a) Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych funkcji $f(x) = \frac{(x^3 - 3x^2 + 2x)(x + 2)^2}{x^2 - 4}$: Dziedzina: Mianownik nie może być równy zero:\[ x^2 - 4 \ne 0 \]\[ (x - 2)(x + 2) \ne 0 \]\[ x - 2 \ne 0 \quad \text{i} \quad x + 2 \ne 0 \]\[ x \ne 2 \quad \text{i} \quad x \ne -2 \]Zatem dziedzina funkcji to:\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \]Miejsca zerowe: Funkcja przyjmuje wartość zero, gdy licznik jest równy zero i $x$ należy do dziedziny.\[ (x^3 - 3x^2 + 2x)(x + 2)^2 = 0 \]Wyłączamy $x$ z pierwszego nawiasu:\[ x(x^2 - 3x + 2)(x + 2)^2 = 0 \]Rozkładamy trójmian kwadratowy na czynniki: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$:\[ x(x - 1)(x - 2)(x + 2)^2 = 0 \]Zatem potencjalne miejsca zerowe to:\[ x = 0 \]\[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]\[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \]\[ (x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2 \]Sprawdzamy, które z tych wartości należą do dziedziny $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. $x = 0$ należy do dziedziny. $x = 1$ należy do dziedziny. $x = 2$ nie należy do dziedziny. $x = -2$ nie należy do dziedziny. Miejscami zerowymi funkcji są $x = 0$ i $x = 1$. b) Wyznaczenie dziedziny i miejsc zerowych funkcji $f(x) = \frac{4 - (x + 4)^2}{(x + 3)^2}$: Dziedzina: Mianownik nie może być równy zero:\[ (x + 3)^2 \ne 0 \]\[ x + 3 \ne 0 \]\[ x \ne -3 \]Zatem dziedzina funkcji to:\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \]Miejsca zerowe: Funkcja przyjmuje wartość zero, gdy licznik jest równy zero i $x$ należy do dziedziny.\[ 4 - (x + 4)^2 = 0 \]Stosujemy wzór na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, gdzie $a = 2$ i $b = x + 4$:\[ (2 - (x + 4))(2 + (x + 4)) = 0 \]\[ (2 - x - 4)(2 + x + 4) = 0 \]\[ (-x - 2)(x + 6) = 0 \]Zatem potencjalne miejsca zerowe to:\[ -x - 2 = 0 \implies -x = 2 \implies x = -2 \]\[ x + 6 = 0 \implies x = -6 \]Sprawdzamy, które z tych wartości należą do dziedziny $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$. $x = -2$ należy do dziedziny. $x = -6$ należy do dziedziny. Miejscami zerowymi funkcji są $x = -2$ i $x = -6$.