Funkcja kwadratowa sprawdzian 2

Funkcja kwadratowa

Sprawdzian 2

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Rozwiąż nierówność $\sqrt{3x^2 + 2x - 1} \ge 2x$.

Wskazówki:

Wyznacz dziedzinę nierówności: wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne ($3x^2 + 2x - 1 \ge 0$).
Lewa strona nierówności z definicji pierwiastka stopnia parzystego przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne ($\sqrt{3x^2 + 2x - 1} \ge 0$).
Znak prawej strony $2x$ determinuje sposób postępowania:
• gdy $2x < 0$, lewa strona (nieujemna) jest zawsze większa od prawej (ujemnej), więc nierówność jest spełniona dla wszystkich $x$ z dziedziny;
• gdy $2x \ge 0$, obie strony są nieujemne i można je bezpiecznie podnieść do kwadratu bez zmiany zwrotu nierówności.
Ostatecznym zbiorem rozwiązań jest suma rozwiązań z obu rozpatrzonych przypadków.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie dziedziny nierówności:
Wychodzimy od warunku istnienia pierwiastka kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych: $$ 3x^2 + 2x - 1 \ge 0 $$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego $3x^2 + 2x - 1 = 0$: $$ \begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) \\[8pt] &= 4 + 12 = 16 \end{aligned} $$ Pierwiastek z wyróżnika wynosi $\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4$. Obliczamy pierwiastki: $$ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{-6}{6} = -1 \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} $$ Współczynnik przy $x^2$ wynosi $a = 3 > 0$, zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości nieujemne funkcja przyjmuje na zewnątrz pierwiastków: $$ D = (-\infty, -1\rangle \cup \left\langle \dfrac{1}{3}, +\infty \right) $$
Sposób I – Rozpatrzenie dwóch przypadków ze względu na znak prawej strony:
Mamy nierówność wyjściową: $$ \sqrt{3x^2 + 2x - 1} \ge 2x $$ Dla każdego $x \in D$ lewa strona nierówności jest liczbą nieujemną: $\sqrt{3x^2 + 2x - 1} \ge 0$. Rozpatrujemy znak prawej strony:

• Przypadek 1: Prawa strona jest ujemna, czyli $2x < 0 \iff x < 0$.
W tym przypadku lewa strona jest nieujemna, a prawa ujemna: $$ \sqrt{3x^2 + 2x - 1} \ge 0 > 2x $$ Nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby z dziedziny spełniającej warunek $x < 0$. Wyznaczamy część wspólną: $$ x \in D \cap (-\infty, 0) \iff x \in (-\infty, -1\rangle $$ Zbiorem rozwiązań w pierwszym przypadku jest $x \in (-\infty, -1\rangle$.

• Przypadek 2: Prawa strona jest nieujemna, czyli $2x \ge 0 \iff x \ge 0$.
Uwzględniając dziedzinę $D$, rozpatrujemy zbiór: $$ x \in D \cap \langle 0, +\infty) \iff x \in \left\langle \dfrac{1}{3}, +\infty \right) $$ Dla takich argumentów obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy podnieść je obustronnie do kwadratu bez zmiany zwrotu nierówności: $$ \begin{aligned} \left(\sqrt{3x^2 + 2x - 1}\right)^2 &\ge (2x)^2 \\[8pt] 3x^2 + 2x - 1 &\ge 4x^2 \end{aligned} $$ Przenosimy wszystkie wyrazy na prawą stronę: $$ \begin{aligned} 0 &\ge 4x^2 - 3x^2 - 2x + 1 \\[8pt] 0 &\ge x^2 - 2x + 1 \end{aligned} $$ Zwijamy prawą stronę za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $$ (x - 1)^2 \le 0 $$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny ($(x - 1)^2 \ge 0$). Zatem nierówność $(x - 1)^2 \le 0$ jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie jest równe zero: $$ (x - 1)^2 = 0 \iff x - 1 = 0 \iff x = 1 $$ Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia założenie tego przypadku: $$ 1 \in \left\langle \dfrac{1}{3}, +\infty \right) \quad \text{(warunek spełniony)} $$ Jedynym rozwiązaniem w drugim przypadku jest liczba $x = 1$.

Łączymy (sumujemy) rozwiązania z obu przypadków: $$ x \in (-\infty, -1\rangle \cup \{1\} $$
Sposób II – Zapis za pomocą równoważnej alternatywy układów nierówności:
Nierówność niewymierna postaci $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ jest równoważna logicznej alternatywie dwóch układów: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge [g(x)]^2 \end{cases} $$ (W drugim układzie warunek $f(x) \ge 0$ jest spełniony automatycznie, ponieważ $f(x) \ge [g(x)]^2 \ge 0$).

Rozwiązujemy pierwszy układ: $$ \begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 \ge 0 \\ 2x < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \in (-\infty, -1\rangle \cup \langle \frac{1}{3}, +\infty) \\ x < 0 \end{cases} \iff x \in (-\infty, -1\rangle $$ Rozwiązujemy drugi układ: $$ \begin{cases} 2x \ge 0 \\ 3x^2 + 2x - 1 \ge 4x^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ -x^2 + 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ (x - 1)^2 \le 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ x = 1 \end{cases} \iff x = 1 $$ Sumując rozwiązania obu układów, otrzymujemy: $$ x \in (-\infty, -1\rangle \cup \{1\} $$
Podsumowanie i ilustracja na osi liczbowej (rysunek wynikowy):
Ostatecznym zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział lewostronnie nieograniczony domknięty $(-\infty, -1\rangle$ oraz punkt izolowany $\{1\}$.

Odpowiedź:
$x \in (-\infty, -1\rangle \cup \{1\}$

Zadanie 2 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ ($m \in \mathbb{R}$), dla których dziedziną funkcji $f(x) = \sqrt{mx^2 + 2(m - 2)x + m - 1}$ jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$.

Wskazówki:

Pierwiastek stopnia drugiego istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych tylko wtedy, gdy wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne. Warunek, aby dziedziną był cały zbiór $\mathbb{R}$, oznacza, że nierówność $mx^2 + 2(m - 2)x + m - 1 \ge 0$ musi być spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Zwróć uwagę, że współczynnik przy najwyższej potędze $x^2$ zależy od parametru $m$. Dlatego należy rozpatrzyć dwa odrębne przypadki: przypadek funkcji liniowej ($m = 0$) oraz przypadek funkcji kwadratowej ($m \neq 0$).
W przypadku funkcji kwadratowej trójmian przyjmuje wartości nieujemne dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ramiona paraboli są skierowane ku górze ($a > 0$) oraz parabola ma co najwyżej jeden punkt wspólny z osią $OX$ ($\Delta \le 0$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Ustalenie warunku na dziedzinę funkcji:
Wychodzimy z wyjściowego wzoru funkcji: $$f(x) = \sqrt{mx^2 + 2(m - 2)x + m - 1}$$ Aby dziedziną funkcji był zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ($D_f = \mathbb{R}$), wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne dla każdego $x \in \mathbb{R}$: $$mx^2 + 2(m - 2)x + m - 1 \ge 0 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}$$ Ponieważ stopień wielomianu zależy od parametru stojącego przy $x^2$, rozpatrujemy dwa przypadki.
Przypadek I – funkcja stopnia pierwszego ($m = 0$):
Sprawdzamy, co dzieje się, gdy współczynnik przy $x^2$ się zeruje, czyli dla $m = 0$. Podstawiamy tę wartość do nierówności: $$\begin{aligned} 0 \cdot x^2 + 2(0 - 2)x + 0 - 1 &\ge 0 \\[8pt] -4x - 1 &\ge 0 \\[8pt] -4x &\ge 1 \quad \Big/ : (-4) \\[8pt] x &\le -\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$ Nierówność jest spełniona jedynie dla przedziału $\left(-\infty, -\dfrac{1}{4}\right\rangle$, a nie dla całego zbioru liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. Zatem wartość $m = 0$ nie spełnia warunków zadania.
Przypadek II – funkcja kwadratowa ($m \neq 0$):
Dla $m \neq 0$ wyrażenie $y = mx^2 + 2(m - 2)x + m - 1$ opisuje parabolę o współczynnikach: $$\begin{aligned} a &= m \\[8pt] b &= 2(m - 2) \\[8pt] c &= m - 1 \end{aligned}$$ Trójmian kwadratowy przyjmuje wartości większe bądź równe zero dla każdego $x \in \mathbb{R}$, gdy ramiona paraboli są skierowane w górę, a wykres leży całkowicie nad osią $OX$ lub styka się z nią w jednym punkcie. Daje to układ dwóch warunków: $$\begin{cases} a > 0 \\[6pt] \Delta \le 0 \end{cases}$$ • Pierwszy warunek: $$m > 0$$ • Drugi warunek (obliczenie wyróżnika $\Delta$): $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= [2(m - 2)]^2 - 4 \cdot m \cdot (m - 1) \\[8pt] &= 4(m^2 - 4m + 4) - 4(m^2 - m) \\[8pt] &= 4m^2 - 16m + 16 - 4m^2 + 4m \\[8pt] &= -12m + 16 \end{aligned}$$ Przyrównujemy wyróżnik do zera i rozwiązujemy nierówność $\Delta \le 0$: $$\begin{aligned} -12m + 16 &\le 0 \\[8pt] -12m &\le -16 \quad \Big/ : (-12) \\[8pt] m &\ge \dfrac{-16}{-12} \\[8pt] m &\ge \dfrac{4}{3} \end{aligned}$$
Wyznaczenie części wspólnej warunków i ostateczna odpowiedź:
Łączymy warunki z drugiego przypadku: $$\begin{cases} m > 0 \\[6pt] m \ge \dfrac{4}{3} \end{cases} \implies m \in \left\langle \dfrac{4}{3}, +\infty \right)$$ Ponieważ przypadek I nie dał żadnych rozwiązań, ostatecznym zbiorem wszystkich wartości parametru $m$, dla których dziedziną funkcji jest $\mathbb{R}$, jest przedział: $$m \in \left\langle \dfrac{4}{3}, +\infty \right)$$

Odpowiedź:
$m \in \left\langle \dfrac{4}{3}, +\infty \right)$

Zadanie 3 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 + (m - 1)x + m - 2 = 0$ ma dwa pierwiastki takie, że suma ich kwadratów jest najmniejsza.

Wskazówki:

Równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$ posiada pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest nieujemny: $\Delta \ge 0$ (w przypadku wymagania dwóch różnych pierwiastków: $\Delta > 0$).
Sumę kwadratów pierwiastków $x_1^2 + x_2^2$ przekształć za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$
Zastosuj wzory Viète'a: $$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$$
Otrzymana zależność sumy kwadratów od parametru $m$ jest funkcją kwadratową $S(m)$. Ponieważ jej ramiona są skierowane ku górze, najmniejszą wartość przyjmuje ona w wierzchołku paraboli: $m_w = -\dfrac{B}{2A}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Warunek istnienia pierwiastków równania kwadratowego:
Wypisujemy wyjściowe równanie kwadratowe: $$x^2 + (m - 1)x + m - 2 = 0$$ Odczytujemy jego współczynniki: $$\begin{aligned} a &= 1 \\[8pt] b &= m - 1 \\[8pt] c &= m - 2 \end{aligned}$$ Ponieważ współczynnik $a = 1 \ne 0$, równanie jest kwadratowe dla każdej liczby rzeczywistej $m$.

Obliczamy wyróżnik $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (m - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) \\[8pt] &= m^2 - 2m + 1 - 4m + 8 \\[8pt] &= m^2 - 6m + 9 \end{aligned}$$ Zwijamy otrzymane wyrażenie za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $$\begin{aligned} \Delta &= (m - 3)^2 \end{aligned}$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, zatem: $$(m - 3)^2 \ge 0 \quad \text{dla każdego } m \in \mathbb{R}$$ Oznacza to, że dla każdego $m \in \mathbb{R}$ równanie ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (dla $m \ne 3$ ma dwa różne pierwiastki, a dla $m = 3$ jeden pierwiastek podwójny).
Wyznaczenie sumy kwadratów pierwiastków jako funkcji parametru $m$:
Sposób I – Wykorzystanie wzorów Viète'a:
Przekształcamy sumę kwadratów pierwiastków $x_1^2 + x_2^2$: $$\begin{aligned} (x_1 + x_2)^2 &= x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \\[8pt] x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \end{aligned}$$ Stosujemy wzory Viète'a: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} = -(m - 1) = 1 - m \\[8pt] x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a} = m - 2 \end{aligned}$$ Definiujemy funkcję $S(m)$ opisującą sumę kwadratów pierwiastków: $$\begin{aligned} S(m) &= (1 - m)^2 - 2(m - 2) \\[8pt] &= 1 - 2m + m^2 - 2m + 4 \\[8pt] &= m^2 - 4m + 5 \end{aligned}$$
Sposób II – Bezpośrednie wyznaczenie pierwiastków:
Ponieważ $\Delta = (m - 3)^2$, możemy wyznaczyć pierwiastki wprost ze wzorów: $$\begin{aligned} \sqrt{\Delta} &= \sqrt{(m - 3)^2} = |m - 3| \\[8pt] x_1 &= \dfrac{-(m - 1) - (m - 3)}{2} = \dfrac{-m + 1 - m + 3}{2} = \dfrac{-2m + 4}{2} = 2 - m \\[8pt] x_2 &= \dfrac{-(m - 1) + (m - 3)}{2} = \dfrac{-m + 1 + m - 3}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \end{aligned}$$ Obliczamy bezpośrednio sumę kwadratów: $$\begin{aligned} S(m) &= x_1^2 + x_2^2 \\[8pt] &= (2 - m)^2 + (-1)^2 \\[8pt] &= 4 - 4m + m^2 + 1 \\[8pt] &= m^2 - 4m + 5 \end{aligned}$$
Wyznaczenie wartości parametru $m$, dla której suma kwadratów jest najmniejsza:
Otrzymana funkcja: $$S(m) = m^2 - 4m + 5$$ jest funkcją kwadratową zmiennej $m$.

Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi $A = 1 > 0$, co oznacza, że ramiona paraboli skierowane są do góry, a funkcja osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli: $$\begin{aligned} m_w &= -\dfrac{B}{2A} \\[8pt] &= -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} \\[8pt] &= 2 \end{aligned}$$ Obliczamy najmniejszą wartość sumy kwadratów: $$\begin{aligned} S(2) &= 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 \\[8pt] &= 4 - 8 + 5 \\[8pt] &= 1 \end{aligned}$$ Dla $m = 2$ wyróżnik wynosi: $$\Delta = (2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1 > 0$$ Zatem dla $m = 2$ równanie ma rzeczywiście dwa różne pierwiastki rzeczywiste: $$x_1 = 2 - 2 = 0, \quad x_2 = -1$$ a suma ich kwadratów wynosi $0^2 + (-1)^2 = 1$, co stanowi wartość najmniejszą.

Odpowiedź:
Wartością parametru $m$, dla której suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza, jest $m = 2$.

Zadanie 4 (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 + (m + 1)x + 12 = 0$ ma dwa pierwiastki takie, że wartość bezwzględna ich różnicy jest równa 1.

Wskazówki:

Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu jest dodatni ($\Delta > 0$), ponieważ warunek $|x_1 - x_2| = 1$ wyklucza pierwiastek podwójny.
Równanie z wartością bezwzględną $|x_1 - x_2| = 1$ można podnieść obustronnie do kwadratu: $(x_1 - x_2)^2 = 1$.
Przekształć wyrażenie $(x_1 - x_2)^2$ do postaci zależnej od sumy i iloczynu pierwiastków: $(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$, a następnie zastosuj wzory Viète'a lub bezpośredni wzór na różnicę pierwiastków równania kwadratowego.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sformułowanie warunków zadania i wyznaczenie dziedziny parametru $m$:
Dane jest równanie kwadratowe ze zmienną $x$ i parametrem $m$: $$x^2 + (m + 1)x + 12 = 0$$ Współczynniki trójmianu wynoszą: $$a = 1, \quad b = m + 1, \quad c = 12$$ Warunek istnienia dwóch pierwiastków o niezerowej różnicy ($|x_1 - x_2| = 1$) oznacza, że pierwiastki muszą być różne, czyli wyróżnik równania musi być ściśle dodatni: $$\Delta > 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 \\[8pt] &= (m + 1)^2 - 48 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność $\Delta > 0$: $$\begin{aligned} (m + 1)^2 - 48 &> 0 \\[8pt] (m + 1)^2 &> 48 \\[8pt] |m + 1| &> \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \end{aligned}$$ Rozpisujemy na dwa przedziały: $$\begin{aligned} m + 1 < -4\sqrt{3} \quad &\implies \quad m < -1 - 4\sqrt{3} \\[8pt] m + 1 > 4\sqrt{3} \quad &\implies \quad m > -1 + 4\sqrt{3} \end{aligned}$$ Ponieważ $4\sqrt{3} = \sqrt{48} \approx 6{,}93$, warunek istnienia pierwiastków spełniają: $$m \in (-\infty, -1 - 4\sqrt{3}) \cup (-1 + 4\sqrt{3}, +\infty)$$
Sposób I – Wykorzystanie wzorów Viète'a i kwadratu różnicy:
Z treści zadania różnica pierwiastków spełnia równość: $$|x_1 - x_2| = 1$$ Obie strony są nieujemne, więc możemy podnieść równość obustronnie do kwadratu: $$(x_1 - x_2)^2 = 1^2 = 1$$ Rozpisujemy lewą stronę za pomocą sumy i iloczynu pierwiastków: $$\begin{aligned} (x_1 - x_2)^2 &= x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 \\[8pt] &= (x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2) - 4x_1 x_2 \\[8pt] &= (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 \end{aligned}$$ Zgodnie ze wzorami Viète'a: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} = -(m + 1) \\[8pt] x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a} = 12 \end{aligned}$$ Wstawiamy wyznaczone wartości do równania: $$\begin{aligned} [-(m + 1)]^2 - 4 \cdot 12 &= 1 \\[8pt] (m + 1)^2 - 48 &= 1 \\[8pt] (m + 1)^2 &= 49 \end{aligned}$$ Pierwiastkujemy obie strony równania: $$|m + 1| = 7$$ Otrzymujemy dwa rozwiązania liniowe: $$\begin{aligned} m + 1 = 7 \quad &\implies \quad m = 6 \\[8pt] m + 1 = -7 \quad &\implies \quad m = -8 \end{aligned}$$
Sposób II – Bezpośredni wzór na moduł różnicy pierwiastków:
Różnicę pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić bezpośrednio przez wyróżnik $\Delta$: $$|x_1 - x_2| = \left|\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} - \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right| = \left|\dfrac{-2\sqrt{\Delta}}{2a}\right| = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$ Podstawiamy $a = 1$ oraz warunek $|x_1 - x_2| = 1$: $$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{\Delta}}{1} &= 1 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= 1 \\[8pt] \Delta &= 1 \end{aligned}$$ Zauważmy, że równość $\Delta = 1$ automatycznie pociąga za sobą warunek $\Delta > 0$. Wstawiamy wyrażenie na $\Delta = (m + 1)^2 - 48$: $$\begin{aligned} (m + 1)^2 - 48 &= 1 \\[8pt] (m + 1)^2 &= 49 \\[8pt] m + 1 = 7 \quad &\lor \quad m + 1 = -7 \\[8pt] m = 6 \quad &\lor \quad m = -8 \end{aligned}$$
Weryfikacja rozwiązań z warunkiem istnienia dwóch pierwiastków:
Sprawdzamy, czy otrzymane wartości $m = -8$ oraz $m = 6$ należą do wyznaczonej w pierwszym punkcie dziedziny $\Delta > 0$: $$\begin{aligned} -1 - 4\sqrt{3} &\approx -1 - 6{,}93 = -7{,}93 \implies -8 < -7{,}93 \implies -8 \in (-\infty, -1 - 4\sqrt{3}) \\[8pt] -1 + 4\sqrt{3} &\approx -1 + 6{,}93 = 5{,}93 \implies 6 > 5{,}93 \implies 6 \in (-1 + 4\sqrt{3}, +\infty) \end{aligned}$$ Obie liczby spełniają warunek zadania.

Ostatecznie warunki zadania spełniają dwie liczby: $$m = -8 \quad \text{oraz} \quad m = 6$$

Odpowiedź:
$m = -8 \quad \text{lub} \quad m = 6$

Zadanie 5 (5 pkt)

Udowodnij, że funkcja kwadratowa $f(x) = \sqrt{5}x^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{6})x + \sqrt{6}$ ma dwa różne miejsca zerowa, a następnie oblicz wartość wyrażenia będącego sumą kwadratów odwrotności tych miejsc zerowych.

Wskazówki:

Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ posiada dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy $a \neq 0$ oraz jej wyróżnik jest ściśle dodatni ($\Delta > 0$). Po rozpisaniu wzoru na $\Delta$ zwiń otrzymane wyrażenie we wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Suma kwadratów odwrotności miejsc zerowych to wyrażenie $\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{x_2}\right)^2 = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}$. Licznik można zapisać jako $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
Wartość wyrażenia można wyznaczyć na dwa sposoby: stosując wzory Viète'a (Sposób I) lub wyznaczając pierwiastki $x_1$ i $x_2$ bezpośrednio ze wzorów na miejsca zerowe funkcji kwadratowej (Sposób II).

Rozwiązanie krok po kroku:

Dowód, że funkcja ma dwa różne miejsca zerowe:
Wypisujemy współczynniki funkcji kwadratowej $f(x) = \sqrt{5}x^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{6})x + \sqrt{6}$: $$ a = \sqrt{5}, \quad b = \sqrt{5} + \sqrt{6}, \quad c = \sqrt{6} $$ Współczynnik przy najwyższej potędze jest niezerowy ($a = \sqrt{5} \neq 0$), więc $f$ jest funkcją kwadratową.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta = b^2 - 4ac$: $$ \begin{aligned} \Delta &= (\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 - 4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{6} \\[8pt] &= (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 - 4\sqrt{30} \\[8pt] &= 5 + 2\sqrt{30} + 6 - 4\sqrt{30} \\[8pt] &= 11 - 2\sqrt{30} \end{aligned} $$ Zauważmy, że liczbę $11$ możemy zapisać jako sumę $6 + 5$, co pozwala zwinąć wyrażenie za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$: $$ \begin{aligned} \Delta &= 6 - 2\sqrt{30} + 5 \\[8pt] &= (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \\[8pt] &= (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2 \end{aligned} $$ Ponieważ $\sqrt{6} > \sqrt{5}$, liczba $\sqrt{6} - \sqrt{5} \neq 0$. Kwadrat dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest ściśle dodatni: $$ \Delta = (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2 > 0 $$ Wyróżnik jest dodatni, co dowodzi, że funkcja $f(x)$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_1 \neq x_2$. Ponadto $x_1 \neq 0$ i $x_2 \neq 0$, ponieważ $c = \sqrt{6} \neq 0$ ($x_1 x_2 \neq 0$), co oznacza, że ich odwrotności istnieją.
Algebraiczne przekształcenie sumy kwadratów odwrotności miejsc zerowych:
Wyrażenie będące sumą kwadratów odwrotności miejsc zerowych zapisujemy w postaci: $$ W = \left(\dfrac{1}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{x_2}\right)^2 = \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} $$ Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika: $$ W = \dfrac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 \cdot x_2^2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} $$ Licznik przekształcamy za pomocą tożsamości $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$: $$ W = \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2} $$
Sposób I – Obliczenie wartości wyrażenia za pomocą wzorów Viète'a:
Korzystamy ze wzorów Viète'a dla funkcji kwadratowej: $$ x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{6}}{\sqrt{5}} $$ $$ x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} $$ Obliczamy kwadrat sumy pierwiastków: $$ (x_1 + x_2)^2 = \left(-\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{6}}{\sqrt{5}}\right)^2 = \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{6})^2}{(\sqrt{5})^2} = \dfrac{11 + 2\sqrt{30}}{5} $$ Obliczamy podwojony iloczyn pierwiastków: $$ 2x_1 x_2 = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{30}}{5} $$ Wstawiamy wartości do licznika wyrażenia $W$: $$ x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{11 + 2\sqrt{30}}{5} - \dfrac{2\sqrt{30}}{5} = \dfrac{11}{5} $$ Obliczamy mianownik: $$ (x_1 x_2)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\right)^2 = \dfrac{6}{5} $$ Wyznaczamy ostateczną wartość wyrażenia $W$: $$ \begin{aligned} W &= \dfrac{\dfrac{11}{5}}{\dfrac{6}{5}} \\[8pt] &= \dfrac{11}{5} \cdot \dfrac{5}{6} \\[8pt] &= \dfrac{11}{6} = 1\dfrac{5}{6} \end{aligned} $$
Sposób II – Wyznaczenie pierwiastków wprost i obliczenie sumy kwadratów:
Ponieważ $\Delta = (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2$, pierwiastek arytmetyczny z wyróżnika wynosi: $$ \sqrt{\Delta} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{5}| = \sqrt{6} - \sqrt{5} $$ Wyznaczamy miejsca zerowe ze standardowych wzorów: $$ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\[8pt] &= \dfrac{-(\sqrt{5} + \sqrt{6}) - (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{2\sqrt{5}} \\[8pt] &= \dfrac{-\sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \\[8pt] &= \dfrac{-2\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} x_2 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\[8pt] &= \dfrac{-(\sqrt{5} + \sqrt{6}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{2\sqrt{5}} \\[8pt] &= \dfrac{-\sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \\[8pt] &= \dfrac{-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = -1 \end{aligned} $$ Obliczamy kwadraty odwrotności obu wyznaczonych miejsc zerowych: $$ \left(\dfrac{1}{x_1}\right)^2 = \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right)^2 = \dfrac{5}{6} $$ $$ \left(\dfrac{1}{x_2}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{-1}\right)^2 = (-1)^2 = 1 $$ Dodajemy otrzymane wartości: $$ W = \dfrac{5}{6} + 1 = \dfrac{11}{6} = 1\dfrac{5}{6} $$

