Geometria analityczna sprawdzian

Geometria analityczna

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (5 pkt)

W trójkącie $ABC$ dany jest wierzchołek $A(2, 3)$, środek $E(4, 1)$ boku $AB$ oraz wektor $\vec{BC} = [6, -2]$. Wyznacz równania kierunkowe prostych, w których zawierają się boki trójkąta $ABC$.

Wskazówki:

Punkt $E$ jest środkiem odcinka $AB$. Współrzędne wierzchołka $B$ można wyznaczyć ze wzoru na środek odcinka lub z równości wektorów $\vec{AE} = \vec{EB}$.
Współrzędne wierzchołka $C$ wyznaczamy, korzystając z definicji wektora o danym początku i końcu: $\vec{BC} = [x_C - x_B, y_C - y_B]$.
Równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty ma postać $y = ax + b$, gdzie współczynnik kierunkowy to iloraz różnicowy $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, a wyraz wolny $b$ otrzymujemy po podstawieniu współrzędnych jednego z punktów.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie współrzędnych wierzchołka $B$:
Punkt $E(4, 1)$ jest środkiem boku $AB$ o końcach $A(2, 3)$ oraz $B(x_B, y_B)$.

Sposób I – Wykorzystanie wzoru na środek odcinka:
Współrzędne środka odcinka $AB$ wyrażają się średnimi arytmetycznymi: $$ x_E = \dfrac{x_A + x_B}{2}, \quad y_E = \dfrac{y_A + y_B}{2} $$ Podstawiamy dane współrzędne punktów $A(2, 3)$ i $E(4, 1)$: $$ \begin{aligned} 4 &= \dfrac{2 + x_B}{2} \\[8pt] 8 &= 2 + x_B \\[8pt] x_B &= 8 - 2 = 6 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} 1 &= \dfrac{3 + y_B}{2} \\[8pt] 2 &= 3 + y_B \\[8pt] y_B &= 2 - 3 = -1 \end{aligned} $$ Sposób II – Wykorzystanie wektorów:
Skoro punkt $E$ jest środkiem odcinka $AB$, to wektory $\vec{AE}$ i $\vec{EB}$ są równe: $$ \vec{AE} = [x_E - x_A, y_E - y_A] = [4 - 2, 1 - 3] = [2, -2] $$ Stąd współrzędne punktu $B$ wynoszą: $$ B = E + \vec{EB} = (4 + 2, 1 + (-2)) = (6, -1) $$ Obie metody dają punkt $B(6, -1)$.
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka $C$:
Znamy współrzędne wierzchołka $B(6, -1)$ oraz wektor $\vec{BC} = [6, -2]$. Z definicji wektora o początku w punkcie $B$ i końcu w punkcie $C(x_C, y_C)$: $$ \vec{BC} = [x_C - x_B, y_C - y_B] $$ Podstawiamy znane wielkości: $$ [6, -2] = [x_C - 6, y_C - (-1)] = [x_C - 6, y_C + 1] $$ Przyrównujemy odpowiadające sobie współrzędne: $$ \begin{aligned} x_C - 6 &= 6 \\[8pt] x_C &= 6 + 6 \\[8pt] x_C &= 12 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} y_C + 1 &= -2 \\[8pt] y_C &= -2 - 1 \\[8pt] y_C &= -3 \end{aligned} $$ Wierzchołek ma współrzędne $C(12, -3)$.
Wyznaczenie równania kierunkowego prostej zawierającej bok $AB$:
Prosta przechodzi przez punkty $A(2, 3)$ oraz $B(6, -1)$. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a_{AB}$: $$ a_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-1 - 3}{6 - 2} = \dfrac{-4}{4} = -1 $$ Zapisujemy postać kierunkową $y = a_{AB}x + b_{AB}$ i podstawiamy współrzędne punktu $A(2, 3)$: $$ \begin{aligned} 3 &= -1 \cdot 2 + b_{AB} \\[8pt] 3 &= -2 + b_{AB} \\[8pt] b_{AB} &= 3 + 2 = 5 \end{aligned} $$ Równanie prostej zawierającej bok $AB$ ma postać: $$ y = -x + 5 $$
Wyznaczenie równania kierunkowego prostej zawierającej bok $BC$:
Prosta przechodzi przez punkty $B(6, -1)$ oraz $C(12, -3)$. Współczynnik kierunkowy wynika bezpośrednio ze współrzędnych wektora kierunkowego $\vec{BC} = [6, -2]$: $$ a_{BC} = \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3} $$ Wstawiamy punkt $B(6, -1)$ do równania $y = a_{BC}x + b_{BC}$: $$ \begin{aligned} -1 &= -\dfrac{1}{3} \cdot 6 + b_{BC} \\[8pt] -1 &= -2 + b_{BC} \\[8pt] b_{BC} &= -1 + 2 = 1 \end{aligned} $$ Równanie prostej zawierającej bok $BC$ ma postać: $$ y = -\dfrac{1}{3}x + 1 $$
Wyznaczenie równania kierunkowego prostej zawierającej bok $AC$:
Prosta przechodzi przez punkty $A(2, 3)$ oraz $C(12, -3)$. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a_{AC}$: $$ a_{AC} = \dfrac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \dfrac{-3 - 3}{12 - 2} = \dfrac{-6}{10} = -\dfrac{3}{5} = -0{,}6 $$ Wstawiamy współrzędne punktu $A(2, 3)$ do równania $y = a_{AC}x + b_{AC}$: $$ \begin{aligned} 3 &= -\dfrac{3}{5} \cdot 2 + b_{AC} \\[8pt] 3 &= -\dfrac{6}{5} + b_{AC} \\[8pt] b_{AC} &= 3 + \dfrac{6}{5} = \dfrac{15}{5} + \dfrac{6}{5} = \dfrac{21}{5} = 4{,}2 \end{aligned} $$ Równanie prostej zawierającej bok $AC$ ma postać: $$ y = -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{21}{5} \quad (\text{lub } y = -0{,}6x + 4{,}2) $$
Podsumowanie i rysunek wynikowy:
Wszystkie trzy boki trójkąta $ABC$ zawierają się w prostych o ujemnych współczynnikach kierunkowych (każda z tych prostych jest malejąca). Poniższy rysunek przedstawia wyznaczony trójkąt $ABC$ w układzie współrzędnych wraz ze środkiem boku $E$, wektorem $\vec{BC}$ oraz równaniami wszystkich prostych:

Odpowiedź:
Prosta $AB$: $y = -x + 5$

Prosta $BC$: $y = -\dfrac{1}{3}x + 1$

Prosta $AC$: $y = -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{21}{5}$ (lub $y = -0{,}6x + 4{,}2$)

Zadanie 2 (2 pkt)

Wyznacz liczbę $b$, dla której proste $k: 2bx + 5y - 6 = 0$ oraz $m: (b + 2)x + 3y - 7 = 0$ są równoległe.

Wskazówki:

Dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe ($a_1 = a_2$) lub gdy wektory normalne do nich są współliniowe ($A_1 B_2 - A_2 B_1 = 0$ dla postaci ogólnej).
W Sposobie I przekształć równania obu prostych z postaci ogólnej do postaci kierunkowej $y = ax + b$, wyznaczając zmienną $y$.
W Sposobie II skorzystaj bezpośrednio ze współczynników przy zmiennych $x$ i $y$ w postaci ogólnej: $A_1 = 2b$, $B_1 = 5$ oraz $A_2 = b + 2$, $B_2 = 3$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Przekształcenie do postaci kierunkowej i porównanie współczynników kierunkowych:
Wychodzimy z wyjściowych równań obu prostych podanych w postaci ogólnej: $$\begin{aligned} k&: 2bx + 5y - 6 = 0 \\[8pt] m&: (b + 2)x + 3y - 7 = 0 \end{aligned}$$ Przekształcamy równanie prostej $k$ do postaci kierunkowej $y = a_1 x + c_1$, wyznaczając zmienną $y$: $$\begin{aligned} 5y &= -2bx + 6 \quad \Big/ : 5 \\[8pt] y &= -\dfrac{2b}{5}x + \dfrac{6}{5} \end{aligned}$$ Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi zatem: $$a_1 = -\dfrac{2b}{5}$$ Analogicznie przekształcamy równanie prostej $m$ do postaci kierunkowej $y = a_2 x + c_2$: $$\begin{aligned} 3y &= -(b + 2)x + 7 \quad \Big/ : 3 \\[8pt] y &= -\dfrac{b + 2}{3}x + \dfrac{7}{3} \end{aligned}$$ Współczynnik kierunkowy prostej $m$ wynosi: $$a_2 = -\dfrac{b + 2}{3}$$ Dwie proste są równoległe ($k \parallel m$), gdy ich współczynniki kierunkowe są równe ($a_1 = a_2$). Układamy i rozwiązujemy równanie: $$\begin{aligned} -\dfrac{2b}{5} &= -\dfrac{b + 2}{3} \quad \Big/ \cdot (-1) \\[8pt] \dfrac{2b}{5} &= \dfrac{b + 2}{3} \end{aligned}$$ Mnożymy równanie „na krzyż”: $$\begin{aligned} 3 \cdot 2b &= 5 \cdot (b + 2) \\[8pt] 6b &= 5b + 10 \\[8pt] 6b - 5b &= 10 \\[8pt] b &= 10 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie warunku równoległości prostych w postaci ogólnej:
Dla dwóch prostych danych równaniami ogólnymi: $$\begin{aligned} k&: A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \\[8pt] m&: A_2 x + B_2 y + C_2 = 0 \end{aligned}$$ warunek równoległości $k \parallel m$ można zapisać za pomocą proporcjonalności współczynników przy odpowiednich zmiennych: $$A_1 B_2 - A_2 B_1 = 0$$ Odczytujemy odpowiednie współczynniki z treści zadania: $$\begin{aligned} A_1 &= 2b, \quad &B_1 &= 5, \quad &C_1 &= -6 \\[8pt] A_2 &= b + 2, \quad &B_2 &= 3, \quad &C_2 &= -7 \end{aligned}$$ Wstawiamy odczytane wartości do warunku: $$\begin{aligned} (2b) \cdot 3 - (b + 2) \cdot 5 &= 0 \\[8pt] 6b - (5b + 10) &= 0 \\[8pt] 6b - 5b - 10 &= 0 \\[8pt] b - 10 &= 0 \\[8pt] b &= 10 \end{aligned}$$
Interpretacja graficzna i sprawdzenie wzajemnego położenia prostych:
Podstawiamy wyznaczoną liczbę $b = 10$ do postaci kierunkowych obu prostych: $$\begin{aligned} k&: y = -\dfrac{2 \cdot 10}{5}x + \dfrac{6}{5} \implies y = -4x + 1\dfrac{1}{5} \\[8pt] m&: y = -\dfrac{10 + 2}{3}x + \dfrac{7}{3} \implies y = -4x + 2\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ Obie proste mają jednakowy współczynnik kierunkowy $a = -4$, co potwierdza, że są nachylone do osi $OX$ pod tym samym kątem i są równoległe. Różne wartości wyrazu wolnego ($1\dfrac{1}{5} \neq 2\dfrac{1}{3}$) wskazują, że proste te przecinają oś $OY$ w dwóch różnych punktach, a więc nie pokrywają się.

Odpowiedź:
$b = 10$

Zadanie 3 (5 pkt)

Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A(2, 4)$ i $B(6, 8)$, jeśli jego środek należy do prostej $k : y = 3x - 1$.

Wskazówki:

Równanie okręgu o środku $S(a, b)$ i promieniu $r > 0$ ma postać: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
Skoro środek okręgu $S(a, b)$ leży na prostej $k: y = 3x - 1$, jego współrzędne spełniają to równanie, czyli $b = 3a - 1$.
Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu, co oznacza, że są jednakowo oddalone od środka: $|SA| = |SB| = r$. Odcinek $AB$ jest cięciwą okręgu, a środek okręgu leży na symetralnej tej cięciwy.
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby:
- Sposób I (geometryczny): wyznaczyć równanie symetralnej odcinka $AB$ i znaleźć jej punkt przecięcia z prostą $k$,
- Sposób II (algebraiczny): ułożyć równanie wynikające z równości kwadratów odległości $|SA|^2 = |SB|^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
W kartezjańskim układzie współrzędnych nanosimy dane punkty $A(2, 4)$, $B(6, 8)$, łączący je odcinek $AB$ (będący cięciwą szukanego okręgu) oraz prostą $k: y = 3x - 1$.

Środek szukanego okręgu $S(a, b)$ leży na prostej $k$, a zatem jego współrzędne możemy zapisać w postaci jednej zmiennej: $$S(a, 3a - 1)$$
Sposób I – Wyznaczenie środka okręgu za pomocą symetralnej odcinka $AB$:
Środek każdego okręgu przechodzącego przez dwa ustalone punkty $A$ i $B$ leży na symetralnej odcinka $AB$ (prostej prostopadłej do $AB$ przechodzącej przez jego środek).

Wyznaczamy współrzędne środka $M$ odcinka $AB$: $$\begin{aligned} M &= \left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right) \\[8pt] &= \left(\dfrac{2 + 6}{2}, \dfrac{4 + 8}{2}\right) \\[8pt] &= (4, 6) \end{aligned}$$ Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $$\begin{aligned} a_{AB} &= \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \\[8pt] &= \dfrac{8 - 4}{6 - 2} = \dfrac{4}{4} = 1 \end{aligned}$$ Symetralna $s$ jest prostopadła do odcinka $AB$, zatem jej współczynnik kierunkowy $a_s$ spełnia warunek prostopadłości: $$\begin{aligned} a_s \cdot a_{AB} &= -1 \\[8pt] a_s \cdot 1 &= -1 \implies a_s = -1 \end{aligned}$$ Wyznaczamy równanie symetralnej $s$, wstawiając współrzędne punktu $M(4, 6)$: $$\begin{aligned} y - y_M &= a_s(x - x_M) \\[8pt] y - 6 &= -1(x - 4) \\[8pt] y - 6 &= -x + 4 \\[8pt] y &= -x + 10 \end{aligned}$$ Środek okręgu $S$ jest punktem przecięcia prostej $k: y = 3x - 1$ oraz symetralnej $s: y = -x + 10$: $$\begin{aligned} 3x - 1 &= -x + 10 \\[8pt] 3x + x &= 10 + 1 \\[8pt] 4x &= 11 \\[8pt] x &= \dfrac{11}{4} \end{aligned}$$ Obliczamy rzędną $y$: $$\begin{aligned} y &= -\dfrac{11}{4} + 10 = -\dfrac{11}{4} + \dfrac{40}{4} = \dfrac{29}{4} \end{aligned}$$ Środek okręgu ma współrzędne: $$S = \left(\dfrac{11}{4}, \dfrac{29}{4}\right)$$
Sposób II – Wyznaczenie środka okręgu z warunku równości odległości $|SA|^2 = |SB|^2$:
Wychodzimy z faktu, że punkty $A(2, 4)$ i $B(6, 8)$ leżą na okręgu o środku $S(a, 3a - 1)$, zatem ich odległości od środka są równe promieniowi $r$: $$|SA|^2 = |SB|^2$$ Rozpisujemy kwadraty odległości ze wzoru na długość odcinka: $$\begin{aligned} |SA|^2 &= (2 - a)^2 + [4 - (3a - 1)]^2 \\[8pt] &= (a - 2)^2 + (5 - 3a)^2 \\[8pt] &= a^2 - 4a + 4 + 25 - 30a + 9a^2 \\[8pt] &= 10a^2 - 34a + 29 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} |SB|^2 &= (6 - a)^2 + [8 - (3a - 1)]^2 \\[8pt] &= (a - 6)^2 + (9 - 3a)^2 \\[8pt] &= a^2 - 12a + 36 + 81 - 54a + 9a^2 \\[8pt] &= 10a^2 - 66a + 117 \end{aligned}$$ Przyrównujemy oba wyrażenia: $$\begin{aligned} 10a^2 - 34a + 29 &= 10a^2 - 66a + 117 \\[8pt] -34a + 66a &= 117 - 29 \\[8pt] 32a &= 88 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony przez $32$ i skracamy ułamek przez $8$: $$\begin{aligned} a &= \dfrac{88}{32} = \dfrac{11}{4} \end{aligned}$$ Obliczamy rzędną $b = 3a - 1$: $$\begin{aligned} b &= 3 \cdot \dfrac{11}{4} - 1 = \dfrac{33}{4} - \dfrac{4}{4} = \dfrac{29}{4} \end{aligned}$$ Otrzymujemy identyczne współrzędne środka $S\left(\dfrac{11}{4}, \dfrac{29}{4}\right)$.
Obliczenie promienia i wyznaczenie równania okręgu:
Obliczamy kwadrat promienia okręgu $r^2 = |SA|^2$, wstawiając współrzędne środka $S\left(\dfrac{11}{4}, \dfrac{29}{4}\right)$ oraz punktu $A(2, 4)$: $$\begin{aligned} r^2 &= \left(2 - \dfrac{11}{4}\right)^2 + \left(4 - \dfrac{29}{4}\right)^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{8 - 11}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{16 - 29}{4}\right)^2 \\[8pt] &= \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(-\dfrac{13}{4}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{9}{16} + \dfrac{169}{16} \\[8pt] &= \dfrac{178}{16} = \dfrac{89}{8} \end{aligned}$$ Dla sprawdzenia obliczamy odległość od punktu $B(6, 8)$: $$\begin{aligned} |SB|^2 &= \left(6 - \dfrac{11}{4}\right)^2 + \left(8 - \dfrac{29}{4}\right)^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{24 - 11}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{32 - 29}{4}\right)^2 \\[8pt] &= \left(\dfrac{13}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \\[8pt] &= \dfrac{169}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{178}{16} = \dfrac{89}{8} \end{aligned}$$ Kwadrat promienia wynosi $r^2 = \dfrac{89}{8}$ (czyli promień $r = \dfrac{\sqrt{178}}{4}$).

Wstawiamy współrzędne środka $S$ oraz $r^2$ do postaci kanonicznej równania okręgu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$: $$\left(x - \dfrac{11}{4}\right)^2 + \left(y - \dfrac{29}{4}\right)^2 = \dfrac{89}{8}$$ Przekształcając do postaci ogólnej $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$: $$\begin{aligned} x^2 - \dfrac{11}{2}x + \dfrac{121}{16} + y^2 - \dfrac{29}{2}y + \dfrac{841}{16} &= \dfrac{178}{16} \\[8pt] x^2 + y^2 - \dfrac{11}{2}x - \dfrac{29}{2}y + \dfrac{121 + 841 - 178}{16} &= 0 \\[8pt] x^2 + y^2 - \dfrac{11}{2}x - \dfrac{29}{2}y + \dfrac{784}{16} &= 0 \\[8pt] x^2 + y^2 - \dfrac{11}{2}x - \dfrac{29}{2}y + 49 &= 0 \end{aligned}$$
Rysunek wynikowy z wyznaczonym okręgiem i jego środkiem:
Na rysunku przedstawiono okrąg przechodzący przez punkty $A$ i $B$, prostą $k$, symetralną $s$ oraz wyznaczony środek $S$.

Odpowiedź:
Równanie okręgu ma postać: $$\left(x - \dfrac{11}{4}\right)^2 + \left(y - \dfrac{29}{4}\right)^2 = \dfrac{89}{8}$$ lub w postaci ogólnej: $$x^2 + y^2 - \dfrac{11}{2}x - \dfrac{29}{2}y + 49 = 0$$

Zadanie 4 (6 pkt)

Rozwiąż algebraicznie układ równań. Następnie przedstaw jego interpretację graficzną w układzie współrzędnych. $$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0 \\ x^2 + y^2 - 8x - 4y + 19 = 0 \end{cases}$$

Wskazówki:

Odejmij oba równania stronami, aby zredukować wyrazy kwadratowe $x^2$ i $y^2$ oraz wyraz z $y$, co pozwoli bezpośrednio wyznaczyć wartość zmiennej $x$.
Podstaw wyznaczoną wartość $x$ do dowolnego równania wyjściowego i rozwiąż równanie kwadratowe ze zmienną $y$.
Doprowadź równania obu krzywych do postaci kanonicznej okręgu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, odczytaj współrzędne środków i promienie, a następnie zinterpretuj wzajemne położenie okręgów na rysunku.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Algebraiczne rozwiązanie układu równań metodą przeciwnych współczynników:
Wychodzimy od wyjściowego układu równań: $$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0 \\ x^2 + y^2 - 8x - 4y + 19 = 0 \end{cases}$$ Odejmujemy drugie równanie od pierwszego stronami: $$(x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7) - (x^2 + y^2 - 8x - 4y + 19) = 0$$ Redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} (x^2 - x^2) + (y^2 - y^2) + (-4x + 8x) + (-4y + 4y) + (7 - 19) &= 0 \\[8pt] 4x - 12 &= 0 \\[8pt] 4x &= 12 \quad / : 4 \\[8pt] x &= 3 \end{aligned}$$ Podstawiamy wyznaczoną wartość $x = 3$ do pierwszego równania układu: $$\begin{aligned} 3^2 + y^2 - 4 \cdot 3 - 4y + 7 &= 0 \\[8pt] 9 + y^2 - 12 - 4y + 7 &= 0 \\[8pt] y^2 - 4y + 4 &= 0 \end{aligned}$$ Zwijamy trójmian za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $$\begin{aligned} (y - 2)^2 &= 0 \\[8pt] y - 2 &= 0 \\[8pt] y &= 2 \end{aligned}$$ Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie będące parą liczb: $$\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$$
Sposób II – Przekształcenie równań do postaci kanonicznej okręgu:
Równanie ogólne okręgu ma postać $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, gdzie $S = (a, b)$ jest środkiem, a $r > 0$ promieniem.

Przekształcamy pierwsze równanie $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0$: $$\begin{aligned} (x^2 - 4x) + (y^2 - 4y) + 7 &= 0 \\[8pt] (x - 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 + 7 &= 0 \\[8pt] (x - 2)^2 + (y - 2)^2 - 1 &= 0 \\[8pt] (x - 2)^2 + (y - 2)^2 &= 1 \end{aligned}$$ Jest to okrąg $o_1$ o środku $S_1 = (2, 2)$ i promieniu $r_1 = \sqrt{1} = 1$.

Przekształcamy drugie równanie $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 19 = 0$: $$\begin{aligned} (x^2 - 8x) + (y^2 - 4y) + 19 &= 0 \\[8pt] (x - 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 + 19 &= 0 \\[8pt] (x - 4)^2 + (y - 2)^2 - 1 &= 0 \\[8pt] (x - 4)^2 + (y - 2)^2 &= 1 \end{aligned}$$ Jest to okrąg $o_2$ o środku $S_2 = (4, 2)$ i promieniu $r_2 = \sqrt{1} = 1$.

Badamy wzajemne położenie okręgów, obliczając odległość między ich środkami $d = |S_1 S_2|$: $$\begin{aligned} d &= \sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 2)^2} \\[8pt] &= \sqrt{2^2 + 0^2} \\[8pt] &= \sqrt{4} = 2 \end{aligned}$$ Obliczamy sumę promieni: $$r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$$ Ponieważ zachodzi warunek $d = r_1 + r_2$, okręgi są styczne zewnętrznie, co oznacza, że posiadają dokładnie jeden punkt wspólny leżący na odcinku łączącym ich środki: $$P = (x_{S_1} + r_1, \ y_{S_1}) = (2 + 1, \ 2) = (3, 2)$$
Interpretacja graficzna w układzie współrzędnych:
Sporządzamy wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych:

1. Zaznaczamy środek pierwszego okręgu $S_1 = (2, 2)$ i kreślimy okrąg $o_1$ o promieniu $r_1 = 1$.
2. Zaznaczamy środek drugiego okręgu $S_2 = (4, 2)$ i kreślimy okrąg $o_2$ o promieniu $r_2 = 1$.
3. Równanie prostej potęgowej otrzymanej przez odjęcie równań to pionowa prosta $x = 3$, która jest wspólną prostą styczną obu okręgów w punkcie $P(3, 2)$.

Odpowiedź:
$$\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$$ Interpretacja graficzna: Równania opisują dwa okręgi o promieniach $r_1 = r_2 = 1$ i środkach $S_1 = (2, 2)$, $S_2 = (4, 2)$, które są styczne zewnętrznie w punkcie $P(3, 2)$.

Zadanie 5 (5 pkt)

Punkty $A(2, 4)$, $B(6, 8)$ i $C(0, 10)$ są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na tym trójkącie.

Wskazówki:

Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia symetralnych jego boków (prostych prostopadłych do boków przechodzących przez ich środki). Do wyznaczenia współrzędnych wystarczy znaleźć równania symetralnych dwóch wybranych boków i rozwiązać układ równań (Sposób I).
Środek okręgu opisanego $S(x, y)$ jest jednakowo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta: $|SA| = |SB| = |SC| = R$. Zadanie można zatem rozwiązać również przez porównanie kwadratów odległości punktu $S$ od punktów $A$, $B$ i $C$ (Sposób II).

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie środka jako punktu przecięcia symetralnych boków $AB$ i $AC$:
Wierzchołkami trójkąta są punkty: $$ A(2, 4), \quad B(6, 8), \quad C(0, 10) $$ Wyznaczamy równanie pierwszej symetralnej – boku $AB$:
- Środek odcinka $AB$: $$ M_{AB} = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{2 + 6}{2}, \dfrac{4 + 8}{2}\right) = (4, 6) $$
- Współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $$ a_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{8 - 4}{6 - 2} = \dfrac{4}{4} = 1 $$
- Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej $k_1$ spełnia warunek $a_1 \cdot a_{AB} = -1$: $$ a_1 = -\dfrac{1}{a_{AB}} = -\dfrac{1}{1} = -1 $$
- Równanie symetralnej $k_1$ przechodzącej przez $M_{AB}(4, 6)$: $$ \begin{aligned} y - y_M &= a_1(x - x_M) \\[8pt] y - 6 &= -1(x - 4) \\[8pt] y - 6 &= -x + 4 \\[8pt] y &= -x + 10 \end{aligned} $$
Wyznaczamy równanie drugiej symetralnej – boku $AC$:
- Środek odcinka $AC$: $$ M_{AC} = \left(\dfrac{x_A + x_C}{2}, \dfrac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\dfrac{2 + 0}{2}, \dfrac{4 + 10}{2}\right) = (1, 7) $$
- Współczynnik kierunkowy prostej $AC$: $$ a_{AC} = \dfrac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \dfrac{10 - 4}{0 - 2} = \dfrac{6}{-2} = -3 $$
- Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej $k_2$: $$ a_2 = -\dfrac{1}{a_{AC}} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac{1}{3} $$
- Równanie symetralnej $k_2$ przechodzącej przez $M_{AC}(1, 7)$: $$ \begin{aligned} y - 7 &= \dfrac{1}{3}(x - 1) \\[8pt] y &= \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3} + 7 \\[8pt] y &= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{20}{3} \end{aligned} $$
Punkt przecięcia symetralnych $S(x, y)$ wyznaczamy z układu równań: $$ \begin{cases} y = -x + 10 \\[6pt] y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{20}{3} \end{cases} $$ Przyrównujemy prawe strony obu równań: $$ \begin{aligned} -x + 10 &= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{20}{3} \quad \big/ \cdot 3 \\[8pt] -3x + 30 &= x + 20 \\[8pt] -4x &= 20 - 30 \\[8pt] -4x &= -10 \quad \big/ : (-4) \\[8pt] x &= \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \end{aligned} $$ Obliczamy rzędną $y$: $$ y = -\dfrac{5}{2} + 10 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5 $$ Środkiem okręgu opisanego jest punkt $S = \left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{15}{2}\right)$.
Sposób II – Wykorzystanie równości odległości środka od wierzchołków:
Niech $S(x, y)$ oznacza poszukiwany środek okręgu opisanego. Ponieważ punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $R$, zachodzi: $$ |SA|^2 = |SB|^2 = |SC|^2 = R^2 $$ Stosujemy wzór na kwadrat odległości między dwoma punktami: $$ |SA|^2 = (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + y^2 - 4x - 8y + 20 $$ $$ |SB|^2 = (x - 6)^2 + (y - 8)^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 16y + 64 = x^2 + y^2 - 12x - 16y + 100 $$ $$ |SC|^2 = (x - 0)^2 + (y - 10)^2 = x^2 + y^2 - 20y + 100 $$ Przyrównujemy $|SA|^2 = |SB|^2$: $$ \begin{aligned} x^2 + y^2 - 4x - 8y + 20 &= x^2 + y^2 - 12x - 16y + 100 \\[8pt] -4x - 8y + 20 &= -12x - 16y + 100 \\[8pt] 8x + 8y &= 80 \quad \big/ : 8 \\[8pt] x + y &= 10 \implies y = 10 - x \end{aligned} $$ Przyrównujemy $|SA|^2 = |SC|^2$: $$ \begin{aligned} x^2 + y^2 - 4x - 8y + 20 &= x^2 + y^2 - 20y + 100 \\[8pt] -4x - 8y + 20 &= -20y + 100 \\[8pt] -4x + 12y &= 80 \quad \big/ : (-4) \\[8pt] x - 3y &= -20 \end{aligned} $$ Wstawiamy zależność $y = 10 - x$ do drugiego równania: $$ \begin{aligned} x - 3(10 - x) &= -20 \\[8pt] x - 30 + 3x &= -20 \\[8pt] 4x &= 10 \\[8pt] x &= \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \end{aligned} $$ Wyznaczamy rzędną $y$: $$ y = 10 - \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5 $$ Obie metody prowadzą do identycznych współrzędnych środka okręgu opisanego.
Interpretacja geometryczna i rysunek w układzie współrzędnych:
Promień okręgu opisanego wynosi: $$ R = |SC| = \sqrt{\left(\dfrac{5}{2} - 0\right)^2 + \left(\dfrac{15}{2} - 10\right)^2} = \sqrt{\dfrac{25}{4} + \dfrac{25}{4}} = \sqrt{\dfrac{50}{4}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54 $$ Poniższy rysunek przedstawia trójkąt $ABC$, okrąg opisany, symetralne boków oraz wyznaczony środek $S$:

Odpowiedź:
Współrzędne środka okręgu opisanego to $S = \left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{15}{2}\right)$ (czyli $S(2{,}5;\ 7{,}5)$).

Grupa B

Zadanie 1 (5 pkt)

W trójkącie $ ABC $ dany jest wierzchołek $ A(-1, 5) $, środek $ E(2, 4) $ boku $ AB $ oraz wektor $ \overrightarrow{BC} = [-5, 3] $. Wyznacz równania kierunkowe prostych, w których zawierają się boki trójkąta $ ABC $.