Funkcja liniowa sprawdzian

Funkcja liniowa

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc, że do jej wykresu należą punkty: $A(-\sqrt{2}, 4)$ i $B(0, -3\sqrt{2})$.

Wskazówki:

Każdą funkcję liniową można opisać równaniem kierunkowym w postaci $y = ax + b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ to wyraz wolny.
Punkt o pierwszej współrzędnej równej zero, czyli $(0, y_0)$, to punkt przecięcia prostej z osią $OY$. Oznacza to, że wyraz wolny od razu wynosi $b = y_0$.
Współczynnik kierunkowy $a$ można wyznaczyć, podstawiając współrzędne drugiego punktu do równania lub korzystając bezpośrednio ze wzoru $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Pamiętaj o usunięciu niewymierności z mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku:

Własności ogólne funkcji liniowej i analiza danych wejściowych:
Równanie kierunkowe funkcji liniowej ma postać: $$ y = ax + b $$ Wykres funkcji przechodzi przez punkty $A(-\sqrt{2}, 4)$ oraz $B(0, -3\sqrt{2})$. Ponieważ pierwsza współrzędna punktu $B$ wynosi $0$, punkt ten leży dokładnie na osi rzędnych $OY$. Poniższy szkic przedstawia położenie obu punktów w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Sposób I – Wyznaczenie wzoru z układu równań i własności wyrazu wolnego:
Wstawiamy współrzędne punktu $B(0, -3\sqrt{2})$ do postaci kierunkowej: $$ \begin{aligned} -3\sqrt{2} &= a \cdot 0 + b \\[8pt] b &= -3\sqrt{2} \end{aligned} $$ Równanie prostej przyjmuje postać: $$ y = ax - 3\sqrt{2} $$ Następnie wstawiamy współrzędne punktu $A(-\sqrt{2}, 4)$ do powyższego równania: $$ \begin{aligned} 4 &= a \cdot (-\sqrt{2}) - 3\sqrt{2} \\[8pt] a\sqrt{2} &= -4 - 3\sqrt{2} \\[8pt] a &= \dfrac{-4 - 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$ Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik oraz mianownik przez $\sqrt{2}$: $$ \begin{aligned} a &= \dfrac{(-4 - 3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{-4\sqrt{2} - 3 \cdot 2}{2} \\[8pt] &= \dfrac{-6 - 4\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &= -3 - 2\sqrt{2} \end{aligned} $$ Otrzymujemy ostateczny wzór funkcji liniowej: $$ y = (-3 - 2\sqrt{2})x - 3\sqrt{2} $$
Sposób II – Wyznaczenie współczynnika kierunkowego bezpośrednio ze wzoru:
Dla dowolnych dwóch punktów $A(x_A, y_A)$ oraz $B(x_B, y_B)$ takich, że $x_A \neq x_B$, współczynnik kierunkowy prostej wyraża się ilorazem różnicowym: $$ a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$ Podstawiamy współrzędne punktów $A(-\sqrt{2}, 4)$ oraz $B(0, -3\sqrt{2})$: $$ \begin{aligned} a &= \dfrac{-3\sqrt{2} - 4}{0 - (-\sqrt{2})} \\[8pt] &= \dfrac{-4 - 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$ Rozbijamy wyrażenie na różnicę dwóch ułamków: $$ \begin{aligned} a &= \dfrac{-4}{\sqrt{2}} - \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\[8pt] &= \dfrac{-4\sqrt{2}}{2} - 3 \\[8pt] &= -2\sqrt{2} - 3 = -3 - 2\sqrt{2} \end{aligned} $$ Wyraz wolny $b$ wynika wprost z punktu przecięcia prostej z osią $OY$: $$ B(0, y_B) \implies b = y_B = -3\sqrt{2} $$ Zapisujemy postać kierunkową prostej: $$ y = (-3 - 2\sqrt{2})x - 3\sqrt{2} $$
Podsumowanie i interpretacja graficzna (rysunek wynikowy):
Współczynnik kierunkowy $a = -3 - 2\sqrt{2} \approx -5{,}83$ jest mniejszy od zera ($a < 0$), zatem funkcja liniowa jest malejąca. Poniższy wykres przedstawia prostą przechodzącą przez oba zadane punkty.

Odpowiedź:
$y = (-3 - 2\sqrt{2})x - 3\sqrt{2}$ (lub $f(x) = -(3 + 2\sqrt{2})x - 3\sqrt{2}$)

Zadanie 2 (2 pkt)

Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji $$f(x) = \dfrac{5 - x}{3} - x$$ z osiami układu współrzędnych.

Wskazówki:

Punkt przecięcia z osią pionową $OY$ ma zawsze pierwszą współrzędną równą zero ($x = 0$). Wystarczy obliczyć wartość funkcji dla zera, czyli $f(0)$.
Punkt przecięcia z osią poziomą $OX$ (miejsce zerowe) ma drugą współrzędną równą zero ($y = 0$). Wyznaczamy go, rozwiązując równanie $f(x) = 0$.
Wyrażenie można przekształcić do klasycznej postaci kierunkowej funkcji liniowej $y = ax + b$, sprowadzając składniki do wspólnego mianownika.

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $OY$:
Każdy punkt leżący na osi $OY$ charakteryzuje się odciętą $x = 0$. Aby znaleźć jego rzędną $y$, obliczamy wartość funkcji $f(0)$: $$\begin{aligned} f(0) &= \dfrac{5 - 0}{3} - 0 \\[8pt] &= \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3} \end{aligned}$$ Zatem punktem przecięcia wykresu z osią pionową jest: $$P_{OY} = \left(0, \dfrac{5}{3}\right)$$
Wyznaczenie punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $OX$:
Każdy punkt leżący na osi $OX$ charakteryzuje się rzędną $y = 0$. Przyrównujemy wzór funkcji do zera: $$f(x) = 0$$ $$\dfrac{5 - x}{3} - x = 0$$ Przenosimy $-x$ na prawą stronę równania: $$\dfrac{5 - x}{3} = x$$ Mnożymy obie strony równania przez $3$, aby pozbyć się mianownika: $$\begin{aligned} 5 - x &= 3x \\[8pt] 5 &= 3x + x \\[8pt] 4x &= 5 \quad \Big/ : 4 \\[8pt] x &= \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4} = 1{,}25 \end{aligned}$$ Zatem punktem przecięcia wykresu z osią poziomą jest: $$P_{OX} = \left(\dfrac{5}{4}, 0\right)$$
Postać kierunkowa prostej i interpretacja graficzna w układzie współrzędnych:
Sprowadzając wzór funkcji do postaci kierunkowej $y = ax + b$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{5}{3} - \dfrac{1}{3}x - x \\[8pt] &= -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{5}{3} \end{aligned}$$ Współczynnik kierunkowy $a = -\dfrac{4}{3} < 0$ potwierdza, że funkcja jest malejąca, a wyraz wolny $b = \dfrac{5}{3}$ wyznacza miejsce przecięcia z osią $OY$. Poniższy szkic ilustruje przebieg prostej oraz wyznaczone punkty na osiach:

Odpowiedź:
Punkt przecięcia z osią $OX$: $\left(\dfrac{5}{4}, 0\right)$ (czyli $(1{,}25;\ 0)$ lub $\left(1\dfrac{1}{4}, 0\right)$)

Punkt przecięcia z osią $OY$: $\left(0, \dfrac{5}{3}\right)$ (czyli $\left(0, 1\dfrac{2}{3}\right)$)

Zadanie 3 (4 pkt)

a) Wiedząc, że wykres funkcji liniowej $f(x)$ jest równoległy do wykresu funkcji $g(x)$, wyznacz $m$, gdy: $$f(x) = (2m + 3)x - 4m \quad \text{i} \quad g(x) = (4 - m)x + 6$$
b) Wiedząc, że wykres funkcji liniowej $f(x)$ jest prostopadły do wykresu funkcji $g(x)$, wyznacz $m$, gdy: $$f(x) = (m + 2)x - 5 \quad \text{i} \quad g(x) = 2x + 3$$

Wskazówki:

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej $y = ax + b$ to liczba stojąca bezpośrednio przy zmiennej $x$.
Warunek równoległości dwóch prostych: proste o współczynnikach kierunkowych $a_1$ oraz $a_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe: $$a_1 = a_2$$
Warunek prostopadłości dwóch prostych: proste o współczynnikach kierunkowych $a_1$ oraz $a_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników wynosi $-1$: $$a_1 \cdot a_2 = -1 \quad \left(\text{czyli } a_1 = -\dfrac{1}{a_2}\right)$$

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie parametru $m$ dla prostych równoległych $f(x) = (2m + 3)x - 4m$ oraz $g(x) = (4 - m)x + 6$:
Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu funkcji liniowych: $$\begin{aligned} a_1 &= 2m + 3 \\[8pt] a_2 &= 4 - m \end{aligned}$$ Wykresy funkcji liniowych są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe: $$\begin{aligned} a_1 &= a_2 \\[8pt] 2m + 3 &= 4 - m \end{aligned}$$ Przenosimy wyrażenia z niewiadomą $m$ na lewą stronę, a liczby na prawą stronę: $$\begin{aligned} 2m + m &= 4 - 3 \\[8pt] 3m &= 1 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $3$: $$\begin{aligned} m &= \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$
Podpunkt b) Wyznaczenie parametru $m$ dla prostych prostopadłych $f(x) = (m + 2)x - 5$ oraz $g(x) = 2x + 3$:
Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu funkcji liniowych: $$\begin{aligned} a_1 &= m + 2 \\[8pt] a_2 &= 2 \end{aligned}$$ Wykresy funkcji liniowych są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$: $$\begin{aligned} a_1 \cdot a_2 &= -1 \\[8pt] (m + 2) \cdot 2 &= -1 \end{aligned}$$ Mnożymy wyrażenie w nawiasie przez $2$: $$\begin{aligned} 2m + 4 &= -1 \end{aligned}$$ Odejmujemy $4$ od obu stron równania: $$\begin{aligned} 2m &= -1 - 4 \\[8pt] 2m &= -5 \end{aligned}$$ Dzielimy obie strony równania przez $2$: $$\begin{aligned} m &= -\dfrac{5}{2} = -2\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
a) $m = \dfrac{1}{3}$

b) $m = -\dfrac{5}{2} = -2\dfrac{1}{2}$

Zadanie 4 (3 pkt)

Dane są dwie funkcje liniowe: $$f(x) = (k - 3)x + 4k - 6$$ $$g(x) = 8 - k + (2 - k)x$$ Wyznacz $k$, dla którego:

a) Funkcja $f(x)$ jest rosnąca i jednocześnie funkcja $g(x)$ jest malejąca.
b) Obie funkcje przyjmują taką samą wartość dla argumentu $x = -5$.
c) Obie funkcje przecinają oś $OY$ w tym samym punkcie.

Wskazówki:

Monotoniczność funkcji liniowej $y = ax + b$ zależy od znaku współczynnika kierunkowego $a$: funkcja jest rosnąca, gdy $a > 0$, a malejąca, gdy $a < 0$.
Równość wartości funkcji dla danego argumentu oznacza konieczność rozwiązania równania $f(-5) = g(-5)$ z niewiadomą $k$.
Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $OY$ ma pierwszą współrzędną równą $0$, a drugą równą wyrazowi wolnemu trójmianu liniowego ($y = f(0)$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczenie $k$, dla którego funkcja $f(x)$ jest rosnąca i jednocześnie funkcja $g(x)$ jest malejąca:
Zapisujemy obie funkcje w uporządkowanej postaci kierunkowej $y = ax + b$: $$\begin{aligned} f(x) &= (k - 3)x + (4k - 6) \\[8pt] g(x) &= (2 - k)x + (8 - k) \end{aligned}$$ Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu funkcji przy zmiennej $x$: $$a_f = k - 3, \quad a_g = 2 - k$$ Funkcja $f(x)$ jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni: $$\begin{aligned} a_f &> 0 \\[8pt] k - 3 &> 0 \\[8pt] k &> 3 \end{aligned}$$ Funkcja $g(x)$ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny: $$\begin{aligned} a_g &< 0 \\[8pt] 2 - k &< 0 \\[8pt] -k &< -2 \quad / \cdot (-1) \\[8pt] k &> 2 \end{aligned}$$ Oba warunki monotoniczności muszą zachodzić jednocześnie, co prowadzi do układu nierówności: $$\begin{cases} k > 3 \\[6pt] k > 2 \end{cases}$$ Wyznaczamy część wspólną obu warunków na osi liczbowej:

Częścią wspólną obu warunków jest przedział: $$k \in (3, +\infty)$$
Podpunkt b) Wyznaczenie $k$, dla którego obie funkcje przyjmują tę samą wartość dla argumentu $x = -5$:
Zgodnie z poleceniem przyrównujemy wartości obu funkcji dla $x = -5$: $$f(-5) = g(-5)$$ Obliczamy wartość funkcji $f(-5)$: $$\begin{aligned} f(-5) &= (k - 3) \cdot (-5) + 4k - 6 \\[8pt] &= -5k + 15 + 4k - 6 \\[8pt] &= -k + 9 \end{aligned}$$ Obliczamy wartość funkcji $g(-5)$: $$\begin{aligned} g(-5) &= 8 - k + (2 - k) \cdot (-5) \\[8pt] &= 8 - k - 10 + 5k \\[8pt] &= 4k - 2 \end{aligned}$$ Przyrównujemy oba wyrażenia i wyznaczamy wartość parametru $k$: $$\begin{aligned} -k + 9 &= 4k - 2 \\[8pt] -k - 4k &= -2 - 9 \\[8pt] -5k &= -11 \quad / : (-5) \\[8pt] k &= \dfrac{11}{5} = 2{,}2 \end{aligned}$$
Podpunkt c) Wyznaczenie $k$, dla którego obie funkcje przecinają oś $OY$ w tym samym punkcie:
Wykres dowolnej funkcji przecina oś $OY$ w punkcie o pierwszej współrzędnej równej zero: $(0, y)$. Zatem wartości obu funkcji dla argumentu $x = 0$ muszą być równe: $$f(0) = g(0)$$ Obliczamy wartości funkcji w punkcie $x = 0$ (wyrazy wolne): $$\begin{aligned} f(0) &= (k - 3) \cdot 0 + 4k - 6 = 4k - 6 \\[8pt] g(0) &= 8 - k + (2 - k) \cdot 0 = 8 - k \end{aligned}$$ Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: $$\begin{aligned} 4k - 6 &= 8 - k \\[8pt] 4k + k &= 8 + 6 \\[8pt] 5k &= 14 \quad / : 5 \\[8pt] k &= \dfrac{14}{5} = 2{,}8 \end{aligned}$$ Dla $k = 2{,}8$ obie funkcje przecinają oś $OY$ w punkcie $(0; 5{,}2)$.

Odpowiedź:
a) $k \in (3, +\infty)$

b) $k = \dfrac{11}{5} = 2{,}2$

c) $k = \dfrac{14}{5} = 2{,}8$

Zadanie 5 (3 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem: $$ f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{jeśli } x \in (-\infty, 3) \\[6pt] -x + 4, & \text{jeśli } x \in \langle 3, +\infty) \end{cases} $$ Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

Wskazówki:

Funkcja jest zdefiniowana klamrą (dwoma różnymi wzorami liniowymi) na rozłącznych przedziałach argumentów: $(-\infty, 3)$ oraz $\langle 3, +\infty)$.
Aby znaleźć miejsca zerowe, przyrównaj każdy wzór do zera ($f(x) = 0$) i koniecznie sprawdź, czy otrzymany wynik należy do dziedziny danego przedziału.
Przy szkicowaniu wykresu wyznacz punkty charakterystyczne dla obu półprostych. Zwróć szczególną uwagę na punkt graniczny $x = 3$: dla pierwszej części punkt ten jest otwarty (nie należy do przedziału), a dla drugiej – domknięty (zamalowany).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji w poszczególnych przedziałach:
Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi zero ($f(x) = 0$). Rozpatrujemy oba przedziały z osobna:

Część I: dla $x \in (-\infty, 3)$ funkcja ma postać $f(x) = 2x + 1$: $$ \begin{aligned} 2x + 1 &= 0 \\[8pt] 2x &= -1 \\[8pt] x &= -\dfrac{1}{2} = -0{,}5 \end{aligned} $$ Sprawdzamy przynależność do przedziału: $$ -\dfrac{1}{2} \in (-\infty, 3) $$ Zatem liczba $x_1 = -\dfrac{1}{2}$ jest pierwszym miejscem zerowym funkcji.

Część II: dla $x \in \langle 3, +\infty)$ funkcja ma postać $f(x) = -x + 4$: $$ \begin{aligned} -x + 4 &= 0 \\[8pt] -x &= -4 \\[8pt] x &= 4 \end{aligned} $$ Sprawdzamy przynależność do przedziału: $$ 4 \in \langle 3, +\infty) $$ Zatem liczba $x_2 = 4$ jest drugim miejscem zerowym funkcji.
Analiza i punkty charakterystyczne dla przedziału $x \in (-\infty, 3)$:
Wykres funkcji $f(x) = 2x + 1$ na tym przedziale jest półprostą (bez punktu końcowego). Wyznaczamy współrzędne kilku punktów pomocniczych:
- Dla $x = -2$: $f(-2) = 2 \cdot (-2) + 1 = -3 \implies (-2, -3)$
- Dla $x = 0$: $f(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \implies (0, 1)$ (punkt przecięcia z osią $OY$)
- Dla $x = 1$: $f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \implies (1, 3)$
- Dla punktu granicznego $x = 3$ obliczamy wartość graniczną lewostronną: $$ \lim_{x \to 3^-} (2x + 1) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 $$ Ponieważ $x = 3$ nie należy do przedziału $(-\infty, 3)$, punkt $(3, 7)$ zaznaczamy na wykresie jako kółko otwarte (niezamalowane).
Analiza i punkty charakterystyczne dla przedziału $x \in \langle 3, +\infty)$:
Wykres funkcji $f(x) = -x + 4$ na tym przedziale jest półprostą z punktem początkowym dla $x = 3$:
- Początek półprostej dla $x = 3$: $$ f(3) = -3 + 4 = 1 \implies (3, 1) $$ Ponieważ przedział jest domknięty z lewej strony, punkt $(3, 1)$ zaznaczamy jako kółko domknięte (zamalowane).
- Dla $x = 4$: $f(4) = -4 + 4 = 0 \implies (4, 0)$ (miejsce zerowe)
- Dla $x = 5$: $f(5) = -5 + 4 = -1 \implies (5, -1)$
- Dla $x = 6$: $f(6) = -6 + 4 = -2 \implies (6, -2)$
Zauważmy, że dla argumentu $x = 3$ funkcja posiada skok (wartość zmienia się z dążącej do $7$ na równą $1$).
Sporządzenie wykresu funkcji $f(x)$ i zaznaczenie miejsc zerowych:
Rysujemy obie półproste w jednym układzie współrzędnych, nanosząc kółko otwarte w punkcie $(3, 7)$, kółko domknięte w punkcie $(3, 1)$ oraz zielone punkty w miejscach zerowych:

Odpowiedź:
Miejsca zerowe funkcji to $x = -\dfrac{1}{2}$ oraz $x = 4$.

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc, że do jej wykresu należą punkty: $A(-2\sqrt{5}, 5)$ i $B(0, \sqrt{5})$.