a) Wyznaczenie stopnia i pierwiastków wielomianu $W(x) = (x^3 - 8)(x - 3)$. Stopień wielomianu jest sumą stopni poszczególnych czynników. Stopień pierwszego czynnika $(x^3 - 8)$ wynosi $3$. Stopień drugiego czynnika $(x - 3)$ wynosi $1$. Stopień wielomianu $W(x)$:\[ Stopień(W(x)) = 3 + 1 = 4 \]Aby znaleźć pierwiastki, należy rozwiązać równanie $W(x) = 0$.\[ (x^3 - 8)(x - 3) = 0 \]Rozpatrujemy dwa przypadki: Pierwszy czynnik:\[ x^3 - 8 = 0 \]Stosujemy wzór na różnicę sześcianów $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.\[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0 \]Rozwiązujemy poszczególne części:\[ x - 2 = 0 \]\[ x = 2 \]Dla części kwadratowej:\[ x^2 + 2x + 4 = 0 \]Obliczamy wyróżnik (deltę):\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \]\[ \Delta = 4 - 16 \]\[ \Delta = -12 \]Ponieważ $\Delta < 0$, ten czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych. Drugi czynnik:\[ x - 3 = 0 \]\[ x = 3 \]Pierwiastki rzeczywiste wielomianu $W(x)$ to $x = 2$ i $x = 3$. b) Wyznaczenie stopnia i pierwiastków wielomianu $P(x) = 2x(x + 4)(x - 1)(x + 3)$. Stopień wielomianu jest sumą stopni poszczególnych czynników. Stopień czynnika $2x$ wynosi $1$. Stopień czynnika $(x + 4)$ wynosi $1$. Stopień czynnika $(x - 1)$ wynosi $1$. Stopień czynnika $(x + 3)$ wynosi $1$. Stopień wielomianu $P(x)$:\[ Stopień(P(x)) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \]Aby znaleźć pierwiastki, należy rozwiązać równanie $P(x) = 0$.\[ 2x(x + 4)(x - 1)(x + 3) = 0 \]Rozpatrujemy każdy czynnik oddzielnie: Pierwszy czynnik:\[ 2x = 0 \]\[ x = 0 \]Drugi czynnik:\[ x + 4 = 0 \]\[ x = -4 \]Trzeci czynnik:\[ x - 1 = 0 \]\[ x = 1 \]Czwarty czynnik:\[ x + 3 = 0 \]\[ x = -3 \]Pierwiastki rzeczywiste wielomianu $P(x)$ to $x = 0$, $x = -4$, $x = 1$ i $x = -3$.