Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kartkówka LiczBit

23.4 Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz: a) $\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ - \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ$ b) $\sin 35^\circ \cdot \cos 10^\circ + \cos 145^\circ \cdot \cos 100^\circ$ c) $ \frac{\sin 200^\circ \cdot \cos 140^\circ - \sin 70^\circ \cdot \sin 220^\circ}{\cos 10^\circ \cdot \cos 290^\circ - \sin 170^\circ \cdot \cos 200^\circ} $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Korzystamy ze wzoru na cosinus sumy kątów: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$. W naszym przypadku $\alpha = 20^\circ$ i $\beta = 40^\circ$.\[\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ - \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ = \cos(20^\circ + 40^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\]b) Najpierw przekształcamy wyrażenia $\cos 145^\circ$ i $\cos 100^\circ$ używając wzorów redukcyjnych.\[\cos 145^\circ = \cos(180^\circ - 35^\circ) = -\cos 35^\circ\]\[\cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ\]Podstawiamy do wyrażenia:\[\sin 35^\circ \cdot \cos 10^\circ + (-\cos 35^\circ) \cdot (-\sin 10^\circ)\]\[= \sin 35^\circ \cdot \cos 10^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 10^\circ\]Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. W naszym przypadku $\alpha = 35^\circ$ i $\beta = 10^\circ$.\[= \sin(35^\circ + 10^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\]c) Obliczamy wartość licznika i mianownika oddzielnie. Licznik: $\sin 200^\circ \cdot \cos 140^\circ - \sin 70^\circ \cdot \sin 220^\circ$ Używamy wzorów redukcyjnych:\[\sin 200^\circ = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ\]\[\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ\]\[\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ\]\[\sin 220^\circ = \sin(180^\circ + 40^\circ) = -\sin 40^\circ\]Podstawiamy do licznika:\[(-\sin 20^\circ) \cdot (-\cos 40^\circ) - (\cos 20^\circ) \cdot (-\sin 40^\circ)\]\[= \sin 20^\circ \cos 40^\circ + \cos 20^\circ \sin 40^\circ\]Jest to wzór na sinus sumy kątów $\sin(\alpha + \beta)$, gdzie $\alpha = 20^\circ$ i $\beta = 40^\circ$.\[= \sin(20^\circ + 40^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Mianownik: $\cos 10^\circ \cdot \cos 290^\circ - \sin 170^\circ \cdot \cos 200^\circ$ Używamy wzorów redukcyjnych:\[\cos 290^\circ = \cos(360^\circ - 70^\circ) = \cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ\]\[\sin 170^\circ = \sin(180^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ\]\[\cos 200^\circ = \cos(180^\circ + 20^\circ) = -\cos 20^\circ\]Podstawiamy do mianownika:\[\cos 10^\circ \cdot \sin 20^\circ - \sin 10^\circ \cdot (-\cos 20^\circ)\]\[= \cos 10^\circ \sin 20^\circ + \sin 10^\circ \cos 20^\circ\]Jest to wzór na sinus sumy kątów $\sin(\alpha + \beta)$, gdzie $\alpha = 10^\circ$ i $\beta = 20^\circ$.\[= \sin(10^\circ + 20^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\]Całe wyrażenie:\[\frac{\text{Licznik}}{\text{Mianownik}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\]

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz: a) $ \cos\frac{5\pi}{12} $ b) $ \sin\frac{\pi}{12} $ c) $ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{12} $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Aby obliczyć $ \cos\frac{5\pi}{12} $, zauważamy, że kąt $ \frac{5\pi}{12} $ można przedstawić jako sumę dwóch znanych kątów: $ \frac{5\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} $. Stosujemy wzór na cosinus sumy kątów: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.\[ \cos\frac{5\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4} \]Podstawiamy znane wartości:\[ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]\[ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]b) Aby obliczyć $ \sin\frac{\pi}{12} $, zauważamy, że kąt $ \frac{\pi}{12} $ można przedstawić jako różnicę dwóch znanych kątów: $ \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} $. Stosujemy wzór na sinus różnicy kątów: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.\[ \sin\frac{\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} \]Podstawiamy znane wartości:\[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \]\[ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]c) Aby obliczyć $ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{12} $, zauważamy, że kąt $ \frac{5\pi}{12} $ można przedstawić jako sumę dwóch znanych kątów: $ \frac{5\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} $. Stosujemy wzór na tangens sumy kątów: $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} $.\[ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{12} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} + \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}} \]Podstawiamy znane wartości:\[ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \]Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:\[ = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} \]\[ = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3} \]

Zadanie 3 (3 pkt)

Wiedząc, że $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, $\beta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ oraz $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ i $\operatorname{tg}\beta = -2\frac{2}{5}$, oblicz: a) $\sin(\alpha - \beta)$ b) $\cos(\alpha + \beta)$ c) $\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Najpierw wyznaczymy brakujące wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $\alpha$ i $\beta$. \newline Dla kąta $\alpha$: Wiemy, że $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, czyli kąt $\alpha$ leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. W drugiej ćwiartce $\sin\alpha > 0$, a $\cos\alpha < 0$ i $\operatorname{tg}\alpha < 0$. Mamy $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.\[\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1\]\[\frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1\]\[\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]Ponieważ $\alpha$ jest w drugiej ćwiartce, $\cos\alpha < 0$, więc:\[\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}\]Teraz obliczamy $\operatorname{tg}\alpha$:\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\]Dla kąta $\beta$: Wiemy, że $\beta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, czyli kąt $\beta$ leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. W czwartej ćwiartce $\sin\beta < 0$, $\cos\beta > 0$ i $\operatorname{tg}\beta < 0$. Mamy $\operatorname{tg}\beta = -2\frac{2}{5} = -\frac{12}{5}$. Korzystamy ze wzoru $1 + \operatorname{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$.\[1 + \left(-\frac{12}{5}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2\beta}\]\[1 + \frac{144}{25} = \frac{1}{\cos^2\beta}\]\[\frac{25+144}{25} = \frac{1}{\cos^2\beta}\]\[\frac{169}{25} = \frac{1}{\cos^2\beta}\]\[\cos^2\beta = \frac{25}{169}\]Ponieważ $\beta$ jest w czwartej ćwiartce, $\cos\beta > 0$, więc:\[\cos\beta = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\]Teraz obliczamy $\sin\beta$:\[\sin\beta = \operatorname{tg}\beta \cdot \cos\beta = \left(-\frac{12}{5}\right) \cdot \frac{5}{13} = -\frac{12}{13}\]Mamy więc wszystkie potrzebne wartości:\newline $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$ $\sin\beta = -\frac{12}{13}$, $\cos\beta = \frac{5}{13}$, $\operatorname{tg}\beta = -\frac{12}{5}$ a) Obliczamy $\sin(\alpha - \beta)$: Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.\[\sin(\alpha - \beta) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{12}{13}\right)\]\[\sin(\alpha - \beta) = \frac{15}{65} - \frac{48}{65} = -\frac{33}{65}\]b) Obliczamy $\cos(\alpha + \beta)$: Korzystamy ze wzoru na cosinus sumy kątów: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.\[\cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{12}{13}\right)\]\[\cos(\alpha + \beta) = -\frac{20}{65} - \left(-\frac{36}{65}\right) = -\frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{16}{65}\]c) Obliczamy $\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$: Korzystamy ze wzoru na tangens różnicy kątów: $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$.\[\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{3}{4} - \left(-\frac{12}{5}\right)}{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{12}{5}\right)}\]\[\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{15}{20} + \frac{48}{20}}{1 + \frac{36}{20}} = \frac{\frac{33}{20}}{1 + \frac{9}{5}}\]\[\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{33}{20}}{\frac{5}{5} + \frac{9}{5}} = \frac{\frac{33}{20}}{\frac{14}{5}}\]\[\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{33}{20} \cdot \frac{5}{14} = \frac{33}{4} \cdot \frac{1}{14} = \frac{33}{56}\]

Zadanie 4 (2 pkt)

Kąty trójkąta są równe $\alpha, \beta, \gamma$, a jego boki mają odpowiednio długość $a, b, c$. Rozwiąż ten trójkąt, jeśli: $\alpha = 60^\circ, \beta = 45^\circ, b = 12$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Wykaż, że jeśli $\alpha \in \mathbb{R}$, to: a) $\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \cos \alpha$ b) $\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin \alpha$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (3 pkt)

Oblicz: a) $\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ - \sin 25^\circ \cdot \sin 35^\circ$ b) $\sin 32^\circ \cdot \cos 13^\circ + \cos 148^\circ \cdot \cos 103^\circ$ c) $ \frac{\sin 205^\circ \cdot \cos 145^\circ - \sin 65^\circ \cdot \sin 215^\circ}{\cos 15^\circ \cdot \cos 285^\circ - \sin 165^\circ \cdot \cos 195^\circ} $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Oblicz: a) $ \sin\frac{7\pi}{12} $ b) $ \cos\frac{7\pi}{12} $ c) $ \operatorname{tg}\frac{\pi}{12} $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (3 pkt)

Wiedząc, że $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, $\beta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ oraz $\sin\alpha = \frac{8}{17}$ i $\operatorname{tg}\beta = -1\frac{7}{8}$, oblicz: a) $\sin(\alpha - \beta)$ b) $\cos(\alpha + \beta)$ c) $\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (2 pkt)

Kąty trójkąta są równe $\alpha, \beta, \gamma$, a jego boki mają odpowiednio długość $a, b, c$. Rozwiąż ten trójkąt, jeśli: $\alpha = 60^\circ, \beta = 45^\circ, b = 12$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (4 pkt)

Wykaż, że jeśli $\alpha \in \mathbb{R}$, to: a) $\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sqrt{2} \sin \alpha$ b) $\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) - \cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin \alpha$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi