Pierwiastek wielokrotny kartkówka - LiczBit

16.11 Pierwiastek wielokrotny

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Podaj pierwiastki wielomianu $W(x)$ i określ krotność każdego z nich, jeśli: a) $W(x) = (3x - 1)(x^3 - 8)(x + 2)^2(9x^2 - 1)$ b) $W(x) = 5x^2(x + 1)^2(9x^2 + x)(x^2 + 2x + 1)$ c) $W(x) = (x^2 - 9)^2(x^2 - 8x + 15)(16 - x^2)(x^2 + 1)$ d) $W(x) = (3x^2 + 6x - 9)^2(-x^2 - 4x - 4)(x^3 - 4x^2).$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Rozkładamy na czynniki i grupujemy wyrazy:\[ W(x) = (3x - 1)(x^3 - 8)(x + 2)^2(9x^2 - 1) \]Rozkładamy czynniki:\[ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \]\[ 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) \]Podstawiamy i grupujemy:\[ W(x) = (3x - 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)^2(3x - 1)(3x + 1) \]\[ W(x) = (3x - 1)^2(x - 2)(x + 2)^2(3x + 1)(x^2 + 2x + 4) \]Czynnik $x^2 + 2x + 4$ nie ma rzeczywistych pierwiastków, ponieważ jego wyróżnik $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$. Zatem pierwiastki to: Z czynnika $(3x - 1)^2$: $3x - 1 = 0 \implies x = 1/3$. Krotność pierwiastka to 2. Z czynnika $(x - 2)$: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Krotność pierwiastka to 1. Z czynnika $(x + 2)^2$: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Krotność pierwiastka to 2. Z czynnika $(3x + 1)$: $3x + 1 = 0 \implies x = -1/3$. Krotność pierwiastka to 1. b) Rozkładamy na czynniki i grupujemy wyrazy:\[ W(x) = 5x^2(x + 1)^2(9x^2 + x)(x^2 + 2x + 1) \]Rozkładamy czynniki:\[ 9x^2 + x = x(9x + 1) \]\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]Podstawiamy i grupujemy:\[ W(x) = 5x^2(x + 1)^2 \cdot x(9x + 1) \cdot (x + 1)^2 \]\[ W(x) = 5x^{2+1}(x + 1)^{2+2}(9x + 1) \]\[ W(x) = 5x^3(x + 1)^4(9x + 1) \]Pierwiastki wielomianu: Z czynnika $x^3$: $x = 0$. Krotność pierwiastka to 3. Z czynnika $(x + 1)^4$: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Krotność pierwiastka to 4. Z czynnika $(9x + 1)$: $9x + 1 = 0 \implies x = -1/9$. Krotność pierwiastka to 1. c) Rozkładamy na czynniki i grupujemy wyrazy:\[ W(x) = (x^2 - 9)^2(x^2 - 8x + 15)(16 - x^2)(x^2 + 1) \]Rozkładamy czynniki:\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]\[ x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \]\[ 16 - x^2 = -(x^2 - 16) = -(x - 4)(x + 4) \]Czynnik $x^2 + 1$ nie ma rzeczywistych pierwiastków. Podstawiamy i grupujemy:\[ W(x) = ((x - 3)(x + 3))^2 \cdot (x - 3)(x - 5) \cdot (-(x - 4)(x + 4)) \cdot (x^2 + 1) \]\[ W(x) = (x - 3)^2(x + 3)^2 (x - 3)(x - 5) (-1)(x - 4)(x + 4) (x^2 + 1) \]\[ W(x) = -1 \cdot (x - 3)^{2+1}(x + 3)^2 (x - 5) (x - 4) (x + 4) (x^2 + 1) \]\[ W(x) = -(x - 3)^3(x + 3)^2(x - 5)(x - 4)(x + 4)(x^2 + 1) \]Pierwiastki wielomianu: Z czynnika $(x - 3)^3$: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Krotność