Podstawowe własności wybranych funkcji sprawdzian

Podstawowe własności wybranych funkcji

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (4 pkt)

Dany jest zbiór wartości funkcji kwadratowej $f$, równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji oraz punkt $P$ należący do tej paraboli. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i w postaci ogólnej. $$ ZW = \langle -4, +\infty); \quad x = 2; \quad P(3, -3) $$

Wskazówki:

Zbiór wartości funkcji kwadratowej postaci $\langle q, +\infty)$ oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w górę ($a > 0$), a najmniejsza wartość funkcji to rzędna wierzchołka $q = -4$.
Oś symetrii paraboli to prosta o równaniu $x = p$, skąd bezpośrednio odczytujemy odciętą wierzchołka $p = 2$.
Współczynnik $a$ wyznaczamy, podstawiając współrzędne wierzchołka $W(p, q)$ oraz punktu $P(3, -3)$ do postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$.
Postać ogólną $f(x) = ax^2 + bx + c$ uzyskujemy przez rozwinięcie potęgi w postaci kanonicznej przy użyciu wzoru skróconego mnożenia.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:
Zbiór wartości funkcji wynosi $ZW = \langle -4, +\infty)$. Ponieważ zbiór jest lewostronnie domknięty liczbą $-4$ i rozciąga się do $+\infty$, funkcja osiąga wartość najmniejszą równą $-4$. Oznacza to, że ramiona paraboli są skierowane do góry ($a > 0$), a druga współrzędna wierzchołka $W(p, q)$ wynosi: $$ q = -4 $$ Osią symetrii paraboli jest pionowa prosta o równaniu $x = 2$. Ponieważ oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli, pierwsza współrzędna wierzchołka to: $$ p = 2 $$ Wierzchołek paraboli ma zatem współrzędne: $$ W(2, -4) $$ Poniższy szkic przedstawia układ współrzędnych z naniesioną osią symetrii $x = 2$, poziomem wartości minimalnej $y = -4$, wierzchołkiem $W(2, -4)$ oraz zadanym punktem $P(3, -3)$.
Sposób I – Wyznaczenie wzorów za pomocą postaci kanonicznej:
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma wzór ogólny: $$ f(x) = a(x - p)^2 + q $$ Wstawiamy odczytane współrzędne wierzchołka $p = 2$ oraz $q = -4$: $$ f(x) = a(x - 2)^2 - 4 $$ Punkt $P(3, -3)$ leży na wykresie funkcji, co oznacza, że spełnia jej równanie ($f(3) = -3$): $$ \begin{aligned} a(3 - 2)^2 - 4 &= -3 \\[8pt] a \cdot 1^2 - 4 &= -3 \\[8pt] a - 4 &= -3 \\[8pt] a &= -3 + 4 \\[8pt] a &= 1 \end{aligned} $$ Współczynnik $a = 1 > 0$, co potwierdza, że ramiona paraboli są skierowane w górę. Zapisujemy postać kanoniczną funkcji: $$ f(x) = (x - 2)^2 - 4 $$ Aby otrzymać postać ogólną $f(x) = ax^2 + bx + c$, rozwijamy kwadrat różnicy $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$: $$ \begin{aligned} f(x) &= (x^2 - 4x + 4) - 4 \\[8pt] &= x^2 - 4x \end{aligned} $$ Postać ogólna to $f(x) = x^2 - 4x$.
Sposób II – Wyznaczenie wzoru z osi symetrii i układu równań dla postaci ogólnej:
Wykres paraboli jest osiowosymetryczny względem prostej $x = 2$. Skoro punkt $P(3, -3)$ leży w odległości $3 - 2 = 1$ jednostki w prawo od osi symetrii, to punkt położony w odległości $1$ jednostki w lewo od osi symetrii, czyli o odciętej $x = 2 - 1 = 1$, przyjmuje dokładnie tę samą wartość: $$ P'(1, -3) $$ Znamy zatem trzy punkty należące do paraboli: $W(2, -4)$, $P(3, -3)$ oraz $P'(1, -3)$. Podstawiamy je kolejno do postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$: $$ \begin{cases} a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = -4 \\[6pt] a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = -3 \\[6pt] a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} 4a + 2b + c = -4 \\[6pt] 9a + 3b + c = -3 \\[6pt] a + b + c = -3 \end{cases} $$ Odejmujemy trzecie równanie od drugiego stronami: $$ (9a + 3b + c) - (a + b + c) = -3 - (-3) \implies 8a + 2b = 0 \implies b = -4a $$ Odejmujemy trzecie równanie od pierwszego stronami: $$ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = -4 - (-3) \implies 3a + b = -1 $$ Wstawiamy zależność $b = -4a$: $$ \begin{aligned} 3a - 4a &= -1 \\[8pt] -a &= -1 \\[8pt] a &= 1 \end{aligned} $$ Wyznaczamy współczynnik $b$ oraz wyraz wolny $c$: $$ b = -4 \cdot 1 = -4 $$ $$ 1 + (-4) + c = -3 \implies -3 + c = -3 \implies c = 0 $$ Otrzymujemy postać ogólną: $$ f(x) = x^2 - 4x $$ Sprowadzamy postać ogólną do postaci kanonicznej poprzez uzupełnienie do pełnego kwadratu: $$ f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4 $$
Podsumowanie i rysunek wynikowy:
Obie metody prowadzą do identycznych postaci wzoru funkcji. Miejscami zerowymi paraboli są: $$ x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0 \iff x_1 = 0 \quad \text{lub} \quad x_2 = 4 $$ Poniższy rysunek przedstawia pełny wykres wyznaczonej funkcji kwadratowej z zaznaczonym wierzchołkiem, osią symetrii, punktem zadanym $P$ oraz punktem symetrycznym $P'$.

Odpowiedź:
Postać kanoniczna: $f(x) = (x - 2)^2 - 4$

Postać ogólna: $f(x) = x^2 - 4x$

Zadanie 2 (6 pkt)

Stolarz produkuje drewniane ramki na zdjęcia, a jego miesięczny dochód (w zł) opisuje funkcja $d(n) = n^2 + 20n - 1125$, gdzie $n$ to liczba sprzedanych ramek w ciągu miesiąca. Oblicz:

a) Ile, co najmniej, ramek musi sprzedać stolarz, aby działalność nie przynosiła strat?

b) Miesięczny dochód stolarza, jeśli sprzeda 35 ramek.

c) Ile ramek powinien sprzedać, aby jego miesięczny dochód wynosił 2375 zł?

Wskazówki:

Brak strat oznacza, że dochód jest większy bądź równy zero: $d(n) \ge 0$. Rozwiąż odpowiednią nierówność kwadratową i pamiętaj, że liczba sprzedanych sztuk $n$ musi być nieujemną liczbą całkowitą.
W podpunkcie b) wystarczy obliczyć wartość funkcji dla argumentu $n = 35$, czyli podstawić tę liczbę w miejsce zmiennej do wzoru.
W podpunkcie c) ułóż równanie $d(n) = 2375$, sprowadź je do postaci ogólnej $an^2 + bn + c = 0$ i odrzuć ewentualne rozwiązanie ujemne niespełniające warunków zadania.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Rozwiązujemy nierówność $d(n) \ge 0$ w celu wyznaczenia minimalnej liczby ramek:
Działalność nie przynosi strat, gdy dochód jest nieujemny (przynosi zysk lub wychodzi „na zero”). Zapisujemy nierówność: $$n^2 + 20n - 1125 \ge 0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej za pomocą wyróżnika $\Delta$: $$\begin{aligned} \Delta &= 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1125) \\[8pt] &= 400 + 4500 \\[8pt] &= 4900 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{4900} = 70 \end{aligned}$$ Obliczamy pierwiastki trójmianu: $$\begin{aligned} n_1 &= \dfrac{-20 - 70}{2 \cdot 1} = \dfrac{-90}{2} = -45 \\[8pt] n_2 &= \dfrac{-20 + 70}{2 \cdot 1} = \dfrac{50}{2} = 25 \end{aligned}$$ Współczynnik przy $n^2$ jest dodatni ($a = 1 > 0$), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości nieujemne funkcja przyjmuje dla: $$n \in (-\infty, -45\rangle \cup \langle 25, +\infty)$$ Ponieważ liczba ramek nie może być ujemna ($n \in \mathbb{N}$), interesuje nas przedział $n \ge 25$. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą ten warunek jest $25$. Stolarz musi sprzedać co najmniej $25$ ramek.
Podpunkt b) Obliczamy wartość funkcji dochodu dla $n = 35$:
Wychodzimy z wyjściowego wzoru funkcji $d(n) = n^2 + 20n - 1125$. W miejsce zmiennej $n$ podstawiamy $35$: $$\begin{aligned} d(35) &= 35^2 + 20 \cdot 35 - 1125 \\[8pt] &= 1225 + 700 - 1125 \\[8pt] &= (1225 - 1125) + 700 \\[8pt] &= 100 + 700 \\[8pt] &= 800\text{ zł} \end{aligned}$$ Miesięczny dochód stolarza przy sprzedaży 35 ramek wynosi $800\text{ zł}$.
Podpunkt c) Rozwiązujemy równanie $d(n) = 2375$ w celu wyznaczenia wymaganej liczby sprzedanych ramek:
Przyrównujemy wzór funkcji do żądanego dochodu $2375\text{ zł}$: $$n^2 + 20n - 1125 = 2375$$ Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, aby otrzymać równanie kwadratowe w postaci ogólnej: $$\begin{aligned} n^2 + 20n - 1125 - 2375 &= 0 \\[8pt] n^2 + 20n - 3500 &= 0 \end{aligned}$$ Obliczamy wyróżnik nowego równania: $$\begin{aligned} \Delta &= 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) \\[8pt] &= 400 + 14000 \\[8pt] &= 14400 \\[8pt] \sqrt{\Delta} &= \sqrt{14400} = 120 \end{aligned}$$ Wyznaczamy rozwiązania: $$\begin{aligned} n_1 &= \dfrac{-20 - 120}{2 \cdot 1} = \dfrac{-140}{2} = -70 \\[8pt] n_2 &= \dfrac{-20 + 120}{2 \cdot 1} = \dfrac{100}{2} = 50 \end{aligned}$$ Ponieważ liczba sprzedanych sztuk musi być liczbą dodatnią ($n > 0$), wartość $n_1 = -70$ odrzucamy jako sprzeczną z warunkami zadania. Prawidłowym rozwiązaniem jest $n = 50$.

Odpowiedź:
a) Co najmniej 25 ramek

b) 800 zł

c) 50 ramek

Zadanie 3 (3 pkt)

Trójkąt o podstawie długości $x$ i wysokości $h$ poprowadzonej na tę podstawę ma pole równe $24\text{ cm}^2$.

a) Oblicz $x$, jeśli wysokość jest równa $6\text{ cm}$.

b) Oblicz $h$, jeśli podstawa ma długość $12\text{ cm}$.

c) Naszkicuj wykres funkcji opisującej wysokość $h$ w zależności od długości podstawy $x$ trójkąta.

Wskazówki:

Pole trójkąta o podstawie $x$ i opuszczonej na nią wysokości $h$ wyraża się wzorem: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot h$$
Podstawiając stałe pole $P = 24\text{ cm}^2$, otrzymujemy zależność iloczynową: $$\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot h = 24 \implies x \cdot h = 48$$
Wielkości $x$ oraz $h$ są odwrotnie proporcjonalne – ich iloczyn jest stały. Wzór funkcji opisującej wysokość ma postać $h(x) = \dfrac{48}{x}$.
Ponieważ długości boków trójkąta muszą być liczbami ściśle dodatnimi, dziedziną funkcji jest przedział $x \in (0, \infty)$, a jej wykresem jest fragment hiperboli leżący w I ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i ustalenie ogólnej zależności między $x$ i $h$:
W dowolnym trójkącie o podstawie $x$ oraz wysokości $h$ poprowadzonej na tę podstawę pole wynosi: $$P = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot h$$

Podstawiając znaną wartość pola $P = 24\text{ cm}^2$: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot h &= 24 \\[8pt] x \cdot h &= 48 \end{aligned}$$ Zależność ta stanowi punkt wyjścia dla wszystkich podpunktów zadania.
Podpunkt a) Obliczenie długości podstawy $x$, gdy wysokość $h = 6\text{ cm}$:
Wstawiamy $h = 6$ do otrzymanego równania: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot 6 &= 24 \\[8pt] 3x &= 24 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $3$: $$\begin{aligned} x &= \dfrac{24}{3} \\[8pt] x &= 8\text{ cm} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Obliczenie wysokości $h$, gdy podstawa $x = 12\text{ cm}$:
Wstawiamy $x = 12$ do równania pola: $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot h &= 24 \\[8pt] 6h &= 24 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $6$: $$\begin{aligned} h &= \dfrac{24}{6} \\[8pt] h &= 4\text{ cm} \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie wzoru i naszkicowanie wykresu funkcji $h(x)$:
Wyznaczamy zmienną $h$ ze związku $x \cdot h = 48$: $$\begin{aligned} h(x) &= \dfrac{48}{x} \end{aligned}$$ Długość podstawy trójkąta musi być liczbą dodatnią, zatem dziedziną funkcji w kontekście geometrycznym jest: $$D = (0, \infty)$$ Jest to funkcja proporcjonalności odwrotnej. Wyznaczamy współrzędne kilku punktów pomocniczych: $$\begin{aligned} h(4) &= \dfrac{48}{4} = 12 \\[8pt] h(6) &= \dfrac{48}{6} = 8 \\[8pt] h(8) &= \dfrac{48}{8} = 6 \\[8pt] h(12) &= \dfrac{48}{12} = 4 \\[8pt] h(16) &= \dfrac{48}{16} = 3 \\[8pt] h(24) &= \dfrac{48}{24} = 2 \end{aligned}$$ Naniesione punkty łączymy gładką linią (prawą gałęzią hiperboli):

Odpowiedź:
a) $x = 8\text{ cm}$

b) $h = 4\text{ cm}$

c) $h(x) = \dfrac{48}{x}$ dla $x \in (0, \infty)$

Zadanie 4 (6 pkt)

Do wykresu funkcji logarytmicznej $f(x) = \log_b x$ należy punkt $P(49, 2)$. Oblicz $b$. Następnie:

a) Wyznacz wartość wyrażenia $f(3.5) + f(2)$;
b) Wykaż, że $f(\sqrt{5} - 2) = -f(\sqrt{5} + 2)$;
c) Oceń, która z liczb jest większa: $f(4^{-1})$ czy $f(5^{-1})$.

Wskazówki:

Punkt $P(x_0, y_0)$ należy do wykresu funkcji, gdy zachodzi równość $f(x_0) = y_0$; zastosuj definicję logarytmu oraz pamiętaj o założeniach dotyczących podstawy: $b > 0$ i $b \ne 1$.
W podpunkcie a) skorzystaj z twierdzenia o logarytmie iloczynu: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ dla $x, y > 0$.
W podpunkcie b) zbadaj iloczyn liczb $\sqrt{5} - 2$ oraz $\sqrt{5} + 2$, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, aby wykazać, że są to liczby wzajemnie odwrotne.
W podpunkcie c) porównaj argumenty $4^{-1} = \frac{1}{4}$ oraz $5^{-1} = \frac{1}{5}$ i wykorzystaj własność monotoniczności funkcji logarytmicznej o podstawie większej od $1$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie podstawy logarytmu $b$:
Dana jest funkcja logarytmiczna $f(x) = \log_b x$. Z definicji logarytmu podstawa musi spełniać warunki: $$b > 0 \quad \text{oraz} \quad b \ne 1$$ Punkt $P(49, 2)$ należy do wykresu tej funkcji, co oznacza, że dla argumentu $x = 49$ wartość funkcji wynosi $y = 2$: $$f(49) = 2 \iff \log_b 49 = 2$$ Stosujemy definicję logarytmu ($\log_b c = k \iff b^k = c$): $$b^2 = 49$$ Rozwiązujemy równanie kwadratowe: $$b = 7 \quad \text{lub} \quad b = -7$$ Uwzględniając założenie $b > 0$, odrzucamy rozwiązanie ujemne. Podstawa wynosi zatem: $$b = 7$$ Pełny wzór funkcji logarytmicznej ma postać: $$f(x) = \log_7 x \quad \text{dla } x \in (0, +\infty)$$
Podpunkt a) Obliczenie wartości wyrażenia $f(3.5) + f(2)$:
Wstawiamy wzór funkcji $f(x) = \log_7 x$ do wyjściowego wyrażenia: $$f(3.5) + f(2) = \log_7(3{,}5) + \log_7 2$$ Wartość tę wyznaczamy na dwa równoważne sposoby:

• Sposób I – Zastosowanie wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie:
Dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi tożsamość $\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)$: $$\begin{aligned} \log_7(3{,}5) + \log_7 2 &= \log_7(3{,}5 \cdot 2) \\[8pt] &= \log_7 7 \\[8pt] &= 1 \end{aligned}$$ • Sposób II – Zamiana liczby dziesiętnej na ułamek zwykły:
Zapisujemy $3{,}5 = \dfrac{7}{2}$ i korzystamy z logarytmu ilorazu: $$\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{7}{2}\right) + \log_7 2 &= (\log_7 7 - \log_7 2) + \log_7 2 \\[8pt] &= \log_7 7 \\[8pt] &= 1 \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wykazanie tożsamości $f(\sqrt{5} - 2) = -f(\sqrt{5} + 2)$:
Mamy wykazać równość: $$f(\sqrt{5} - 2) = -f(\sqrt{5} + 2)$$ Zauważmy najpierw, że ponieważ $2 = \sqrt{4} < \sqrt{5}$, oba argumenty są dodatnie: $$\sqrt{5} - 2 > 0 \quad \text{oraz} \quad \sqrt{5} + 2 > 0$$ co oznacza, że oba wyrażenia znajdują się w dziedzinie funkcji logarytmicznej $f$.

• Sposób I – Przekształcenie lewej strony tożsamości:
Zapisujemy lewą stronę równości: $$L = f(\sqrt{5} - 2) = \log_7(\sqrt{5} - 2)$$ Badamy iloczyn liczb pod pierwiastkami, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$$ Dzieląc obie strony przez $(\sqrt{5} + 2)$, wyznaczamy liczbę $\sqrt{5} - 2$: $$\sqrt{5} - 2 = \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} = (\sqrt{5} + 2)^{-1}$$ Podstawiamy otrzymane wyrażenie do lewej strony i korzystamy z własności logarytmu potęgi $\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$: $$\begin{aligned} L &= \log_7\left[(\sqrt{5} + 2)^{-1}\right] \\[8pt] &= -1 \cdot \log_7(\sqrt{5} + 2) \\[8pt] &= -\log_7(\sqrt{5} + 2) \end{aligned}$$ Prawa strona równości wynosi: $$P = -f(\sqrt{5} + 2) = -\log_7(\sqrt{5} + 2)$$ Ponieważ $L = P$, tożsamość została udowodniona.

• Sposób II – Wykazanie równości sumy do zera:
Równość $f(\sqrt{5} - 2) = -f(\sqrt{5} + 2)$ jest równoważna relacji: $$f(\sqrt{5} - 2) + f(\sqrt{5} + 2) = 0$$ Obliczamy sumę obu wartości, stosując logarytm iloczynu: $$\begin{aligned} f(\sqrt{5} - 2) + f(\sqrt{5} + 2) &= \log_7(\sqrt{5} - 2) + \log_7(\sqrt{5} + 2) \\[8pt] &= \log_7\left[(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)\right] \\[8pt] &= \log_7\left[(\sqrt{5})^2 - 2^2\right] \\[8pt] &= \log_7(5 - 4) \\[8pt] &= \log_7 1 \\[8pt] &= 0 \end{aligned}$$ Suma wynosi $0$, zatem $f(\sqrt{5} - 2) = -f(\sqrt{5} + 2)$, co kończy dowód.
Podpunkt c) Ocena i porównanie liczb $f(4^{-1})$ oraz $f(5^{-1})$:
Rozważamy dwie wartości: $$f(4^{-1}) \quad \text{oraz} \quad f(5^{-1})$$ Zapisujemy argumenty w postaci ułamków zwykłych: $$\begin{aligned} 4^{-1} &= \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \\[8pt] 5^{-1} &= \dfrac{1}{5} = 0{,}20 \end{aligned}$$ Porównujemy argumenty obu funkcji: $$\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{5} \iff 4^{-1} > 5^{-1}$$ Wartości liczb porównujemy dwoma sposobami:

• Sposób I – Wykorzystanie monotoniczności funkcji logarytmicznej:
Podstawa badanej funkcji logarytmicznej $f(x) = \log_7 x$ wynosi $b = 7$. Ponieważ $b > 1$, funkcja $f$ jest funkcją ściśle rosnącą w całej swojej dziedzinie $(0, +\infty)$. Z definicji funkcji rosnącej, dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in (0, +\infty)$: $$x_1 > x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$$ Podstawiając $x_1 = 4^{-1}$ oraz $x_2 = 5^{-1}$: $$4^{-1} > 5^{-1} \implies f(4^{-1}) > f(5^{-1})$$ Większą liczbą jest zatem $f(4^{-1})$.

• Sposób II – Porównanie algebraiczne wartości:
Przekształcamy obie liczby za pomocą tożsamości $\log_a(x^{-1}) = -\log_a x$: $$\begin{aligned} f(4^{-1}) &= \log_7(4^{-1}) = -\log_7 4 \\[8pt] f(5^{-1}) &= \log_7(5^{-1}) = -\log_7 5 \end{aligned}$$ Ponieważ $5 > 4$, a funkcja $y = \log_7 x$ jest rosnąca, zachodzi: $$\log_7 5 > \log_7 4$$ Mnożymy obie strony powyższej nierówności przez $-1$, co odwraca jej zwrot: $$-\log_7 5 < -\log_7 4 \iff -\log_7 4 > -\log_7 5$$ Wracając do oznaczeń wyjściowych: $$f(4^{-1}) > f(5^{-1})$$ Większą liczbą jest $f(4^{-1})$.

Odpowiedź:
$b = 7$

a) $1$

b) Wykazano, że $f(\sqrt{5} - 2) = -f(\sqrt{5} + 2)$

c) Większa jest liczba $f(4^{-1})$

Zadanie 5 (5 pkt)

Ilość leku (w mg) pozostałego w organizmie pacjenta po czasie $t$ (w godzinach) od chwili zażycia pewnej dawki opisuje wzór $d(t) = 12 \cdot 0{,}7^t$, gdzie $t \ge 0$.

a) Jaką dawkę leku zażył pacjent?

b) Po ilu godzinach od chwili zażycia leku w organizmie pacjenta pozostało 5,88 mg leku?

c) Ile mg leku pozostało w organizmie po trzech godzinach?

d) Jaki procent dawki leku pozostałego w organizmie pacjenta jest eliminowany w ciągu jednej godziny?

Wskazówki:

Chwila zażycia leku odpowiada początkowemu momentowi obserwacji, czyli czasowi $t = 0$. Pamiętaj, że dla dowolnej liczby niezerowej zachodzi $a^0 = 1$.
W podpunkcie b) ułóż równanie wykładnicze $d(t) = 5{,}88$ i sprowadź obie strony do potęgi o tej samej podstawie $0{,}7$.
W podpunkcie c) oblicz wartość funkcji dla argumentu $t = 3$, podnosząc podstawę potęgi $0{,}7$ do sześcianu.
W podpunkcie d) zauważ, że w ciągu każdej kolejnej godziny ilość leku mnożona jest przez stały współczynnik $0{,}7$ (co oznacza, że pozostaje $70\%$ dawki z początku tej godziny). Zmiana procentowa to różnica między stanem wyjściowym a pozostałym.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Obliczenie dawki początkowej zażytej przez pacjenta:
Wzór opisujący ilość leku w organizmie po czasie $t$ godzin ma postać: $$ d(t) = 12 \cdot 0{,}7^t $$ Moment zażycia leku to czas początkowy $t = 0$. Wstawiamy $t = 0$ do wzoru funkcji: $$ \begin{aligned} d(0) &= 12 \cdot 0{,}7^0 \\[8pt] &= 12 \cdot 1 \\[8pt] &= 12\text{ mg} \end{aligned} $$ Pacjent zażył dawkę o masie $12\text{ mg}$.
Podpunkt b) Wyznaczenie czasu, po którym w organizmie pozostało $5{,}88\text{ mg}$ leku:
Szukamy takiego czasu $t \ge 0$, dla którego zachodzi równość: $$ d(t) = 5{,}88 $$ Podstawiamy wzór funkcji i przekształcamy równanie wykładnicze: $$ \begin{aligned} 12 \cdot 0{,}7^t &= 5{,}88 \\[8pt] 0{,}7^t &= \dfrac{5{,}88}{12} \\[8pt] 0{,}7^t &= \dfrac{588}{1200} \end{aligned} $$ Skracamy ułamek przez $12$: $$ \begin{aligned} 0{,}7^t &= \dfrac{49}{100} \\[8pt] 0{,}7^t &= 0{,}49 \end{aligned} $$ Zauważmy, że $0{,}49 = (0{,}7)^2$: $$ 0{,}7^t = 0{,}7^2 \implies t = 2 $$ W organizmie pacjenta pozostało $5{,}88\text{ mg}$ leku po upływie $2$ godzin.
Podpunkt c) Obliczenie ilości leku pozostałego w organizmie po trzech godzinach:
Wstawiamy czas $t = 3$ do wzoru funkcji $d(t)$: $$ d(3) = 12 \cdot 0{,}7^3 $$ Obliczamy trzecią potęgę liczby $0{,}7$: $$ 0{,}7^3 = 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49 \cdot 0{,}7 = 0{,}343 $$ Następnie wykonujemy mnożenie: $$ \begin{aligned} d(3) &= 12 \cdot 0{,}343 \\[8pt] &= 12 \cdot \dfrac{343}{1000} \\[8pt] &= \dfrac{4116}{1000} = 4{,}116\text{ mg} \end{aligned} $$ Po trzech godzinach w organizmie pacjenta pozostało $4{,}116\text{ mg}$ leku.
Podpunkt d) Wyznaczenie procentu dawki eliminowanego w ciągu jednej godziny:
Niech $d(t)$ oznacza ilość leku w organizmie w pewnej chwili $t$. Po upływie kolejnej godziny (w chwili $t + 1$) ilość ta wynosi: $$ \begin{aligned} d(t+1) &= 12 \cdot 0{,}7^{t+1} \\[8pt] &= 12 \cdot 0{,}7^t \cdot 0{,}7 \\[8pt] &= 0{,}7 \cdot d(t) \end{aligned} $$ Oznacza to, że po każdej godzinie w organizmie pozostaje $0{,}7$, czyli $70\%$ ilości leku obecnej na początku tej godziny.

Ilość leku wyeliminowana w ciągu tej jednej godziny wynosi: $$ \Delta d = d(t) - d(t+1) = d(t) - 0{,}7 \cdot d(t) = 0{,}3 \cdot d(t) $$ Obliczamy, jaki to procent ilości wyjściowej: $$ \dfrac{d(t) - d(t+1)}{d(t)} \cdot 100\% = \dfrac{0{,}3 \cdot d(t)}{d(t)} \cdot 100\% = 0{,}3 \cdot 100\% = 30\% $$ W ciągu każdej godziny z organizmu pacjenta eliminowane jest $30\%$ leku pozostałego w danej chwili.

Odpowiedź:
a) $12\text{ mg}$

b) Po $2$ godzinach

c) $4{,}116\text{ mg}$

d) $30\%$

Grupa B

Zadanie 1 (4 pkt)

Dany jest zbiór wartości funkcji kwadratowej $f$, równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji oraz punkt $P$ należący do tej paraboli. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej i w postaci ogólnej. $ZW = \langle -6, +\infty)$; $x = 0$; $P(1, -4)$