Przykłady dowodów w matematyce
Sprawdzian
Grupa A
Zadanie 1 (2 pkt)
Wykaż, że suma dziesięciu kolejnych liczb naturalnych jest nieparzysta.
Zadanie 2 (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez 3.
Zadanie 3 (2 pkt)
W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne $AC$ oraz $BD$ przecinają się w punkcie $S$. Wykaż, że jeżeli $|AS| = \frac{3}{4}|AC|$, to pole trójkąta $ABS$ jest 9 razy większe od pola trójkąta $DCS$.
Zadanie 4 (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $5n^2 + 6n + 1$ jest podzielna przez 4.
Zadanie 5 (2 pkt)
Wykaż, że liczba $3^{41} + 3^{40} + 9^{21}$ jest podzielna przez 13.
Grupa B
Zadanie 1 (2 pkt)
Wykaż, że suma sześciu kolejnych liczb naturalnych jest nieparzysta.
Zadanie 2 (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5, liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez 7.
Zadanie 3 (2 pkt)
W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne $AC$ oraz $BD$ przecinają się w punkcie $S$. Wykaż, że jeżeli $|AS| = \frac{2}{3}|AC|$, to pole trójkąta $ABS$ jest 4 razy większe od pola trójkąta $DCS$.
Zadanie 4 (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $n^2 + 4n + 3$ jest podzielna przez 4.
Zadanie 5 (2 pkt)
Wykaż, że liczba $5^{32} + 5^{31} + 25^{15}$ jest podzielna przez 31.