Odpowiedź:
Wykazano, że $\Delta = (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2 > 0$, zatem funkcja ma dwa różne miejsca zerowe.

Wartość wyrażenia wynosi $\dfrac{11}{6} = 1\dfrac{5}{6}$.

Zadanie 6 (5 pkt)

Dla jakich wartości parametru $m$ ($m \in \mathbb{R}$) równanie $x^2 - 4|x| + m^2 - 5 = 0$ ma dwa różne rozwiązania?

Wskazówki:

Sposób I (algebraiczny): Zastosuj tożsamość $x^2 = (|x|)^2$ i podstaw zmienną pomocniczą $t = |x|$ ($t \ge 0$). Zauważ, że każde dodatnie rozwiązanie $t$ generuje dwa rozwiązania dla $x$, rozwiązanie $t = 0$ generuje jedno, a ujemne nie daje żadnych rozwiązań.
Sposób II (graficzny): Przekształć równanie do postaci $x^2 - 4|x| - 5 = -m^2$ i zbadaj liczbę punktów wspólnych parzystej funkcji $f(x) = x^2 - 4|x| - 5$ z poziomą prostą $y = -m^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wprowadzenie zmiennej pomocniczej:
Wychodzimy od wyjściowego równania: $$x^2 - 4|x| + m^2 - 5 = 0$$ Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi $x^2 = (|x|)^2$, możemy zapisać równanie w postaci: $$(|x|)^2 - 4|x| + m^2 - 5 = 0$$ Wprowadzamy niewiadomą pomocniczą $t = |x|$, przy czym z definicji wartości bezwzględnej $t \ge 0$: $$t^2 - 4t + m^2 - 5 = 0$$ Liczba rozwiązań wyjściowego równania względem $x$ zależy bezpośrednio od znaku pierwiastków $t$:
- jeśli $t > 0$, to równanie $|x| = t$ ma dwa rozwiązania: $x = t$ lub $x = -t$,
- jeśli $t = 0$, to równanie $|x| = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 0$,
- jeśli $t < 0$, to równanie $|x| = t$ nie posiada rozwiązań.
Aby wyjściowe równanie miało dokładnie dwa różne rozwiązania, równanie kwadratowe ze zmienną $t$ musi posiadać:
- Przypadek 1: dwa pierwiastki różnych znaków ($t_1 < 0 < t_2$) – pierwiastek dodatni da dwa rozwiązania dla $x$, a ujemny zero rozwiązań,
- Przypadek 2: jeden pierwiastek podwójny, który jest dodatni ($t_0 > 0$) – daje on wówczas dwa rozwiązania dla $x$.
Sposób I – Wyznaczenie wartości parametru $m$:
Wyznaczamy wyróżnik $\Delta$ równania kwadratowego ze zmienną $t$: $$\begin{aligned} \Delta &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 5) \\[8pt] &= 16 - 4m^2 + 20 \\[8pt] &= 36 - 4m^2 \end{aligned}$$ Analiza Przypadku 1 (dwa pierwiastki różnych znaków):
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby równanie miało dwa pierwiastki o przeciwnych znakach, jest: $$\Delta > 0 \quad \text{oraz} \quad t_1 \cdot t_2 < 0$$ Ze wzoru Viète'a na iloczyn pierwiastków: $$\begin{aligned} t_1 \cdot t_2 &< 0 \\[8pt] m^2 - 5 &< 0 \\[8pt] m^2 &< 5 \iff m \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \end{aligned}$$ Zauważmy, że jeśli $m^2 < 5$, to $4m^2 < 20$, skąd $\Delta = 36 - 4m^2 > 36 - 20 = 16 > 0$, zatem warunek $\Delta > 0$ jest w tym przedziale automatycznie spełniony. Ponadto ze wzorów Viète'a $t_1 + t_2 = 4 > 0$, co gwarantuje, że pierwiastek o większym module jest dodatni.

Analiza Przypadku 2 (jeden pierwiastek podwójny dodatni):
Warunki na istnienie jednego pierwiastka podwójnego: $$\Delta = 0 \quad \text{oraz} \quad t_0 = -\dfrac{b}{2a} > 0$$ Przyrównujemy wyróżnik do zera: $$\begin{aligned} 36 - 4m^2 &= 0 \\[8pt] 4m^2 &= 36 \\[8pt] m^2 &= 9 \iff m = -3 \quad \text{lub} \quad m = 3 \end{aligned}$$ Dla $m \in \{-3, 3\}$ pierwiastek podwójny wynosi: $$t_0 = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2 > 0$$ Warunek $t_0 > 0$ jest spełniony. Równanie $|x| = 2$ ma dwa rozwiązania: $x = -2$ oraz $x = 2$.

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy zbiór wartości parametru: $$m \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup \{-3, 3\}$$
Sposób II – Interpretacja graficzna:
Przekształcamy równanie, izolując wyrazy z niewiadomą $x$ po lewej stronie: $$x^2 - 4|x| - 5 = -m^2$$ Definiujemy funkcję $f(x) = x^2 - 4|x| - 5$ oraz prostą poziomą $y = k$, gdzie $k = -m^2$.
Ponieważ $f(-x) = (-x)^2 - 4|-x| - 5 = f(x)$, funkcja $f$ jest parzysta, a jej wykres jest symetryczny względem osi $OY$.
Dla $x \ge 0$ mamy klasyczną postać trójmianu: $$f(x) = x^2 - 4x - 5 = (x - 2)^2 - 9$$ Wierzchołek prawej gałęzi to $W_1 = (2, -9)$, punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, -5)$, a dodatnie miejsce zerowe to $x = 5$.
Z symetrii osiowej dla $x < 0$ otrzymujemy wierzchołek $W_2 = (-2, -9)$ oraz ujemne miejsce zerowe $x = -5$.
Sposób II – Odczytanie rozwiązań z wykresu:
Analizując liczbę punktów przecięcia wykresu funkcji $y = f(x)$ z prostą poziomą $y = k$, stwierdzamy, że równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania w dwóch sytuacjach:
- gdy prosta jest styczna do obu wierzchołków paraboli: $k = -9$,
- gdy prosta leży powyżej lokalnego maksimum w punkcie $(0, -5)$: $k > -5$.
Podstawiamy z powrotem $k = -m^2$: $$\begin{aligned} -m^2 = -9 \quad &\text{lub} \quad -m^2 > -5 \\[8pt] m^2 = 9 \quad &\text{lub} \quad m^2 < 5 \\[8pt] m \in \{-3, 3\} \quad &\text{lub} \quad m \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \end{aligned}$$ Łącząc otrzymane zbiory, dochodzimy do tego samego wyniku: $$m \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup \{-3, 3\}$$

Odpowiedź:
$m \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup \{-3, 3\}$