16.17 Nierówności wielomianowe
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
Rozwiąż nierówności:
a) \((5 - x)(x + 1)^2 \cdot x \ge 0\)
b) \((2x - 3)(x^2 - 6x + 9)(x - 4) < 0\)
c) \((x^2 - 4)(3x - 2)(x^2 + 4x + 4) \le 0\)
a) \((5 - x)(x + 1)^2 \cdot x \ge 0\)
b) \((2x - 3)(x^2 - 6x + 9)(x - 4) < 0\)
c) \((x^2 - 4)(3x - 2)(x^2 + 4x + 4) \le 0\)
a) \(x \in \langle 0, 5 \rangle \cup \{-1\}\)
b) \(x \in \left(\dfrac{3}{2}, 3\right) \cup (3, 4)\)
c) \(x \in (-\infty, -2\rangle \cup \left\langle \dfrac{2}{3}, 2 \right\rangle\)
b) \(x \in \left(\dfrac{3}{2}, 3\right) \cup (3, 4)\)
c) \(x \in (-\infty, -2\rangle \cup \left\langle \dfrac{2}{3}, 2 \right\rangle\)
Wskazówki:
- Rozłóż wszystkie czynniki na postać iloczynową o możliwie najniższym stopniu, a następnie wyznacz wszystkie miejsca zerowe wielomianu wraz z ich krotnościami.
- Ustal znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej \(x\). Gdy współczynnik jest dodatni, szkic wykresu znaku wielomianu (tzw. wężyk) zaczynamy z prawej strony nad osią liczbową; gdy ujemny – pod osią.
- W pierwiastkach o nieparzystej krotności (np. 1-krotnych, 3-krotnych) wykres przecina oś liczbową i zmienia znak. W pierwiastkach o parzystej krotności (np. 2-krotnych) wykres odbija się od osi i nie zmienia znaku.
- Zwróć szczególną uwagę na rodzaj nierówności: przy nierównościach nieostrych (\(\ge, \le\)) pamiętaj o uwzględnieniu punktów, w których wartość wynosi \(0\) (nawet jeśli są to punkty izolowane), a przy nierównościach ostrych (\(<, >\)) wyłącz miejsca zerowe ze zbioru rozwiązań.
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność \((5 - x)(x + 1)^2 \cdot x \ge 0\):
Wielomian po lewej stronie nierówności jest już częściowo zapisany w postaci iloczynowej: $$W(x) = (5 - x)(x + 1)^2 \cdot x$$ Wyznaczamy miejsca zerowe poszczególnych czynników oraz ich krotności: $$\begin{aligned} 5 - x = 0 &\iff x = 5 \quad \text{(pierwiastek 1-krotny – krotność nieparzysta)} \\[8pt] (x + 1)^2 = 0 &\iff x = -1 \quad \text{(pierwiastek 2-krotny – krotność parzysta)} \\[8pt] x = 0 &\iff x = 0 \quad \text{(pierwiastek 1-krotny – krotność nieparzysta)} \end{aligned}$$ Uporządkowane miejsca zerowe to: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 5\).
Ustalamy znak współczynnika przy najwyższej potędze wielomianu. Stopień wielomianu wynosi \(1 + 2 + 1 = 4\), a współczynniki przy \(x\) w poszczególnych nawiasach to: \((-1)\), \((1)^2\), \(1\). Ich iloczyn to: $$a = (-1) \cdot 1^2 \cdot 1 = -1 < 0$$ Ponieważ współczynnik jest ujemny, szkic wykresu znaku zaczynamy z prawej strony pod osią liczbową:- W punkcie \(x = 5\) (krotność 1) wykres przecina oś i przechodzi nad nią (wartości dodatnie).
- W punkcie \(x = 0\) (krotność 1) wykres przecina oś i przechodzi pod nią (wartości ujemne).
- W punkcie \(x = -1\) (krotność 2) wykres dotyka osi i odbija się, pozostając pod osią.
Szukamy argumentów spełniających nierówność \(W(x) \ge 0\) (wartości nieujemne). Wykres znajduje się nad osią dla \(x \in (0, 5)\), a osiąga wartość \(0\) w punktach \(\{-1, 0, 5\}\). Punkt \(x = -1\) jest pojedynczym punktem spełniającym warunek nieujemności.
Zbiór rozwiązań: $$x \in \langle 0, 5 \rangle \cup \{-1\}$$ -
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność \((2x - 3)(x^2 - 6x + 9)(x - 4) < 0\):
Rozkładamy na czynniki wyrażenie kwadratowe \(x^2 - 6x + 9\):
Sposób I – Wykorzystanie wyróżnika \(\Delta\): $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \\ &= 36 - 36 = 0 \end{aligned}$$ Ponieważ \(\Delta = 0\), trójmian posiada dokładnie jeden pierwiastek podwójny: $$x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{6}{2} = 3 \implies x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$ Sposób II – Wzór skróconego mnożenia: Zauważamy wzór na kwadrat różnicy \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): $$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$$ Zapisujemy nierówność w pełnej postaci iloczynowej: $$(2x - 3)(x - 3)^2 (x - 4) < 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe i ich krotności: $$\begin{aligned} 2x - 3 = 0 &\iff x = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \quad \text{(pierwiastek 1-krotny – krotność nieparzysta)} \\[8pt] (x - 3)^2 = 0 &\iff x = 3 \quad \text{(pierwiastek 2-krotny – krotność parzysta)} \\[8pt] x - 4 = 0 &\iff x = 4 \quad \text{(pierwiastek 1-krotny – krotność nieparzysta)} \end{aligned}$$ Współczynnik przy najwyższej potędze \(x^4\) wynosi: $$a = 2 \cdot 1^2 \cdot 1 = 2 > 0$$ Ponieważ współczynnik jest dodatni, szkic wężyka zaczynamy z prawej strony nad osią:- W punkcie \(x = 4\) (krotność 1) wykres przecina oś i przechodzi pod nią.
