Funkcje sprawdzian

4 Funkcje

Sprawdzian

Grupa A

Zadanie 1 (1 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = 5 - x$.

Wskazówki:

Wzór funkcji liniowej ma postać ogólną $f(x) = ax + b$. Zapis $f(x) = 5 - x$ możemy uporządkować do postaci $f(x) = -x + 5$, co pozwala bezpośrednio odczytać współczynnik kierunkowy $a = -1$ oraz wyraz wolny $b = 5$. Ponieważ $a < 0$, funkcja jest malejąca.
Uwaga na typowy błąd (mylenie kolejności współczynników): Wielu uczniów odruchowo traktuje pierwszą liczbę we wzorze jako współczynnik $a$, twierdząc błędnie, że $a = 5$, a funkcja rośnie. Kategorycznie nie wolno tak robić! Współczynnik kierunkowy $a$ to ZAWSZE liczba stojąca przy zmiennej $x$ (tutaj $a = -1$). Przyjęcie $a = 5$ prowadzi do narysowania całkowicie błędnego, rosnącego wykresu.
Do narysowania prostej wystarczy wyznaczyć współrzędne dwóch dowolnych punktów. Najwygodniej wyznaczyć punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych: punkt przecięcia z osią $OY$ oraz miejsce zerowe (przecięcie z osią $OX$).

Rozwiązanie krok po kroku:

Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych:
Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Aby wyznaczyć jej położenie w układzie współrzędnych, obliczamy punkty przecięcia z osiami:

1) Punkt przecięcia z osią $OY$ (podstawiamy $x = 0$): $$ f(0) = 5 - 0 = 5 $$ Wykres przecina oś pionową w punkcie $(0, 5)$. Wartość ta odpowiada wyrazowi wolnemu $b = 5$.

2) Punkt przecięcia z osią $OX$, czyli miejsce zerowe (przyrównujemy wartość funkcji do zera, czyli $f(x) = 0$): $$\begin{aligned} 5 - x &= 0 \\[8pt] -x &= -5 \quad / \cdot (-1) \\[8pt] x &= 5 \end{aligned}$$ Miejscem zerowym funkcji jest liczba $5$, zatem punkt przecięcia z osią poziomą to $(5, 0)$.

3) Punkt kontrolny (dla dodatkowego potwierdzenia poprawności szkicu, np. dla $x = 2$): $$ f(2) = 5 - 2 = 3 \implies (2, 3) $$
Sporządzenie wykresu funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych:
Naniesione punkty $(0, 5)$, $(5, 0)$ oraz punkt pomocniczy $(2, 3)$ łączymy prostą przy użyciu linijki. Ponieważ dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$, prosta rozciąga się nieograniczenie w obu kierunkach:

Odpowiedź:
Wykresem funkcji $f(x) = 5 - x$ jest prosta o współczynniku kierunkowym $a = -1$ i wyrazie wolnym $b = 5$, przechodząca m.in. przez punkty $(0, 5)$ oraz $(5, 0)$.

Zadanie 2 (3 pkt)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 2x - 3$. Największa wartość, jaką funkcja $f$ osiąga w przedziale, który jest jej dziedziną, jest równa $7$, a najmniejsza jest równa $-1$. Podaj dziedzinę funkcji $f$.

Wskazówki:

Zbadaj monotoniczność funkcji liniowej na podstawie jej współczynnika kierunkowego $a$. Jeśli funkcja jest rosnąca ($a > 0$), to mniejszym argumentom odpowiadają mniejsze wartości, a większym – większe wartości.
Uwaga na typowy błąd: Nie myl dziedziny ze zbiorem wartości! Podanie jako odpowiedzi przedziału $\langle -1, 7 \rangle$ jest błędem, ponieważ $-1$ oraz $7$ to wartości funkcji ($y$), a dziedzina to zbiór argumentów ($x$), dla których te wartości powstają. Ponadto pamiętaj, że gdyby współczynnik kierunkowy był ujemny ($a < 0$), funkcja byłaby malejąca i najmniejszą wartość przyjmowałaby na prawym końcu przedziału.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wykorzystanie monotoniczności funkcji liniowej:
Dana jest funkcja liniowa o wzorze: $$f(x) = 2x - 3$$ Jej współczynnik kierunkowy wynosi $a = 2$. Ponieważ $a > 0$, funkcja $f$ jest ściśle rosnąca w całej swojej dziedzinie. Własność ta oznacza, że najmniejszą wartość przyjmuje ona dla najmniejszego argumentu (lewego końca dziedziny), a największą wartość dla największego argumentu (prawego końca dziedziny).

Wyznaczamy lewy koniec dziedziny, przyrównując wartość funkcji do najmniejszej podanej wartości ($-1$): $$\begin{aligned} 2x - 3 &= -1 \\[8pt] 2x &= -1 + 3 \\[8pt] 2x &= 2 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}$$ Wyznaczamy prawy koniec dziedziny, przyrównując wartość funkcji do największej podanej wartości ($7$): $$\begin{aligned} 2x - 3 &= 7 \\[8pt] 2x &= 7 + 3 \\[8pt] 2x &= 10 \\[8pt] x &= 5 \end{aligned}$$ Ponieważ wartości $-1$ i $7$ są osiągane w tej dziedzinie, końce przedziału są domknięte: $$D = \langle 1, 5 \rangle$$
Sposób II – Zapis za pomocą podwójnej nierówności:
Wartości przyjmowane przez funkcję mieszczą się w przedziale domkniętym od $-1$ do $7$, co możemy zapisać w postaci podwójnej nierówności: $$-1 \le f(x) \le 7$$ Podstawiamy wzór funkcji $f(x) = 2x - 3$: $$-1 \le 2x - 3 \le 7$$ Dodajemy liczbę $3$ do wszystkich stron nierówności: $$\begin{aligned} -1 + 3 &\le 2x \le 7 + 3 \\[8pt] 2 &\le 2x \le 10 \end{aligned}$$ Dzielimy wszystkie strony przez $2$ (ponieważ $2 > 0$, zwroty nierówności nie ulegają zmianie): $$\begin{aligned} \dfrac{2}{2} &\le x \le \dfrac{10}{2} \\[8pt] 1 &\le x \le 5 \end{aligned}$$ Otrzymujemy przedział argumentów $x \in \langle 1, 5 \rangle$, który stanowi szukaną dziedzinę.
Interpretacja graficzna na wykresie funkcji:
Na poniższym wykresie wykresem funkcji $f(x) = 2x - 3$ w wyznaczonej dziedzinie jest odcinek o końcach w punktach $A = (1, -1)$ oraz $B = (5, 7)$. Rzut tego odcinka na oś $OX$ wyznacza dziedzinę $\langle 1, 5 \rangle$, natomiast rzut na oś $OY$ pokrywa się z podanym zbiorem wartości $\langle -1, 7 \rangle$.

Odpowiedź:
Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\langle 1, 5 \rangle$ (zapis symboliczny: $D = \langle 1, 5 \rangle$ lub $x \in \langle 1, 5 \rangle$).

Zadanie 3 (2 pkt)

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D = (-1; 5)$. Wskaż dziedzinę funkcji $g(x) = f(x + 3)$.

Wskazówki:

Warunek na argument funkcji: Zapis $g(x) = f(x + 3)$ oznacza, że całe wyrażenie stojące w nawiasie za funkcją $f$, czyli $x + 3$, musi należeć do dziedziny funkcji bazowej $f$. Wystarczy zapisać i rozwiązać podwójną nierówność $-1 < x + 3 < 5$.
Uwaga na typowy błąd (kierunek przesunięcia): Wielu uczniów widząc znak plus przy liczbie $3$ ($x + 3$), automatycznie dodaje $3$ do końców przedziału, otrzymując błędną dziedzinę $(2; 8)$. Jest to kardynalny błąd! Dodanie liczby do argumentu ($x + 3$) przesuwa wykres funkcji w lewo wzdłuż osi $OX$ o $3$ jednostki (wektor $\vec{u} = [-3, 0]$). Aby argument osiągnął tę samą wartość co w funkcji $f$, zmienna $x$ musi być o $3$ mniejsza, dlatego od końców przedziału należy odjąć $3$, a nie dodać.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Metoda algebraiczna (podwójna nierówność dla argumentu):
Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $D_f = (-1; 5)$, co oznacza, że funkcja $f(t)$ istnieje tylko wtedy, gdy jej argument spełnia warunek: $$-1 < t < 5$$ W funkcji $g(x) = f(x + 3)$ rolę argumentu $t$ pełni całe wyrażenie $x + 3$. Zastępujemy zatem $t$ wyrażeniem $x + 3$: $$-1 < x + 3 < 5$$ Aby wyznaczyć przedział dla samej zmiennej $x$, odejmujemy liczbę $3$ od wszystkich stron nierówności: $$\begin{aligned} -1 - 3 &< x < 5 - 3 \\[8pt] -4 &< x < 2 \end{aligned}$$ Zatem dziedziną nowej funkcji jest przedział: $$D_g = (-4; 2)$$
Sposób II – Metoda geometryczna (przesunięcie wykresu wzdłuż osi $OX$):
Wykres funkcji $g(x) = f(x + 3)$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f(x)$ wzdłuż osi $OX$ o $3$ jednostki w lewą stronę, czyli o wektor $\vec{u} = [-3, 0]$.
Skoro cały wykres przesuwa się w lewo o $3$ jednostki, to jego rzut na oś $OX$ (czyli dziedzina funkcji) również przesuwa się w lewo o $3$ jednostki:
- lewy kraniec przedziału przesuwa się z $-1$ na: $-1 - 3 = -4$,
- prawy kraniec przedziału przesuwa się z $5$ na: $5 - 3 = 2$.

Przedziały pozostają otwarte, co daje ostatecznie zbiór $D_g = (-4; 2)$.

Odpowiedź:
Dziedziną funkcji $g$ jest zbiór $D_g = (-4; 2)$.

Zadanie 4 (3 pkt)

Wykresy funkcji $f$ i $h$ są symetryczne względem osi $OY$. Podaj wzór funkcji $h$, jeżeli:

a) $f(x) = \dfrac{3}{4}x - 5$,

b) $f(x) = \sqrt{x - 1}$,

c) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$.

Wskazówki:

Reguła symetrii względem osi $OY$: Odbicie wykresu funkcji $y = f(x)$ symetrycznie względem osi pionowej $OY$ oznacza, że każdy punkt $(x, y)$ przechodzi w punkt $(-x, y)$. Zmienia się wyłącznie znak argumentu, zatem wzór nowej funkcji to $h(x) = f(-x)$.
Czego kategorycznie nie wolno robić i dlaczego: Nie wolno mylić symetrii względem osi $OY$ z symetrią względem osi $OX$! Zamiana znaku całej funkcji, czyli zapisanie $-f(x)$, to odbicie w pionie (względem poziomej osi $OX$), co prowadzi do błędnego wzoru. Przy przekształcaniu wyrażeń pamiętaj również, aby wstawiać $-x$ bezwzględnie w nawiasach – opuszczenie nawiasu przy potęgach parzystych (np. zapisanie $-x^2$ zamiast $(-x)^2$) zmieniłoby właściwy znak składnika, ponieważ potęga parzysta zawsze niweluje minus: $(-x)^2 = x^2$.

Rozwiązanie krok po kroku:

Podpunkt a) Wyznaczamy wzór funkcji $h$ dla $f(x) = \dfrac{3}{4}x - 5$:
Zgodnie z regułą symetrii względem osi $OY$ podstawiamy $-x$ w miejsce każdego wystąpienia zmiennej $x$: $$ \begin{aligned} h(x) &= f(-x) \\[8pt] &= \dfrac{3}{4} \cdot (-x) - 5 \\[8pt] &= -\dfrac{3}{4}x - 5 \end{aligned} $$ Ostrzeżenie przed typowym błędem: Błędem byłoby napisanie $-\left(\dfrac{3}{4}x - 5\right) = -\dfrac{3}{4}x + 5$. Taki zapis oznaczałby odbicie względem osi $OX$, przez co punkt przecięcia z osią pionową zmieniłby się z $(0, -5)$ na $(0, 5)$. W symetrii względem osi $OY$ punkt leżący na samej osi $OY$ pozostaje w tym samym miejscu.
Podpunkt b) Wyznaczamy wzór funkcji $h$ dla $f(x) = \sqrt{x - 1}$:
Wstawiamy $-x$ wyłącznie w miejsce zmiennej $x$ pod pierwiastkiem: $$ \begin{aligned} h(x) &= f(-x) \\[8pt] &= \sqrt{(-x) - 1} \\[8pt] &= \sqrt{-x - 1} \end{aligned} $$ Ostrzeżenie przed typowym błędem: Kategorycznie nie wolno wyciągać znaku minus przed pierwiastek jako $-\sqrt{x - 1}$ (to oznaczałoby symetrię względem osi $OX$) ani zmieniać znaku przy liczbie $1$ na $\sqrt{-x + 1}$. Minus obejmuje wyłącznie argument $x$. Zauważmy, że dziedziną funkcji $f$ jest $x \ge 1$, natomiast dla funkcji $h$ mamy warunek $-x - 1 \ge 0 \iff x \le -1$, co potwierdza odbicie dziedziny na ujemną stronę osi liczbowej.
Podpunkt c) Wyznaczamy wzór funkcji $h$ dla $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$:
Podstawiamy $-x$ w nawiasach do każdego składnika wielomianu i redukujemy potęgi: $$ \begin{aligned} h(x) &= f(-x) \\[8pt] &= (-x)^3 - 3(-x)^2 + 1 \\[8pt] &= -x^3 - 3(x^2) + 1 \\[8pt] &= -x^3 - 3x^2 + 1 \end{aligned} $$ Ostrzeżenie przed typowym błędem: Pamiętaj o regułach potęgowania: potęga nieparzysta zachowuje znak minus: $(-x)^3 = -x^3$, natomiast potęga parzysta daje wynik dodatni: $(-x)^2 = x^2$, więc $-3(-x)^2 = -3x^2$. Błędem jest mechaniczna zmiana znaków przy wszystkich wyrazach na przeciwne (co dałoby $-x^3 + 3x^2 - 1$), gdyż odpowiada to symetrii względem osi $OX$.

Odpowiedź:
a) $h(x) = -\dfrac{3}{4}x - 5$

b) $h(x) = \sqrt{-x - 1}$

c) $h(x) = -x^3 - 3x^2 + 1$

Zadanie 5 (2 pkt)

Przednie koło wózka ma obwód $80\text{ cm}$, a tylne koło – $40\text{ cm}$. Jeżeli przednie koło obróci się $160$ razy, to ile obrotów wykona tylne, mniejsze koło?

Wskazówki:

Oba koła wózka przemieszczają się razem, co oznacza, że na tym samym odcinku trasy pokonują dokładnie tę samą drogę. Droga ta jest równa iloczynowi liczby obrotów i obwodu koła.
Uwaga na typowy błąd (pułapka proporcjonalności prostej): Kategorycznie nie wolno zakładać, że mniejsze koło wykona mniej obrotów (np. dzieląc $160$ przez $2$, co dałoby błędne $80$ obrotów). Liczba obrotów jest odwrotnie proporcjonalna do obwodu koła – im koło jest mniejsze, tym więcej razy musi się obrócić, aby pokonać tę samą odległość.

Rozwiązanie krok po kroku:

Sposób I – Wyznaczenie całkowitej drogi przebytej przez wózek:
Jeden pełny obrót przedniego koła odpowiada przebyciu drogi równej jego obwodowi, czyli $80\text{ cm}$. Skoro przednie koło wykonało $160$ obrotów, obliczamy łączną drogę $s$ pokonaną przez wózek: $$\begin{aligned} s &= 160 \cdot 80\text{ cm} \\[8pt] &= 12\,800\text{ cm} \end{aligned}$$ Tylne koło wózka przejechało dokładnie tę samą odległość ($s = 12\,800\text{ cm}$). Aby obliczyć liczbę obrotów tylnego koła $n$, dzielimy całkowitą drogę przez obwód tego koła ($40\text{ cm}$): $$\begin{aligned} n &= \dfrac{12\,800\text{ cm}}{40\text{ cm}} \\[8pt] &= 320 \end{aligned}$$
Sposób II – Wykorzystanie proporcjonalności odwrotnej:
Zauważmy zależność między obwodami obu kół. Porównujemy ich obwody: $$\dfrac{80\text{ cm}}{40\text{ cm}} = 2$$ Obwód tylnego koła jest $2$-krotnie mniejszy od obwodu koła przedniego. Ponieważ dystans przebyty przez oba koła jest jednakowy, koło o dwukrotnie mniejszym obwodzie musi wykonać dokładnie dwa razy więcej obrotów: $$\begin{aligned} n &= 160 \cdot 2 \\[8pt] &= 320 \end{aligned}$$

Odpowiedź:
Tylne, mniejsze koło wykona $320$ obrotów.