Funkcje i jej własności sprawdzian

Funkcja i jej własności

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja $f(x) = \dfrac{-3}{x}$, gdzie $x \in \mathbb{R}_+$ jest rosnąca.

Wskazówki:

Funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze $D$, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in D$ takich, że $x_1 < x_2$, zachodzi nierówność $f(x_1) < f(x_2)$.
Równoważnie badamy znak różnicy wartości funkcji: $f(x_2) - f(x_1)$. Jeśli różnica ta jest ściśle dodatnia dla $x_2 > x_1$, to funkcja jest rosnąca.
Pamiętaj o założeniach wynikających z dziedziny: dla $x \in \mathbb{R}_+$ zachodzi $x > 0$, więc iloczyn dwóch takich liczb jest zawsze dodatni.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sformułowanie założeń i definicji funkcji rosnącej:
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich: $$ D = \mathbb{R}_+ = (0, +\infty) $$ Zgodnie z definicją funkcja jest rosnąca w zbiorze $D$, gdy: $$ \forall_{x_1, x_2 \in D} \; (x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)) $$ Wybieramy dowolne argumenty $x_1, x_2 \in \mathbb{R}_+$ takie, że: $$ x_1 < x_2 \iff x_2 - x_1 > 0 $$ Aby udowodnić tezę, wystarczy wykazać, że różnica wartości funkcji $f(x_2) - f(x_1)$ jest większa od zera.
Sposób I – Wyznaczenie i badanie znaku różnicy $f(x_2) - f(x_1)$:
Wstawiamy wzór funkcji $f(x) = \dfrac{-3}{x}$ do wyrażenia różnicowego: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= \dfrac{-3}{x_2} - \left(\dfrac{-3}{x_1}\right) \\[8pt] &= -\dfrac{3}{x_2} + \dfrac{3}{x_1} \\[8pt] &= \dfrac{3}{x_1} - \dfrac{3}{x_2} \end{aligned} $$ Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $x_1 x_2$: $$ \begin{aligned} f(x_2) - f(x_1) &= \dfrac{3x_2}{x_1 x_2} - \dfrac{3x_1}{x_1 x_2} \\[8pt] &= \dfrac{3x_2 - 3x_1}{x_1 x_2} \\[8pt] &= \dfrac{3(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} \end{aligned} $$ Oceniamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie przyjętych założeń:
• Licznik: Z założenia $x_1 < x_2$, stąd $x_2 - x_1 > 0$. Mnożąc przez liczbę dodatnią $3$, otrzymujemy $3(x_2 - x_1) > 0$.
• Mianownik: Skoro $x_1, x_2 \in \mathbb{R}_+$, to $x_1 > 0$ oraz $x_2 > 0$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni: $x_1 x_2 > 0$.
Iloraz dwóch wyrażeń dodatnich jest liczbą dodatnią: $$ \dfrac{3(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} > 0 \implies f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_2) > f(x_1) $$
Sposób II – Równoważne przekształcenie nierówności wyjściowej:
Wychodzimy bezpośrednio z założenia dla dowolnych $x_1, x_2 \in \mathbb{R}_+$: $$ x_1 < x_2 $$ Ponieważ obie strony nierówności są ściśle dodatnie ($x_1 > 0$, $x_2 > 0$), możemy obustronnie odwrócić ułamki, co zmienia zwrot nierówności na przeciwny: $$ \dfrac{1}{x_1} > \dfrac{1}{x_2} $$ Mnożymy obie strony nierówności przez liczbę ujemną $-3$, co ponownie zmienia zwrot nierówności: $$ \begin{aligned} -3 \cdot \dfrac{1}{x_1} &< -3 \cdot \dfrac{1}{x_2} \\[8pt] \dfrac{-3}{x_1} &< \dfrac{-3}{x_2} \\[8pt] f(x_1) &< f(x_2) \end{aligned} $$ Z założenia $x_1 < x_2$ wynika nierówność $f(x_1) < f(x_2)$.
Wnioskowanie i ilustracja graficzna:
Wykazaliśmy, że dla każdego $x_1, x_2 \in \mathbb{R}_+$ z warunku $x_1 < x_2$ wynika $f(x_1) < f(x_2)$. Zatem funkcja $f(x) = \dfrac{-3}{x}$ jest funkcją rosnącą w zbiorze $\mathbb{R}_+$. Poniższy rysunek obrazuje przebieg prawej gałęzi hiperboli w IV ćwiartce układu współrzędnych – wraz ze wzrostem argumentów $x$ wartości funkcji rosną (zbliżają się do osi $OX$ od dołu).

Odpowiedź:
Wykazano na podstawie definicji, że funkcja $f(x) = \dfrac{-3}{x}$ jest rosnąca w zbiorze $\mathbb{R}_+$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Prostokąt ma obwód równy 32 cm. Zależnie od długości jednego z jego boków, oznaczonego jako $a$, wyraź wzorem pole powierzchni tego prostokąta jako funkcję zmiennej $a$. Podaj także dziedzinę oraz zbiór wartości tej funkcji.

Wskazówki:

Obwód prostokąta o bokach $a$ oraz $b$ wyraża się wzorem $2a + 2b = 32\text{ cm}$. Przekształć ten warunek, aby wyznaczyć długość drugiego boku $b$ w zależności od zmiennej $a$.
Pole prostokąta to iloczyn długości jego sąsiednich boków: $P = a \cdot b$. Podstawienie wyznaczonego boku $b$ da funkcję kwadratową zmiennej $a$.
Długości boków figury geometrycznej muszą być liczbami ściśle dodatnimi ($a > 0$ oraz $b > 0$), co posłuży do wyznaczenia dziedziny geometrycznej.
Zbiór wartości funkcji kwadratowej o ramionach skierowanych w dół w przedziale dziedziny zależy od wartości w wierzchołku paraboli oraz wartości przy krańcach przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i uzależnienie drugiego boku prostokąta od zmiennej $a$:
Niech boki prostokąta mają długości $a$ oraz $b$ (wyrażone w centymetrach). Z treści zadania wiemy, że obwód figury wynosi $32\text{ cm}$: $$\begin{aligned} 2a + 2b &= 32 \quad \Big/ : 2 \\[8pt] a + b &= 16 \\[8pt] b &= 16 - a \end{aligned}$$
Wyznaczenie wzoru funkcji pola powierzchni oraz ustalenie jej dziedziny:
Pole powierzchni prostokąta to iloczyn długości jego boków $P = a \cdot b$. Podstawiając $b = 16 - a$, otrzymujemy wzór funkcji: $$\begin{aligned} P(a) &= a \cdot (16 - a) \\[8pt] &= 16a - a^2 \\[8pt] &= -a^2 + 16a \end{aligned}$$ Aby prostokąt istniał, długości obu jego boków muszą być ściśle dodatnie: $$\begin{cases} a > 0 \\[6pt] 16 - a > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a > 0 \\[6pt] a < 16 \end{cases}$$ Łącząc oba warunki, otrzymujemy dziedzinę funkcji $P(a)$: $$D = (0, 16)$$
Wyznaczenie zbioru wartości funkcji oraz interpretacja na wykresie:
Wzór $P(a) = -a^2 + 16a$ opisuje funkcję kwadratową, w której współczynniki wynoszą $A = -1$, $B = 16$, $C = 0$.

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny ($A = -1 < 0$), ramiona paraboli są skierowane w dół, a funkcja osiąga wartość największą w wierzchołku $W = (p, q)$: $$\begin{aligned} p &= \dfrac{-B}{2A} = \dfrac{-16}{2 \cdot (-1)} = 8 \\[8pt] q &= P(8) = -(8)^2 + 16 \cdot 8 = -64 + 128 = 64 \end{aligned}$$ Argument $a = 8$ należy do dziedziny ($8 \in (0, 16)$), zatem największa możliwa wartość pola prostokąta wynosi $64\text{ cm}^2$ (prostokąt staje się wówczas kwadratem o boku $8\text{ cm}$).

Na krańcach przedziału dziedziny, gdy $a \to 0^+$ lub $a \to 16^-$, wartość pola dąży do zera ($P(a) \to 0$), lecz nigdy go nie osiąga, gdyż boki muszą mieć długości większe od zera. Wobec tego pole przyjmuje wartości ze zbioru: $$ZW = (0, 64\rangle$$

Odpowiedź:
Wzór funkcji: $P(a) = -a^2 + 16a$ lub $P(a) = a(16 - a)$

Dziedzina: $D = (0, 16)$

Zbiór wartości: $ZW = (0, 64\rangle$

Zadanie 3 (3 pkt)

Sporządź wykres funkcji $$f(x) = \begin{cases} 3 & \text{dla } x < -1 \\ x - 1 & \text{dla } -1 \le x < 2 \\ -2 & \text{dla } x \ge 2 \end{cases}$$ Podaj jej zbiór wartości i miejsca zerowe.

Wskazówki:

Wykres funkcji określonej klamrą sporządzamy, rysując poszczególne fragmenty wyłącznie w odpowiadających im przedziałach argumentów.
Zwróć szczególną uwagę na końce przedziałów:
- dla nierówności ostrych ($<$, $>$) punkt krańcowy oznaczamy kółkiem otwartym (niezamalowanym), co oznacza, że punkt ten nie należy do wykresu,
- dla nierówności słabych ($\le$, $\ge$) punkt krańcowy oznaczamy kółkiem domkniętym (zamalowanym).
Miejsca zerowe to argumenty $x$, dla których $f(x) = 0$ (punkty przecięcia wykresu z osią $OX$). Rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$ w każdym z przedziałów i sprawdzamy, czy otrzymany wynik należy do rozpatrywanego przedziału.
Zbiór wartości funkcji $ZW$ odczytujemy z wykresu, rzutując wszystkie jego punkty na oś $OY$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sporządzenie wykresu funkcji w poszczególnych przedziałach:
Analizujemy zachowanie funkcji w trzech określonych w treści zadania przedziałach dziedziny:

Część 1: Dla $x \in (-\infty, -1)$ funkcja ma postać $f(x) = 3$. Jest to funkcja stała.
- Jej wykresem jest pozioma półprosta biegnąca w lewo na wysokości $y = 3$.
- Prawy koniec odpowiada argumentowi $x = -1$. Ponieważ nierówność jest ostra ($x < -1$), punkt $(-1, 3)$ nie należy do wykresu – zaznaczamy w nim kółko otwarte.
Część 2: Dla $x \in [-1, 2)$ funkcja ma postać liniową $f(x) = x - 1$.
- Wyznaczamy wartość na lewym krańcu przedziału: $$f(-1) = -1 - 1 = -2$$ Ponieważ $x \ge -1$, punkt $(-1, -2)$ należy do wykresu – zaznaczamy w nim kółko zamalowane.
- Wyznaczamy graniczną wartość przy zbliżaniu się do prawego krańca przedziału ($x \to 2$): $$f(2) = 2 - 1 = 1$$ Ponieważ nierówność jest ostra ($x < 2$), punkt $(2, 1)$ nie należy do tego fragmentu wykresu – zaznaczamy w nim kółko otwarte.
- Łączymy punkty $(-1, -2)$ oraz $(2, 1)$ odcinkiem.
Część 3: Dla $x \in [2, \infty)$ funkcja ma postać $f(x) = -2$. Jest to funkcja stała.
- Dla $x = 2$ otrzymujemy $f(2) = -2$. Ponieważ $x \ge 2$, punkt $(2, -2)$ należy do wykresu – zaznaczamy w nim kółko zamalowane.
- Wykresem jest pozioma półprosta biegnąca w prawo na wysokości $y = -2$.
Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji:
Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego $f(x) = 0$. Rozpatrujemy kolejno każdy przedział:

Przedział 1: $x < -1$
W tym przedziale: $$f(x) = 3 \ne 0$$ Równanie nie ma rozwiązań – w tym przedziale funkcja nie ma miejsc zerowych.

Przedział 2: $-1 \le x < 2$
Przyrównujemy wzór funkcji do zera: $$\begin{aligned} x - 1 &= 0 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}$$ Sprawdzamy, czy wyznaczona liczba należy do badanego przedziału: $$1 \in [-1, 2)$$ Warunek jest spełniony, zatem liczba $x = 1$ jest miejscem zerowym funkcji.

Przedział 3: $x \ge 2$
W tym przedziale: $$f(x) = -2 \ne 0$$ Równanie nie ma rozwiązań – w tym przedziale funkcja nie posiada miejsc zerowych.

Jedynym miejscem zerowym funkcji $f(x)$ jest $x = 1$.
Wyznaczenie zbioru wartości funkcji:
Zbiór wartości funkcji $ZW$ to zbiór wszystkich wartości $y$, jakie funkcja osiąga w swojej dziedzinie. Wyznaczamy zbiory wartości dla każdego z trzech przedziałów:

Przedział 1: Dla $x \in (-\infty, -1)$ funkcja przyjmuje tylko jedną wartość: $$ZW_1 = \{3\}$$ Przedział 2: Dla $x \in [-1, 2)$ funkcja $f(x) = x - 1$ jest rosnąca.
- Najmniejszą wartość osiąga na lewym, domkniętym krańcu przedziału: $$f(-1) = -1 - 1 = -2$$
- Przy zbliżaniu się do prawego, otwartego krańca przedziału ($x \to 2$) wartości funkcji rosną do: $$2 - 1 = 1$$ Wartość $1$ nie jest osiągana, ponieważ punkt $x = 2$ nie należy do tego przedziału.
Zatem zbiorem wartości funkcji na tym przedziale jest: $$ZW_2 = [-2, 1)$$ Przedział 3: Dla $x \in [2, \infty)$ funkcja przyjmuje wyłącznie wartość: $$ZW_3 = \{-2\}$$ Łączymy zbiory wartości ze wszystkich trzech części: $$\begin{aligned} ZW &= ZW_1 \cup ZW_2 \cup ZW_3 \\[8pt] &= \{3\} \cup [-2, 1) \cup \{-2\} \\[8pt] &= [-2, 1) \cup \{3\} \end{aligned}$$ Zauważmy, że liczba $-2$ zawiera się już w przedziale $[-2, 1)$. Zbiór wartości składa się z przedziału prawostronnie otwartego $[-2, 1)$ oraz izolowanego punktu $3$.

Odpowiedź:
Zbiór wartości: $ZW = [-2, 1) \cup \{3\}$

Miejsce zerowe: $x = 1$

Zadanie 4 (4 pkt)

Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji $$f(x) = \sqrt{4x^2 - 12x + 9} - 3\left|x - \dfrac{3}{2}\right|$$

Wskazówki:

Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne; zwiń trójmian kwadratowy za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Skorzystaj z tożsamości algebraicznej $\sqrt{a^2} = |a|$, aby zamienić pierwiastek na wartość bezwzględną.
Wyłącz czynnik liczbowy przed znak modułu, zredukuj wyrazy podobne i odczytaj własności powstałej funkcji.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$:
Rozpatrujemy funkcję daną wzorem: $$f(x) = \sqrt{4x^2 - 12x + 9} - 3\left|x - \dfrac{3}{2}\right|$$ Pierwiastek stopnia parzystego jest określony wyłącznie dla wyrażeń nieujemnych, co prowadzi do nierówności: $$4x^2 - 12x + 9 \ge 0$$ Zwijamy trójmian pod pierwiastkiem, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$\begin{aligned} 4x^2 - 12x + 9 &= (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 \\[8pt] &= (2x - 3)^2 \end{aligned}$$ Kwadrat dowolnego wyrażenia rzeczywistego jest zawsze nieujemny: $$(2x - 3)^2 \ge 0 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}$$ Działanie wartości bezwzględnej $\left|x - \frac{3}{2}\right|$ jest również określone dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Zatem dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych: $$D = \mathbb{R}$$
Uproszczenie wzoru funkcji za pomocą wartości bezwzględnej:
Stosujemy podstawową tożsamość $\sqrt{a^2} = |a|$ dla wyrażenia podpierwiastkowego: $$\sqrt{4x^2 - 12x + 9} = \sqrt{(2x - 3)^2} = |2x - 3|$$ Wstawiamy otrzymaną postać do wzoru funkcji: $$f(x) = |2x - 3| - 3\left|x - \dfrac{3}{2}\right|$$ Z wyrażenia w pierwszym module wyłączamy stałą $2$ przed nawias: $$|2x - 3| = \left|2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\right| = |2| \cdot \left|x - \dfrac{3}{2}\right| = 2\left|x - \dfrac{3}{2}\right|$$ Podstawiamy i redukujemy wyrazy podobne: $$\begin{aligned} f(x) &= 2\left|x - \dfrac{3}{2}\right| - 3\left|x - \dfrac{3}{2}\right| \\[8pt] &= (2 - 3)\left|x - \dfrac{3}{2}\right| \\[8pt] &= -\left|x - \dfrac{3}{2}\right| \end{aligned}$$ Otrzymujemy uproszczony wzór funkcji: $$f(x) = -\left|x - \dfrac{3}{2}\right|$$
Analiza własności geometrycznych i sporządzenie wykresu funkcji:
Wykres funkcji $f(x) = -\left|x - \frac{3}{2}\right|$ powstaje z wykresu funkcji podstawowej $y = |x|$ poprzez dwa kolejne przekształcenia geometryczne:

1. Przesunięcie wykresu $y = |x|$ o wektor $\vec{u} = \left[\frac{3}{2}, 0\right]$ (o $\frac{3}{2}$ jednostki w prawo wzdłuż osi $OX$), co daje wykres funkcji $y = \left|x - \frac{3}{2}\right|$ o wierzchołku w punkcie $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$.

2. Symetrię osiową względem osi $OX$ ($y = -g(x)$), która odwraca ramiona wykresu do dołu.

Równoważnie, korzystając z definicji modułu, funkcję można zapisać przedziałami: $$f(x) = \begin{cases} -\left(x - \dfrac{3}{2}\right) = -x + \dfrac{3}{2} & \text{dla } x \ge \dfrac{3}{2} \\[8pt] -\left(-\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\right) = x - \dfrac{3}{2} & \text{dla } x < \dfrac{3}{2} \end{cases}$$ Wyznaczamy kluczowe punkty wykresu: $$\begin{aligned} W &= \left(\dfrac{3}{2}, 0\right) = (1{,}5; \ 0) \quad \text{– wierzchołek (maksimum funkcji)} \\[8pt] x = 0 &\implies f(0) = -\left|0 - \dfrac{3}{2}\right| = -\dfrac{3}{2} \implies \left(0, -\dfrac{3}{2}\right) \\[8pt] x = 3 &\implies f(3) = -\left|3 - \dfrac{3}{2}\right| = -\dfrac{3}{2} \implies \left(3, -\dfrac{3}{2}\right) \\[8pt] x = -1 &\implies f(-1) = -\left|-1 - \dfrac{3}{2}\right| = -\dfrac{5}{2} \implies \left(-1, -\dfrac{5}{2}\right) \\[8pt] x = 4 &\implies f(4) = -\left|4 - \dfrac{3}{2}\right| = -\dfrac{5}{2} \implies \left(4, -\dfrac{5}{2}\right) \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Dziedzina funkcji: $D = \mathbb{R}$

Uproszczony wzór: $f(x) = -\left|x - \dfrac{3}{2}\right|$

Zadanie 5 (3 pkt)

Dla jakich wartości argumentu funkcje $$ f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2} + 2 \quad \text{oraz} \quad g(x) = 6x $$ osiągają tę samą wartość?

Wskazówki:

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)$, pamiętając, że mianownik ułamka nie może być równy zero ($x - 2 \neq 0$).
Rozłóż licznik ułamka $x^2 - 4$ na czynniki za pomocą wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i uprość wzór funkcji $f(x)$ dla argumentów należących do dziedziny.
Przyrównaj wzory obu funkcji $f(x) = g(x)$, wyznacz wartość argumentu $x$ i upewnij się, że otrzymany wynik należy do wyznaczonej dziedziny.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie dziedziny funkcji $f(x)$ oraz $g(x)$:
Dane są funkcje: $$ f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2} + 2 \quad \text{oraz} \quad g(x) = 6x $$ Mianownik ułamka we wzorze funkcji $f(x)$ musi być różny od zera: $$ \begin{aligned} x - 2 &\neq 0 \\[8pt] x &\neq 2 \end{aligned} $$ Zatem dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem dwójki: $$ D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} $$ Funkcja liniowa $g(x) = 6x$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, czyli $D_g = \mathbb{R}$.
Wspólną dziedziną, w której poszukujemy równości wartości obu funkcji, jest: $$ D = D_f \cap D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\} $$
Uproszczenie wzoru funkcji $f(x)$ w jej dziedzinie:
Dla każdego $x \neq 2$ rozkładamy licznik ułamka, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$ Wstawiamy rozkład do wzoru funkcji $f(x)$ i redukujemy powtarzający się czynnik: $$ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} + 2 \\[8pt] &= (x + 2) + 2 \\[8pt] &= x + 4 \end{aligned} $$ Zatem dla każdego argumentu $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ funkcja $f(x)$ przyjmuje postać $f(x) = x + 4$.
Sposób I – Rozwiązanie algebraiczne (przyrównanie wartości funkcji):
Szukamy argumentów $x \in D$, dla których zachodzi równość $f(x) = g(x)$: $$ x + 4 = 6x $$ Przenosimy wyrażenia z niewiadomą na jedną stronę równania: $$ \begin{aligned} 4 &= 6x - x \\[8pt] 5x &= 4 \\[8pt] x &= \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \end{aligned} $$ Sprawdzamy warunek dziedziny: $$ \dfrac{4}{5} \neq 2 \implies \dfrac{4}{5} \in D $$ Wartość obu funkcji dla wyznaczonego argumentu wynosi: $$ f\left(\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{4}{5} + 4 = \dfrac{24}{5} = 4{,}8 $$ $$ g\left(\dfrac{4}{5}\right) = 6 \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{5} = 4{,}8 $$
Sposób II – Interpretacja graficzna w układzie współrzędnych:
Przedstawiamy obie funkcje w jednym układzie współrzędnych:
- Wykres funkcji $f(x)$ stanowi prosta $y = x + 4$ z wyłączeniem punktu o odciętej $x = 2$, czyli z tzw. punktem otwartym (dziurą) o współrzędnych $(2, 6)$.
- Wykres funkcji $g(x) = 6x$ to prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych $(0, 0)$ oraz punkt $(1, 6)$.
Punktem przecięcia obu wykresów jest punkt $P = (0{,}8;\ 4{,}8)$. Ponieważ odcięta tego punktu leży w dziedzinie funkcji $f(x)$, funkcje osiągają tę samą wartość dla $x = 0{,}8$:

Odpowiedź:
Funkcje osiągają tę samą wartość dla argumentu $x = \dfrac{4}{5}$ (czyli $x = 0{,}8$).

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja $f(x) = \frac{5}{x}$, gdzie $x \in \mathbb{R}_+$ jest malejąca.