11.7 Badanie funkcji kwadratowej – zadania optymalizacyjne
Kartkówka
Grupa A
Zadanie 1 (2 pkt)
Liczbę 50 przedstaw w postaci sumy takich dwóch liczb, których suma kwadratów jest najmniejsza.
Zadanie 2 (4 pkt)
Krótszy bok prostokąta o wymiarach 3 cm $\times$ 10 cm zwiększamy o $x$ cm, a dłuższy bok zmniejszamy o $x$ cm.
a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole nowego prostokąta w zależności od $x$; podaj dziedzinę tej funkcji.
b) Dla jakiej długości $x$ pole otrzymanego prostokąta jest największe? Oblicz to pole.
Zadanie 3 (3 pkt)
Suma długości podstawy trójkąta i wysokości opuszczonej na tę podstawę wynosi 20 cm. Wyznacz długość podstawy tak, aby pole trójkąta było największe.
Zadanie 4 (5 pkt)
Rolnik chce siatką o długości 16 m wygrodzić na łące prostokątny odcinek dla owiec, przylegający jednym bokiem do istniejącego ogrodzenia. Jakie wymiary powinien mieć ten prostokąt, aby jego pole powierzchni było największe? Oblicz powierzchnię tego największego wybiegu.
Zadanie 5 (5 pkt)
Organizator koncertu sprzedaje bilety po 100 zł i przy tej cenie spodziewa się 2500 widzów. Koszt organizacji przypadający na jednego widza (ochrona, obsługa) wynosi 40 zł. Analitycy oszacowali, że każda podwyżka ceny biletu o 4 zł powoduje spadek liczby widzów o 100 osób. Jaką cenę biletu powinien ustalić organizator, aby jego zysk był największy?
Grupa B
Zadanie 1 (2 pkt)
Liczbę 20 przedstaw w postaci sumy takich dwóch liczb, których suma kwadratów jest najmniejsza.
Zadanie 2 (4 pkt)
Krótszy bok prostokąta o wymiarach 6 cm $\times$ 15 cm zwiększamy o $x$ cm, a dłuższy bok zmniejszamy o $x$ cm.
a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole nowego prostokąta w zależności od $x$; podaj dziedzinę tej funkcji.
b) Dla jakiej długości $x$ pole otrzymanego prostokąta jest największe? Oblicz to pole.
Zadanie 3 (3 pkt)
Suma długości podstawy trójkąta i wysokości opuszczonej na tę podstawę wynosi 40 cm. Wyznacz długość podstawy tak, aby pole trójkąta było największe.
Zadanie 4 (5 pkt)
Projektant chce siatką o długości 20 m wygrodzić w parku prostokątny obszar dla ozdobnych krzewów, przylegający jednym bokiem do ściany pawilonu. Jakie wymiary powinien mieć ten obszar, aby jego pole powierzchni było największe? Oblicz powierzchnię tego największego wybiegu.
Zadanie 5 (5 pkt)
Organizator koncertu sprzedaje bilety po 110 zł i przy tej cenie spodziewa się 2400 widzów. Koszt organizacji przypadający na jednego widza (ochrona, obsługa) wynosi 50 zł. Analitycy oszacowali, że każda podwyżka ceny biletu o 5 zł powoduje spadek liczby widzów o 100 osób. Jaką cenę biletu powinien ustalić organizator, aby jego zysk był największy?