- W punkcie \(x = 3\) (krotność 2) wykres dotyka osi i odbija się, pozostając pod osią.
- W punkcie \(x = \dfrac{3}{2}\) (krotność 1) wykres przecina oś i przechodzi nad nią.
Szukamy wartości ściśle ujemnych (\(W(x) < 0\)). Wykres leży pod osią w przedziale od \(\dfrac{3}{2}\) do \(4\), z wyłączeniem punktu \(x = 3\), w którym wielomian przyjmuje wartość \(0\).
Zbiór rozwiązań: $$x \in \left(\dfrac{3}{2}, 3\right) \cup (3, 4)$$ -
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność \((x^2 - 4)(3x - 2)(x^2 + 4x + 4) \le 0\):
Rozkładamy na czynniki liniowe poszczególne wyrażenia kwadratowe:
1. Dla \(x^2 - 4\) stosujemy wzór na różnicę kwadratów \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ 2. Dla \(x^2 + 4x + 4\) stosujemy wzór na kwadrat sumy \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): $$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$ (Alternatywnie ze wzoru na wyróżnik: \(\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0\), stąd \(x_0 = \dfrac{-4}{2} = -2\)).
Wstawiamy rozłożone czynniki do nierówności: $$\begin{aligned} (x - 2)(x + 2) \cdot (3x - 2) \cdot (x + 2)^2 &\le 0 \\[8pt] (x - 2)(3x - 2)(x + 2)^3 &\le 0 \end{aligned}$$ Zauważmy, że czynnik \((x + 2)\) występuje łącznie w 3. potędze: \((x + 2)^1 \cdot (x + 2)^2 = (x + 2)^3\).
Wyznaczamy miejsca zerowe i ich krotności: $$\begin{aligned} (x + 2)^3 = 0 &\iff x = -2 \quad \text{(pierwiastek 3-krotny – krotność nieparzysta)} \\[8pt] 3x - 2 = 0 &\iff x = \dfrac{2}{3} \quad \text{(pierwiastek 1-krotny – krotność nieparzysta)} \\[8pt] x - 2 = 0 &\iff x = 2 \quad \text{(pierwiastek 1-krotny – krotność nieparzysta)} \end{aligned}$$ Wszystkie miejsca zerowe mają nieparzystą krotność, więc w każdym z nich wykres przecina oś liczbową.
Współczynnik przy najwyższej potędze \(x^5\) wynosi: $$a = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 > 0$$ Ponieważ współczynnik jest dodatni, rysowanie wężyka zaczynamy z prawej strony nad osią:- W punkcie \(x = 2\) wykres przecina oś i przechodzi pod nią.
- W punkcie \(x = \dfrac{2}{3}\) wykres przecina oś i przechodzi nad nią.
- W punkcie \(x = -2\) wykres przecina oś i przechodzi pod nią.
Szukamy wartości niedodatnich (\(W(x) \le 0\)). Wykres znajduje się pod osią liczbową lub na niej dla \(x \le -2\) oraz dla \(x \in \left\langle \dfrac{2}{3}, 2 \right\rangle\).
Zbiór rozwiązań: $$x \in (-\infty, -2\rangle \cup \left\langle \dfrac{2}{3}, 2 \right\rangle$$
Odpowiedź:
a) \(x \in \langle 0, 5 \rangle \cup \{-1\}\)
b) \(x \in \left(\dfrac{3}{2}, 3\right) \cup (3, 4)\)
c) \(x \in (-\infty, -2\rangle \cup \left\langle \dfrac{2}{3}, 2 \right\rangle\)
a) \(x \in \langle 0, 5 \rangle \cup \{-1\}\)
b) \(x \in \left(\dfrac{3}{2}, 3\right) \cup (3, 4)\)
c) \(x \in (-\infty, -2\rangle \cup \left\langle \dfrac{2}{3}, 2 \right\rangle\)
Zadanie 2 (3 pkt)
Rozwiąż nierówności:
a) \(4x^4 - x^3 - 108x + 27 < 0\)
b) \(x^3 + 3x^2 - 13x \le 15\)
c) \(x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24 > 0\)
a) \(4x^4 - x^3 - 108x + 27 < 0\)
b) \(x^3 + 3x^2 - 13x \le 15\)
c) \(x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24 > 0\)
a) \(x \in \left(\dfrac{1}{4}, 3\right)\)
b) \(x \in (-\infty, -5\rangle \cup \langle -1, 3\rangle\)
c) \(x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)\)
b) \(x \in (-\infty, -5\rangle \cup \langle -1, 3\rangle\)
c) \(x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)\)
Wskazówki:
- Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej stronie pozostało wyłącznie zero.
- Rozłóż wielomian na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe, stosując metodę grupowania wyrazów, wzory skróconego mnożenia lub twierdzenie o pierwiastkach wymiernych i schemat Hornera.
- Wyznacz wszystkie rzeczywiste miejsca zerowe wielomianu oraz określ ich krotności (krotność nieparzysta – wykres przecina oś; krotność parzysta – wykres odbija się od osi).
- Określ znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej \(x\). Gdy współczynnik jest dodatni, szkic wykresu znaku (tzw. wężyk) zaczynamy z prawej strony nad osią liczbową; gdy ujemny – pod osią.
- Pamiętaj o uwzględnieniu zwrotu nierówności: dla nierówności ostrych (\(<, >\)) miejsca zerowe wykluczamy z rozwiązania (kółka otwarte), a dla nieostrych (\(\le, \ge\)) włączamy je do przedziałów (kółka domknięte).
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność \(4x^4 - x^3 - 108x + 27 < 0\):
Rozkładamy wielomian po lewej stronie nierówności na czynniki metodą grupowania wyrazów: $$\begin{aligned} W(x) &= 4x^4 - x^3 - 108x + 27 \\ &= x^3(4x - 1) - 27(4x - 1) \\ &= (4x - 1)(x^3 - 27) \end{aligned}$$ Do wyrażenia \(x^3 - 27\) stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\): $$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$$ Otrzymujemy postać iloczynową: $$W(x) = (4x - 1)(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$$ Sprawdzamy czynnik kwadratowy \(x^2 + 3x + 9\): $$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0$$ Ponieważ wyróżnik jest ujemny, a współczynnik przy \(x^2\) dodatni (\(a = 1 > 0\)), trójmian \(x^2 + 3x + 9\) przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) i nie posiada pierwiastków rzeczywistych.
Wyznaczamy rzeczywiste miejsca zerowe wielomianu: $$\begin{aligned} 4x - 1 = 0 &\iff x = \dfrac{1}{4} \quad \text{(pierwiastek 1-krotny – krotność nieparzysta)} \\[8pt] x - 3 = 0 &\iff x = 3 \quad \text{(pierwiastek 1-krotny – krotność nieparzysta)} \end{aligned}$$ Współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu \(x^4\) wynosi \(4 > 0\). Rysowanie wężyka zaczynamy od prawej strony nad osią liczbową:- W punkcie \(x = 3\) wykres przecina oś i przechodzi pod nią.
- W punkcie \(x = \dfrac{1}{4}\) wykres przecina oś i przechodzi nad nią.
Odczytujemy z wykresu przedział, w którym wielomian przyjmuje wartości ujemne (\(W(x) < 0\)): $$x \in \left(\dfrac{1}{4}, 3\right)$$ -
Podpunkt b) Rozwiązujemy nierówność \(x^3 + 3x^2 - 13x \le 15\):
Przenosimy liczbę \(15\) na lewą stronę nierówności: $$x^3 + 3x^2 - 13x - 15 \le 0$$ Niech \(W(x) = x^3 + 3x^2 - 13x - 15\). Szukamy całkowitych pierwiastków wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego \(-15\), czyli liczb: \(\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15\).
Sprawdzamy liczbę \(x = -1\): $$\begin{aligned} W(-1) &= (-1)^3 + 3(-1)^2 - 13(-1) - 15 \\ &= -1 + 3 + 13 - 15 = 0 \end{aligned}$$ Zatem \(x = -1\) jest pierwiastkiem wielomianu, co oznacza, że \(W(x)\) dzieli się przez dwumian \((x + 1)\).
Dzielenie wykonujemy za pomocą schematu Hornera dla \(c = -1\):Kolejne kroki wyznaczania wartości w schemacie Hornera:\(1\) (\(x^3\)) \(3\) (\(x^2\)) \(-13\) (\(x\)) \(-15\) (wyraz wolny) \(c = -1\) \(1\) \(2\) \(-15\) \(0\) (reszta) - Przepisujemy pierwszy współczynnik: \(1\).
- Mnożymy pierwiastek przez poprzednią wartość i dodajemy kolejny współczynnik: \((-1) \cdot 1 + 3 = 2\).
- \((-1) \cdot 2 + (-13) = -2 - 13 = -15\).
- \((-1) \cdot (-15) + (-15) = 15 - 15 = 0\) (reszta \(R = 0\)).
Rozkładamy otrzymany trójmian kwadratowy \(x^2 + 2x - 15\) na czynniki dwoma sposobami:
Sposób I – Wykorzystanie wyróżnika \(\Delta\): $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) \\ &= 4 + 60 = 64 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{64} = 8 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 - 8}{2} = \dfrac{-10}{2} = -5 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 + 8}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \end{aligned}$$ Stąd: \(x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)\).
Sposób II – Rozbicie wyrazu środkowego i grupowanie: Zauważamy, że wyraz środkowy \(2x\) możemy zapisać jako \(5x - 3x\): $$\begin{aligned} x^2 + 2x - 15 &= x^2 + 5x - 3x - 15 \\ &= x(x + 5) - 3(x + 5) \\ &= (x + 5)(x - 3) \end{aligned}$$ Zapisujemy nierówność w pełnej postaci iloczynowej: $$(x + 5)(x + 1)(x - 3) \le 0$$ Miejsca zerowe to: \(x_1 = -5\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 3\) (wszystkie o krotności nieparzystej równej 1).
Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi \(a = 1 > 0\), więc szkic wykresu znaku zaczynamy z prawej strony nad osią, a w każdym pierwiastku wykres przecina oś:Szukamy wartości niedodatnich (\(W(x) \le 0\)). Odczytujemy zbiór rozwiązań, uwzględniając domknięcie przedziałów w miejscach zerowych: $$x \in (-\infty, -5\rangle \cup \langle -1, 3\rangle$$ -
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność \(x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24 > 0\):
Niech \(W(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24\). Dzielnikami wyrazu wolnego \(24\) są: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\).
Sprawdzamy liczbę \(x = -1\): $$\begin{aligned} W(-1) &= (-1)^4 - 2(-1)^3 - 13(-1)^2 + 14(-1) + 24 \\ &= 1 + 2 - 13 - 14 + 24 = 0 \end{aligned}$$ Zatem \(x = -1\) jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy \(W(x)\) przez dwumian \((x + 1)\) za pomocą schematu Hornera dla \(c = -1\):Kolejne kroki:\(1\) (\(x^4\)) \(-2\) (\(x^3\)) \(-13\) (\(x^2\)) \(14\) (\(x\)) \(24\) (wyraz wolny) \(c = -1\) \(1\) \(-3\) \(-10\) \(24\) \(0\) (reszta) - Przepisujemy: \(1\).
- \((-1) \cdot 1 + (-2) = -1 - 2 = -3\).
- \((-1) \cdot (-3) + (-13) = 3 - 13 = -10\).
- \((-1) \cdot (-10) + 14 = 10 + 14 = 24\).
- \((-1) \cdot 24 + 24 = -24 + 24 = 0\) (reszta \(R = 0\)).
Kolejne kroki:\(1\) (\(x^3\)) \(-3\) (\(x^2\)) \(-10\) (\(x\)) \(24\) (wyraz wolny) \(c = 2\) \(1\) \(-1\) \(-12\) \(0\) (reszta) - Przepisujemy: \(1\).
- \(2 \cdot 1 + (-3) = 2 - 3 = -1\).
- \(2 \cdot (-1) + (-10) = -2 - 10 = -12\).
- \(2 \cdot (-12) + 24 = -24 + 24 = 0\) (reszta \(R = 0\)).
Rozkładamy trójmian \(x^2 - x - 12\) na czynniki dwoma sposobami:
Sposób I – Wykorzystanie wyróżnika \(\Delta\): $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) \\ &= 1 + 48 = 49 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{49} = 7 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 - 7}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \end{aligned}$$ Stąd: \(x^2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4)\).
Sposób II – Rozbicie wyrazu środkowego i grupowanie: Zapisujemy wyraz \(-x\) w postaci \(-4x + 3x\): $$\begin{aligned} x^2 - x - 12 &= x^2 - 4x + 3x - 12 \\ &= x(x - 4) + 3(x - 4) \\ &= (x - 4)(x + 3) \end{aligned}$$ Zapisujemy wyjściową nierówność w pełnej postaci iloczynowej: $$(x + 3)(x + 1)(x - 2)(x - 4) > 0$$ Miejsca zerowe wielomianu to: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = 4\) (każdy o krotności nieparzystej równej 1).
Współczynnik przy najwyższej potędze \(x^4\) wynosi \(a = 1 > 0\). Wężyk zaczynamy od prawej strony nad osią, przecinając oś w każdym z pierwiastków:Odczytujemy przedziały, w których wielomian przyjmuje wartości ściśle dodatnie (\(W(x) > 0\)): $$x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)$$
Odpowiedź:
a) \(x \in \left(\dfrac{1}{4}, 3\right)\)
b) \(x \in (-\infty, -5\rangle \cup \langle -1, 3\rangle\)
c) \(x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)\)
a) \(x \in \left(\dfrac{1}{4}, 3\right)\)
b) \(x \in (-\infty, -5\rangle \cup \langle -1, 3\rangle\)
c) \(x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty)\)
Zadanie 3 (3 pkt)
Rozwiąż nierówności:
a) $2x^3 + \sqrt{5}x^2 < 50x + 25\sqrt{5}$
b) $11x^3 - 19x^2 + 13x \ge 2x^4 + 3$
c) $x^3 - 28 < 9x^2 - 27x$
a) Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty, -5) \cup \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 5\right)$.
b) Zbiorem rozwiązań nierówności jest $x \in \left[ \frac{1}{2}, 3 \right]$.
c) Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty, 4)$.
a) Obliczenie rozwiązania nierówności $2x^3 + \sqrt{5}x^2 < 50x + 25\sqrt{5}$:
Przekształcamy nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę i grupując je.\[ 2x^3 + \sqrt{5}x^2 - 50x - 25\sqrt{5} < 0 \]\[ x^2(2x + \sqrt{5}) - 25(2x + \sqrt{5}) < 0 \]\[ (x^2 - 25)(2x + \sqrt{5}) < 0 \]Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.\[ (x - 5)(x + 5)(2x + \sqrt{5}) < 0 \]Znajdujemy pierwiastki wielomianu:\[ x - 5 = 0 \implies x_1 = 5 \]\[ x + 5 = 0 \implies x_2 = -5 \]\[ 2x + \sqrt{5} = 0 \implies x_3 = -\frac{\sqrt{5}}{2} \]Pierwiastki w kolejności rosnącej to $-5$, $-\frac{\sqrt{5}}{2}$, $5$. Współczynnik wiodący wielomianu $P(x) = (x - 5)(x + 5)(2x + \sqrt{5})$ jest dodatni. Szkicujemy wykres wielomianu, zaczynając od prawej strony od góry i przechodząc przez pierwiastki o nieparzystej krotności.
Z wykresu odczytujemy przedziały, w których $P(x) < 0$.\[ x \in (-\infty, -5) \cup \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 5\right) \]
b) Obliczenie rozwiązania nierówności $11x^3 - 19x^2 + 13x \geq 2x^4 + 3$:
Przekształcamy nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę.\[ 0 \geq 2x^4 - 11x^3 + 19x^2 - 13x + 3 \]Czyli:\[ 2x^4 - 11x^3 + 19x^2 - 13x + 3 \leq 0 \]Niech $P(x) = 2x^4 - 11x^3 + 19x^2 - 13x + 3$. Szukamy pierwiastków wymiernych.
Sprawdzamy $x=1$:\[ P(1) = 2(1)^4 - 11(1)^3 + 19(1)^2 - 13(1) + 3 = 2 - 11 + 19 - 13 + 3 = 0 \]Zatem $x=1$ jest pierwiastkiem. Dzielimy $P(x)$ przez $(x-1)$.\[ \frac{2x^4 - 11x^3 + 19x^2 - 13x + 3}{x-1} = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3 \]Niech $Q(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3$. Sprawdzamy $x=1$ dla $Q(x)$:\[ Q(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 10(1) - 3 = 2 - 9 + 10 - 3 = 0 \]Zatem $x=1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym. Dzielimy $Q(x)$ przez $(x-1)$.\[ \frac{2x^3 - 9x^2 + 10x - 3}{x-1} = 2x^2 - 7x + 3 \]Rozwiązujemy równanie kwadratowe $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$: \[ \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]Obliczamy pierwiastki:\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4} \]\[ x_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]\[ x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]Wielomian $P(x)$ ma pierwiastki: $x=1$ (krotność 2), $x=3$ (krotność 1), $x=\frac{1}{2}$ (krotność 1). Możemy zapisać $P(x)$ w postaci iloczynowej: $P(x) = 2(x-1)^2(x-3)(x-\frac{1}{2})$. Współczynnik wiodący wielomianu jest dodatni. Szkicujemy wykres wielomianu. W pierwiastku o parzystej krotności ($x=1$) wykres dotyka osi OX i odbija się, a w pierwiastkach o nieparzystej krotności ($x=\frac{1}{2}$, $x=3$) przechodzi przez oś OX.
Z wykresu odczytujemy przedziały, w których $P(x) \leq 0$.\[ x \in \left[\frac{1}{2}, 3\right] \]
c) Obliczenie rozwiązania nierówności $x^3 - 28 < 9x^2 - 27x$:
Przekształcamy nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę.\[ x^3 - 9x^2 + 27x - 28 < 0 \]Niech $P(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 28$. Szukamy pierwiastków wymiernych.
Sprawdzamy $x=4$:\[ P(4) = 4^3 - 9(4)^2 + 27(4) - 28 = 64 - 9 \cdot 16 + 108 - 28 = 64 - 144 + 108 - 28 = 0 \]Zatem $x=4$ jest pierwiastkiem. Dzielimy $P(x)$ przez $(x-4)$.\[ \frac{x^3 - 9x^2 + 27x - 28}{x-4} = x^2 - 5x + 7 \]Wielomian $P(x)$ można zapisać jako $P(x) = (x-4)(x^2 - 5x + 7)$.
Analizujemy trójmian kwadratowy $x^2 - 5x + 7$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 \]Ponieważ $\Delta < 0$ i współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($1 > 0$), trójmian $x^2 - 5x + 7$ przyjmuje zawsze wartości dodatnie dla każdego rzeczywistego $x$. Zatem znak całego wielomianu $P(x)$ zależy wyłącznie od znaku czynnika $(x-4)$.
Nierówność $P(x) < 0$ sprowadza się do:\[ x - 4 < 0 \]\[ x < 4 \]Szkicując wykres wielomianu (stopień 3, jeden pierwiastek rzeczywisty $x=4$, współczynnik wiodący dodatni), odczytujemy przedziały, w których $P(x) < 0$.\[ x \in (-\infty, 4) \]
b) Obliczenie rozwiązania nierówności $11x^3 - 19x^2 + 13x \geq 2x^4 + 3$:
Przekształcamy nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę.\[ 0 \geq 2x^4 - 11x^3 + 19x^2 - 13x + 3 \]Czyli:\[ 2x^4 - 11x^3 + 19x^2 - 13x + 3 \leq 0 \]Niech $P(x) = 2x^4 - 11x^3 + 19x^2 - 13x + 3$. Szukamy pierwiastków wymiernych.
Sprawdzamy $x=1$:\[ P(1) = 2(1)^4 - 11(1)^3 + 19(1)^2 - 13(1) + 3 = 2 - 11 + 19 - 13 + 3 = 0 \]Zatem $x=1$ jest pierwiastkiem. Dzielimy $P(x)$ przez $(x-1)$.\[ \frac{2x^4 - 11x^3 + 19x^2 - 13x + 3}{x-1} = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3 \]Niech $Q(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3$. Sprawdzamy $x=1$ dla $Q(x)$:\[ Q(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 10(1) - 3 = 2 - 9 + 10 - 3 = 0 \]Zatem $x=1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym. Dzielimy $Q(x)$ przez $(x-1)$.\[ \frac{2x^3 - 9x^2 + 10x - 3}{x-1} = 2x^2 - 7x + 3 \]Rozwiązujemy równanie kwadratowe $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$: \[ \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]Obliczamy pierwiastki:\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4} \]\[ x_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]\[ x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]Wielomian $P(x)$ ma pierwiastki: $x=1$ (krotność 2), $x=3$ (krotność 1), $x=\frac{1}{2}$ (krotność 1). Możemy zapisać $P(x)$ w postaci iloczynowej: $P(x) = 2(x-1)^2(x-3)(x-\frac{1}{2})$. Współczynnik wiodący wielomianu jest dodatni. Szkicujemy wykres wielomianu. W pierwiastku o parzystej krotności ($x=1$) wykres dotyka osi OX i odbija się, a w pierwiastkach o nieparzystej krotności ($x=\frac{1}{2}$, $x=3$) przechodzi przez oś OX.
Z wykresu odczytujemy przedziały, w których $P(x) \leq 0$.\[ x \in \left[\frac{1}{2}, 3\right] \]
c) Obliczenie rozwiązania nierówności $x^3 - 28 < 9x^2 - 27x$:
Przekształcamy nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę.\[ x^3 - 9x^2 + 27x - 28 < 0 \]Niech $P(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 28$. Szukamy pierwiastków wymiernych.
Sprawdzamy $x=4$:\[ P(4) = 4^3 - 9(4)^2 + 27(4) - 28 = 64 - 9 \cdot 16 + 108 - 28 = 64 - 144 + 108 - 28 = 0 \]Zatem $x=4$ jest pierwiastkiem. Dzielimy $P(x)$ przez $(x-4)$.\[ \frac{x^3 - 9x^2 + 27x - 28}{x-4} = x^2 - 5x + 7 \]Wielomian $P(x)$ można zapisać jako $P(x) = (x-4)(x^2 - 5x + 7)$.
Analizujemy trójmian kwadratowy $x^2 - 5x + 7$. Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 \]Ponieważ $\Delta < 0$ i współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($1 > 0$), trójmian $x^2 - 5x + 7$ przyjmuje zawsze wartości dodatnie dla każdego rzeczywistego $x$. Zatem znak całego wielomianu $P(x)$ zależy wyłącznie od znaku czynnika $(x-4)$.
Nierówność $P(x) < 0$ sprowadza się do:\[ x - 4 < 0 \]\[ x < 4 \]Szkicując wykres wielomianu (stopień 3, jeden pierwiastek rzeczywisty $x=4$, współczynnik wiodący dodatni), odczytujemy przedziały, w których $P(x) < 0$.\[ x \in (-\infty, 4) \]
Zadanie 4 (3 pkt)
Rozwiąż nierówności:
a) $(x^2 - 4)^2 + 5(x^2 - 4) \ge 14$
b) $(x^2 - 5x)^2 - x^2 + 5x - 30 \le 0$
c) $(x - 3)^4 \ge 25x^2 - 150x + 225$
a) Odpowiedzią dla nierówności jest $x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$.
b) Rozwiązaniem nierówności jest $x \in \left[ -1, \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right] \cup \left[ \frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 6 \right]$.
c) Zbiorem rozwiązań nierówności jest $x \in (-\infty, -2] \cup \{3\} \cup [8, \infty)$.
a) Podstawiamy $t = x^2 - 4$.
Nierówność przyjmuje postać:\[ t^2 + 5t \ge 14 \]Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\[ t^2 + 5t - 14 \ge 0 \]Rozwiązujemy równanie kwadratowe $t^2 + 5t - 14 = 0$.
Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]Obliczamy pierwiastki $t_1, t_2$:\[ t_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]\[ t_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]Ponieważ współczynnik przy $t^2$ jest dodatni (1 > 0), parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność $t^2 + 5t - 14 \ge 0$ jest spełniona, gdy $t$ znajduje się poza pierwiastkami, czyli dla $t \le -7$ lub $t \ge 2$.
Wracamy do podstawienia $t = x^2 - 4$ i rozważamy dwa przypadki:
Przypadek 1: $x^2 - 4 \le -7$\[ x^2 \le -3 \]Ta nierówność nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.
Przypadek 2: $x^2 - 4 \ge 2$\[ x^2 \ge 6 \]Bierzemy pierwiastek kwadratowy z obu stron:\[ \sqrt{x^2} \ge \sqrt{6} \]\[ |x| \ge \sqrt{6} \]Co oznacza:\[ x \le -\sqrt{6} \quad \text{lub} \quad x \ge \sqrt{6} \]Łącząc rozwiązania z obu przypadków, otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:\[ x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty) \]
b) Przepisujemy nierówność, grupując wyrazy, aby uwidocznić podstawienie:\[ (x^2 - 5x)^2 - (x^2 - 5x) - 30 \le 0 \]Podstawiamy $t = x^2 - 5x$.
Nierówność przyjmuje postać:\[ t^2 - t - 30 \le 0 \]Rozwiązujemy równanie kwadratowe $t^2 - t - 30 = 0$.
Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]Obliczamy pierwiastki $t_1, t_2$:\[ t_1 = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]\[ t_2 = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]Ponieważ współczynnik przy $t^2$ jest dodatni (1 > 0), parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność $t^2 - t - 30 \le 0$ jest spełniona, gdy $t$ znajduje się między pierwiastkami, czyli dla $-5 \le t \le 6$.
Wracamy do podstawienia $t = x^2 - 5x$: \[ -5 \le x^2 - 5x \le 6 \]Rozdzielamy to na układ dwóch nierówności:
Pierwsza nierówność: $x^2 - 5x \ge -5$\[ x^2 - 5x + 5 \ge 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta_x$ dla tego równania kwadratowego:\[ \Delta_x = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5 \]Obliczamy pierwiastki $x_1, x_2$:\[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \]\[ x_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \]Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni (1 > 0), parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność $x^2 - 5x + 5 \ge 0$ jest spełniona, gdy $x$ znajduje się poza pierwiastkami, czyli dla $x \le \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ lub $x \ge \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$.
Druga nierówność: $x^2 - 5x \le 6$\[ x^2 - 5x - 6 \le 0 \]Rozwiązujemy równanie kwadratowe $x^2 - 5x - 6 = 0$.
Obliczamy wyróżnik $\Delta_x$:\[ \Delta_x = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]Obliczamy pierwiastki $x_1, x_2$:\[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]\[ x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni (1 > 0), parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność $x^2 - 5x - 6 \le 0$ jest spełniona, gdy $x$ znajduje się między pierwiastkami, czyli dla $-1 \le x \le 6$.
Rozwiązaniem całego układu jest część wspólna rozwiązań obu nierówności:
Interwał $[-1, 6]$ oraz interwały $(-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}]$ i $[\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.
Przybliżone wartości: $\frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2.236}{2} \approx 1.382$, a $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2.236}{2} \approx 3.618$.
Zatem rozwiązaniem jest:\[ x \in \left[ -1, \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right] \cup \left[ \frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 6 \right] \]
c) Przepisujemy prawą stronę nierówności, wyłączając wspólny czynnik i zauważając wzór skróconego mnożenia:\[ 25x^2 - 150x + 225 = 25(x^2 - 6x + 9) = 25(x-3)^2 \]Nierówność przyjmuje postać:\[ (x-3)^4 \ge 25(x-3)^2 \]Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\[ (x-3)^4 - 25(x-3)^2 \ge 0 \]Wyłączamy wspólny czynnik $(x-3)^2$:\[ (x-3)^2 \left( (x-3)^2 - 25 \right) \ge 0 \]Stosujemy wzór na różnicę kwadratów ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$) dla drugiego czynnika, gdzie $a = (x-3)$ i $b = 5$:\[ (x-3)^2 \left( (x-3) - 5 \right) \left( (x-3) + 5 \right) \ge 0 \]Upraszczamy wyrażenia w nawiasach:\[ (x-3)^2 (x-8) (x+2) \ge 0 \]Analizujemy znaki poszczególnych czynników. Czynnik $(x-3)^2$ jest zawsze nieujemny (większy lub równy 0) dla dowolnego $x \in \mathbb{R}$.
Zatem cała nierówność jest spełniona, gdy:
1. $(x-3)^2 = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$
2. Czynnik $(x-8)(x+2)$ jest nieujemny, czyli $(x-8)(x+2) \ge 0$.
Rozwiązujemy nierówność kwadratową $(x-8)(x+2) \ge 0$. Pierwiastkami są $x_1 = -2$ i $x_2 = 8$. Ponieważ parabola $y = (x-8)(x+2)$ ma ramiona skierowane w górę (współczynnik przy $x^2$ jest dodatni), nierówność jest spełniona dla $x$ znajdującego się poza pierwiastkami:\[ x \le -2 \quad \text{lub} \quad x \ge 8 \]Łącząc rozwiązania z punktu 1 (pojedynczy punkt $x=3$) i z punktu 2, otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:\[ x \in (-\infty, -2] \cup \{3\} \cup [8, \infty) \]
b) Przepisujemy nierówność, grupując wyrazy, aby uwidocznić podstawienie:\[ (x^2 - 5x)^2 - (x^2 - 5x) - 30 \le 0 \]Podstawiamy $t = x^2 - 5x$.
Nierówność przyjmuje postać:\[ t^2 - t - 30 \le 0 \]Rozwiązujemy równanie kwadratowe $t^2 - t - 30 = 0$.
Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]Obliczamy pierwiastki $t_1, t_2$:\[ t_1 = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]\[ t_2 = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]Ponieważ współczynnik przy $t^2$ jest dodatni (1 > 0), parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność $t^2 - t - 30 \le 0$ jest spełniona, gdy $t$ znajduje się między pierwiastkami, czyli dla $-5 \le t \le 6$.
Wracamy do podstawienia $t = x^2 - 5x$: \[ -5 \le x^2 - 5x \le 6 \]Rozdzielamy to na układ dwóch nierówności:
Pierwsza nierówność: $x^2 - 5x \ge -5$\[ x^2 - 5x + 5 \ge 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta_x$ dla tego równania kwadratowego:\[ \Delta_x = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5 \]Obliczamy pierwiastki $x_1, x_2$:\[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \]\[ x_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \]Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni (1 > 0), parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność $x^2 - 5x + 5 \ge 0$ jest spełniona, gdy $x$ znajduje się poza pierwiastkami, czyli dla $x \le \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ lub $x \ge \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$.
Druga nierówność: $x^2 - 5x \le 6$\[ x^2 - 5x - 6 \le 0 \]Rozwiązujemy równanie kwadratowe $x^2 - 5x - 6 = 0$.
Obliczamy wyróżnik $\Delta_x$:\[ \Delta_x = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]Obliczamy pierwiastki $x_1, x_2$:\[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]\[ x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni (1 > 0), parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność $x^2 - 5x - 6 \le 0$ jest spełniona, gdy $x$ znajduje się między pierwiastkami, czyli dla $-1 \le x \le 6$.
Rozwiązaniem całego układu jest część wspólna rozwiązań obu nierówności:
Interwał $[-1, 6]$ oraz interwały $(-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}]$ i $[\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.
Przybliżone wartości: $\frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2.236}{2} \approx 1.382$, a $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2.236}{2} \approx 3.618$.
Zatem rozwiązaniem jest:\[ x \in \left[ -1, \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right] \cup \left[ \frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 6 \right] \]
c) Przepisujemy prawą stronę nierówności, wyłączając wspólny czynnik i zauważając wzór skróconego mnożenia:\[ 25x^2 - 150x + 225 = 25(x^2 - 6x + 9) = 25(x-3)^2 \]Nierówność przyjmuje postać:\[ (x-3)^4 \ge 25(x-3)^2 \]Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\[ (x-3)^4 - 25(x-3)^2 \ge 0 \]Wyłączamy wspólny czynnik $(x-3)^2$:\[ (x-3)^2 \left( (x-3)^2 - 25 \right) \ge 0 \]Stosujemy wzór na różnicę kwadratów ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$) dla drugiego czynnika, gdzie $a = (x-3)$ i $b = 5$:\[ (x-3)^2 \left( (x-3) - 5 \right) \left( (x-3) + 5 \right) \ge 0 \]Upraszczamy wyrażenia w nawiasach:\[ (x-3)^2 (x-8) (x+2) \ge 0 \]Analizujemy znaki poszczególnych czynników. Czynnik $(x-3)^2$ jest zawsze nieujemny (większy lub równy 0) dla dowolnego $x \in \mathbb{R}$.
Zatem cała nierówność jest spełniona, gdy:
1. $(x-3)^2 = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$
2. Czynnik $(x-8)(x+2)$ jest nieujemny, czyli $(x-8)(x+2) \ge 0$.
Rozwiązujemy nierówność kwadratową $(x-8)(x+2) \ge 0$. Pierwiastkami są $x_1 = -2$ i $x_2 = 8$. Ponieważ parabola $y = (x-8)(x+2)$ ma ramiona skierowane w górę (współczynnik przy $x^2$ jest dodatni), nierówność jest spełniona dla $x$ znajdującego się poza pierwiastkami:\[ x \le -2 \quad \text{lub} \quad x \ge 8 \]Łącząc rozwiązania z punktu 1 (pojedynczy punkt $x=3$) i z punktu 2, otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:\[ x \in (-\infty, -2] \cup \{3\} \cup [8, \infty) \]
Zadanie 5 (3 pkt)
Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $y = x^3 - 6x^2 + 8x$ przyjmuje wartości większe niż funkcja $y = 6 - 3x$.
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $y = x^3 - 6x^2 + 8x$ przyjmuje wartości większe niż funkcja $y = 6 - 3x$, jest $x \in (1, 2) \cup (3, \infty)$.
Aby wyznaczyć zbiór argumentów, dla których funkcja $y = x^3 - 6x^2 + 8x$ przyjmuje wartości większe niż funkcja $y = 6 - 3x$, należy rozwiązać nierówność:\[x^3 - 6x^2 + 8x > 6 - 3x\]Przekształcamy nierówność do postaci:\[x^3 - 6x^2 + 11x - 6 > 0\]Niech $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Szukamy pierwiastków wielomianu $P(x)$.
Sprawdzamy wartości dla dzielników wyrazu wolnego ($6$): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Obliczamy $P(1)$:\[P(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\]Zatem $x=1$ jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy wielomian $P(x)$ przez dwumian $(x-1)$:\[(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x-1) = x^2 - 5x + 6\]Następnie szukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]Pierwiastki trójmianu to:\[x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}\]\[x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}\]\[x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\]\[x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]Wielomian $P(x)$ ma pierwiastki $x=1$, $x=2$ i $x=3$. Możemy zapisać nierówność w postaci iloczynowej:\[(x-1)(x-2)(x-3) > 0\]Rysując szkic wykresu funkcji sześciennej o dodatnim współczynniku przy $x^3$, widzimy, że nierówność $(x-1)(x-2)(x-3) > 0$ jest spełniona, gdy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. 
Dzieje się to dla $x \in (1, 2)$ oraz dla $x \in (3, \infty)$.
Zatem zbiór wszystkich argumentów to:\[x \in (1, 2) \cup (3, \infty)\]
Dzieje się to dla $x \in (1, 2)$ oraz dla $x \in (3, \infty)$.
Zatem zbiór wszystkich argumentów to:\[x \in (1, 2) \cup (3, \infty)\]
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
Rozwiąż nierówności:
a) $(4-x)(x+2)^2 \cdot x \ge 0$
b) $(3x-6)(x^2-4x+4)(x-5) < 0$
c) $(x^2-9)(2x-1)(x^2+6x+9) \le 0$
a) Rozwiązaniem nierówności jest przedział $x \in \left(-1, \frac{3}{2}\right)$.
b) Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in (-\infty, -4] \cup [-2, 1]$.
c) Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$.
Zadanie 2 (3 pkt)
Rozwiąż nierówności:
a) $2x^4 - 3x^3 + 2x - 3 < 0$
b) $x^3 + 5x^2 + 2x \le 8$
c) $5x^3 - x^2 - 21x + 18 < x^4$
a) Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in \{-2\} \cup [0, 4]$.
b) Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in (2, 5)$.
c) Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in (-\infty, -3] \cup \left[\frac{1}{2}, 3\right]$.
Zadanie 3 (3 pkt)
Rozwiąż nierówności:
a) $2x^3 + \sqrt{7}x^2 < 98x + 49\sqrt{7}$
b) $-2x^3 + 25x^2 + 28x \ge 3x^4 + 12$
c) $x^3 - 65 < 12x^2 - 48x$
a) Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty, -7) \cup \left(-\frac{\sqrt{7}}{2}, 7\right)$.
b) Zbiorem rozwiązań nierówności jest $x \in \left\{ -2 \right\} \cup \left[ \frac{1}{3}, 3 \right]$.
c) Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty, 5)$.
Zadanie 4 (3 pkt)
Rozwiąż nierówności:
a) $(x^2 - 7)^2 + 4(x^2 - 7) \ge 12$
b) $(x^2 - 3x)^2 - x^2 + 3x - 6 \le 0$
c) $(x - 3)^4 \ge 4x^2 - 24x + 36$
a) Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, \infty)$.
b) Rozwiązaniem nierówności jest $x \in [\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, 1] \cup [2, \frac{3 + \sqrt{21}}{2}]$.
c) Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty, 1] \cup \{3\} \cup [5, \infty)$.
Zadanie 5 (3 pkt)
Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $y = x^3 - 11x^2 + 30x$ przyjmuje wartości większe niż funkcja $y = 24 - 4x$.
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $y = x^3 - 11x^2 + 30x$ przyjmuje wartości większe niż funkcja $y = 24 - 4x$, jest $x \in (1, 4) \cup (6, \infty)$.