Planimetria sprawdzian

6 Planimetria

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (2 pkt)

W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, kąt przy podstawie jest równy $30^\circ$. Z wierzchołka $C$ tego trójkąta poprowadzono wysokość. Jaki kąt tworzy ta wysokość z ramieniem trójkąta $ABC$?

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza trójkąta: Przypomnij sobie własności trójkąta równoramiennego – kąty przy jego podstawie mają jednakowe miary. Wykonaj szkic pomocniczy i poprowadź wysokość z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$.
Główna metoda i relacje kątowe: Wysokość pada na podstawę pod kątem prostym ($90^\circ$). Zastanów się, na jakie dwa mniejsze trójkąty wysokość ta dzieli cały trójkąt $ABC$ i ile wynosi suma kątów w dowolnym trójkącie.
Kolejność operacji: Rozważ trójkąt prostokątny utworzony przez ramię, wysokość oraz połowę podstawy (lub wyznacz najpierw kąt między ramionami całego trójkąta i skorzystaj z faktu, że wysokość jest jednocześnie dwusieczną). Odejmij znane kąty od $180^\circ$.
Weryfikacja wyniku: Sprawdź, czy suma kątów w otrzymanym trójkącie prostokątnym daje dokładnie $30^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj, aby nie pomylić szukanego kąta (kąt między wysokością a ramieniem) z kątem przy podstawie trójkąta ($30^\circ$) ani z całym kątem wierzchołkowym między ramionami ($120^\circ$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza własności trójkąta:
W trójkącie równoramiennym o ramionach $|AC| = |BC|$ podstawą jest bok $AB$. Kąty przy podstawie są równe: $$|\sphericalangle CAB| = |\sphericalangle CBA| = 30^\circ$$ Wysokość poprowadzona z wierzchołka $C$ opada na podstawę $AB$ w punkcie $D$ pod kątem prostym, czyli: $$|\sphericalangle CDA| = 90^\circ$$ Oznaczmy szukany kąt między tą wysokością a ramieniem $AC$ jako $\alpha = |\sphericalangle ACD|$.
Sposób I – Wykorzystanie trójkąta prostokątnego $ADC$:
Wysokość $CD$ dzieli wyjściowy trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne: $\triangle ADC$ oraz $\triangle BDC$.
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $ADC$. Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$: $$\alpha + |\sphericalangle CAD| + |\sphericalangle CDA| = 180^\circ$$ Podstawiamy znane wartości miar kątów: $$\begin{aligned} \alpha + 30^\circ + 90^\circ &= 180^\circ \\[8pt] \alpha + 120^\circ &= 180^\circ \\[8pt] \alpha &= 180^\circ - 120^\circ \\[8pt] \alpha &= 60^\circ \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie kąta między ramionami i dwusiecznej:
W trójkącie równoramiennym $ABC$ obliczamy najpierw miarę całego kąta przy wierzchołku $C$: $$\begin{aligned} |\sphericalangle ACB| &= 180^\circ - (|\sphericalangle CAB| + |\sphericalangle CBA|) \\[8pt] &= 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) \\[8pt] &= 180^\circ - 60^\circ \\[8pt] &= 120^\circ \end{aligned}$$ W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami jest jednocześnie dwusieczną kąta przy tym wierzchołku. Dzieli zatem kąt $|\sphericalangle ACB|$ na dwie równe części: $$\alpha = \dfrac{|\sphericalangle ACB|}{2} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
Rysunek wynikowy i podsumowanie kątów:
Wysokość poprowadzona z wierzchołka $C$ tworzy z każdym z ramion trójkąta kąt o mierze $60^\circ$.

Odpowiedź:
Wysokość tworzy z ramieniem trójkąta $ABC$ kąt o mierze $60^\circ$.

Zadanie 2 (2 pkt)

Oblicz obwód trójkąta równoramiennego, którego dwa boki mają długości $5\text{ cm}$ i $13\text{ cm}$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza: W trójkącie równoramiennym dwa boki (ramiona) muszą mieć identyczną długość. Skoro podane są dwa boki o długościach $5\text{ cm}$ i $13\text{ cm}$, to trzeci bok musi wynosić albo $5\text{ cm}$, albo $13\text{ cm}$. Tworzy to dwa potencjalne układy boków.
Kluczowa metoda i warunek istnienia trójkąta: Aby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt, musi zachodzić tzw. nierówność trójkąta – suma długości dowolnych dwóch boków musi być większa od długości boku trzeciego. Wystarczy sprawdzić, czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego boku trójkąta.
Kolejność operacji: Sprawdź nierówność trójkąta dla obu wariantów i odrzuć przypadek sprzeczny, w którym suma dwóch krótszych boków nie przewyższa najdłuższego.
Weryfikacja wyniku i obliczenie obwodu: Po wyłonieniu jedynego geometrycznie możliwego zestawu boków zsumuj wszystkie trzy boki, aby otrzymać szukany obwód trójkąta.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie podawaj automatycznie dwóch rozwiązań ($5 + 5 + 13 = 23\text{ cm}$ oraz $13 + 13 + 5 = 31\text{ cm}$) bez weryfikacji warunku trójkąta. Z trzech odcinków o długościach $5\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ i $13\text{ cm}$ w ogóle nie da się ułożyć trójkąta.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rozpatrzenie możliwych wariantów długości boków trójkąta:
Z definicji trójkąta równoramiennego wynika, że ma on co najmniej dwa boki równej długości (ramiona). Z treści zadania znamy dwa boki: $5\text{ cm}$ oraz $13\text{ cm}$. Zatem trzeci bok trójkąta musi mieć taką samą długość jak jeden ze znanych boków. Rozpatrujemy dwa przypadki:

• Wariant I: Boki mają długości $5\text{ cm}$, $5\text{ cm}$, $13\text{ cm}$ (ramiona o długości $5\text{ cm}$, podstawa $13\text{ cm}$).
• Wariant II: Boki mają długości $13\text{ cm}$, $13\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ (ramiona o długości $13\text{ cm}$, podstawa $5\text{ cm}$).
Sprawdzenie warunku istnienia trójkąta (nierówność trójkąta):
Trzy odcinki o długościach $a$, $b$, $c$ mogą utworzyć trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych boków jest większa od długości boku najdłuższego:
$$a + b > c \quad (\text{dla } c \ge a, b)$$
Sprawdzamy oba warianty:

• Dla Wariantu I ($5\text{ cm}$, $5\text{ cm}$, $13\text{ cm}$): $$\begin{aligned} 5 + 5 &> 13 \\[4pt] 10 &> 13 \quad \text{— nierówność jest fałszywa (sprzeczność)} \end{aligned}$$ Suma dwóch boków ($10\text{ cm}$) jest mniejsza od boku najdłuższego ($13\text{ cm}$), co oznacza, że ramiona nie połączą się. Taki trójkąt nie istnieje.

• Dla Wariantu II ($13\text{ cm}$, $13\text{ cm}$, $5\text{ cm}$): $$\begin{aligned} 5 + 13 &> 13 \\[4pt] 18 &> 13 \quad \text{— nierówność jest prawdziwa} \end{aligned}$$ Warunek istnienia trójkąta jest spełniony. Jest to jedyny możliwy trójkąt spełniający warunki zadania.
Obliczenie obwodu istniejącego trójkąta:
Boki poszukiwanego trójkąta równoramiennego mają długości: ramiona po $13\text{ cm}$ oraz podstawa $5\text{ cm}$.
Obliczamy obwód $Obw$: $$\begin{aligned} Obw &= 13\text{ cm} + 13\text{ cm} + 5\text{ cm} \\[8pt] &= 31\text{ cm} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Obwód trójkąta wynosi $31\text{ cm}$.

Zadanie 3 (3 pkt)

Trójkąt równoboczny $T_1$ o boku $10\text{ cm}$ rozcięto wzdłuż prostej na trapez oraz trójkąt $T_2$ podobny do trójkąta $T_1$, o obwodzie $12\text{ cm}$. Oblicz obwód trapezu.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza figur podobnych: Trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki równej długości. Każdy trójkąt podobny do trójkąta równobocznego również jest trójkątem równobocznym. Z podanego obwodu trójkąta $T_2$ wyznacz w pierwszej kolejności długość jego boku.
Własność linii rozcięcia: Aby podział trójkąta prostą dał trapez oraz mniejszy trójkąt, linia cięcia musi przecinać dwa ramiona i być równoległa do trzeciego boku (podstawy). Linia cięcia stanowi jednocześnie bok trójkąta $T_2$ oraz krótszą podstawę powstałego trapezu.
Plan wyznaczenia boków trapezu: Zidentyfikuj długości wszystkich czterech boków trapezu: dolną podstawę (bok $T_1$), górną podstawę (bok $T_2$) oraz dwa ramiona (będące różnicą długości boków trójkątów $T_1$ i $T_2$), po czym zsumuj ich długości.
Weryfikacja za pomocą bilansu obwodów: Zwróć uwagę, że rozcięcie figury wzdłuż odcinka o długości $x$ powoduje, że odcinek ten wchodzi w skład obwodów obu powstałych figur. Suma obwodów trapezu i trójkąta $T_2$ jest więc równa obwodowi trójkąta $T_1$ powiększonemu o podwojoną długość linii cięcia.
Czego unikać: Nie odejmuj po prostu obwodu trójkąta $T_2$ od obwodu trójkąta $T_1$. Linia cięcia nie znika – staje się nowym bokiem zarówno dla małego trójkąta, jak i dla trapezu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza geometryczna podziału:
Trójkąt $T_1$ jest trójkątem równobocznym o boku długości $a_1 = 10\text{ cm}$. Aby prosta rozcięła trójkąt na trapez i trójkąt $T_2$, linia cięcia musi być równoległa do jednego z boków trójkąta $T_1$. Trójkąt $T_2$ jest podobny do $T_1$, a zatem również jest trójkątem równobocznym.
Wyznaczenie długości boku trójkąta $T_2$:
Trójkąt $T_2$ jest trójkątem równobocznym o obwodzie równym $12\text{ cm}$. Oznaczając długość jego boku jako $a_2$, otrzymujemy: $$\begin{aligned} Obw(T_2) &= 3 \cdot a_2 \\[8pt] 12 &= 3 \cdot a_2 \\[8pt] a_2 &= \dfrac{12}{3} = 4\text{ cm} \end{aligned}$$ Długość boku trójkąta $T_2$ wynosi zatem $4\text{ cm}$. Odcinek ten jest jednocześnie krótszą podstawą trapezu.
Sposób I – Wyznaczenie poszczególnych boków trapezu:
Powstały trapez posiada cztery boki: - dłuższą podstawę $a$, która jest bokiem trójkąta $T_1$: $$a = 10\text{ cm}$$ - krótszą podstawę $b$, która jest bokiem trójkąta $T_2$ leżącym na linii rozcięcia: $$b = 4\text{ cm}$$ - dwa ramiona $c$ oraz $d$, których długości są równe różnicy długości boków trójkątów $T_1$ oraz $T_2$: $$c = d = 10\text{ cm} - 4\text{ cm} = 6\text{ cm}$$ Obliczamy obwód trapezu jako sumę wszystkich jego boków: $$\begin{aligned} Obw &= a + b + c + d \\[8pt] Obw &= 10 + 4 + 6 + 6 \\[8pt] Obw &= 26\text{ cm} \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie bilansu obwodów i rysunek wynikowy:
Obwód trójkąta wyjściowego $T_1$ wynosi: $$Obw(T_1) = 3 \cdot 10\text{ cm} = 30\text{ cm}$$ Linia rozcięcia ma długość $x = 4\text{ cm}$ i stanowi krawędź wspólną, która wchodzi w skład obwodu trapezu oraz obwodu trójkąta $T_2$. Suma obwodów obu powstałych figur jest więc równa obwodowi trójkąta wyjściowego powiększonemu o podwojoną długość linii rozcięcia: $$\begin{aligned} Obw(\text{trapezu}) + Obw(T_2) &= Obw(T_1) + 2 \cdot x \\[8pt] Obw(\text{trapezu}) + 12 &= 30 + 2 \cdot 4 \\[8pt] Obw(\text{trapezu}) + 12 &= 38 \\[8pt] Obw(\text{trapezu}) &= 38 - 12 = 26\text{ cm} \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Obwód trapezu wynosi $26\text{ cm}$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne. Oblicz długości boków trójkąta $ABC$, wiedząc, że jego obwód jest równy $6$, a długości boków trójkąta $DEF$ wynoszą: $3$, $4$ i $5$.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza wstępna: Rozpocznij od wyznaczenia obwodu trójkąta $DEF$, sumując długości wszystkich jego podanych boków: $3 + 4 + 5$.
Główna metoda i powiązanie pojęciowe: Zastosuj kluczową własność wielokątów podobnych – stosunek ich obwodów jest równy skali podobieństwa $k$, czyli $k = \dfrac{\text{Obw}_{ABC}}{\text{Obw}_{DEF}}$. Alternatywnie możesz zapisać długości boków szukanego trójkąta jako wielokrotności boków trójkąta wyjściowego przy pomocy współczynnika proporcjonalności $x$: $3x$, $4x$ oraz $5x$.
Kolejność operacji: Wyznacz wartość skali $k$, a następnie pomnóż przez nią każdy z boków trójkąta $DEF$, aby otrzymać długości odpowiadających im boków trójkąta $ABC$.
Interpretacja i weryfikacja końcowa: Zsumuj otrzymane boki i upewnij się, że dają dokładnie obwód równy $6$. Warto również zauważyć, że trójkąt o bokach $3, 4, 5$ jest prostokątny ($3^2 + 4^2 = 5^2$), więc trójkąt $ABC$ również musi spełniać twierdzenie Pitagorasa.
Czego unikać (częsta pułapka): Uważaj na kolejność tworzenia stosunku przy wyznaczaniu skali podobieństwa. Ponieważ szukamy boków trójkąta $ABC$, skala musi wynosić $k = \dfrac{\text{Obw}_{ABC}}{\text{Obw}_{DEF}} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$. Zapisanie odwrotnego ilorazu dałoby skalę równą $2$, co doprowadziłoby do powiększenia boków zamiast ich pomniejszenia, wbrew podanemu obwodowi.

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i analiza stanu wyjściowego:
Zauważmy, że boki trójkąta $DEF$ spełniają zależność Pitagorasa: $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$ Oznacza to, że trójkąt $DEF$ jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych $3$ i $4$ oraz przeciwprostokątnej równej $5$. Trójkąt $ABC$ jest do niego podobny ($\triangle ABC \sim \triangle DEF$), więc również jest trójkątem prostokątnym o takich samych kątach wewnętrznych i proporcjonalnych bokach $a, b, c$, a jego obwód wynosi $\text{Obw}_{ABC} = 6$.
Sposób I – Wykorzystanie skali podobieństwa i stosunku obwodów:
Obliczamy obwód trójkąta $DEF$, sumując długości jego boków: $$\text{Obw}_{DEF} = 3 + 4 + 5 = 12$$ Zgodnie z twierdzeniem o figurach podobnych, stosunek obwodów dwóch trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa $k$: $$k = \dfrac{\text{Obw}_{ABC}}{\text{Obw}_{DEF}} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$$ Mając wyznaczoną skalę podobieństwa $k = 0{,}5$, obliczamy poszczególne boki trójkąta $ABC$, mnożąc przez nią odpowiadające im boki trójkąta $DEF$: $$\begin{aligned} a &= k \cdot 3 = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \\[8pt] b &= k \cdot 4 = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \\[8pt] c &= k \cdot 5 = \dfrac{1}{2} \cdot 5 = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie współczynnika proporcjonalności:
Z podobieństwa trójkątów wynika, że stosunki długości ich odpowiadających boków są równe: $$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5}$$ Wprowadzamy współczynnik proporcjonalności $x > 0$. Wówczas boki trójkąta $ABC$ możemy zapisać w postaci: $$a = 3x, \quad b = 4x, \quad c = 5x$$ Wiemy, że obwód trójkąta $ABC$ wynosi $6$, co pozwala ułożyć równanie: $$3x + 4x + 5x = 6$$ Rozwiązujemy równanie liniowe: $$\begin{aligned} 12x &= 6 \\[8pt] x &= \dfrac{6}{12} \\[8pt] x &= \dfrac{1}{2} = 0{,}5 \end{aligned}$$ Podstawiamy wyliczoną wartość $x = 0{,}5$ do wyrażeń na poszczególne boki: $$\begin{aligned} a &= 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5 \\[8pt] b &= 4 \cdot 0{,}5 = 2 \\[8pt] c &= 5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5 \end{aligned}$$
Weryfikacja poprawności oraz rysunek wynikowy:
Sprawdzamy sumę wyznaczonych boków: $$\text{Obw}_{ABC} = a + b + c = 1{,}5 + 2 + 2{,}5 = 6$$ Weryfikujemy również spełnienie twierdzenia Pitagorasa: $$\begin{aligned} a^2 + b^2 &= (1{,}5)^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25 \\[8pt] c^2 &= (2{,}5)^2 = 6{,}25 \end{aligned}$$ Zależność $a^2 + b^2 = c^2$ jest spełniona, co ostatecznie potwierdza poprawność rozwiązania.

Odpowiedź:
Długości boków trójkąta $ABC$ wynoszą: $1{,}5$, $2$ oraz $2{,}5$.

Zadanie 5 (3 pkt)

Stosunek długości odpowiadających sobie boków dwóch prostokątów jest równy $\dfrac{3}{2}$. Oblicz pole każdej z tych figur, wiedząc, że pole jednej jest o $20\text{ m}^2$ większe od pola drugiej.

Wskazówki:

Punkt wyjścia i analiza: Jeżeli stosunek długości odpowiadających sobie boków dwóch wielokątów jest stały, figury te są podobne. Stosunek ten definiuje skalę podobieństwa $k = \dfrac{3}{2}$.
Kluczowa metoda i własność figur podobnych: Wykorzystaj twierdzenie o stosunku pól figur podobnych: stosunek pól dwóch figur podobnych jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa, czyli $\dfrac{P_2}{P_1} = k^2$.
Kolejność operacji: Oznacz pole mniejszego prostokąta jako $P_1$, a pole większego jako $P_2 = P_1 + 20\text{ m}^2$. Zapisz proporcję pól, pomnóż równanie „na krzyż” i wyznacz wartość $P_1$, a następnie oblicz $P_2$.
Weryfikacja wyniku: Sprawdź, czy różnica obliczonych pól wynosi $20\text{ m}^2$ ($36 - 16 = 20$) oraz czy ich stosunek wynosi $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.
Czego unikać (częsta pułapka): Nie przyrównuj stosunku pól bezpośrednio do skali podobieństwa boków $\dfrac{3}{2}$. Pamiętaj, że pole powierzchni skaluje się w kwadracie skali podobieństwa ($k^2$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Rysunek pomocniczy i wyznaczenie skali podobieństwa:
Oznaczmy mniejszy prostokąt symbolem $F_1$ o polu $P_1$, a większy symbolem $F_2$ o polu $P_2$. Ponieważ stosunek długości odpowiadających sobie boków wynosi $\dfrac{3}{2}$, figury te są podobne w skali: $$k = \dfrac{3}{2}$$ Z treści zadania wiemy, że pole jednej figury jest o $20\text{ m}^2$ większe od pola drugiej, co daje zależność: $$P_2 = P_1 + 20\text{ m}^2$$
Sposób I – Wykorzystanie twierdzenia o stosunku pól figur podobnych:
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa: $$\dfrac{P_2}{P_1} = k^2$$ Podstawiamy wartość skali $k = \dfrac{3}{2}$: $$\dfrac{P_2}{P_1} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$$ Wstawiamy zależność $P_2 = P_1 + 20$ do powyższego równania: $$\dfrac{P_1 + 20}{P_1} = \dfrac{9}{4}$$ Mnożymy obie strony równania na krzyż: $$\begin{aligned} 4(P_1 + 20) &= 9P_1 \\[8pt] 4P_1 + 80 &= 9P_1 \\[8pt] 9P_1 - 4P_1 &= 80 \\[8pt] 5P_1 &= 80 \quad \Big/ : 5 \\[8pt] P_1 &= 16\text{ m}^2 \end{aligned}$$ Obliczamy pole większego prostokąta $P_2$: $$P_2 = P_1 + 20 = 16 + 20 = 36\text{ m}^2$$
Sposób II – Algebraiczne uzależnienie wymiarów boków prostokątów:
Oznaczmy długości boków mniejszego prostokąta jako $a$ oraz $b$. Wówczas jego pole powierzchni wynosi: $$P_1 = a \cdot b$$ Boki większego prostokąta są proporcjonalne w stosunku $\dfrac{3}{2}$, zatem ich długości to odpowiednio $\dfrac{3}{2}a$ oraz $\dfrac{3}{2}b$. Pole większego prostokąta wynosi: $$\begin{aligned} P_2 &= \left(\dfrac{3}{2}a\right) \cdot \left(\dfrac{3}{2}b\right) \\[8pt] &= \dfrac{9}{4}ab \\[8pt] &= \dfrac{9}{4}P_1 \end{aligned}$$ Z treści zadania różnica pól jest równa $20\text{ m}^2$: $$\begin{aligned} P_2 - P_1 &= 20 \\[8pt] \dfrac{9}{4}P_1 - P_1 &= 20 \\[8pt] \dfrac{5}{4}P_1 &= 20 \quad \Big/ \cdot \dfrac{4}{5} \\[8pt] P_1 &= 20 \cdot \dfrac{4}{5} = 16\text{ m}^2 \end{aligned}$$ Pole większego prostokąta: $$P_2 = 16 + 20 = 36\text{ m}^2$$
Rysunek wynikowy i zestawienie rezultatów:
Zarówno metoda geometryczna, jak i algebraiczna dają ten sam rezultat. Pole mniejszego prostokąta wynosi $16\text{ m}^2$, a pole większego prostokąta wynosi $36\text{ m}^2$.

Odpowiedź:
Pole mniejszego prostokąta wynosi $16\text{ m}^2$, a pole większego prostokąta wynosi $36\text{ m}^2$.

Grupa B

Zadanie 1 (2 pkt)

W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, kąt przy podstawie jest równy $50^{o}$. Z wierzchołka $C$ tego trójkąta poprowadzono wysokość. Jaki kąt tworzy ta wysokość z ramieniem trójkąta $ABC$?