, x_3$. Wiedząc, że $x_2 = x_1 + 3$ oraz $x_3 = x_1 + 6$, wyznacz współczynniki $a$ i $b$.
Zadanie 4 (5 pkt)
Liczby $1$ i $2$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = 4x^3 - (2a + b)x^2 - (4 - a)x + a$.a) Oblicz $a$ i $b$.b) Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Zadanie 5 (3 pkt)
Wielomian $W(x) = 2x^3 - 6x^2 + bx + c$ ma trzy pierwiastki. Jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Wykaż, że $b + c = 4$.
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
Pierwiastkami wielomianu $W(x)$ stopnia trzeciego są liczby: $-1, 1, 2$. Wiedząc, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian $x - 3$ jest równa $36$, wyznacz wzór tego wielomianu.
Zadanie 2 (4 pkt)
Oblicz współczynniki $a$ i $b$ wielomianu $W(x)$, $W(x) = 4x^3 + ax^2 + bx + 12$, jeśli wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$, gdzie $P(x) = (x + 3)(4x - 1)$.
Zadanie 3 (4 pkt)
Wielomian $x^3 + 3x^2 + ax + b$ ma trzy pierwiastki $x_1, x_2, x_3$. Wiedząc, że $x_2 = x_1 + 2$ oraz $x_3 = x_1 + 4$, wyznacz współczynniki $a$ i $b$.
Zadanie 4 (5 pkt)
Liczby $-1$ i $\frac{1}{4}$ są pierwiastkami wielomianu $W(x) = 4x^3 - (2a + b)x^2 - (4 - a)x + a$.a) Oblicz $a$ i $b$.b) Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Zadanie 5 (3 pkt)
Wielomian $W(x) = 3x^3 - 9x^2 + bx + c$ ma trzy pierwiastki. Jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Wykaż, że $b + c = 6$.