Równania trygonometryczne, cz. 1 kartkówka LiczBit

23.3 Równania trygonometryczne, cz. 1

Kartkówka

Grupa A

Zadanie 1 (6 pkt)

Rozwiąż dane równania trygonometryczne, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ jest dowolną liczbą całkowitą. a) $\sin x = 0$ b) $\cos x = \frac{1}{2}$ c) $\tan x = 1$ d) $\cot x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ e) $\sin(-x) = -1$ f) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Rozwiązujemy równanie $\sin x = 0$. Wartości $x$, dla których $\sin x = 0$, to kąty, gdzie rzut punktu na osi $OY$ jest zerowy. Są to kąty $0$, $\pi$ oraz ich wielokrotności. Zatem ogólne rozwiązanie to:\[x = k\pi\]b) Rozwiązujemy równanie $\cos x = \frac{1}{2}$. Wartości $x$, dla których $\cos x = \frac{1}{2}$, to kąty, gdzie rzut punktu na osi $OX$ jest równy $\frac{1}{2}$. Są to kąty w I i IV ćwiartce. Pierwsze rozwiązanie to $x_1 = \frac{\pi}{3}$. Drugie rozwiązanie to $x_2 = -\frac{\pi}{3}$. Funkcja cosinus ma okres $2\pi$. Zatem ogólne rozwiązania to:\[x_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\]\[x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\]c) Rozwiązujemy równanie $\tan x = 1$. Wartość $x$, dla której $\tan x = 1$ w przedziale $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, to $x = \frac{\pi}{4}$. Funkcja tangens ma okres $\pi$. Zatem ogólne rozwiązanie to:\[x = \frac{\pi}{4} + k\pi\]d) Rozwiązujemy równanie $\cot x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Wartość $x$, dla której $\cot x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ w przedziale $(0, \pi)$, to $x = \frac{2\pi}{3}$ (ponieważ $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, a cotangens jest ujemny w II ćwiartce). Funkcja cotangens ma okres $\pi$. Zatem ogólne rozwiązanie to:\[x = \frac{2\pi}{3} + k\pi\]e) Rozwiązujemy równanie $\sin(-x) = -1$. Korzystamy z nieparzystości funkcji sinus, czyli $\sin(-x) = -\sin x$. Równanie przyjmuje postać $-\sin x = -1$, co upraszcza się do $\sin x = 1$. Wartości $x$, dla których $\sin x = 1$, to kąty, gdzie rzut punktu na osi $OY$ jest równy $1$. Zatem ogólne rozwiązanie to:\[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\]f) Rozwiązujemy równanie $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Wartości $x$, dla których $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, to kąty, gdzie rzut punktu na osi $OX$ jest równy $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Są to kąty w II i III ćwiartce. Pierwsze rozwiązanie to $x_1 = \frac{3\pi}{4}$. Drugie rozwiązanie to $x_2 = -\frac{3\pi}{4}$ (lub $x_2 = \frac{5\pi}{4}$). Funkcja cosinus ma okres $2\pi$. Zatem ogólne rozwiązania to:\[x_1 = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\]\[x_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\]

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozwiąż dane równania. a) $4\sin(-x) = -2\sqrt{2}$ b) $\sqrt{3}\operatorname{ctg}(-x) = 3$ c) $\sqrt{3}\operatorname{tg}(-x) = -3$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (6 pkt)

Rozwiąż dane równania. a) $ \operatorname{tg}x - 2 = \operatorname{tg}(\pi - x) $ b) $ \sin(-x) + 3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1 $ c) $ \sin x = \sin(x - \pi) - 1 $ d) $ 2\operatorname{ctg}(2\pi - x) = 1 - \operatorname{ctg}x $ e) $ \sin\left(\frac{\pi + 2x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{3\pi + 2x}{2}\right) = 0 $ f) $ \cos(-x - \pi) + 2\sin\left(\frac{-\pi - 2x}{2}\right) = 3 $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Mamy równanie $\operatorname{tg}x - 2 = \operatorname{tg}(\pi - x)$. Korzystamy z tożsamości $\operatorname{tg}(\pi - x) = -\operatorname{tg}x$.\[\operatorname{tg}x - 2 = -\operatorname{tg}x\]Przenosimy wyrazy z $\operatorname{tg}x$ na jedną stronę:\[\operatorname{tg}x + \operatorname{tg}x = 2\]\[2\operatorname{tg}x = 2\]Dzielimy przez $2$:\[\operatorname{tg}x = 1\]Rozwiązaniem ogólnym dla $\operatorname{tg}x = 1$ jest:\[x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}\]b) Mamy równanie $\sin(-x) + 3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1$. Korzystamy z tożsamości $\sin(-x) = -\sin x$ oraz $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$.\[-\sin x + 3\sin x = 1\]Upraszczamy lewą stronę:\[2\sin x = 1\]Dzielimy przez $2$:\[\sin x = \frac{1}{2}\]Rozwiązaniem ogólnym dla $\sin x = \frac{1}{2}$ jest:\[x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}\]c) Mamy równanie $\sin x = \sin(x - \pi) - 1$. Korzystamy z tożsamości $\sin(x - \pi) = -\sin x$.\[\sin x = -\sin x - 1\]Przenosimy wyrazy z $\sin x$ na jedną stronę:\[\sin x + \sin x = -1\]\[2\sin x = -1\]Dzielimy przez $2$:\[\sin x = -\frac{1}{2}\]Rozwiązaniem ogólnym dla $\sin x = -\frac{1}{2}$ jest:\[x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}\]d) Mamy równanie $2\operatorname{ctg}(2\pi - x) = 1 - \operatorname{ctg}x$. Korzystamy z tożsamości $\operatorname{ctg}(2\pi - x) = -\operatorname{ctg}x$.\[2(-\operatorname{ctg}x) = 1 - \operatorname{ctg}x\]\[-2\operatorname{ctg}x = 1 - \operatorname{ctg}x\]Przenosimy wyrazy z $\operatorname{ctg}x$ na jedną stronę:\[-2\operatorname{ctg}x + \operatorname{ctg}x = 1\]\[-\operatorname{ctg}x = 1\]Mnożymy przez $-1$:\[\operatorname{ctg}x = -1\]Rozwiązaniem ogólnym dla $\operatorname{ctg}x = -1$ jest:\[x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}\]e) Mamy równanie $\sin\left(\frac{\pi + 2x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{3\pi + 2x}{2}\right) = 0$. Upraszczamy argumenty funkcji trygonometrycznych: $\frac{\pi + 2x}{2} = \frac{\pi}{2} + x$ $\frac{3\pi + 2x}{2} = \frac{3\pi}{2} + x$ Korzystamy z tożsamości $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ oraz $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$.\[\cos x + 2(-\cos x) = 0\]\[\cos x - 2\cos x = 0\]\[-\cos x = 0\]Mnożymy przez $-1$:\[\cos x = 0\]Rozwiązaniem ogólnym dla $\cos x = 0$ jest:\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}\]f) Mamy równanie $\cos(-x - \pi) + 2\sin\left(\frac{-\pi - 2x}{2}\right) = 3$. Upraszczamy argumenty funkcji trygonometrycznych: $\cos(-x - \pi) = \cos(x + \pi)$ (ponieważ funkcja $\cos$ jest parzysta, $\cos(-A) = \cos A$) $\cos(x + \pi) = -\cos x$ $\frac{-\pi - 2x}{2} = -\frac{\pi}{2} - x$ $\sin\left(-\frac{\pi}{2} - x\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$ (ponieważ funkcja $\sin$ jest nieparzysta, $\sin(-A) = -\sin A$) $-\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cos x$ Podstawiamy do równania:\[-\cos x + 2(-\cos x) = 3\]\[-\cos x - 2\cos x = 3\]\[-3\cos x = 3\]Dzielimy przez $-3$:\[\cos x = -1\]Rozwiązaniem ogólnym dla $\cos x = -1$ jest:\[x = \pi + 2k\pi, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{Z}\]

Zadanie 4 (6 pkt)

Rozwiąż dane równania. a) $\sin \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1$ b) $\cos \left(\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ c) $\operatorname{tg} \left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$ d) $\operatorname{ctg} \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}\right)=1$ e) $2\sin \left(\frac{6x+\pi}{3}\right)+\sqrt{3}=0$ f) $\cos \left(-\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{2}=0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

a) Rozwiązujemy równanie $\sin \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1$. Argument sinusa musi być równy $\frac{\pi}{2}$ plus wielokrotność $2\pi$.\[3x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Odejmujemy $\frac{\pi}{4}$ od obu stron:\[3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi\]\[3x = \frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi\]\[3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\]Dzielimy przez $3$:\[x = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}\]b) Rozwiązujemy równanie $\cos \left(\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Argument cosinusa musi być równy $\pm \frac{\pi}{6}$ plus wielokrotność $2\pi$.\[\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad \frac{1}{3}x-\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Dla pierwszego przypadku:\[\frac{1}{3}x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi\]\[\frac{1}{3}x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi\]\[\frac{1}{3}x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi\]\[\frac{1}{3}x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\]Mnożymy przez $3$:\[x = \frac{3\pi}{2} + 6k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Dla drugiego przypadku:\[\frac{1}{3}x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi\]\[\frac{1}{3}x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi\]\[\frac{1}{3}x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\]Mnożymy przez $3$:\[x = \frac{3\pi}{6} + 6k\pi\]\[x = \frac{\pi}{2} + 6k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]c) Rozwiązujemy równanie $\operatorname{tg} \left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$. Argument tangensa musi być równy $\frac{\pi}{3}$ plus wielokrotność $\pi$.\[3x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Dodajemy $\frac{\pi}{6}$ do obu stron:\[3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + k\pi\]\[3x = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + k\pi\]\[3x = \frac{3\pi}{6} + k\pi\]\[3x = \frac{\pi}{2} + k\pi\]Dzielimy przez $3$:\[x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}\]d) Rozwiązujemy równanie $\operatorname{ctg} \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}\right)=1$. Argument cotangensa musi być równy $\frac{\pi}{4}$ plus wielokrotność $\pi$.\[\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Odejmujemy $\frac{\pi}{4}$ od obu stron:\[\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + k\pi\]\[\frac{1}{2}x = k\pi\]Mnożymy przez $2$:\[x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]e) Rozwiązujemy równanie $2\sin \left(\frac{6x+\pi}{3}\right)+\sqrt{3}=0$. Przepisujemy równanie:\[2\sin \left(2x+\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\]\[\sin \left(2x+\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]Argument sinusa musi być równy $-\frac{\pi}{3}$ lub $\frac{4\pi}{3}$ plus wielokrotność $2\pi$.\[2x+\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad 2x+\frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Dla pierwszego przypadku:\[2x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi\]\[2x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\]Dzielimy przez $2$:\[x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Dla drugiego przypadku:\[2x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi\]\[2x = \frac{3\pi}{3} + 2k\pi\]\[2x = \pi + 2k\pi\]Dzielimy przez $2$:\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]f) Rozwiązujemy równanie $\cos \left(-\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{2}=0$. Przepisujemy równanie:\[\cos \left(-\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\]Ponieważ $\cos(-x) = \cos(x)$, możemy zapisać:\[\cos \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\]Argument cosinusa musi być równy $\pm \frac{\pi}{3}$ plus wielokrotność $2\pi$.\[\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad \frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Dla pierwszego przypadku:\[\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi\]\[\frac{1}{2}x = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi\]\[\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\]Mnożymy przez $2$:\[x = \frac{2\pi}{6} + 4k\pi\]\[x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Dla drugiego przypadku:\[\frac{1}{2}x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi\]\[\frac{1}{2}x = -\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi\]\[\frac{1}{2}x = -\frac{3\pi}{6} + 2k\pi\]\[\frac{1}{2}x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\]Mnożymy przez $2$:\[x = -\pi + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Zadanie 5 (6 pkt)

Rozwiąż dane równanie. a) $|\text{tg } x + 1| = 0$ b) $2\sqrt{3}|\sin x| - 1 = \frac{2\sqrt{3}-2}{2}$ c) $5|\text{ctg } x| = |2\text{ctg } x| + 3$ d) $(\sqrt{3}\text{tg } x - 1)(\sqrt{3}\text{tg } x + 1) = 0$ e) $4\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1$ f) $3\cos^2 x - 4 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Grupa B

Zadanie 1 (6 pkt)

Rozwiąż dane równania trygonometryczne, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ jest dowolną liczbą całkowitą. a) $\tan x = 0$ b) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ c) $\cos x = -1$ d) $\cot x = \sqrt{3}$ e) $\tan(-x) = -1$ f) $\sin x = -\frac{1}{2}$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 2 (3 pkt)

Rozwiąż dane równania. a) $2\sin(-x) = \sqrt{3}$ b) $5\operatorname{ctg}(-x) = -5$ c) $\operatorname{tg}(-x) = -1$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 3 (6 pkt)

Rozwiąż dane równania. a) $ \operatorname{tg}x + 3 = \operatorname{tg}(\pi - x) $ b) $ 2\sin(-x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1 $ c) $ \sin x = \sin(x - \pi) + 2 $ d) $ \operatorname{ctg}(2\pi - x) = 3 - \operatorname{ctg}x $ e) $ \sin\left(\frac{\pi + 2x}{2}\right) - \sin\left(\frac{3\pi + 2x}{2}\right) = 2 $ f) $ \cos(-x - \pi) + 3\sin\left(\frac{-\pi - 2x}{2}\right) = 2 $

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 4 (6 pkt)

Rozwiąż dane równania. a) $\sin \left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=-1$ b) $\cos \left(\frac{1}{4}x+\frac{\pi}{4}\right)=0$ c) $\operatorname{tg} \left(4x+\frac{\pi}{12}\right)=-1$ d) $\operatorname{ctg} \left(\frac{1}{4}x-\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}$ e) $2\sin \left(\frac{12x-\pi}{6}\right)-1=0$ f) $\cos \left(-\frac{1}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Zadanie 5 (6 pkt)

Rozwiąż dane równanie. a) $|\sin x - 1| = 0$ b) $2|\cos x| - 1 = \sqrt{3}-1$ c) $4|\cos x| = 2|\cos x| + \sqrt{2}$ d) $(2\sin x - \sqrt{2})(2\sin x + \sqrt{2}) = 0$ e) $2\cos^2(\pi - x) = 1$ f) $4\text{tg}^2 x + 1 = 0$

Przykład z MathJax i ukrytą odpowiedzią

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi