Funkcje wielomianowe kartkówka - LiczBit

16.16 Funkcje wielomianowe

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Napisz wzór funkcji wielomianowej stopnia 6., wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A(1, 16), a wielomian we wzorze tej funkcji ma trzy pierwiastki: trzykrotny równy 0, dwukrotny równy -1 i jednokrotny równy 2.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (5 pkt)

Funkcja wielomianowa $W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, gdzie $a \neq 0$, ma trzy miejsca zerowe: $-1$, $2$ i $3$, a dla argumentu $1$ przyjmuje wartość $-12$. a) Wyznacz współczynniki $a, b, c, d$. b) Wyznacz wszystkie argumenty, dla których ta funkcja przyjmuje tę samą wartość, co funkcja kwadratowa $y = x^2 - 3x + 2$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Wyznaczenie współczynników $a, b, c, d$: Jako że miejsca zerowe wielomianu to $-1, 2, 3$, możemy zapisać funkcję wielomianową w postaci iloczynowej:\[ W(x) = a(x - (-1)) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) \]\[ W(x) = a(x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) \]Wykorzystujemy informację, że dla argumentu $1$ funkcja przyjmuje wartość $-12$, czyli $W(1) = -12$:\[ a(1 + 1) \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 3) = -12 \]\[ a \cdot (2) \cdot (-1) \cdot (-2) = -12 \]\[ 4a = -12 \]\[ a = -3 \]Teraz podstawiamy $a = -3$ do postaci iloczynowej i rozwijamy wyrażenie, aby znaleźć współczynniki $b, c, d$:\[ W(x) = -3 \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) \]Najpierw mnożymy dwa czynniki:\[ (x + 1) \cdot (x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2 \]Następnie mnożymy wynik przez trzeci czynnik:\[ (x^2 - x - 2) \cdot (x - 3) = x^3 - 3x^2 - x^2 + 3x - 2x + 6 \]\[ = x^3 - 4x^2 + x + 6 \]Teraz mnożymy przez $a = -3$:\[ W(x) = -3 \cdot (x^3 - 4x^2 + x + 6) \]\[ W(x) = -3x^3 + 12x^2 - 3x - 18 \]Porównując otrzymaną postać z ogólną postacią $W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, odczytujemy współczynniki:\[ a = -3 \]\[ b = 12 \]\[ c = -3 \]\[ d = -18 \]b) Wyznaczenie wszystkich argumentów, dla których funkcje przyjmują tę samą wartość: Szukamy wartości $x$, dla których $W(x) = x^2 - 3x + 2$. Z podpunktu a) wiemy, że $W(x) = -3 \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$. Zauważamy, że funkcja kwadratowa $y = x^2 - 3x + 2$ może być zapisana w postaci iloczynowej jako:\[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1) \cdot (x - 2) \]Podstawiamy te wyrażenia do równania $W(x) = x^2 - 3x + 2$:\[ -3 \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) = (x - 1) \cdot (x - 2) \]Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\[ -3 \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) - (x - 1) \cdot (x - 2) = 0 \]Wyłączamy wspólny czynnik $(x - 2)$:\[ (x - 2) \cdot [-3 \cdot (x + 1) \cdot (x - 3) - (x - 1)] = 0 \]Z tego iloczynu wynika, że:\[ x - 2 = 0 \quad \text{lub} \quad -3 \cdot (x + 1) \cdot (x - 3) - (x - 1) = 0 \]Pierwsze rozwiązanie to:\[ x = 2 \]Rozwiązujemy drugie równanie:\[ -3 \cdot (x^2 - 3x + x - 3) - x + 1 = 0 \]\[ -3 \cdot (x^2 - 2x - 3) - x + 1 = 0 \]\[ -3x^2 + 6x + 9 - x + 1 = 0 \]\[ -3x^2 + 5x + 10 = 0 \]Mnożymy przez $-1$:\[ 3x^2 - 5x - 10 = 0 \]Obliczamy wyróżnik $\Delta$:\[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot (3) \cdot (-10) = 25 + 120 = 145 \]Obliczamy pierwiastki kwadratowe:\[ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{145}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - \sqrt{145}}{6} \]\[ x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{145}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + \sqrt{145}}{6} \]Argumenty, dla których funkcje przyjmują tę samą wartość, to $x = 2$, $x = \frac{5 - \sqrt{145}}{6}$ oraz $x = \frac{5 + \sqrt{145}}{6}$.

Zadanie 3 (4 pkt)

Wielomian W(x) jest trzeciego stopnia i ma dwa pierwiastki: −2 i 2, przy czym liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym. Funkcja $y = W(x)$ dla argumentu −3 przyjmuje wartość −100. a) Napisz wzór tej funkcji w postaci uporządkowanej. b) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcje $y = W(x)$ oraz $y = 10|x + 2|$ przyjmują tę samą wartość.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Obliczenie wzoru funkcji $W(x)$ w postaci uporządkowanej: Wielomian trzeciego stopnia z pierwiastkami $x_1 = -2$ (jednokrotny) i $x_2 = 2$ (dwukrotny) ma postać iloczynową:\[ W(x) = a(x - x_1)(x - x_2)^2 \]Podstawiając pierwiastki otrzymujemy:\[ W(x) = a(x - (-2))(x - 2)^2 \]\[ W(x) = a(x + 2)(x - 2)^2 \]Korzystamy z warunku $W(-3) = -100$, aby wyznaczyć współczynnik $a$:\[ W(-3) = a(-3 + 2)(-3 - 2)^2 \]\[ -100 = a(-1)(-5)^2 \]\[ -100 = a \cdot (-1) \cdot 25 \]\[ -100 = -25a \]Dzielimy przez $-25$:\[ a = \frac{-100}{-25} \]\[ a = 4 \]Podstawiamy $a = 4$ do wzoru iloczynowego i rozwijamy go do postaci uporządkowanej:\[ W(x) = 4(x + 2)(x - 2)^2 \]Najpierw rozwijamy $(x - 2)^2$:\[ (x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \]Następnie mnożymy $(x + 2)$ przez $(x^2 - 4x + 4)$:\[ (x + 2)(x^2 - 4x + 4) = x(x^2 - 4x + 4) + 2(x^2 - 4x + 4) \]\[ = x^3 - 4x^2 + 4x + 2x^2 - 8x + 8 \]\[ = x^3 - 2x^2 - 4x + 8 \]Na koniec mnożymy przez $a = 4$:\[ W(x) = 4(x^3 - 2x^2 - 4x + 8) \]\[ W(x) = 4x^3 - 8x^2 - 16x + 32 \]b) Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których $W(x) = 10|x + 2|$: Musimy rozwiązać równanie:\[ 4(x + 2)(x - 2)^2 = 10|x + 2| \]Rozważamy dwa przypadki ze względu na wyrażenie w wartości bezwzględnej: Przypadek 1: $x + 2 \ge 0$, czyli $x \ge -2$. W tym przypadku $|x + 2| = x + 2$. Równanie staje się:\[ 4(x + 2)(x - 2)^2 = 10(x + 2) \]Sprawdzamy, czy $x = -2$ jest rozwiązaniem:\[ 4(-2 + 2)(-2 - 2)^2 = 10(-2 + 2) \]\[ 4 \cdot 0 \cdot (-4)^2 = 10 \cdot 0 \]\[ 0 = 0 \]Zatem $x = -2$ jest jednym z rozwiązań. Dla $x > -2$ ($x + 2 \neq 0$) możemy podzielić obie strony równania przez $2(x + 2)$:\[ \frac{4(x + 2)(x - 2)^2}{2(x + 2)} = \frac{10(x + 2)}{2(x + 2)} \]\[ 2(x - 2)^2 = 5 \]\[ (x - 2)^2 = \frac{5}{2} \]Podejmujemy pierwiastek kwadratowy z obu stron:\[ x - 2 = \sqrt{\frac{5}{2}} \quad \lor \quad x - 2 = -\sqrt{\frac{5}{2}} \]Upraszczamy pierwiastek:\[ \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \]Rozwiązujemy dla $x$:\[ x = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2} \quad \lor \quad x = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2} \]Oba te rozwiązania ($x = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$ i $x = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$) spełniają warunek $x > -2$. Przypadek 2: $x + 2 < 0$, czyli $x < -2$. W tym przypadku $|x + 2| = -(x + 2)$. Równanie staje się:\[ 4(x + 2)(x - 2)^2 = 10(-(x + 2)) \]\[ 4(x + 2)(x - 2)^2 = -10(x + 2) \]Ponieważ $x < -2$, to $x + 2 \neq 0$, więc możemy podzielić obie strony równania przez $2(x + 2)$:\[ \frac{4(x + 2)(x - 2)^2}{2(x + 2)} = \frac{-10(x + 2)}{2(x + 2)} \]\[ 2(x - 2)^2 = -5 \]\[ (x - 2)^2 = -\frac{5}{2} \]Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych w tym przypadku. Łącząc rozwiązania z obu przypadków, otrzymujemy:\[ x \in \left\{-2, 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}\right\} \]

Zadanie 4 (3 pkt)

Wielomian $W(x)$ czwartego stopnia ma dwa pierwiastki: $3$ i $\frac{1}{3}$, przy czym liczba $3$ jest pierwiastkiem trzykrotnym. Funkcja $y = W(x)$ dla argumentu $2$ przyjmuje wartość $10$. a) Napisz wzór funkcji wielomianowej w postaci uporządkowanej. b) Podaj miejsca zerowe funkcji, określonej wzorem $y = W(x + 5)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Wielomian $W(x)$ czwartego stopnia z pierwiastkami $3$ (trzykrotny) i $\frac{1}{3}$ (jednokrotny) można zapisać w postaci iloczynowej jako:\[ W(x) = a(x-3)^3\left(x-\frac{1}{3}\right) \]Aby znaleźć współczynnik $a$, używamy informacji, że $W(2) = 10$. Podstawiamy $x=2$ do wzoru:\[ 10 = a(2-3)^3\left(2-\frac{1}{3}\right) \]Upraszczamy wyrażenie:\[ 10 = a(-1)^3\left(\frac{6}{3}-\frac{1}{3}\right) \]\[ 10 = a \cdot (-1) \cdot \frac{5}{3} \]\[ 10 = -\frac{5}{3}a \]Mnożymy obie strony przez $-\frac{3}{5}$:\[ a = 10 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \]\[ a = -\frac{30}{5} \]\[ a = -6 \]Zatem wzór wielomianu w postaci iloczynowej to:\[ W(x) = -6(x-3)^3\left(x-\frac{1}{3}\right) \]Teraz rozwijamy ten wzór do postaci uporządkowanej. Najpierw rozwijamy $(x-3)^3$ korzystając ze wzoru na sześcian różnicy $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:\[ (x-3)^3 = x^3 - 3\cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 \]\[ (x-3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \]Teraz mnożymy to przez $\left(x-\frac{1}{3}\right)$ i przez $-6$:\[ W(x) = -6(x^3 - 9x^2 + 27x - 27)\left(x-\frac{1}{3}\right) \]Wykonujemy mnożenie dwóch nawiasów:\[ W(x) = -6\left(x(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) - \frac{1}{3}(x^3 - 9x^2 + 27x - 27)\right) \]\[ W(x) = -6\left(x^4 - 9x^3 + 27x^2 - 27x - \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x + 9\right) \]Grupujemy wyrazy podobne:\[ W(x) = -6\left(x^4 + \left(-9 - \frac{1}{3}\right)x^3 + (27 + 3)x^2 + (-27 - 9)x + 9\right) \]\[ W(x) = -6\left(x^4 - \frac{28}{3}x^3 + 30x^2 - 36x + 9\right) \]Na koniec mnożymy każdy wyraz w nawiasie przez $-6$:\[ W(x) = -6x^4 - (-6) \cdot \frac{28}{3}x^3 + (-6) \cdot 30x^2 - (-6) \cdot 36x + (-6) \cdot 9 \]\[ W(x) = -6x^4 + 56x^3 - 180x^2 + 216x - 54 \]b) Miejsca zerowe funkcji $y = W(x+5)$ to wartości $x$, dla których $W(x+5) = 0$. Wiemy, że $W(z) = 0$ dla $z=3$ (pierwiastek trzykrotny) lub $z=\frac{1}{3}$ (pierwiastek jednokrotny). Podstawiamy $z = x+5$:\[ x+5 = 3 \quad \text{lub} \quad x+5 = \frac{1}{3} \]Rozwiązujemy pierwsze równanie dla $x$:\[ x = 3 - 5 \]\[ x = -2 \]Rozwiązujemy drugie równanie dla $x$:\[ x = \frac{1}{3} - 5 \]\[ x = \frac{1}{3} - \frac{15}{3} \]\[ x = -\frac{14}{3} \]Zatem miejsca zerowe funkcji $y = W(x+5)$ to $x = -2$ (pierwiastek trzykrotny) oraz $x = -\frac{14}{3}$ (pierwiastek jednokrotny).

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykres funkcji $y=\frac{1}{2}x^4$ przesunięto równolegle o wektor $[-2,-8]$ i otrzymano wykres funkcji $y=W(x)$. a) Napisz wzór funkcji $y=W(x)$ w postaci iloczynowej. b) Podaj miejsca zerowe tej funkcji.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Napisz wzór funkcji wielomianowej stopnia 6., wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A(-2, -72), a wielomian we wzorze tej funkcji ma trzy pierwiastki: trzykrotny równy 0, dwukrotny równy 1 i jednokrotny równy -1.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (5 pkt)

Funkcja wielomianowa $W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, gdzie $a \neq 0$, ma trzy miejsca zerowe: $-3$, $-1$ i $2$, a dla argumentu $1$ przyjmuje wartość $24$. a) Wyznacz współczynniki $a, b, c, d$. b) Wyznacz wszystkie argumenty, dla których ta funkcja przyjmuje tę samą wartość, co funkcja kwadratowa $y = x^2 + 4x + 3$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (4 pkt)

Wielomian $W(x)$ jest trzeciego stopnia i ma dwa pierwiastki: 5 i −1, przy czym liczba −1 jest pierwiastkiem dwukrotnym. Funkcja $y = W(x)$ dla argumentu 4 przyjmuje wartość −18. a) Napisz wzór tej funkcji w postaci uporządkowanej. b) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcje $y = W(x)$ oraz $y = 3|x - 5|$ przyjmują tę samą wartość.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (3 pkt)

Wielomian $W(x)$ czwartego stopnia ma dwa pierwiastki: $-1$ i $\frac{1}{4}$, przy czym liczba $-1$ jest pierwiastkiem trzykrotnym. Funkcja $y = W(x)$ dla argumentu $1$ przyjmuje wartość $18$. a) Napisz wzór funkcji wielomianowej w postaci uporządkowanej. b) Podaj miejsca zerowe funkcji, określonej wzorem $y = W(x - 2)$.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (3 pkt)

Wykres funkcji $y=\frac{1}{9}x^4$ przesunięto równolegle o wektor $[-1,-9]$ i otrzymano wykres funkcji $y=W(x)$. a) Napisz wzór funkcji $y=W(x)$ w postaci iloczynowej. b) Podaj miejsca zerowe tej funkcji.

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi