Funkcja kwadratowa sprawdzian

Funkcja kwadratowa

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w podanym przedziale:

a) $f(x) = -(x - 6)^2 - 10, \quad x \in \langle -1, 4 \rangle$

b) $f(x) = 2x^2 - 5x + 1, \quad x \in \langle 0, 2 \rangle$

Wskazówki:

Aby wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym $\langle x_1, x_2 \rangle$, w pierwszej kolejności wyznaczamy odciętą wierzchołka paraboli $p$.
Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do zadanego przedziału: $p \in \langle x_1, x_2 \rangle$.
Jeśli wierzchołek leży wewnątrz przedziału, funkcja osiąga w nim swoje ekstremum (maksimum dla $a < 0$ lub minimum dla $a > 0$). Drugą wartość skrajną wyznaczamy z krańców przedziału.
Jeśli wierzchołek nie należy do przedziału, funkcja w całym przedziale jest ściśle monotoniczna (rosnąca albo malejąca), a obie wartości skrajne (najmniejsza i największa) znajdują się na końcach przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Badamy funkcję $f(x) = -(x - 6)^2 - 10$ w przedziale $\langle -1, 4 \rangle$:
Wzór funkcji podany jest w postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$: $$ a = -1, \quad p = 6, \quad q = -10 $$ Współczynnik $a = -1 < 0$, co oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół. Sprawdzamy, czy pierwsza współrzędna wierzchołka $p$ należy do przedziału $\langle -1, 4 \rangle$: $$ 6 \notin \langle -1, 4 \rangle $$ Wierzchołek znajduje się na prawo od całego badanego przedziału ($x \le 4 < 6$). Ponieważ dla funkcji o ramionach skierowanych w dół przedział leżący na lewo od wierzchołka, czyli $(-\infty, 6\rangle$, jest przedziałem, w którym funkcja jest ściśle rosnąca, funkcja $f$ rośnie w całym przedziale $\langle -1, 4 \rangle$. Obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału:
• dla lewego krańca $x = -1$: $$ \begin{aligned} f(-1) &= -(-1 - 6)^2 - 10 \\[8pt] &= -(-7)^2 - 10 \\[8pt] &= -49 - 10 = -59 \end{aligned} $$ • dla prawego krańca $x = 4$: $$ \begin{aligned} f(4) &= -(4 - 6)^2 - 10 \\[8pt] &= -(-2)^2 - 10 \\[8pt] &= -4 - 10 = -14 \end{aligned} $$ Porównujemy wyznaczone wartości:
• Wartość najmniejsza: $y_{\min} = -59$ osiągana dla $x = -1$.
• Wartość największa: $y_{\max} = -14$ osiągana dla $x = 4$.
Podpunkt b) Badamy funkcję $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ w przedziale $\langle 0, 2 \rangle$:
Wypisujemy współczynniki postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$: $$ a = 2, \quad b = -5, \quad c = 1 $$ Ponieważ $a = 2 > 0$, ramiona paraboli są skierowane w górę. Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli $p$: $$ p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-5}{2 \cdot 2} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25 $$ Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do badanego przedziału: $$ \dfrac{5}{4} \in \langle 0, 2 \rangle $$ Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w górę i wierzchołek leży wewnątrz przedziału, funkcja osiąga w wierzchołku swoją najmniejszą wartość w tym przedziale: $$ \begin{aligned} y_{\min} = q = f\left(\dfrac{5}{4}\right) &= 2 \cdot \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 - 5 \cdot \left(\dfrac{5}{4}\right) + 1 \\[8pt] &= 2 \cdot \dfrac{25}{16} - \dfrac{25}{4} + 1 \\[8pt] &= \dfrac{25}{8} - \dfrac{50}{8} + \dfrac{8}{8} \\[8pt] &= -\dfrac{17}{8} = -2\dfrac{1}{8} \end{aligned} $$ Wartość $q$ można również wyznaczyć alternatywnie za pomocą wyróżnika trójmianu ($\Delta$): $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17 $$ $$ q = -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{17}{4 \cdot 2} = -\dfrac{17}{8} $$ Następnie obliczamy wartości funkcji na obu krańcach przedziału $\langle 0, 2 \rangle$:
• dla lewego krańca $x = 0$: $$ f(0) = 2 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 + 1 = 1 $$ • dla prawego krańca $x = 2$: $$ f(2) = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = 2 \cdot 4 - 10 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1 $$ Zestawiamy wszystkie trzy wartości: $$ f\left(\dfrac{5}{4}\right) = -\dfrac{17}{8} = -2{,}125, \quad f(2) = -1, \quad f(0) = 1 $$ Spośród nich:
• Wartość najmniejsza: $y_{\min} = -\dfrac{17}{8} = -2\dfrac{1}{8}$ osiągana w wierzchołku dla $x = \dfrac{5}{4}$.
• Wartość największa: $y_{\max} = 1$ osiągana dla $x = 0$.

Odpowiedź:
a) Wartość najmniejsza: $y_{\min} = -59$ (dla $x = -1$), wartość największa: $y_{\max} = -14$ (dla $x = 4$)

b) Wartość najmniejsza: $y_{\min} = -\dfrac{17}{8} = -2\dfrac{1}{8}$ (dla $x = \dfrac{5}{4}$), wartość największa: $y_{\max} = 1$ (dla $x = 0$)

Zadanie 2 (5 pkt)

Rozwiąż równania i nierówności:

a) $(2 - x)(x + 2) = (2x - 3)^2 + 12x$

b) $\dfrac{1}{2}x^4 - 2\dfrac{1}{2}x^2 - 3 = 0$

c) $-x^2 + 8x - 16 \le 0$

d) $2x^2 - 8x > 0$

e) $-2x^2 - (x - 3)^2 \ge 0$

Wskazówki:

W podpunkcie a) zastosuj wzory skróconego mnożenia: różnicę kwadratów $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ oraz kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Pamiętaj, że kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.
W podpunkcie b) mamy do czynienia z równaniem dwukwadratowym – po pomnożeniu przez $2$ wprowadź zmienną pomocniczą $t = x^2$ z warunkiem $t \ge 0$.
W nierównościach kwadratowych (podpunkty c, d, e) oblicz wyróżnik $\Delta$ lub wyłącz wspólny czynnik przed nawias, a następnie naszkicuj pomocniczą parabolę i odczytaj przedziały zgodnie ze zwrotem nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy równanie $(2 - x)(x + 2) = (2x - 3)^2 + 12x$:
Wychodzimy od wyjściowego równania: $$(2 - x)(x + 2) = (2x - 3)^2 + 12x$$ Przekształcamy lewą stronę, stosując wzór na różnicę kwadratów: $$\begin{aligned} (2 - x)(2 + x) &= 2^2 - x^2 \\[8pt] &= 4 - x^2 \end{aligned}$$ Rozwijamy prawą stronę, stosując wzór na kwadrat różnicy: $$\begin{aligned} (2x - 3)^2 + 12x &= (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 + 12x \\[8pt] &= 4x^2 - 12x + 9 + 12x \\[8pt] &= 4x^2 + 9 \end{aligned}$$ Zestawiamy obie strony i porządkujemy wyrazy: $$\begin{aligned} 4 - x^2 &= 4x^2 + 9 \\[8pt] -x^2 - 4x^2 &= 9 - 4 \\[8pt] -5x^2 &= 5 \quad \Big/ : (-5) \\[8pt] x^2 &= -1 \end{aligned}$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną ($x^2 \ge 0$), zatem równanie $x^2 = -1$ nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych ($x \in \emptyset$, równanie sprzeczne).
Podpunkt b) Rozwiązujemy równanie $\dfrac{1}{2}x^4 - 2\dfrac{1}{2}x^2 - 3 = 0$:
Zapisujemy ułamek mieszany w postaci ułamka niewłaściwego ($2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$): $$\dfrac{1}{2}x^4 - \dfrac{5}{2}x^2 - 3 = 0$$ Mnożymy całe równanie obustronnie przez $2$, aby uprościć współczynniki: $$x^4 - 5x^2 - 6 = 0$$ Jest to równanie dwukwadratowe. Wprowadzamy zmienną pomocniczą: $$t = x^2, \quad \text{przy czym } t \ge 0$$ Otrzymujemy równanie kwadratowe zmiennej $t$: $$t^2 - 5t - 6 = 0$$ Obliczamy wyróżnik $\Delta_t$: $$\begin{aligned} \Delta_t &= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \\[8pt] &= 25 + 24 = 49 \\[8pt] \sqrt{\Delta_t} &= \sqrt{49} = 7 \end{aligned}$$ Wyznaczamy pierwiastki zmiennej $t$: $$\begin{aligned} t_1 &= \dfrac{-(-5) - 7}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 - 7}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \\[8pt] t_2 &= \dfrac{-(-5) + 7}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 + 7}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \end{aligned}$$ Wracamy do podstawienia $x^2 = t$:
• Dla $t_1 = -1$: równanie $x^2 = -1$ jest sprzeczne w zbiorze liczb rzeczywistych ($t \ge 0$).
• Dla $t_2 = 6$: $$\begin{aligned} x^2 &= 6 \\[8pt] x = -\sqrt{6} \quad &\text{lub} \quad x = \sqrt{6} \end{aligned}$$ Rozwiązaniami równania są zatem liczby: $$x \in \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}$$
Podpunkt c) Rozwiązujemy nierówność $-x^2 + 8x - 16 \le 0$:
Wychodzimy od wyjściowej nierówności: $$-x^2 + 8x - 16 \le 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-16) \\[8pt] &= 64 - 64 = 0 \\[8pt] x_0 &= \dfrac{-8}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{-8}{-2} = 4 \end{aligned}$$ Zauważmy, że lewą stronę można również zwinąć przy pomocy wzoru skróconego mnożenia: $$-(x^2 - 8x + 16) \le 0 \iff -(x - 4)^2 \le 0 \iff (x - 4)^2 \ge 0$$ Współczynnik przy $x^2$ wynosi $a = -1 < 0$, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek leży na osi $OX$ w punkcie $x = 4$. Oznacza to, że funkcja przyjmuje wartość $0$ dla $x = 4$ oraz wartości ujemne dla wszystkich pozostałych liczb rzeczywistych. Nierówność $\le 0$ jest spełniona dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Podpunkt d) Rozwiązujemy nierówność $2x^2 - 8x > 0$:
Wychodzimy od wyjściowej nierówności: $$2x^2 - 8x > 0$$ Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: $$\begin{aligned} 2x(x - 4) &> 0 \quad \Big/ : 2 \\[8pt] x(x - 4) &> 0 \end{aligned}$$ Miejscami zerowymi są liczby: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 4$$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a = 2 > 0$), więc ramiona paraboli są skierowane ku górze. Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (wykres leży nad osią $OX$). Ponieważ nierówność jest ostra ($> 0$), punkty graniczne nie należą do rozwiązań: $$x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$$
Podpunkt e) Rozwiązujemy nierówność $-2x^2 - (x - 3)^2 \ge 0$:
Wychodzimy od wyjściowej nierówności: $$-2x^2 - (x - 3)^2 \ge 0$$ Rozwijamy kwadrat różnicy $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$: $$\begin{aligned} -2x^2 - \left(x^2 - 6x + 9\right) &\ge 0 \\[8pt] -2x^2 - x^2 + 6x - 9 &\ge 0 \\[8pt] -3x^2 + 6x - 9 &\ge 0 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $-3$, pamiętając o odwróceniu zwrotu znaku nierówności: $$x^2 - 2x + 3 \le 0$$ Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego: $$\begin{aligned} \Delta &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \\[8pt] &= 4 - 12 = -8 < 0 \end{aligned}$$ Ponieważ wyróżnik jest ujemny ($\Delta < 0$), a współczynnik przy $x^2$ dodatni ($a = 1 > 0$), wykres paraboli leży w całości powyżej osi $OX$. Wartości wyrażenia $x^2 - 2x + 3$ są ściśle dodatnie dla każdego $x \in \mathbb{R}$, co oznacza, że warunek $\le 0$ nie jest spełniony przez żadną liczbę rzeczywistą.

Można to również zauważyć na wyjściowej postaci $-3x^2 + 6x - 9 \ge 0$: współczynnik $a = -3 < 0$ oraz ujemny wyróżnik oznaczają, że parabola leży w całości pod osią $OX$ i nigdy nie przyjmuje wartości większych bądź równych zero. Nierówność nie ma rozwiązań ($x \in \emptyset$).

Odpowiedź:
a) Równanie sprzeczne, brak rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych ($x \in \emptyset$)

b) $x = -\sqrt{6}$ lub $x = \sqrt{6}$ (czyli $x \in \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}$)

c) $x \in \mathbb{R}$ (czyli $x \in (-\infty, +\infty)$)

d) $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$

e) Nierówność sprzeczna, brak rozwiązań ($x \in \emptyset$)

Zadanie 3 (3 pkt)

Dane jest równanie: $(\sqrt{3} - 1)x^2 - (\sqrt{3} + 1)x - 1 = 0$

a) Uzasadnij, że to równanie ma dwa pierwiastki.

b) Nie obliczając pierwiastków $x_1, x_2$ równania, oblicz wartość wyrażenia: $x_1^2 + x_2^2 + 8x_1x_2$

Wskazówki:

Równanie postaci $ax^2 + bx + c = 0$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste, gdy jest równaniem kwadratowym ($a \ne 0$) oraz jego wyróżnik jest ściśle dodatni ($\Delta > 0$).
Do obliczenia wyróżnika $\Delta = b^2 - 4ac$ wykorzystaj wzory skróconego mnożenia: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oraz $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
W podpunkcie b) nie wyznaczaj bezpośrednio wartości pierwiastków $x_1, x_2$. Przekształć sumę kwadratów do postaci zależnej od sumy i iloczynu pierwiastków: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$
Zastosuj wzory Viète'a: $$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$$ Pamiętaj o usunięciu niewymierności z mianowników ułamków.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wypisanie współczynników równania i weryfikacja warunku równania kwadratowego:
Wyjściowe równanie ma postać: $$(\sqrt{3} - 1)x^2 - (\sqrt{3} + 1)x - 1 = 0$$ Odczytujemy współczynniki liczbowe równania $ax^2 + bx + c = 0$: $$\begin{aligned} a &= \sqrt{3} - 1 \\[8pt] b &= -(\sqrt{3} + 1) \\[8pt] c &= -1 \end{aligned}$$ Ponieważ $\sqrt{3} \approx 1{,}73 \ne 1$, współczynnik przy najwyższej potędze jest różny od zera: $$\begin{aligned} a = \sqrt{3} - 1 \ne 0 \end{aligned}$$ Równanie jest zatem równaniem kwadratowym.
Podpunkt a) Uzasadnienie istnienia dwóch pierwiastków:
Sposób I – Obliczenie wyróżnika $\Delta$:
Obliczamy wartość wyróżnika $\Delta = b^2 - 4ac$: $$\begin{aligned} b^2 &= \left[-(\sqrt{3} + 1)\right]^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 \\[8pt] &= (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 \\[8pt] &= 3 + 2\sqrt{3} + 1 \\[8pt] &= 4 + 2\sqrt{3} \end{aligned}$$ Obliczamy składnik $-4ac$: $$\begin{aligned} -4ac &= -4 \cdot (\sqrt{3} - 1) \cdot (-1) \\[8pt] &= 4(\sqrt{3} - 1) \\[8pt] &= 4\sqrt{3} - 4 \end{aligned}$$ Sumujemy oba składniki: $$\begin{aligned} \Delta &= b^2 - 4ac \\[8pt] &= (4 + 2\sqrt{3}) + (4\sqrt{3} - 4) \\[8pt] &= 4 - 4 + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \\[8pt] &= 6\sqrt{3} \end{aligned}$$ Ponieważ $\sqrt{3} > 0$, otrzymujemy: $$\Delta = 6\sqrt{3} > 0$$ Ponieważ $a \ne 0$ oraz $\Delta > 0$, dane równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Sposób II – Wykorzystanie znaku iloczynu współczynników $a$ i $c$:
W dowolnym równaniu kwadratowym $ax^2 + bx + c = 0$, gdy iloczyn $a \cdot c < 0$, to: $$-4ac > 0$$ Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny ($b^2 \ge 0$), otrzymujemy: $$\Delta = b^2 - 4ac > 0$$ W naszym równaniu: $$\begin{aligned} a \cdot c &= (\sqrt{3} - 1) \cdot (-1) = 1 - \sqrt{3} \end{aligned}$$ Ponieważ $\sqrt{3} > 1$, zachodzi $1 - \sqrt{3} < 0$, czyli $a \cdot c < 0$. Wyróżnik $\Delta$ jest więc z całą pewnością dodatni, co dowodzi, że równanie ma dwa pierwiastki.
Podpunkt b) Wyznaczenie sumy i iloczynu pierwiastków ze wzorów Viète'a:
Stosujemy wzory Viète'a dla pierwiastków $x_1, x_2$:

Wyznaczamy sumę pierwiastków $x_1 + x_2$: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\dfrac{b}{a} \\[8pt] &= -\dfrac{-(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} - 1} \\[8pt] &= \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \end{aligned}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika $(\sqrt{3} + 1)$: $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= \dfrac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \\[8pt] &= \dfrac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \\[8pt] &= \dfrac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} \\[8pt] &= \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= 2 + \sqrt{3} \end{aligned}$$ Wyznaczamy iloczyn pierwiastków $x_1 x_2$: $$\begin{aligned} x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a} \\[8pt] &= \dfrac{-1}{\sqrt{3} - 1} \end{aligned}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika: $$\begin{aligned} x_1 x_2 &= \dfrac{-1 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \\[8pt] &= \dfrac{-(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} \\[8pt] &= -\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Przekształcenie i obliczenie wartości wyrażenia $x_1^2 + x_2^2 + 8x_1x_2$:
Przekształcamy sumę kwadratów $x_1^2 + x_2^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: $$\begin{aligned} (x_1 + x_2)^2 &= x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \\[8pt] x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \end{aligned}$$ Podstawiamy to wyrażenie do zadanego wyrażenia: $$\begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 + 8x_1x_2 &= \left[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\right] + 8x_1x_2 \\[8pt] &= (x_1 + x_2)^2 + 6x_1x_2 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość składnika $(x_1 + x_2)^2$: $$\begin{aligned} (x_1 + x_2)^2 &= (2 + \sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \\[8pt] &= 4 + 4\sqrt{3} + 3 \\[8pt] &= 7 + 4\sqrt{3} \end{aligned}$$ Obliczamy wartość składnika $6x_1x_2$: $$\begin{aligned} 6x_1x_2 &= 6 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}\right) \\[8pt] &= -3(\sqrt{3} + 1) \\[8pt] &= -3\sqrt{3} - 3 \end{aligned}$$ Wstawiamy obliczone wartości do wyrażenia: $$\begin{aligned} (x_1 + x_2)^2 + 6x_1x_2 &= (7 + 4\sqrt{3}) + (-3\sqrt{3} - 3) \\[8pt] &= 7 - 3 + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \\[8pt] &= 4 + \sqrt{3} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) Równanie jest kwadratowe ($a = \sqrt{3} - 1 \ne 0$) oraz posiada wyróżnik $\Delta = 6\sqrt{3} > 0$, zatem ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

b) $x_1^2 + x_2^2 + 8x_1x_2 = 4 + \sqrt{3}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Dla jakich wartości parametru $m \in \mathbb{R}$ równanie ma dwa różne rozwiązania o różnych znakach? $$x^2 + 2(m + 1)x + 9m - 5 = 0$$

Wskazówki:

Równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$ posiada dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu jest ściśle dodatni ($\Delta > 0$).
Dwa rozwiązania mają różne (przeciwne) znaki, gdy jedno z nich jest dodatnie, a drugie ujemne – ich iloczyn musi być mniejszy od zera ($x_1 \cdot x_2 < 0$).
Zastosuj wzory Viète'a na iloczyn pierwiastków: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$, a na koniec wyznacz część wspólną otrzymanych przedziałów parametru $m$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sformułowanie układu warunków dla równania kwadratowego:
Dane jest równanie kwadratowe ze zmienną $x$ i parametrem $m$: $$x^2 + 2(m + 1)x + 9m - 5 = 0$$ Odczytujemy współczynniki trójmianu kwadratowego: $$a = 1, \quad b = 2(m + 1), \quad c = 9m - 5$$ Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze $a = 1 \ne 0$, równanie jest zawsze równaniem drugiego stopnia (kwadratowym).

Aby równanie posiadało dwa różne rozwiązania rzeczywiste o różnych znakach, muszą być spełnione jednocześnie dwa warunki: $$\begin{cases} 1^\circ \ \Delta > 0 \quad \text{(istnienie dwóch różnych pierwiastków)} \\[8pt] 2^\circ \ x_1 \cdot x_2 < 0 \quad \text{(różne znaki pierwiastków)} \end{cases}$$
Rozwiązanie pierwszego warunku – dodatniość wyróżnika ($\Delta > 0$):
Obliczamy wyróżnik trójmianu $\Delta = b^2 - 4ac$: $$\begin{aligned} \Delta &= [2(m + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9m - 5) \\[8pt] &= 4(m^2 + 2m + 1) - 36m + 20 \\[8pt] &= 4m^2 + 8m + 4 - 36m + 20 \\[8pt] &= 4m^2 - 28m + 24 \end{aligned}$$ Rozwiązujemy nierówność $\Delta > 0$: $$4m^2 - 28m + 24 > 0$$ Dzielimy obie strony nierówności przez $4$: $$m^2 - 7m + 6 > 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe powstałego trójmianu: $$\Delta_m = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$ $$\sqrt{\Delta_m} = 5$$ $$\begin{aligned} m_1 &= \dfrac{7 - 5}{2} = 1 \\[8pt] m_2 &= \dfrac{7 + 5}{2} = 6 \end{aligned}$$ Ramiona paraboli skierowane są w górę ($a = 1 > 0$), zatem wartości dodatnie trójmian przyjmuje na zewnątrz pierwiastków: $$m \in (-\infty, 1) \cup (6, +\infty)$$
Rozwiązanie drugiego warunku – ujemny iloczyn pierwiastków ze wzorów Viète'a ($x_1 \cdot x_2 < 0$):
Zgodnie ze wzorami Viète'a iloczyn pierwiastków równania kwadratowego wynosi: $$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$$ Wstawiamy wartości współczynników $a = 1$ oraz $c = 9m - 5$: $$\dfrac{9m - 5}{1} < 0 \iff 9m - 5 < 0$$ Rozwiązujemy nierówność liniową: $$\begin{aligned} 9m &< 5 \quad / : 9 \\[8pt] m &< \dfrac{5}{9} \end{aligned}$$ Zatem drugi warunek spełniają wartości parametru należące do przedziału: $$m \in \left(-\infty, \dfrac{5}{9}\right)$$
Sposób I – Wyznaczenie części wspólnej obu warunków na osi liczbowej:
Zestawiamy oba uzyskane zbiory w koniunkcję: $$\begin{cases} m \in (-\infty, 1) \cup (6, +\infty) \\[8pt] m \in \left(-\infty, \dfrac{5}{9}\right) \end{cases}$$ Porównujemy liczby graniczne: $$\dfrac{5}{9} \approx 0{,}56 < 1 < 6$$ Ilustrujemy oba warunki oraz ich część wspólną na osi liczbowej:

Częścią wspólną jest przedział: $$m \in \left(-\infty, \dfrac{5}{9}\right)$$
Sposób II – Wykorzystanie własności iloczynu współczynników $a$ i $c$:
Warto zwrócić uwagę na ogólną własność trójmianu kwadratowego: Jeżeli iloczyn pierwiastków jest ujemny ($x_1 \cdot x_2 < 0$), to iloraz $\dfrac{c}{a} < 0$, co oznacza, że współczynniki $a$ oraz $c$ mają przeciwne znaki ($a \cdot c < 0$).

Wówczas w wyrażeniu na wyróżnik: $$\Delta = b^2 - 4ac$$ składnik $-4ac > 0$. Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny ($b^2 \ge 0$), to suma: $$\Delta = b^2 + (-4ac) > 0$$ jest ściśle dodatnia dla każdego $b \in \mathbb{R}$.

Oznacza to, że warunek $x_1 \cdot x_2 < 0$ automatycznie pociąga za sobą spełnienie warunku $\Delta > 0$. Zatem wystarczyło rozwiązać wyłącznie warunek: $$x_1 \cdot x_2 < 0 \iff 9m - 5 < 0 \iff m < \dfrac{5}{9}$$ co prowadzi bezpośrednio do tego samego wyniku: $$m \in \left(-\infty, \dfrac{5}{9}\right)$$

Odpowiedź:
$m \in \left(-\infty, \dfrac{5}{9}\right)$

Zadanie 5 (3 pkt)

Liczbę 40 przedstaw w postaci sumy dwóch liczb takich, że suma kwadratu pierwszego składnika i kwadratu potrojonego drugiego składnika była najmniejsza.

Wskazówki:

Oznacz szukane składniki dwiema zmiennymi, np. $x$ oraz $y$. Zapisz warunek ich sumy: $x + y = 40$, a następnie uzależnij jedną zmienną od drugiej.
Zapisz wyrażenie opisujące badaną sumę: kwadrat pierwszego składnika to $x^2$, a kwadrat potrojonego drugiego składnika to $(3y)^2 = 9y^2$.
Po podstawieniu otrzymasz funkcję kwadratową jednej zmiennej. Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni ($a > 0$), ramiona paraboli są skierowane w górę, a funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli: $x_w = -\dfrac{b}{2a}$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wprowadzenie oznaczeń i sformułowanie funkcji celu:
Niech:
- $x$ – pierwszy składnik sumy,
- $y$ – drugi składnik sumy.
Liczby dają w sumie $40$, zatem: $$ x + y = 40 \implies x = 40 - y $$ Z treści zadania minimalizujemy sumę kwadratu pierwszego składnika oraz kwadratu potrojonego drugiego składnika: $$ S = x^2 + (3y)^2 = x^2 + 9y^2 $$
Sposób I – Wyznaczenie minimum funkcji względem drugiego składnika $y$:
Podstawiamy zależność $x = 40 - y$ do wyrażenia na sumę $S$, tworząc funkcję zmiennej $y$: $$ \begin{aligned} f(y) &= (40 - y)^2 + 9y^2 \\[8pt] &= 1600 - 80y + y^2 + 9y^2 \\[8pt] &= 10y^2 - 80y + 1600 \end{aligned} $$ Otrzymaliśmy funkcję kwadratową, której współczynniki wynoszą: $$ a = 10, \quad b = -80, \quad c = 1600 $$ Ponieważ $a = 10 > 0$, ramiona paraboli są skierowane do góry, co oznacza, że funkcja osiąga swoją najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli dla odciętej: $$ \begin{aligned} y_w &= -\dfrac{b}{2a} \\[8pt] &= -\dfrac{-80}{2 \cdot 10} \\[8pt] &= \dfrac{80}{20} = 4 \end{aligned} $$ Wyznaczamy odpowiadającą wartość pierwszego składnika $x$: $$ x = 40 - y = 40 - 4 = 36 $$
Sposób II – Wyznaczenie minimum funkcji względem pierwszego składnika $x$:
Możemy równoważnie uzależnić drugi składnik od pierwszego: $y = 40 - x$. Wówczas funkcja celu ma postać: $$ \begin{aligned} g(x) &= x^2 + 9(40 - x)^2 \\[8pt] &= x^2 + 9(1600 - 80x + x^2) \\[8pt] &= x^2 + 14400 - 720x + 9x^2 \\[8pt] &= 10x^2 - 720x + 14400 \end{aligned} $$ Współczynniki tej funkcji to $a = 10 > 0$ oraz $b = -720$. Współrzędna wierzchołka wynosi: $$ \begin{aligned} x_w &= -\dfrac{b}{2a} \\[8pt] &= -\dfrac{-720}{2 \cdot 10} \\[8pt] &= \dfrac{720}{20} = 36 \end{aligned} $$ Wtedy drugi składnik wynosi: $$ y = 40 - 36 = 4 $$ Obie metody prowadzą do identycznych wartości składników.
Interpretacja graficzna minimum funkcji i obliczenie wartości najmniejszej:
Wartość najmniejszej sumy wynosi: $$ S_{\min} = 36^2 + (3 \cdot 4)^2 = 1296 + 12^2 = 1296 + 144 = 1440 $$ Poniższy wykres ilustruje przebieg funkcji $f(y) = 10y^2 - 80y + 1600$ z wyraźnie zaznaczonym minimum w wierzchołku $W(4; 1440)$:

Odpowiedź:
Pierwszy składnik: $36$

Drugi składnik: $4$

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w podanym przedziale: a) $f(x) = -(x - 4)^2 + 8, \quad x \in <-2, 3>$ b) $f(x) = 3x^2 - 4x + 2, \quad x \in <1, 3)$