Bryła sztywna
Sprawdzian
Grupa A
Zadanie 1 (3 pkt)
Karuzela o promieniu $R = 80\ \text{cm}$ zaczęła zwalniać. W czasie $\Delta t = 1,5\ \text{s}$ jej prędkość kątowa zmalała od $\omega_1 = 5\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}$ do $\omega_2 = 2\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}$. Oblicz przyspieszenie kątowe oraz przyspieszenie liniowe punktu znajdującego się na brzegu karuzeli i punktu znajdującego się w odległości $x = 30\ \text{cm}$ od osi obrotu.
Zadanie 2 (5 pkt)
Mechanik używa klucza o długości $l = 25\ \text{cm}$, zakończonego końcówką o średnicy $d = 1,5\ \text{cm}$. Oblicz wartość siły, która będzie działała na śrubę, jeżeli mechanik o masie $m = 70\ \text{kg}$ stanie na końcu klucza ustawionego poziomo.
Zadanie 3 (5 pkt)
Do magazynu dostarczono walcowe pojemniki z cieczą. Pojemnik ma średnicę $d = 60\ \text{cm}$ i wysokość $h = 180\ \text{cm}$. Przy jakim kącie nachylenia rampy załadunkowej pojemnik może się przewrócić?
Zadanie 4 (12 pkt)
Jednorodny cylinder o promieniu $R = 8$ cm i masie $m = 1\ \text{kg}$ stacza się z równi pochyłej o wysokości $h = 1,2\ \text{m}$ i kącie nachylenia $\alpha = 45^{\circ}$ do poziomu.
a) Oblicz wartość prędkości liniowej cylindra po stoczeniu się z równi pochyłej bez poślizgu oraz czas staczania się cylindra z równi.
b) Cylinder potoczył się po płaskiej chropowatej powierzchni i zatrzymał po przebyciu drogi $d = 8\ \text{m}$. Oblicz siłę oporu, jaka działała na cylinder podczas toczenia.
Zadanie 5 (7 pkt)
Oblicz moment bezwładności trójskrzydłowych drzwi obrotowych względem ich osi obrotu oraz wartość siły, jaką popycha je człowiek, jeżeli przykłada ją prostopadle do płaszczyzny drzwi w odległości $R = 0,8 \, \text{m}$ od osi obrotu i nadaje drzwiom przyspieszenie kątowe $\epsilon = 0,6 \frac{\text{rad}}{\text{s}^2}$. Pojedyncze skrzydło ma masę $m = 40 \, \text{kg}$ i szerokość $l = 1,0 \, \text{m}$. Moment bezwładności prostokątnej płyty względem osi obrotu przechodzącej wzdłuż krawędzi $I = \frac{1}{3}ml^2$.
Grupa B
Zadanie 1 (3 pkt)
Koło zamachowe o promieniu $R = 40\ \text{cm}$ zaczęło przyspieszać. W czasie $\Delta t = 2\ \text{s}$ jego prędkość kątowa wzrosła od $\omega_1 = 1\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}$ do $\omega_2 = 4\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}$. Oblicz przyspieszenie kątowe oraz przyspieszenie liniowe punktu znajdującego się na brzegu koła i punktu znajdującego się w odległości $x = 25\ \text{cm}$ od osi obrotu.
Zadanie 2 (5 pkt)
Aby poluzować mocno dokręconą śrubę, użyto przedłużki do klucza, zwiększając jego efektywną długość do $L = 60\ \text{cm}$. Klucz ma grubość mocowania śruby $d = 2,5\ \text{cm}$. Oblicz wartość siły, która będzie działała na śrubę, jeżeli osoba o masie $m = 85\ \text{kg}$ stanie na koniec przedłużki z pełną siłą swojego ciężaru. Załóż, że klucz z przedłużką jest ustawiony poziomo.
Zadanie 3 (5 pkt)
Na budowie używane są cylindryczne zbiorniki na wodę o średnicy $d = 120\ \text{cm}$ i wysokości $h = 100\ \text{cm}$. Oblicz minimalny kąt nachylenia terenu, przy którym pusty zbiornik może stracić równowagę i przewrócić się, jeśli jest ustawiony na płaskiej podstawie.
Zadanie 4 (12 pkt)
Jednorodna cienkościenna obręcz (pierścień) o promieniu $R = 20\ \text{cm}$ i masie $m = 0,2\ \text{kg}$ stacza się z równi pochyłej o wysokości $h = 0,8\ \text{m}$ i kącie nachylenia $\alpha = 60^{\circ}$ do poziomu.
a) Oblicz wartość prędkości liniowej obręczy po stoczeniu się z równi pochyłej bez poślizgu oraz czas staczania się obręczy z równi.
b) Obręcz potoczyła się po płaskiej chropowatej powierzchni i zatrzymała po przebyciu drogi $d = 5\ \text{m}$. Oblicz siłę oporu, jaka działała na obręcz podczas toczenia.
Zadanie 5 (7 pkt)
Oblicz moment bezwładności czteroskrzydełowych drzwi obrotowych względem ich osi obrotu oraz wartość siły, jaką popycha je człowiek, jeżeli przykłada ją prostopadle do płaszczyzny drzwi w odległości $R = 1,1 \, \text{m}$ od osi obrotu i nadaje drzwiom przyspieszenie kątowe $\epsilon = 0,4 \frac{\text{rad}}{\text{s}^2}$. Pojedyncze skrzydło ma masę $m = 60 \, \text{kg}$ i szerokość $l = 1,5 \, \text{m}$. Moment bezwładności prostokątnej płyty względem osi obrotu przechodzącej wzdłuż krawędzi $I = \frac{1}{3}ml^2$.