pierwiastka to 3. Z czynnika $(x + 3)^2$: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Krotność pierwiastka to 2. Z czynnika $(x - 5)$: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Krotność pierwiastka to 1. Z czynnika $(x - 4)$: $x - 4 = 0 \implies x = 4$. Krotność pierwiastka to 1. Z czynnika $(x + 4)$: $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Krotność pierwiastka to 1. d) Rozkładamy na czynniki i grupujemy wyrazy:\[ W(x) = (3x^2 + 6x - 9)^2(-x^2 - 4x - 4)(x^3 - 4x^2) \]Rozkładamy czynniki:\[ 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x - 1)(x + 3) \]\[ -x^2 - 4x - 4 = -(x^2 + 4x + 4) = -(x + 2)^2 \]\[ x^3 - 4x^2 = x^2(x - 4) \]Podstawiamy i grupujemy:\[ W(x) = (3(x - 1)(x + 3))^2 \cdot (-(x + 2)^2) \cdot (x^2(x - 4)) \]\[ W(x) = 3^2(x - 1)^2(x + 3)^2 \cdot (-1)(x + 2)^2 \cdot x^2(x - 4) \]\[ W(x) = -9 \cdot x^2 \cdot (x - 1)^2 \cdot (x + 3)^2 \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 4) \]Pierwiastki wielomianu: Z czynnika $x^2$: $x = 0$. Krotność pierwiastka to 2. Z czynnika $(x - 1)^2$: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Krotność pierwiastka to 2. Z czynnika $(x + 3)^2$: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Krotność pierwiastka to 2. Z czynnika $(x + 2)^2$: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Krotność pierwiastka to 2. Z czynnika $(x - 4)$: $x - 4 = 0 \implies x = 4$. Krotność pierwiastka to 1.

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz pierwiastki wielomianu $W(x) = (x^2 - 9)(x^3 - 9x^2 + 27x - 27)$ i podaj ich krotności.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Wykaż, że liczba $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ i określ jego krotność. a) $W(x) = 27x^3 - 9x + 2$, $\quad$ $p = \frac{1}{3}$ b) $W(x) = x^5 - 5x^4 + 40x^2 - 80x + 48$, $\quad$ $p = 2.$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Sprawdzenie i określenie krotności pierwiastka $p = \frac{1}{3}$ dla wielomianu $W(x) = 27x^3 - 9x + 2$. Pierwszy krok: Sprawdzenie, czy $p = \frac{1}{3}$ jest pierwiastkiem $W(x)$. Podstawiamy $p = \frac{1}{3}$ do wielomianu:\[ W\left(\frac{1}{3}\right) = 27\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{3}\right) + 2 \]\[ W\left(\frac{1}{3}\right) = 27\left(\frac{1}{27}\right) - 3 + 2 \]\[ W\left(\frac{1}{3}\right) = 1 - 3 + 2 \]\[ W\left(\frac{1}{3}\right) = 0 \]Ponieważ $W\left(\frac{1}{3}\right) = 0$, $p = \frac{1}{3}$ jest pierwiastkiem $W(x)$. Drugi krok: Określenie krotności pierwiastka za pomocą schematu Hornera. Pierwsze dzielenie $W(x)$ przez $(x - \frac{1}{3})$: $1/3 \quad | \quad 27 \quad \quad 0 \quad \quad -9 \quad \quad 2$ $\quad \quad \quad | \quad \quad \quad 9 \quad \quad 3 \quad \quad -2$ $\quad \quad \quad \text{-------------------------------------}$ $\quad \quad \quad 27 \quad \quad 9 \quad \quad -6 \quad \quad 0$ Reszta z dzielenia wynosi $0$. Wielomian wynikowy to $Q_1(x) = 27x^2 + 9x - 6$. Sprawdzenie $Q_1\left(\frac{1}{3}\right)$:\[ Q_1\left(\frac{1}{3}\right) = 27\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 9\left(\frac{1}{3}\right) - 6 \]\[ Q_1\left(\frac{1}{3}\right) = 27\left(\frac{1}{9}\right) + 3 - 6 \]\[ Q_1\left(\frac{1}{3}\right) = 3 + 3 - 6 \]\[ Q_1\left(\frac{1}{3}\right) = 0 \]Ponieważ $Q_1\left(\frac{1}{3}\right) = 0$, kontynuujemy dzielenie. Drugie dzielenie $Q_1(x)$ przez $(x - \frac{1}{3})$: $1/3 \quad | \quad 27 \quad \quad 9 \quad \quad -6$ $\quad \quad \quad | \quad \quad \quad 9 \quad \quad \quad 6$ $\quad \quad \quad \text{--------------------------}$ $\quad \quad \quad 27 \quad \quad 18 \quad \quad 0$ Reszta z dzielenia wynosi $0$. Wielomian wynikowy to $Q_2(x) = 27x + 18$. Sprawdzenie $Q_2\left(\frac{1}{3}\right)$:\[ Q_2\left(\frac{1}{3}\right) = 27\left(\frac{1}{3}\right) + 18 \]\[ Q_2\left(\frac{1}{3}\right) = 9 + 18 \]\[ Q_2\left(\frac{1}{3}\right) = 27 \]Ponieważ $Q_2\left(\frac{1}{3}\right) \neq 0$, pierwiastek $p = \frac{1}{3}$ ma krotność $2$. b) Sprawdzenie i określenie krotności pierwiastka $p = 2$ dla wielomianu $W(x) = x^5 - 5x^4 + 40x^2 - 80x + 48$. Pierwszy krok: Sprawdzenie, czy $p = 2$ jest pierwiastkiem $W(x)$. Podstawiamy $p = 2$ do wielomianu:\[ W(2) = (2)^5 - 5(2)^4 + 0(2)^3 + 40(2)^2 - 80(2) + 48 \]\[ W(2) = 32 - 5 \cdot 16 + 0 + 40 \cdot 4 - 80 \cdot 2 + 48 \]\[ W(2) = 32 - 80 + 0 + 160 - 160 + 48 \]\[ W(2) = 240 - 240 \]\[ W(2) = 0 \]Ponieważ $W(2) = 0$, $p = 2$ jest pierwiastkiem $W(x)$. Drugi krok: Określenie krotności pierwiastka za pomocą schematu Hornera. Pierwsze dzielenie $W(x)$ przez $(x - 2)$: $2 \quad | \quad 1 \quad -5 \quad \quad 0 \quad \quad 40 \quad \quad -80 \quad \quad 48$ $\quad \quad \quad | \quad \quad 2 \quad -6 \quad -12 \quad \quad 56 \quad \quad -48$ $\quad \quad \quad \text{------------------------------------------------------------}$ $\quad \quad \quad 1 \quad -3 \quad -6 \quad \quad 28 \quad \quad -24 \quad \quad 0$ Reszta z dzielenia wynosi $0$. Wielomian wynikowy to $Q_1(x) = x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 28x - 24$. Sprawdzenie $Q_1(2)$:\[ Q_1(2) = (2)^4 - 3(2)^3 - 6(2)^2 + 28(2) - 24 \]\[ Q_1(2) = 16 - 3 \cdot 8 - 6 \cdot 4 + 56 - 24 \]\[ Q_1(2) = 16 - 24 - 24 + 56 - 24 \]\[ Q_1(2) = 0 \]Ponieważ $Q_1(2) = 0$, kontynuujemy dzielenie. Drugie dzielenie $Q_1(x)$ przez $(x - 2)$: $2 \quad | \quad 1 \quad -3 \quad -6 \quad \quad 28 \quad \quad -24$ $\quad \quad \quad | \quad \quad 2 \quad -2 \quad -16 \quad \quad 24$ $\quad \quad \quad \text{----------------------------------------}$ $\quad \quad \quad 1 \quad -1 \quad -8 \quad \quad 12 \quad \quad 0$ Reszta z dzielenia wynosi $0$. Wielomian wynikowy to $Q_2(x) = x^3 - x^2 - 8x + 12$. Sprawdzenie $Q_2(2)$:\[ Q_2(2) = (2)^3 - (2)^2 - 8(2) + 12 \]\[ Q_2(2) = 8 - 4 - 16 + 12 \]\[ Q_2(2) = 0 \]Ponieważ $Q_2(2) = 0$, kontynuujemy dzielenie. Trzecie dzielenie $Q_2(x)$ przez $(x - 2)$: $2 \quad | \quad 1 \quad -1 \quad -8 \quad \quad 12$ $\quad \quad \quad | \quad \quad 2 \quad \quad 2 \quad -12$ $\quad \quad \quad \text{-----------------------------}$ $\quad \quad \quad 1 \quad \quad 1 \quad -6 \quad \quad 0$ Reszta z dzielenia wynosi $0$. Wielomian wynikowy to $Q_3(x) = x^2 + x - 6$. Sprawdzenie $Q_3(2)$:\[ Q_3(2) = (2)^2 + 2 - 6 \]\[ Q_3(2) = 4 + 2 - 6 \]\[ Q_3(2) = 0 \]Ponieważ $Q_3(2) = 0$, kontynuujemy dzielenie. Czwarte dzielenie $Q_3(x)$ przez $(x - 2)$: $2 \quad | \quad 1 \quad \quad 1 \quad \quad -6$ $\quad \quad \quad | \quad \quad 2 \quad \quad \quad 6$ $\quad \quad \quad \text{--------------------}$ $\quad \quad \quad 1 \quad \quad 3 \quad \quad 0$ Reszta z dzielenia wynosi $0$. Wielomian wynikowy to $Q_4(x) = x + 3$. Sprawdzenie $Q_4(2)$:\[ Q_4(2) = 2 + 3 \]\[ Q_4(2) = 5 \]Ponieważ $Q_4(2) \neq 0$, pierwiastek $p = 2$ ma krotność $4$.

Zadanie 4 (2 pkt)

Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 - 2bx + 1$. Oblicz $a$ i $b$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest wielomian $W(x) = (x^2 + 4x + 3) \cdot (kx - 5)$, gdzie $k \neq 0$. a) Wyznacz pierwiastki wielomianu $W(x)$ i ustal ich krotność, wtedy gdy $k = 3$. b) Dla jakiej wartości $k$ liczba $-3$ jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu $W(x)$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Podaj pierwiastki wielomianu $W(x)$ i określ krotność każdego z nich, jeśli: a) $W(x) = (4x - 1)(x^3 - 27)(x + 3)^2(16x^2 - 1)$ b) $W(x) = 2x^2(x + 3)^2(2x^2 + x)(x^2 + 6x + 9)$ c) $W(x) = (x^2 - 1)^4(x^2 - 9x + 20)(36 - x^2)(x^2 + 3)$ d) $W(x) = (4x^2 + 8x - 12)^3(-x^2 - 8x - 16)(x^3 - 9x^2).$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz pierwiastki wielomianu $W(x) = (x^2 - 1)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$ i podaj ich krotności.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Wykaż, że liczba $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ i określ jego krotność. a) $W(x) = 8x^3 - 8x^2 - 2x + 2$, $p = \frac{1}{2}$ b) $W(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$, $p = 2.$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^4 + 4x^3 + ax^2 + 2bx + 1$. Oblicz $a$ i $b$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Dany jest wielomian $W(x) = (x^2 + 5x + 6) \cdot (kx - 7)$, gdzie $k \neq 0$. a) Wyznacz pierwiastki wielomianu $W(x)$ i ustal ich krotność, wtedy gdy $k = 4$. b) Dla jakiej wartości $k$ liczba $-3$ jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu $W(x)$?

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi